Il radiante è un’unità di misura degli angoli fondata sul rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza e il raggio. A differenza del grado, che si ottiene dividendo il giro completo in \(360\) parti uguali, il radiante collega direttamente la misura dell’angolo alla geometria della circonferenza.
Esprimere un angolo in gradi oppure in radianti non modifica la rotazione rappresentata: cambia soltanto il numero utilizzato per misurarla. La relazione fondamentale tra le due unità è \(180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}\), dalla quale si ricavano tutte le formule di conversione.
Indice
- Lunghezza di un arco e ampiezza di un angolo
- Definizione di radiante
- Il giro completo e gli angoli principali
- Angoli orientati e misura in radianti
- Conversione da gradi a radianti
- Conversione da radianti a gradi
- Lunghezza di un arco e area di un settore circolare
- Esempi svolti
- Riepilogo
Lunghezza di un arco e ampiezza di un angolo
Consideriamo una circonferenza di centro \(O\) e raggio \(r>0\). Fissiamo due semirette con origine in \(O\) e consideriamo una rotazione antioraria, inferiore a un giro completo, dalla prima alla seconda. Indichiamo con \(\alpha\) l’angolo orientato così descritto e con \(s\) la lunghezza dell’arco percorso sulla circonferenza.
A parità di raggio, la lunghezza dell’arco è direttamente proporzionale all’ampiezza dell’angolo al centro: raddoppiando l’ampiezza raddoppia la lunghezza dell’arco, purché si consideri l’intero percorso della rotazione.
Se invece manteniamo invariata l’ampiezza dell’angolo e moltiplichiamo il raggio per un fattore positivo, anche la lunghezza dell’arco viene moltiplicata per lo stesso fattore. Rimane quindi invariato il rapporto:
\[ \frac{s}{r}. \]
Nella figura, le stesse due semirette individuano gli archi corrispondenti all’angolo \(\alpha\) su due circonferenze concentriche. Indichiamo con \(r_1\) e \(r_2\) i rispettivi raggi e con \(s_1\) e \(s_2\) le lunghezze degli archi. Per quanto osservato:
\[ \frac{s_1}{r_1}=\frac{s_2}{r_2}. \]
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Il rapporto dipende dunque soltanto dall’ampiezza dell’angolo, non dal raggio della circonferenza scelta. Questa proprietà permette di utilizzarlo per definire la misura in radianti.
Definizione di radiante
Per costruire l’unità di misura, scegliamo un arco la cui lunghezza sia uguale al raggio della circonferenza.
Definizione. Un radiante è l’ampiezza di un angolo al centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza.
Il simbolo dell’unità è \(\mathrm{rad}\). Se l’arco ha lunghezza \(s=r\), il rapporto tra arco e raggio è:
\[ \frac{s}{r}=1. \]
L’angolo misura quindi \(1\,\mathrm{rad}\). Più in generale, indichiamo con \(\theta\) il valore numerico della misura in radianti dell’angolo \(\alpha\) introdotto nella sezione precedente. Se \(s\) è la lunghezza dell’arco corrispondente e \(r\) il raggio della circonferenza, si ha:
\[ \theta=\frac{s}{r}. \]
Per calcolare il rapporto, arco e raggio devono essere espressi nella stessa unità di lunghezza.
Per esempio, se una circonferenza ha raggio \(4\,\mathrm{cm}\) e l’arco considerato è lungo \(6\,\mathrm{cm}\), otteniamo:
\[ \theta=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}. \]
L’angolo misura dunque \(\displaystyle \frac{3}{2}\,\mathrm{rad}\).
Il rapporto tra due lunghezze espresse nella stessa unità è un numero puro. Il simbolo \(\mathrm{rad}\) serve comunque a rendere esplicito che quel numero rappresenta una misura angolare.
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Il caso della circonferenza goniometrica
Sulla circonferenza goniometrica il raggio è unitario. Pertanto:
\[ \theta=\frac{s}{1}=s. \]
La misura in radianti di un angolo positivo coincide quindi numericamente con la lunghezza dell’arco corrispondente, espressa nell’unità di lunghezza scelta.
Questa coincidenza numerica non deve confondere le due grandezze: l’angolo e la lunghezza dell’arco restano concetti distinti. È il raggio uguale a \(1\) a rendere uguali i loro valori numerici.
Il giro completo e gli angoli principali
La lunghezza di una circonferenza di raggio \(r\) è \(2\pi r\). Durante un giro completo il punto percorre tutta la circonferenza, quindi la misura della rotazione in radianti è:
\[ \theta=\frac{2\pi r}{r}=2\pi. \]
Otteniamo così la corrispondenza:
\[ 360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}. \]
Dividendo per \(2\), ricaviamo la relazione fondamentale:
\[ 180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}. \]
Un mezzo giro misura dunque \(\pi\,\mathrm{rad}\), un quarto di giro misura \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\) e tre quarti di giro misurano \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\,\mathrm{rad}\).
| Rotazione | Misura in gradi | Misura in radianti |
|---|---|---|
| Rotazione nulla | \(0^\circ\) | \(0\) |
| Un quarto di giro | \(90^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) |
| Mezzo giro | \(180^\circ\) | \(\pi\) |
| Tre quarti di giro | \(270^\circ\) | \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) |
| Un giro completo | \(360^\circ\) | \(2\pi\) |
Quando il contesto chiarisce che si stanno utilizzando i radianti, il simbolo \(\mathrm{rad}\) viene normalmente omesso. Per esempio, si scrive «un angolo di \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)» intendendo una misura in radianti. Il simbolo del grado, invece, deve essere mantenuto quando la misura è espressa in gradi.
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Quanto vale un radiante in gradi?
Dalla relazione \(180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}\) segue:
\[ 1\,\mathrm{rad} =\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx57{,}2958^\circ. \]
Un radiante è quindi leggermente minore di \(60^\circ\).
Errore comune. La relazione \(180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}\) esprime la stessa ampiezza in due unità diverse: la misura numerica è \(180\) in gradi e \(\pi\) in radianti. Non significa che il numero \(\pi\) sia uguale a \(180\). La scrittura «un angolo di \(\pi\)» è invece corretta quando la misura in radianti è sottintesa.
Angoli orientati e misura in radianti
La misura in radianti si estende agli angoli orientati mantenendo la stessa convenzione utilizzata per i gradi: le rotazioni antiorarie hanno misura positiva, quelle orarie hanno misura negativa.
Una rotazione oraria di un quarto di giro misura quindi \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\), mentre una rotazione antioraria di un giro completo e un ulteriore mezzo giro misura \(3\pi\).
Per una rotazione orientata qualsiasi, la lunghezza complessiva del percorso sulla circonferenza è:
\[ s=r|\theta|, \]
dove \(\theta\) è la misura in radianti. Il valore assoluto è necessario perché una lunghezza non può essere negativa. Il segno di \(\theta\) descrive il verso della rotazione.
Se la rotazione comprende più giri, il percorso può attraversare più volte gli stessi punti: \(s\) indica allora la lunghezza complessivamente percorsa, contando ogni passaggio.
Misure che individuano lo stesso punto
Un giro completo misura \(2\pi\). Di conseguenza, aggiungere o sottrarre un multiplo intero di \(2\pi\) lascia invariato il punto associato sulla circonferenza goniometrica.
Due misure in radianti \(\theta\) e \(\varphi\) individuano lo stesso punto se e solo se:
\[ \theta-\varphi=2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Per esempio:
\[ \frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{7\pi}{3}. \]
Gli angoli di misura \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) e \(\displaystyle \frac{7\pi}{3}\) hanno lo stesso punto associato, ma rappresentano rotazioni di ampiezza diversa.
Anche \(\displaystyle -\frac{5\pi}{3}\) individua quel punto, perché:
\[ -\frac{5\pi}{3}+2\pi=\frac{\pi}{3}. \]
La riduzione al primo giro consiste nello scegliere l’unica misura equivalente appartenente all’intervallo:
\[ 0\leq\varphi<2\pi. \]
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Conversione da gradi a radianti
La conversione si fonda sulla corrispondenza tra \(180^\circ\) e \(\pi\,\mathrm{rad}\). Un grado corrisponde quindi a \(\displaystyle \frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad}\).
Se \(d\) è il valore numerico della misura in gradi e \(\theta\) quello della misura in radianti, si ha:
\[ \theta=d\cdot\frac{\pi}{180}. \]
Per passare dai gradi ai radianti si moltiplica dunque il numero dei gradi per \(\displaystyle \frac{\pi}{180}\).
Per esempio:
\[ 120^\circ = \left(120\cdot\frac{\pi}{180}\right)\mathrm{rad} = \frac{2\pi}{3}\,\mathrm{rad}. \]
È preferibile semplificare la frazione e mantenere \(\pi\) nella forma esatta. Un’approssimazione decimale si introduce soltanto quando è richiesta o utile per il calcolo.
La stessa formula vale per misure negative o maggiori di \(360^\circ\). Non è necessario ridurre prima l’angolo al primo giro: la conversione deve conservare l’intera rotazione.
Per esempio:
\[ 450^\circ = \left(450\cdot\frac{\pi}{180}\right)\mathrm{rad} = \frac{5\pi}{2}\,\mathrm{rad}. \]
La misura \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}\) conserva il giro completo e l’ulteriore quarto di giro. Ridurla a \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) manterrebbe soltanto il punto finale.
Conversione da radianti a gradi
Per effettuare la conversione inversa utilizziamo il fatto che un radiante corrisponde a \(\displaystyle \frac{180}{\pi}\) gradi.
Se \(\theta\) è il valore numerico della misura in radianti, il valore numerico della misura in gradi è:
\[ d=\theta\cdot\frac{180}{\pi}. \]
Per esempio:
\[ \frac{5\pi}{6}\,\mathrm{rad} = \left(\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}\right)^\circ = 150^\circ. \]
Quando la misura in radianti contiene il fattore \(\pi\), questo si semplifica con quello presente al denominatore della formula.
Non tutte le misure in radianti, tuttavia, sono scritte come frazioni di \(\pi\). Per un angolo di \(2\,\mathrm{rad}\), per esempio, otteniamo:
\[ 2\,\mathrm{rad} = \left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ \approx114{,}5916^\circ. \]
L’espressione \(\displaystyle \left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ\) è esatta; il valore decimale è approssimato.
Possiamo esprimere il risultato anche in gradi, primi e secondi. Conservando più cifre durante il calcolo, otteniamo:
\[ \frac{360}{\pi}=114{,}591559\ldots. \]
La parte intera fornisce \(114^\circ\). Moltiplichiamo la parte decimale per \(60\) per ricavare i primi:
\[ \left(\frac{360}{\pi}-114\right)\cdot60=35{,}493541\ldots. \]
Otteniamo quindi \(35'\). Moltiplichiamo per \(60\) la parte decimale rimasta per ricavare i secondi:
\[ 0{,}493541\ldots\cdot60=29{,}612494\ldots. \]
Arrotondando al secondo più vicino:
\[ 2\,\mathrm{rad}\approx114^\circ35'30''. \]
Per evitare che gli arrotondamenti intermedi alterino il risultato, conviene conservare il valore completo nella calcolatrice e arrotondare soltanto alla fine.
Errore comune. I due fattori di conversione non vanno scambiati. Dai gradi ai radianti si moltiplica per \(\displaystyle \frac{\pi}{180}\); dai radianti ai gradi si moltiplica per \(\displaystyle \frac{180}{\pi}\). Per ricostruire la formula in caso di dubbio basta verificare che \(180^\circ\) corrisponda a \(\pi\,\mathrm{rad}\).
La modalità DEG e RAD della calcolatrice
Quando si utilizzano le funzioni goniometriche della calcolatrice, occorre verificare l’unità angolare impostata. In modalità DEG gli argomenti vengono interpretati come misure in gradi; in modalità RAD vengono interpretati come misure in radianti.
Per esempio, per calcolare il seno di \(30^\circ\) si inserisce \(30\) in modalità DEG; per lo stesso angolo si inserisce \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) in modalità RAD. Cambiare modalità non converte automaticamente un numero già scritto: per passare da una misura all’altra bisogna utilizzare le formule di conversione o l’apposita funzione della calcolatrice.
Le conversioni più utilizzate
La tabella raccoglie le corrispondenze tra gradi e radianti per gli angoli principali di un giro completo. Tutti i valori si ottengono applicando le formule di conversione.
| Gradi | Radianti |
|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) |
| \(45^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) |
| \(60^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) |
| \(120^\circ\) | \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) |
| \(135^\circ\) | \(\displaystyle \frac{3\pi}{4}\) |
| \(150^\circ\) | \(\displaystyle \frac{5\pi}{6}\) |
| \(180^\circ\) | \(\pi\) |
| \(210^\circ\) | \(\displaystyle \frac{7\pi}{6}\) |
| \(225^\circ\) | \(\displaystyle \frac{5\pi}{4}\) |
| \(240^\circ\) | \(\displaystyle \frac{4\pi}{3}\) |
| \(270^\circ\) | \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) |
| \(300^\circ\) | \(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\) |
| \(315^\circ\) | \(\displaystyle \frac{7\pi}{4}\) |
| \(330^\circ\) | \(\displaystyle \frac{11\pi}{6}\) |
| \(360^\circ\) | \(2\pi\) |
Lunghezza di un arco e area di un settore circolare
La misura in radianti rende particolarmente semplici alcune formule geometriche. Consideriamo una circonferenza di raggio \(r>0\) e una rotazione positiva di misura \(0<\theta\leq2\pi\). Per \(\theta<2\pi\) la rotazione individua un arco e il corrispondente settore circolare; per \(\theta=2\pi\), l’arco percorso è l’intera circonferenza e il settore coincide con il disco.
Dalla definizione \(\displaystyle \theta=\frac{s}{r}\) segue immediatamente la formula della lunghezza dell’arco:
\[ s=r\theta. \]
Per ricavare l’area del settore circolare, osserviamo che esso occupa la frazione \(\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}\) del disco. Poiché l’area del disco è \(\pi r^2\), indicando con \(S\) l’area del settore otteniamo:
\[ S=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2 =\frac{1}{2}r^2\theta. \]
Le due formule richiedono che \(\theta\) sia la misura in radianti. Se l’angolo è espresso in gradi, occorre prima convertirlo oppure utilizzare le formule corrispondenti in gradi.
Per esempio, con \(r=6\,\mathrm{cm}\) e \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}\), la lunghezza dell’arco è:
\[ s=6\cdot\frac{\pi}{3} =2\pi\,\mathrm{cm}, \]
mentre l’area del settore è:
\[ S=\frac{1}{2}\cdot6^2\cdot\frac{\pi}{3} =6\pi\,\mathrm{cm}^2. \]
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Esempi svolti
Negli esempi seguenti applichiamo le formule di conversione a misure positive, negative e maggiori di un giro. Distinguiamo inoltre la conversione di una misura dalla sua riduzione al primo giro.
Esempio 1: Convertire \(75^\circ\) in radianti.
Moltiplichiamo il numero dei gradi per \(\displaystyle \frac{\pi}{180}\):
\[ 75^\circ = \frac{75\pi}{180}\,\mathrm{rad}. \]
Semplificando numeratore e denominatore per \(15\), otteniamo:
\[ 75^\circ=\frac{5\pi}{12}\,\mathrm{rad}. \]
Il risultato è coerente con il fatto che \(75^\circ\) è compreso tra \(60^\circ\) e \(90^\circ\): la misura ottenuta è infatti compresa tra \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) e \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\).
Esempio 2: Convertire \(-225^\circ\) in radianti.
Applichiamo la formula mantenendo il segno negativo:
\[ -225^\circ = -\frac{225\pi}{180}\,\mathrm{rad} = -\frac{5\pi}{4}\,\mathrm{rad}. \]
La conversione è conclusa. Se vogliamo anche individuare il punto associato mediante una misura nel primo giro, aggiungiamo \(2\pi\):
\[ -\frac{5\pi}{4}+2\pi = \frac{3\pi}{4}. \]
La misura iniziale è \(\displaystyle -\frac{5\pi}{4}\); la sua riduzione al primo giro è \(\displaystyle \frac{3\pi}{4}\). Il punto associato si trova nel secondo quadrante.
Esempio 3: Convertire \(\displaystyle \frac{7\pi}{12}\,\mathrm{rad}\) in gradi.
Moltiplichiamo per \(\displaystyle \frac{180}{\pi}\):
\[ \frac{7\pi}{12}\,\mathrm{rad} = \left(\frac{7\pi}{12}\cdot\frac{180}{\pi}\right)^\circ. \]
Semplifichiamo \(\pi\) e calcoliamo \(\displaystyle \frac{180}{12}=15\):
\[ \frac{7\pi}{12}\,\mathrm{rad} = (7\cdot15)^\circ = 105^\circ. \]
Esempio 4: Convertire \(18^\circ22'30''\) in radianti.
Prima di applicare la formula, esprimiamo la misura come numero di gradi. Poiché un primo è un sessantesimo di grado e un secondo è un tremilaseicentesimo di grado:
\[ 18^\circ22'30'' = \left(18+\frac{22}{60}+\frac{30}{3600}\right)^\circ. \]
Riducendo allo stesso denominatore e semplificando:
\[ 18+\frac{22}{60}+\frac{30}{3600} = \frac{64800+1320+30}{3600} = \frac{66150}{3600} = \frac{147}{8}. \]
Pertanto:
\[ 18^\circ22'30'' = \left(\frac{147}{8}\cdot\frac{\pi}{180}\right)\mathrm{rad} = \frac{49\pi}{480}\,\mathrm{rad}. \]
La scrittura \(18^\circ22'30''\) non equivale a \(18{,}2230^\circ\): primi e secondi sono suddivisioni sessagesimali del grado.
Esempio 5: Determinare la misura di una rotazione dalla lunghezza percorsa.
Un punto si muove in senso orario lungo una circonferenza di raggio \(5\,\mathrm{cm}\), percorrendo complessivamente \(12\,\mathrm{cm}\).
Il rapporto tra lunghezza percorsa e raggio fornisce il valore assoluto della misura in radianti:
\[ |\theta|=\frac{12}{5}. \]
Poiché il verso è orario:
\[ \theta=-\frac{12}{5}. \]
La rotazione misura dunque \(\displaystyle -\frac{12}{5}\,\mathrm{rad}\). Convertendo in gradi:
\[ -\frac{12}{5}\,\mathrm{rad} = -\left(\frac{432}{\pi}\right)^\circ \approx-137{,}51^\circ. \]
Riepilogo
Per una rotazione positiva, la misura in radianti è il rapporto tra la lunghezza del percorso sulla circonferenza e il raggio. Un arco lungo quanto il raggio corrisponde a un angolo di un radiante; un giro completo in senso antiorario misura \(2\pi\) radianti. Per le rotazioni orarie, la misura assume segno negativo.
La relazione da cui ricavare le conversioni è:
\[ 180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}. \]
Indicando con \(d\) il valore numerico della misura in gradi e con \(\theta\) quello della misura in radianti:
\[ \theta=d\frac{\pi}{180}, \qquad d=\theta\frac{180}{\pi}. \]
Il segno e il numero dei giri vengono conservati durante la conversione. Ridurre una misura al primo giro è un’operazione distinta, che serve a individuare lo stesso punto finale mediante un rappresentante nell’intervallo \(0\leq\theta<2\pi\).
Per una rotazione positiva non superiore a un giro, la lunghezza dell’arco e l’area del settore sono:
\[ s=r\theta, \qquad S=\frac{1}{2}r^2\theta, \]
con \(\theta\) espresso in radianti. Per una rotazione orientata qualsiasi, la lunghezza complessivamente percorsa è invece \(s=r|\theta|\).