Una semiretta ruota nel piano attorno alla propria origine e raggiunge una nuova posizione. Per descrivere la rotazione non basta osservare dove si è fermata: occorre conoscere il verso e l’ampiezza del movimento. La stessa posizione finale può infatti essere raggiunta attraverso rotazioni diverse, anche dopo uno o più giri completi.
Il concetto di angolo orientato permette di descrivere queste informazioni mediante una misura con segno. In questa prospettiva acquistano significato sia gli angoli negativi, come \(-60^\circ\), sia quelli maggiori di un giro, come \(420^\circ\).
Indice
Dall’angolo geometrico all’angolo orientato
Angoli positivi, negativi e nulli
La misura in gradi
Rotazioni oltre il giro completo
Angoli con lo stesso lato finale
La riduzione al primo giro
Gradi, primi e secondi
Conversioni tra gradi decimali e forma sessagesimale
Somma e differenza di misure angolari
Riepilogo
Dall’angolo geometrico all’angolo orientato
Nella geometria elementare un angolo viene descritto come una delle due regioni del piano delimitate da due semirette con la stessa origine. Questa descrizione permette di studiarne l’ampiezza, ma non contiene alcuna informazione su un eventuale movimento.
In goniometria adottiamo invece un punto di vista dinamico. Consideriamo una semiretta che ruota nel piano attorno alla propria origine \(O\): la posizione da cui parte è il lato iniziale, quella in cui si arresta è il lato finale. Il punto \(O\), che rimane fisso durante la rotazione, è il vertice.
In questa pagina consideriamo inizialmente rotazioni compiute in un solo verso, senza inversioni durante il movimento. Un angolo orientato descrive una di queste rotazioni, tenendo conto del verso, dell’ampiezza percorsa e degli eventuali giri completi. Più avanti esamineremo anche la composizione di rotazioni successive, che possono avere versi diversi.
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La figura mostra come si passa dalla posizione iniziale a quella finale. Tuttavia, le due semirette da sole non determinano l’intera rotazione: possiamo raggiungere lo stesso lato finale ruotando nel verso indicato, ruotando nel verso opposto oppure aggiungendo uno o più giri completi. È proprio questa ambiguità a rendere necessario il concetto di angolo orientato.
Angoli positivi, negativi e nulli
Nel piano distinguiamo due versi di rotazione: il senso antiorario, opposto a quello delle lancette di un orologio, e il senso orario, concorde con il loro movimento. Per tradurre questa distinzione in una misura si adotta una convenzione: alle rotazioni antiorarie si attribuisce segno positivo, a quelle orarie segno negativo.
Una misura di \(60^\circ\) indica quindi una rotazione antioraria di sessanta gradi; una misura di \(-60^\circ\) indica una rotazione oraria della stessa ampiezza. Il segno positivo viene normalmente omesso.
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Per una rotazione compiuta senza cambiare verso, il valore assoluto della misura esprime l’ampiezza percorsa, mentre il segno indica il verso. Le misure \(60^\circ\) e \(-60^\circ\) descrivono dunque rotazioni di uguale ampiezza, compiute in versi opposti.
Se la semiretta rimane nella posizione iniziale senza compiere alcuna rotazione, si ottiene l’angolo nullo, di misura \(0^\circ\). Occorre distinguerlo da una rotazione completa: anche dopo un giro la semiretta torna nella posizione iniziale, ma il movimento compiuto è diverso.
La misura in gradi
Per misurare una rotazione occorre scegliere un’unità di misura. Il grado sessagesimale, indicato con il simbolo \(^{\circ}\), corrisponde alla trecentosessantesima parte di un giro completo. Un giro in senso antiorario misura pertanto \(360^\circ\), mentre un giro in senso orario misura \(-360^\circ\).
Da questa scelta derivano le misure di riferimento più comuni: un quarto di giro corrisponde a \(90^\circ\), mezzo giro a \(180^\circ\) e tre quarti di giro a \(270^\circ\).
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Considerando le ampiezze geometriche non orientate, un angolo di ampiezza \(90^\circ\) si dice retto, uno di ampiezza \(180^\circ\) piatto e uno di ampiezza \(360^\circ\) angolo giro. Un angolo è inoltre acuto se la sua ampiezza è compresa strettamente tra \(0^\circ\) e \(90^\circ\), ottuso se è compresa strettamente tra \(90^\circ\) e \(180^\circ\).
La misura in gradi non deve essere necessariamente intera. Per esempio, \(12{,}5^\circ\) indica una rotazione antioraria di dodici gradi e mezzo; \(-12{,}5^\circ\) indica la corrispondente rotazione oraria.
Esempio 1. Qual è la misura di una rotazione antioraria pari a cinque ottavi di giro?
Poiché un giro completo misura \(360^\circ\), un ottavo di giro misura \(360^\circ:8=45^\circ\). Cinque ottavi corrispondono quindi a:
\[ \frac{5}{8}\cdot360^\circ=5\cdot45^\circ=225^\circ. \]
La rotazione supera mezzo giro di \(45^\circ\). Se fosse compiuta in senso orario, la sua misura sarebbe \(-225^\circ\).
Esempio 2. Quale frazione di giro corrisponde a una rotazione antioraria di \(72^\circ\)?
Confrontiamo la misura assegnata con quella di un giro completo:
\[ \frac{72^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{5}. \]
La rotazione corrisponde a un quinto di giro. Il rapporto è un numero privo di unità, perché confronta due misure espresse nella stessa unità.
Rotazioni oltre il giro completo
Il ritorno nella posizione iniziale non impone alla semiretta di fermarsi. Una rotazione può proseguire oltre il primo giro e la sua misura può quindi superare \(360^\circ\) in valore assoluto.
Consideriamo \(420^\circ\). La scomposizione
\[ 420^\circ=360^\circ+60^\circ \]
descrive un giro completo in senso antiorario, seguito da altri \(60^\circ\). Il lato finale è lo stesso che si raggiunge ruotando soltanto di \(60^\circ\), ma la rotazione complessiva comprende un giro in più.
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Lo stesso ragionamento vale per più giri e per il verso orario. La misura \(780^\circ=2\cdot360^\circ+60^\circ\) descrive due giri antiorari seguiti da altri \(60^\circ\); la misura \(-420^\circ=-360^\circ-60^\circ\) descrive invece un giro orario seguito da altri \(60^\circ\) nello stesso verso.
La posizione del lato finale non determina la misura complessiva della rotazione. Questa osservazione sarà essenziale per comprendere la periodicità delle funzioni goniometriche.
Angoli con lo stesso lato finale
Fissiamo un vertice e un lato iniziale. Aggiungere o sottrarre un giro completo a una rotazione non cambia la posizione del lato finale. Per esempio, le misure \(60^\circ\), \(420^\circ\) e \(-300^\circ\) conducono tutte alla stessa semiretta.
La rotazione di \(60^\circ\) la raggiunge direttamente in senso antiorario; quella di \(420^\circ\) compie prima un giro completo; quella di \(-300^\circ\) la raggiunge procedendo in senso orario.
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Le tre misure sono legate dalle uguaglianze:
\[ 420^\circ=60^\circ+360^\circ, \qquad -300^\circ=60^\circ-360^\circ. \]
In generale, fissati il vertice e il lato iniziale, due angoli hanno lo stesso lato finale se e solo se le loro misure differiscono di un multiplo intero di \(360^\circ\). Indicando le misure con \(\alpha\) e \(\beta\), la condizione si scrive:
\[ \alpha-\beta=k\cdot360^\circ, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Se la differenza è un multiplo intero di \(360^\circ\), le due rotazioni differiscono soltanto per giri completi e raggiungono quindi lo stesso lato finale. Viceversa, supponiamo che le due rotazioni conducano allo stesso lato finale. Componendo la prima con la rotazione inversa della seconda, la semiretta torna nella posizione iniziale: lo spostamento angolare risultante misura \(\alpha-\beta\). Separiamo da questo spostamento gli eventuali giri completi. Se rimanesse una rotazione di ampiezza strettamente compresa tra \(0^\circ\) e \(360^\circ\), la semiretta non tornerebbe nella posizione iniziale. Il resto deve dunque essere nullo e \(\alpha-\beta\) è un multiplo intero di \(360^\circ\).
Si dice allora che le misure sono congruenti modulo \(360^\circ\) e si scrive:
\[ \alpha\equiv\beta\pmod{360^\circ}. \]
La congruenza esprime la coincidenza del lato finale, senza affermare l’uguaglianza delle misure. Pertanto:
\[ 420^\circ\neq60^\circ, \qquad 420^\circ\equiv60^\circ\pmod{360^\circ}. \]
Errore da evitare. Una differenza di \(180^\circ\) non riporta alla stessa semiretta: conduce alla semiretta opposta. Per ritrovare lo stesso lato finale è necessario che la differenza sia un multiplo intero di \(360^\circ\).
La riduzione al primo giro
Quando interessa soltanto la posizione del lato finale, possiamo sostituire una misura con quella congruente compresa tra \(0^\circ\) incluso e \(360^\circ\) escluso. Questa operazione prende il nome di riduzione al primo giro.
Per ogni misura \(\alpha\) esistono un unico intero \(k\) e un’unica misura \(\beta\) tali che:
\[ \alpha=k\cdot360^\circ+\beta, \qquad 0^\circ\leq\beta<360^\circ. \]
Per trovare \(\beta\) si aggiungono o si sottraggono giri completi fino a raggiungere l’intervallo richiesto; l’intero \(k\) è il massimo intero minore o uguale al rapporto \(\alpha/360^\circ\). In simboli:
\[ k=\left\lfloor\frac{\alpha}{360^\circ}\right\rfloor, \qquad \beta=\alpha-k\cdot360^\circ. \]
Per i rapporti negativi questa operazione non coincide, in generale, con l’eliminazione della parte decimale: per esempio, \(\left\lfloor-2{,}5\right\rfloor=-3\).
La misura ottenuta è unica. Se \(\beta_1\) e \(\beta_2\) appartengono all’intervallo \([0^\circ,360^\circ)\) e differiscono di un multiplo intero di un giro, cioè \(\beta_1-\beta_2=h\cdot360^\circ\) con \(h\in\mathbb{Z}\), allora \(|\beta_1-\beta_2|<360^\circ\) implica \(|h|\cdot360^\circ<360^\circ\), quindi \(h=0\) e \(\beta_1=\beta_2\).
Esempio 3. Determiniamo la misura compresa nel primo giro che ha lo stesso lato finale di \(1110^\circ\).
Tre giri completi misurano \(3\cdot360^\circ=1080^\circ\). Sottraendoli dalla misura assegnata rimangono:
\[ 1110^\circ-1080^\circ=30^\circ. \]
Poiché \(30^\circ\) appartiene all’intervallo richiesto, la riduzione è conclusa. La scomposizione
\[ 1110^\circ=3\cdot360^\circ+30^\circ \]
mostra che la rotazione originaria comprende tre giri completi e altri \(30^\circ\). Eliminando i giri completi si conserva il lato finale.
Esempio 4. Riduciamo al primo giro la misura \(-750^\circ\).
Aggiungendo due giri completi otteniamo \(-750^\circ+720^\circ=-30^\circ\). Questa misura individua già lo stesso lato finale, ma è ancora negativa. Aggiungiamo quindi un altro giro:
\[ -30^\circ+360^\circ=330^\circ. \]
La misura ridotta è \(330^\circ\), come conferma la relazione:
\[ -750^\circ=-3\cdot360^\circ+330^\circ. \]
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Nella scomposizione precedente, il coefficiente \(-3\) serve a ottenere un resto non negativo. Non va interpretato come il numero di giri completi effettivamente percorsi nella rotazione oraria originaria: \(-750^\circ=-720^\circ-30^\circ\) descrive due giri orari seguiti da altri \(30^\circ\) nello stesso verso.
Esempio 5. Qual è la misura ridotta di \(-720^\circ\)?
Aggiungendo due giri completi si ottiene:
\[ -720^\circ+2\cdot360^\circ=0^\circ. \]
Il rappresentante scelto è dunque \(0^\circ\). L’estremo \(360^\circ\) viene escluso dall’intervallo per evitare che la stessa posizione sia rappresentata sia da \(0^\circ\) sia da \(360^\circ\).
La riduzione conserva la posizione finale, ma perde l’informazione sulla rotazione complessiva: una misura ridotta di \(0^\circ\) può provenire dall’assenza di movimento oppure da un qualsiasi numero intero di giri completi.
Gradi, primi e secondi
Finora abbiamo espresso le frazioni di grado mediante numeri decimali. Esiste anche una scrittura basata su suddivisioni successive in sessantesimi: ogni grado si divide in \(60\) primi d’arco e ogni primo in \(60\) secondi d’arco.
Le relazioni fondamentali sono:
\[ 1^\circ=60', \qquad 1'=60'', \qquad 1^\circ=3600''. \]
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La scrittura \(28^\circ15'36''\) si legge «ventotto gradi, quindici primi e trentasei secondi» e rappresenta la somma \(28^\circ+15'+36''\).
Nella forma sessagesimale normalizzata di una misura non negativa, i gradi sono un numero intero non negativo, i primi sono un numero intero compreso tra \(0\) e \(59\) e i secondi sono un numero compreso tra \(0\) incluso e \(60\) escluso. Soltanto i secondi possono avere una parte decimale; le frazioni di primo si esprimono infatti in secondi.
Se i secondi raggiungono \(60\), si effettua un riporto ai primi; se i primi raggiungono \(60\), si effettua un riporto ai gradi.
Esempio 6. Scriviamo in forma normalizzata \(17^\circ68'75''\).
Iniziamo dai secondi: \(75''=60''+15''=1'15''\). Il primo ottenuto si aggiunge ai \(68'\) già presenti:
\[ 17^\circ68'75''=17^\circ69'15''. \]
Ora trasformiamo \(69'\) in \(1^\circ9'\) e aggiungiamo il grado ottenuto ai \(17^\circ\):
\[ 17^\circ69'15''=18^\circ9'15''. \]
La misura è ora normalizzata, perché primi e secondi sono entrambi minori di \(60\). I riporti hanno modificato la scrittura, conservando la stessa misura.
Attenzione. Primi e secondi d’arco sono unità di misura degli angoli. Vanno distinti dai minuti e dai secondi di tempo, anche se entrambe le suddivisioni utilizzano la base \(60\).
Conversioni tra gradi decimali e forma sessagesimale
La scrittura in gradi decimali e quella in gradi, primi e secondi esprimono la stessa misura angolare. Per passare dall’una all’altra occorre distinguere le suddivisioni utilizzate: la parte decimale esprime una frazione di grado in base dieci, mentre primi e secondi derivano da suddivisioni successive in sessantesimi.
Da gradi, primi e secondi a gradi decimali
Poiché un primo è la sessantesima parte di un grado e un secondo è la tremilaseicentesima parte di un grado, si ha:
\[ 1'=\frac{1}{60}\cdot1^\circ, \qquad 1''=\frac{1}{3600}\cdot1^\circ. \]
Per convertire una misura non negativa si esprimono quindi tutte le componenti in gradi e si sommano i contributi:
\[ d^\circ+m'+s'' = \left(d+\frac{m}{60}+\frac{s}{3600}\right)\cdot1^\circ. \]
Esempio 7. Esprimiamo \(32^\circ24'36''\) in gradi decimali.
I \(24'\) corrispondono a \(\displaystyle \frac{24}{60}=0{,}4\) gradi; i \(36''\) corrispondono a \(\displaystyle \frac{36}{3600}=0{,}01\) gradi. Pertanto:
\[ 32^\circ24'36'' = (32+0{,}4+0{,}01)\cdot1^\circ = 32{,}41^\circ. \]
Da gradi decimali a gradi, primi e secondi
Per una misura non negativa, la parte intera fornisce i gradi. Si moltiplica poi la parte decimale per \(60\): la parte intera del risultato fornisce i primi. Infine, si moltiplica per \(60\) l’eventuale parte decimale residua per ottenere i secondi.
Esempio 8. Esprimiamo \(18{,}375^\circ\) in forma sessagesimale.
Separiamo i gradi interi dalla parte decimale:
\[ 18{,}375^\circ=18^\circ+0{,}375^\circ. \]
Per convertire la parte residua in primi moltiplichiamo per \(60\):
\[ 0{,}375\cdot60=22{,}5. \]
Abbiamo quindi \(22'\) e una parte residua di \(0{,}5'\). Quest’ultima corrisponde a \(0{,}5\cdot60=30\) secondi. Concludiamo che:
\[ 18{,}375^\circ=18^\circ22'30''. \]
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Se i secondi ottenuti non sono interi, se ne può conservare la parte decimale oppure arrotondare alla precisione richiesta. Se l’arrotondamento produce \(60''\), occorre riportare un primo, effettuando eventualmente anche il successivo riporto ai gradi.
Come trattare le misure negative
Per una misura negativa si converte prima il valore assoluto e si applica poi il segno meno all’intera misura ottenuta. Per esempio, da \(12{,}75^\circ=12^\circ45'\) segue:
\[ -12{,}75^\circ=-\left(12^\circ45'\right). \]
Le parentesi chiariscono che il segno riguarda sia i gradi sia i primi.
Errore da evitare. \(12{,}30^\circ\) e \(12^\circ30'\) sono misure diverse. Nel primo caso la parte decimale vale \(0{,}30\cdot60=18\) primi; nel secondo caso i \(30'\) corrispondono a mezzo grado. Quindi:
\[ 12{,}30^\circ=12^\circ18', \qquad 12^\circ30'=12{,}5^\circ. \]
Somma e differenza di misure angolari
La somma delle misure descrive la composizione di rotazioni successive attorno allo stesso vertice: la seconda rotazione parte dalla posizione raggiunta dalla prima. I segni tengono conto dei versi. Per esempio, una rotazione antioraria di \(80^\circ\), seguita da una rotazione oraria di \(30^\circ\), produce uno spostamento angolare risultante di:
\[ 80^\circ+(-30^\circ)=50^\circ. \]
Lo spostamento risultante va distinto dall’ampiezza totale percorsa durante il movimento: in questo esempio la semiretta percorre prima \(80^\circ\) e poi altri \(30^\circ\) nel verso opposto, per un totale di \(110^\circ\). La somma con segno descrive il risultato delle due rotazioni, mentre la somma dei loro valori assoluti descrive il percorso complessivamente effettuato.
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Quando le misure sono espresse in gradi decimali, si applicano le consuete operazioni tra numeri con segno. Nella forma sessagesimale si opera invece sulle componenti, utilizzando riporti e prestiti in base \(60\). Per sommare misure di segno opposto si confrontano i valori assoluti, si sottrae il minore dal maggiore e si attribuisce al risultato il segno della misura con valore assoluto maggiore; se i valori assoluti coincidono, il risultato è nullo.
Esempio 9 (Somma con riporto). Calcoliamo \(24^\circ38'45''+17^\circ29'30''\).
Sommiamo separatamente le componenti della stessa unità:
\[ \begin{aligned} 24^\circ38'45''+17^\circ29'30'' &=(24+17)\cdot1^\circ+(38+29)\cdot1'+(45+30)\cdot1''\\ &=41^\circ67'75''. \end{aligned} \]
Il risultato deve essere normalizzato. Dai \(75''\) ricaviamo \(1'15''\): riportando il primo otteniamo \(41^\circ68'15''\). Dai \(68'\) ricaviamo poi \(1^\circ8'\). La somma è dunque:
\[ 24^\circ38'45''+17^\circ29'30''=42^\circ8'15''. \]
Esempio 10 (Differenza con prestito). Calcoliamo \(35^\circ12'20''-18^\circ45'50''\).
Per sottrarre le componenti mantenendo risultati non negativi, iniziamo dai secondi. Poiché \(20''\) sono meno di \(50''\), trasformiamo uno dei \(12'\) in \(60''\):
\[ 35^\circ12'20''=35^\circ11'80''. \]
Anche i primi disponibili sono insufficienti per sottrarre \(45'\). Trasformiamo allora un grado in \(60'\):
\[ 35^\circ11'80''=34^\circ71'80''. \]
Ora eseguiamo la sottrazione componente per componente:
\[ \begin{aligned} 34^\circ71'80''-18^\circ45'50'' &=(34-18)\cdot1^\circ+(71-45)\cdot1'+(80-50)\cdot1''\\ &=16^\circ26'30''. \end{aligned} \]
I prestiti hanno soltanto riscritto la misura iniziale in una forma adatta al calcolo.
Se invece il sottraendo è maggiore del minuendo, si calcola la differenza nell’ordine inverso e si applica il segno meno all’intero risultato. Per esempio:
\[ 18^\circ45'50''-35^\circ12'20''=-\left(35^\circ12'20''-18^\circ45'50''\right)=-\left(16^\circ26'30''\right). \]
Riepilogo
Un angolo orientato tiene conto del verso e dell’ampiezza di una rotazione compiuta senza inversioni, compresi gli eventuali giri completi. Per convenzione, il senso antiorario corrisponde a misure positive e quello orario a misure negative; un giro completo ha ampiezza \(360^\circ\).
Fissati vertice e lato iniziale, misure diverse possono individuare lo stesso lato finale. Ciò avviene esattamente quando differiscono di un multiplo intero di un giro:
\[ \alpha\equiv\beta\pmod{360^\circ} \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha-\beta=k\cdot360^\circ, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
La riduzione al primo giro seleziona l’unica misura congruente nell’intervallo \(0^\circ\leq\beta<360^\circ\). Conserva quindi la posizione finale, mentre elimina l’informazione sui giri completi.
Per esprimere frazioni di grado si possono utilizzare i decimali oppure primi e secondi d’arco, legati dalle relazioni \(1^\circ=60'\) e \(1'=60''\). Queste equivalenze permettono sia le conversioni sia le operazioni sulle misure sessagesimali.
Nello studio della circonferenza goniometrica ritroveremo la distinzione fondamentale emersa in questa pagina: la misura descrive la rotazione, mentre il lato finale ne individua la posizione di arrivo.