Secante e Cosecante di un Angolo

Definizione di secante e cosecante

Sia \(\alpha\) un angolo orientato e sia \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) il punto a esso associato sulla circonferenza goniometrica.

Se \(\cos\alpha\ne 0\), la secante di \(\alpha\) è il reciproco del coseno dell’angolo:

\[\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}.\]

Se \(\sin\alpha\ne 0\), la cosecante di \(\alpha\) è il reciproco del seno dell’angolo:

\[\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}.\]

La cosecante viene indicata anche con la notazione \(\operatorname{cosec}\alpha\). Poiché non è possibile dividere per zero, i domini delle due funzioni sono:

\[D_{\sec}=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\},\qquad D_{\csc}=\mathbb R\setminus\left\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}.\]

Per \(\alpha=k\pi\) la cosecante non è definita e la secante vale \((-1)^k\). Per \(\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\) la secante non è definita e la cosecante vale \((-1)^k\).

La secante e la cosecante non si annullano mai. Inoltre, poiché \(|\cos\alpha|\le 1\) e \(|\sin\alpha|\le 1\), nei rispettivi domini si ha:

\[|\sec\alpha|\ge 1,\qquad |\csc\alpha|\ge 1.\]

Entrambe le funzioni assumono tutti e soli i valori dell’insieme \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\): infatti seno e coseno assumono ogni valore di \([-1,1]\), e i reciproci dei valori diversi da zero appartengono esattamente a questo insieme.

Il reciproco di una funzione non va confuso con la sua funzione inversa: la secante non è l’arcocoseno e la cosecante non è l’arcoseno.

Interpretazione sulla circonferenza goniometrica

Consideriamo la retta \(t\) tangente alla circonferenza goniometrica nel punto \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Se \(t\) incontra l’asse delle ascisse in \(S\), la secante di \(\alpha\) è l’ascissa di \(S\). Se \(t\) incontra l’asse delle ordinate in \(C\), la cosecante di \(\alpha\) è l’ordinata di \(C\).

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Per ricavare queste coordinate, osserviamo che la retta tangente in \(P\) è perpendicolare al raggio \(\mathcal{O}P\). La sua equazione è:

\[x\cos\alpha+y\sin\alpha=1.\]

Infatti il punto \(P\) soddisfa l’equazione, perché \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\), e il vettore \((\cos\alpha,\sin\alpha)\), diretto come il raggio, è perpendicolare alla retta.

Per trovare \(S\), poniamo \(y=0\). Se \(\cos\alpha\ne 0\), otteniamo \(x=\displaystyle\frac{1}{\cos\alpha}\), quindi:

\[S=(\sec\alpha,0).\]

Per trovare \(C\), poniamo \(x=0\). Se \(\sin\alpha\ne 0\), otteniamo \(y=\displaystyle\frac{1}{\sin\alpha}\), quindi:

\[C=(0,\csc\alpha).\]

Le coordinate conservano il segno: \(S\) si trova sul semiasse positivo o negativo delle ascisse secondo il segno del coseno, mentre \(C\) si trova sul semiasse positivo o negativo delle ordinate secondo il segno del seno. Le lunghezze dei segmenti sono invece \(\mathcal{O}S=|\sec\alpha|\) e \(\mathcal{O}C=|\csc\alpha|\).

Se \(\cos\alpha=0\), la tangente \(t\) è una delle rette \(y=1\) o \(y=-1\), parallele all’asse delle ascisse: il punto \(S\) non esiste. Se \(\sin\alpha=0\), la tangente è una delle rette \(x=1\) o \(x=-1\), parallele all’asse delle ordinate: il punto \(C\) non esiste.

Secante e cosecante nel triangolo rettangolo

Sia \(\alpha\) un angolo acuto di un triangolo rettangolo. Indichiamo con \(a\) la lunghezza del cateto opposto ad \(\alpha\), con \(b\) quella del cateto adiacente e con \(c\) quella dell’ipotenusa. Poiché \(\cos\alpha=\displaystyle\frac bc\) e \(\sin\alpha=\displaystyle\frac ac\), si ha:

\[\sec\alpha=\frac{1}{\frac bc}=\frac cb,\qquad \csc\alpha=\frac{1}{\frac ac}=\frac ca.\]

La secante è il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto adiacente; la cosecante è il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto opposto. Questi rapporti dipendono soltanto dall’angolo \(\alpha\), poiché triangoli rettangoli con lo stesso angolo acuto sono simili.

Per un angolo acuto entrambi i rapporti sono strettamente maggiori di \(1\), perché l’ipotenusa è più lunga di ciascun cateto.

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Relazioni con tangente e cotangente

Dividendo l’identità \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) per \(\cos^2\alpha\), quando \(\cos\alpha\ne 0\), otteniamo:

\[1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha.\]

Dividendo invece per \(\sin^2\alpha\), quando \(\sin\alpha\ne 0\), otteniamo:

\[1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha.\]

Queste identità valgono per ogni angolo per cui le rispettive espressioni sono definite. Se si ricava la secante dal suo quadrato, si sceglie il segno del coseno. Se si ricava la cosecante dal suo quadrato, si sceglie il segno del seno.

Segni nei quattro quadranti

Un numero reale diverso da zero e il suo reciproco hanno lo stesso segno. La secante ha quindi lo stesso segno del coseno, mentre la cosecante ha lo stesso segno del seno.

Sugli assi bisogna verificare separatamente se il denominatore è zero: la tabella descrive soltanto gli angoli il cui lato finale si trova all’interno di un quadrante.

Periodicità e angoli opposti

Periodo fondamentale

Dopo un giro completo, il punto associato all’angolo sulla circonferenza goniometrica torna nella stessa posizione. Seno e coseno, e quindi i loro reciproci quando definiti, restano invariati. Per ogni \(k\in\mathbb Z\), nei rispettivi domini, valgono le identità:

\[\sec(\alpha+2k\pi)=\sec\alpha,\qquad \csc(\alpha+2k\pi)=\csc\alpha.\]

Il periodo fondamentale di entrambe le funzioni è \(2\pi\). Infatti, se \(p>0\) è un periodo della secante, allora \(\sec p=\sec 0=1\), da cui \(\cos p=1\) e quindi \(p=2k\pi\). Se \(p>0\) è un periodo della cosecante, allora \(\csc\left(\displaystyle\frac\pi2+p\right)=\csc\left(\displaystyle\frac\pi2\right)=1\), da cui \(\sin\left(\displaystyle\frac\pi2+p\right)=1\) e ancora \(p=2k\pi\). Il più piccolo periodo positivo è dunque \(2\pi\).

Aggiungere soltanto \(\pi\) cambia invece il segno del seno e del coseno e quindi anche dei loro reciproci:

\[\sec(\alpha+\pi)=-\sec\alpha,\qquad \csc(\alpha+\pi)=-\csc\alpha.\]

Poiché secante e cosecante non si annullano mai, i valori ottenuti dopo mezzo giro sono diversi da quelli di partenza: \(\pi\) non è un periodo di queste funzioni.

Angoli opposti

Passando da \(\alpha\) a \(-\alpha\), il coseno resta invariato e il seno cambia segno. Di conseguenza, nei rispettivi domini:

\[\sec(-\alpha)=\sec\alpha,\qquad \csc(-\alpha)=-\csc\alpha.\]

La secante è quindi una funzione pari, mentre la cosecante è una funzione dispari.

Valori degli angoli notevoli

I valori notevoli si ricavano prendendo i reciproci dei corrispondenti valori di coseno e seno, quando sono diversi da zero. Per esempio, poiché \(\cos\left(\displaystyle\frac\pi6\right)=\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\) e \(\sin\left(\displaystyle\frac\pi6\right)=\displaystyle\frac12\), si ottiene:

\[\sec\left(\frac\pi6\right)=\frac{1}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad \csc\left(\frac\pi6\right)=\frac{1}{\frac12}=2.\]

La dicitura «non definita» indica che il denominatore è zero. Non si assegna alla funzione il valore \(\infty\) in corrispondenza di questi angoli.

Esempi di calcolo

Secante e cosecante di un angolo nel secondo quadrante

Per \(\alpha=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\), il coseno vale \(-\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\) e il seno vale \(\displaystyle\frac12\). Pertanto:

\[\sec\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{-\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{2\sqrt3}{3},\qquad \csc\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\frac12}=2.\]

La secante è negativa e la cosecante è positiva, in accordo con i segni del secondo quadrante.

Cosecante di un angolo negativo

Per calcolare \(\csc\left(-\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right)\), aggiungiamo \(2\pi\), che è il periodo fondamentale:

\[\csc\left(-\frac{7\pi}{4}\right)=\csc\left(-\frac{7\pi}{4}+2\pi\right)=\csc\left(\frac\pi4\right)=\sqrt2.\]

Angoli per cui una delle due funzioni non è definita

Per \(\alpha=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) il coseno vale \(0\) e il seno vale \(-1\). La secante non è definita, mentre:

\[\csc\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{1}{-1}=-1.\]

Per \(\alpha=\pi\), invece, il seno vale \(0\) e il coseno vale \(-1\). La cosecante non è definita e \(\sec\pi=-1\).

Secante e cosecante ricavate dal seno e dal quadrante

Supponiamo che \(\sin\alpha=\displaystyle\frac35\) e che il lato finale di \(\alpha\) si trovi nel secondo quadrante. Dall’identità \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) si ricava \(\cos^2\alpha=\displaystyle\frac{16}{25}\). Nel secondo quadrante il coseno è negativo, quindi \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac45\). Pertanto:

\[\sec\alpha=\frac{1}{-\frac45}=-\frac54,\qquad \csc\alpha=\frac{1}{\frac35}=\frac53.\]

I segni concordano con il quadrante e i valori assoluti sono maggiori di \(1\), come previsto.

Secante ricavata dalla tangente

Supponiamo che \(\tan\alpha=\displaystyle\frac34\) e che il lato finale di \(\alpha\) si trovi nel terzo quadrante. Dall’identità \(\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha\) otteniamo:

\[\sec^2\alpha=1+\frac9{16}=\frac{25}{16}.\]

Nel terzo quadrante il coseno, e quindi la secante, è negativo. Scegliamo perciò la radice negativa:

\[\sec\alpha=-\sqrt{\frac{25}{16}}=-\frac54.\]

Il solo valore della tangente non sarebbe sufficiente a scegliere il segno: una tangente positiva può corrispondere al primo o al terzo quadrante.

Riepilogo

• La secante è \(\sec\alpha=\displaystyle\frac1{\cos\alpha}\) ed è definita per tutti gli angoli diversi da \(\displaystyle\frac\pi2+k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
• La cosecante è \(\csc\alpha=\displaystyle\frac1{\sin\alpha}\) ed è definita per tutti gli angoli diversi da \(k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
• La tangente alla circonferenza goniometrica nel punto associato all’angolo incontra, quando le intersezioni esistono, l’asse delle ascisse in \((\sec\alpha,0)\) e l’asse delle ordinate in \((0,\csc\alpha)\).
• Nel triangolo rettangolo, la secante di un angolo acuto è il rapporto tra ipotenusa e cateto adiacente; la cosecante è il rapporto tra ipotenusa e cateto opposto.
• La secante ha lo stesso segno del coseno e la cosecante ha lo stesso segno del seno. Nessuna delle due si annulla; entrambe hanno valore assoluto maggiore o uguale a \(1\).
• Entrambe hanno periodo fondamentale \(2\pi\). La secante è pari e la cosecante è dispari.
• Nei rispettivi domini valgono le identità \(\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha\) e \(\csc^2\alpha=1+\cot^2\alpha\).