Una raccolta di 20 esercizi svolti sugli angoli orientati e sulla misura in gradi, con difficoltà crescente. Ogni esercizio contiene un riquadro con il risultato e uno svolgimento dettagliato: vengono richiamate le proprietà necessarie, spiegata la scelta delle operazioni e controllato il risultato.
Gli esercizi riguardano gli argomenti della pagina teorica: verso delle rotazioni, frazioni di giro, misure oltre un giro, angoli con lo stesso lato finale, riduzione al primo giro, gradi, primi e secondi, conversioni e operazioni sessagesimali. Gli ultimi esercizi combinano queste proprietà e mostrano anche tutti i passaggi algebrici necessari.
Per convenzione, le rotazioni antiorarie hanno misura positiva e quelle orarie hanno misura negativa. Il valore assoluto è la misura privata del segno: per esempio, il valore assoluto di \(-75^\circ\) è \(75^\circ\). Per una rotazione senza inversioni di verso, indica l’ampiezza percorsa.
Le equivalenze da utilizzare sono:
\[ 1\text{ giro}=360^\circ,\qquad1^\circ=60',\qquad1'=60'',\qquad1^\circ=3600''. \]
I simboli \('\) e \(''\) indicano primi e secondi d’arco, cioè unità angolari, non unità di tempo. La scrittura \(12^\circ15'30''\) rappresenta la somma \(12^\circ+15'+30''\). Se la misura è negativa, scriviamo \(-\left(12^\circ15'30''\right)\), così il segno riguarda l’intera ampiezza.
Fissati lo stesso vertice e lo stesso lato iniziale, due misure hanno lo stesso lato finale se differiscono di un numero intero di giri:
\[ \beta=\alpha+k\cdot360^\circ,\qquad k\in\mathbb Z. \]
La scrittura \(k\in\mathbb Z\) significa che \(k\) può essere un intero positivo, negativo oppure zero. Per esempio, \(30^\circ\) e \(390^\circ\) hanno lo stesso lato finale perché differiscono di \(360^\circ\), ma le loro misure non sono uguali.
Il rappresentante nel primo giro è l’unica misura con lo stesso lato finale appartenente a \([0^\circ,360^\circ)\): la parentesi quadra include \(0^\circ\), la parentesi tonda esclude \(360^\circ\). Negli svolgimenti il simbolo \(=\) indica un’uguaglianza esatta, mentre \(\approx\) indica un’approssimazione.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Scrivere la misura orientata di una rotazione di \(75^\circ\) in senso antiorario e di una rotazione di \(110^\circ\) in senso orario.
Risultato
\[ \alpha=+75^\circ,\qquad \beta=-110^\circ. \]
Svolgimento
Individuare che cosa dobbiamo descrivere
Per descrivere una rotazione dobbiamo indicare sia quanto ruota la semiretta sia in quale verso. Le ampiezze, \(75^\circ\) e \(110^\circ\), sono già fornite: dobbiamo attribuire il segno corretto.
Il simbolo \({}^\circ\) indica che la misura è espressa in gradi. Useremo la lettera \(\alpha\) per la prima rotazione e la lettera \(\beta\) per la seconda.
Applicare la convenzione al senso antiorario
Per convenzione, una rotazione in senso antiorario ha misura positiva. La prima rotazione è antioraria e ha ampiezza \(75^\circ\), quindi:
\[ \alpha=+75^\circ. \]
Il segno positivo può essere omesso: \(+75^\circ\) e \(75^\circ\) indicano la stessa misura orientata.
Applicare la convenzione al senso orario
Una rotazione in senso orario ha misura negativa. Per la seconda rotazione scriviamo quindi:
\[ \beta=-110^\circ. \]
Il segno meno riguarda il verso: non significa che l’ampiezza percorsa sia negativa. L’ampiezza è il valore assoluto della misura, cioè \(110^\circ\).
Controllare la risposta
La misura \(+75^\circ\) descrive esattamente \(75^\circ\) antiorari; la misura \(-110^\circ\) descrive esattamente \(110^\circ\) orari. Entrambe rispettano le indicazioni del testo.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Esprimere in gradi le seguenti rotazioni: un quarto di giro antiorario, mezzo giro orario, tre quarti di giro antiorario e cinque quarti di giro orario.
Risultato
\[ +90^\circ,\qquad -180^\circ,\qquad +270^\circ,\qquad -450^\circ. \]
Svolgimento
Usare il giro come riferimento
Un giro completo riporta la semiretta nella posizione iniziale e ha ampiezza \(360^\circ\). Per trovare l’ampiezza di una frazione di giro dividiamo \(360^\circ\) per il denominatore della frazione e moltiplichiamo per il numeratore.
Calcolare un quarto e mezzo giro
Un quarto di giro è una delle quattro parti uguali di un giro:
\[ 360^\circ:4=90^\circ. \]
Il verso è antiorario, quindi la misura orientata è \(+90^\circ\).
Mezzo giro è una delle due metà:
\[ 360^\circ:2=180^\circ. \]
In questo caso il verso è orario, quindi la misura è \(-180^\circ\).
Calcolare tre quarti di giro
Un quarto misura \(90^\circ\). Tre quarti misurano tre volte tanto:
\[ 3\cdot90^\circ=270^\circ. \]
La rotazione è antioraria, perciò scriviamo \(+270^\circ\).
Calcolare cinque quarti di giro
Cinque quarti comprendono cinque parti da \(90^\circ\):
\[ 5\cdot90^\circ=450^\circ. \]
La rotazione è oraria, quindi la misura è \(-450^\circ\). Superare \(360^\circ\) in valore assoluto è possibile: cinque quarti corrispondono a un giro completo e a un ulteriore quarto di giro, nello stesso verso.
Controllare il significato dei risultati
Le prime tre ampiezze non superano un giro; l’ultima lo supera. Tutti i segni sono stati scelti in base al verso e non in base alla grandezza della rotazione. I risultati sono \(+90^\circ\), \(-180^\circ\), \(+270^\circ\), \(-450^\circ\).
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Classificare le ampiezze geometriche \(35^\circ\), \(90^\circ\), \(145^\circ\), \(180^\circ\) e \(360^\circ\), scegliendo tra angolo acuto, retto, ottuso, piatto e giro.
Risultato
Nell’ordine: acuto, retto, ottuso, piatto e giro.
Svolgimento
Richiamare i criteri di classificazione
Qui classifichiamo ampiezze geometriche non orientate: la richiesta riguarda la grandezza dell’angolo, non il verso di un movimento. Un angolo è acuto se la sua ampiezza è maggiore di \(0^\circ\) e minore di \(90^\circ\); è retto se misura esattamente \(90^\circ\); è ottuso se è maggiore di \(90^\circ\) e minore di \(180^\circ\).
Un angolo piatto misura esattamente \(180^\circ\); un angolo giro misura esattamente \(360^\circ\). Le parole «maggiore» e «minore» nei criteri per acuto e ottuso escludono gli estremi.
Classificare le prime tre ampiezze
Per \(35^\circ\) vale:
\[ 0^\circ<35^\circ<90^\circ. \]
L’angolo è dunque acuto. La misura \(90^\circ\) coincide con quella dell’angolo retto. Per \(145^\circ\), invece:
\[ 90^\circ<145^\circ<180^\circ. \]
Questo angolo è ottuso.
Classificare mezzo giro e un giro
La misura \(180^\circ\) corrisponde a mezzo giro: l’angolo è piatto. La misura \(360^\circ\) corrisponde a un giro completo: l’angolo è giro.
Distinguere i casi di confine
Un angolo di \(90^\circ\) non è né acuto né ottuso, perché i due intervalli non comprendono questo valore. Analogamente, \(180^\circ\) non è ottuso: è il caso distinto dell’angolo piatto.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Convertire \(24{,}375^\circ\) in gradi, primi e secondi.
Risultato
\[ 24{,}375^\circ=24^\circ22'30''. \]
Svolgimento
Separare gradi interi e frazione di grado
La virgola separa la parte intera dalla parte decimale. Scriviamo:
\[ 24{,}375^\circ=24^\circ+0{,}375^\circ. \]
I \(24\) gradi sono già interi; dobbiamo convertire soltanto il residuo \(0{,}375^\circ\).
Convertire il residuo in primi
Ogni grado contiene \(60\) primi. Per sapere quanti primi corrispondono a \(0{,}375\) gradi moltiplichiamo per \(60\):
\[ 0{,}375\cdot60=22{,}5. \]
Quindi \(0{,}375^\circ=22{,}5'\). Separiamo nuovamente parte intera e decimale: abbiamo \(22'\) interi e \(0{,}5'\) residui.
Convertire la frazione di primo in secondi
Ogni primo contiene \(60\) secondi. Pertanto:
\[ 0{,}5\cdot60=30,\qquad0{,}5'=30''. \]
Riunendo le componenti otteniamo \(24^\circ22'30''\). Primi e secondi sono entrambi minori di \(60\), quindi la scrittura è normalizzata.
Verificare tornando ai gradi decimali
Dividiamo i primi per \(60\) e i secondi per \(3600\), perché \(1^\circ=3600''\):
\[ 24+\frac{22}{60}+\frac{30}{3600}=24+\frac{1320+30}{3600}=24+\frac{1350}{3600}=24{,}375. \]
Abbiamo ritrovato la misura iniziale, quindi la conversione è corretta.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Esprimere \(37^\circ42'18''\) in gradi decimali.
Risultato
\[ 37^\circ42'18''=37{,}705^\circ. \]
Svolgimento
Interpretare la scrittura sessagesimale
La misura \(37^\circ42'18''\) indica la somma di \(37\) gradi, \(42\) primi e \(18\) secondi. Non possiamo sommare direttamente i numeri \(37\), \(42\) e \(18\), perché rappresentano unità diverse. Prima esprimiamo tutto in gradi.
Trasformare i primi in gradi
Poiché \(60'\) formano un grado, un primo vale \(\displaystyle\frac1{60}\) di grado. Quindi:
\[ 42'=\frac{42}{60}\cdot1^\circ=0{,}7^\circ. \]
Trasformare i secondi in gradi
Un grado contiene \(60\cdot60=3600\) secondi. Perciò:
\[ 18''=\frac{18}{3600}\cdot1^\circ=0{,}005^\circ. \]
Sommare e verificare
Ora le tre componenti hanno la stessa unità e possiamo sommarle:
\[ 37^\circ+0{,}7^\circ+0{,}005^\circ=37{,}705^\circ. \]
Per il controllo inverso, \(0{,}705\cdot60=42{,}3\): otteniamo \(42'\), più \(0{,}3\cdot60=18\) secondi. Il risultato torna a \(37^\circ42'18''\).
La scrittura \(37{,}4218^\circ\) sarebbe errata: primi e secondi sono suddivisioni in sessantesimi, non cifre da accostare dopo la virgola.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Normalizzare la misura \(18^\circ95'125''\), in modo che primi e secondi siano entrambi minori di \(60\).
Risultato
\[ 18^\circ95'125''=19^\circ37'5''. \]
Svolgimento
Individuare le componenti da normalizzare
Una scrittura sessagesimale è normalizzata quando i primi sono un intero da \(0\) a \(59\) e i secondi sono almeno \(0\) ma minori di \(60\). Nella misura assegnata sia \(95'\) sia \(125''\) superano il limite: dobbiamo effettuare dei riporti.
Iniziamo dai secondi, perché il loro riporto modifica anche il numero dei primi.
Trasformare i secondi eccedenti in primi
Separiamo da \(125''\) tutti i gruppi completi di \(60''\):
\[ 125=2\cdot60+5. \]
Ogni gruppo vale un primo, quindi \(125''=2'5''\). Aggiungiamo i due primi ai \(95'\) già presenti:
\[ 18^\circ95'125''=18^\circ(95+2)'5''=18^\circ97'5''. \]
Trasformare i primi eccedenti in gradi
Scriviamo \(97=1\cdot60+37\). I primi corrispondono quindi a un grado e \(37'\):
\[ 97'=1^\circ37'. \]
Aggiungendo il grado ai \(18^\circ\) otteniamo \(19^\circ37'5''\).
Verificare che la misura non sia cambiata
Convertiamo entrambe le scritture in secondi d’arco:
\[ 18\cdot3600+95\cdot60+125=64800+5700+125=70625. \]
\[ 19\cdot3600+37\cdot60+5=68400+2220+5=70625. \]
Il totale coincide. Abbiamo cambiato soltanto la scrittura, non l’ampiezza.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Calcolare la somma:
\[ 48^\circ35'40''+27^\circ48'35''. \]
Risultato
\[ 76^\circ24'15''. \]
Svolgimento
Sommare componenti della stessa unità
I gradi si sommano ai gradi, i primi ai primi e i secondi ai secondi. Otteniamo:
\[ 48+27=75,\qquad35+48=83,\qquad40+35=75. \]
La somma provvisoria è \(75^\circ83'75''\). Questa è una misura valida, ma non è ancora normalizzata.
Riportare i secondi
Poiché \(75''=60''+15''=1'15''\), conserviamo \(15''\) e aggiungiamo un primo agli \(83'\):
\[ 75^\circ83'75''=75^\circ84'15''. \]
È importante aggiungere questo primo prima di normalizzare i primi.
Riportare i primi
Poiché \(84'=60'+24'=1^\circ24'\), conserviamo \(24'\) e aggiungiamo un grado ai \(75^\circ\):
\[ 75^\circ84'15''=76^\circ24'15''. \]
Ora \(24<60\) e \(15<60\): non occorrono altri riporti.
Controllare tramite i secondi totali
La prima misura vale \(48\cdot3600+35\cdot60+40=174940\) secondi; la seconda vale \(27\cdot3600+48\cdot60+35=100115\) secondi. La loro somma è \(275055\) secondi.
La misura trovata vale:
\[ 76\cdot3600+24\cdot60+15=275055. \]
La verifica conferma il risultato.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Calcolare la differenza:
\[ 83^\circ12'15''-46^\circ38'50''. \]
Risultato
\[ 36^\circ33'25''. \]
Svolgimento
Confrontare le due misure
La prima misura è maggiore della seconda, perché contiene \(83\) gradi contro \(46\). Il risultato della sottrazione sarà quindi positivo. Iniziamo il calcolo dai secondi.
Prendere in prestito un primo
Nella prima misura abbiamo \(15''\), ma dobbiamo sottrarne \(50''\). Trasformiamo uno dei \(12'\) in \(60''\): i primi diventano \(11\) e i secondi diventano \(15+60=75\).
\[ 83^\circ12'15''=83^\circ11'75''. \]
Questo prestito non cambia la misura, perché abbiamo soltanto sostituito un primo con il suo equivalente in secondi.
Prendere in prestito un grado
Ora i secondi bastano, ma \(11'\) non bastano per sottrarre \(38'\). Trasformiamo uno degli \(83^\circ\) in \(60'\): rimangono \(82^\circ\) e i primi diventano \(11+60=71\).
\[ 83^\circ11'75''=82^\circ71'75''. \]
Eseguire le tre sottrazioni
\[ 75''-50''=25'',\qquad71'-38'=33',\qquad82^\circ-46^\circ=36^\circ. \]
Riunendo i risultati troviamo \(36^\circ33'25''\).
Verificare con l’operazione inversa
Sommiamo il risultato al sottraendo:
\[ 46^\circ38'50''+36^\circ33'25''=82^\circ71'75''. \]
Normalizziamo: \(75''=1'15''\), quindi i primi diventano \(72'\); poi \(72'=1^\circ12'\). Otteniamo \(83^\circ12'15''\), che è il minuendo iniziale.
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Una semiretta compie, intorno alla stessa origine, tre rotazioni successive: \(80^\circ\) antiorari, \(135^\circ\) orari e \(420^\circ\) antiorari. Determinare la rotazione complessiva e il suo rappresentante in \([0^\circ,360^\circ)\).
Risultato
Rotazione complessiva: \(+365^\circ\). Rappresentante richiesto: \(5^\circ\).
Svolgimento
Tradurre i versi in segni
Le tre rotazioni avvengono attorno alla stessa origine e ciascuna parte dalla posizione raggiunta dalla precedente. Le misure orientate sono \(+80^\circ\), \(-135^\circ\) e \(+420^\circ\).
La composizione si calcola sommando queste misure con i loro segni.
Comporre le prime due rotazioni
\[ 80^\circ+(-135^\circ)=80^\circ-135^\circ=-55^\circ. \]
La seconda rotazione compensa gli \(80^\circ\) iniziali e prosegue di altri \(135^\circ-80^\circ=55^\circ\) in senso orario. Questo spiega il segno negativo del risultato parziale.
Aggiungere la terza rotazione
\[ -55^\circ+420^\circ=365^\circ. \]
Il risultato è positivo: la composizione equivale, come spostamento angolare orientato complessivo, a \(365^\circ\) antiorari.
Trovare il rappresentante nel primo giro
Il valore \(365^\circ\) supera \(360^\circ\). Sottraiamo un giro completo:
\[ 365^\circ-360^\circ=5^\circ. \]
Poiché \(0^\circ\le5^\circ<360^\circ\), il rappresentante è \(5^\circ\). Non scriviamo \(365^\circ=5^\circ\): le misure sono diverse, ma hanno lo stesso lato finale.
Distinguere il bilancio dal percorso
Durante il movimento la semiretta percorre \(80^\circ+135^\circ+420^\circ=635^\circ\) complessivi, contando ogni tratto senza segno. Questo dato è diverso dai \(365^\circ\) del bilancio orientato e dai \(5^\circ\) del rappresentante finale.
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Ridurre \(1125^\circ\) all’intervallo \([0^\circ,360^\circ)\) e indicare il numero di giri completi contenuti nella rotazione.
Risultato
\[ 1125^\circ=3\cdot360^\circ+45^\circ. \]
Tre giri completi antiorari; rappresentante \(45^\circ\).
Svolgimento
Individuare i giri completi
Un giro antiorario misura \(360^\circ\). Cerchiamo quante volte possiamo sottrarre \(360^\circ\) da \(1125^\circ\) senza ottenere un valore negativo.
\[ 3\cdot360^\circ=1080^\circ,\qquad4\cdot360^\circ=1440^\circ. \]
Tre giri sono contenuti nella rotazione, mentre quattro la supererebbero. Il numero dei giri completi è quindi \(3\).
Calcolare la rotazione residua
Sottraiamo l’ampiezza dei tre giri:
\[ 1125^\circ-1080^\circ=45^\circ. \]
La scomposizione è \(1125^\circ=3\cdot360^\circ+45^\circ\): tre giri completi antiorari e altri \(45^\circ\) nello stesso verso.
Controllare l’intervallo
Il primo giro è l’intervallo \([0^\circ,360^\circ)\): la parentesi quadra include \(0^\circ\), quella tonda esclude \(360^\circ\). Poiché \(45^\circ\) è compreso tra questi estremi, non dobbiamo sottrarre altri giri.
Verificare la coincidenza del lato finale
\[ 1125^\circ-45^\circ=1080^\circ=3\cdot360^\circ. \]
La differenza è un numero intero di giri: le due misure hanno quindi lo stesso lato finale, come richiesto.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Ridurre \(-945^\circ\) all’intervallo \([0^\circ,360^\circ)\) e descrivere la rotazione oraria assegnata in giri completi e rotazione residua.
Risultato
Rappresentante: \(135^\circ\). La rotazione assegnata consiste in due giri completi orari seguiti da altri \(225^\circ\) in senso orario.
Svolgimento
Interpretare la misura negativa
Il segno meno indica il senso orario. L’ampiezza percorsa è il valore assoluto, cioè \(945^\circ\). Per descrivere il movimento interamente orario iniziamo dividendo questa ampiezza in giri completi e resto.
Scomporre l’ampiezza percorsa
Due giri misurano \(720^\circ\); tre giri misurano \(1080^\circ\), che supera \(945^\circ\). Dunque:
\[ 945^\circ=720^\circ+225^\circ=2\cdot360^\circ+225^\circ. \]
Reintroducendo il verso:
\[ -945^\circ=-2\cdot360^\circ-225^\circ. \]
La rotazione consiste in due giri completi orari e in altri \(225^\circ\) orari.
Cercare un rappresentante non negativo
Aggiungere giri completi conserva il lato finale. Dopo due giri aggiunti otteniamo:
\[ -945^\circ+720^\circ=-225^\circ. \]
Questo valore è ancora negativo e non appartiene all’intervallo richiesto. Aggiungiamo un altro giro:
\[ -225^\circ+360^\circ=135^\circ. \]
Controllare il rappresentante e distinguere le due scomposizioni
Il valore \(135^\circ\) appartiene a \([0^\circ,360^\circ)\), e la differenza tra \(135^\circ\) e \(-945^\circ\) è \(1080^\circ\), cioè tre giri. È quindi il rappresentante cercato.
La scrittura \(-945^\circ=-3\cdot360^\circ+135^\circ\) serve a ottenere un resto non negativo. Il coefficiente \(-3\) non è il numero dei giri completi percorsi nel moto interamente orario: quel numero è \(2\), come mostra la scomposizione del passaggio 2.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Esprimere la misura orientata \(-12{,}735^\circ\) in gradi, primi e secondi. Verificare il risultato riconvertendolo in gradi decimali.
Risultato
\[ -12{,}735^\circ=-\left(12^\circ44'6''\right). \]
Svolgimento
Separare il verso dalla conversione
Il segno meno riguarda l’intera misura. Convertiamo prima il valore assoluto \(12{,}735^\circ\) e applichiamo il segno meno soltanto alla fine. In questo modo non confondiamo il verso con le singole componenti in gradi, primi e secondi.
Convertire la frazione di grado in primi
La parte intera fornisce \(12^\circ\). Moltiplichiamo la parte decimale per \(60\):
\[ 0{,}735\cdot60=44{,}1. \]
Quindi la parte residua equivale a \(44{,}1'\), ossia \(44'\) interi e \(0{,}1'\) residui.
Convertire la frazione di primo in secondi
Moltiplichiamo \(0{,}1\) per \(60\):
\[ 0{,}1\cdot60=6. \]
Il valore assoluto è quindi \(12^\circ44'6''\).
Applicare il segno all’intera misura
Scriviamo:
\[ -12{,}735^\circ=-\left(12^\circ44'6''\right). \]
Le parentesi indicano che tutta l’ampiezza è percorsa in senso orario. Non stiamo sottraendo soltanto \(12^\circ\) e aggiungendo primi e secondi positivi.
Verificare la conversione inversa
\[ \frac{44}{60}+\frac6{3600}=\frac{2640+6}{3600}=\frac{2646}{3600}=0{,}735. \]
Perciò:
\[ -\left(12+\frac{44}{60}+\frac6{3600}\right)\cdot1^\circ=-12{,}735^\circ. \]
La riconversione restituisce il dato iniziale.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire quali coppie di angoli hanno lo stesso lato finale, assumendo comune il lato iniziale:
\[ (125^\circ,-595^\circ),\qquad(-230^\circ,130^\circ),\qquad(70^\circ,250^\circ). \]
Risultato
Le prime due coppie hanno lo stesso lato finale. La terza no.
Svolgimento
Spiegare il criterio da applicare
Il lato iniziale è lo stesso per i due angoli di ciascuna coppia. I loro lati finali coincidono esattamente quando la differenza delle misure è \(k\cdot360^\circ\), dove \(k\) è un intero: può essere positivo, negativo oppure zero.
Possiamo quindi sottrarre una misura dall’altra e controllare se il risultato è un numero intero di giri.
Esaminare la prima coppia
\[ 125^\circ-(-595^\circ)=125^\circ+595^\circ=720^\circ. \]
Sottrarre una misura negativa equivale ad aggiungere il suo opposto. Poiché \(720^\circ=2\cdot360^\circ\), la differenza è di due giri completi e i lati finali coincidono.
Esaminare la seconda coppia
\[ 130^\circ-(-230^\circ)=130^\circ+230^\circ=360^\circ. \]
La differenza è di un giro completo. Anche questa coppia ha lo stesso lato finale.
Esaminare la terza coppia
\[ 250^\circ-70^\circ=180^\circ. \]
Dividendo per \(360^\circ\) otteniamo \(\displaystyle\frac12\), che non è un intero. Mezzo giro conduce alla semiretta opposta, non alla stessa semiretta. Perciò i due lati finali non coincidono.
Controllare le prime coppie con la riduzione
Per la prima, \(-595^\circ+720^\circ=125^\circ\); per la seconda, \(-230^\circ+360^\circ=130^\circ\). In entrambi i casi la misura negativa, ridotta al primo giro, coincide con quella positiva della coppia.
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Determinare tutte le misure con lo stesso lato finale di \(-35^\circ\) appartenenti all’intervallo \([-720^\circ,720^\circ)\).
Risultato
\[ -395^\circ,\quad-35^\circ,\quad325^\circ,\quad685^\circ. \]
Svolgimento
Descrivere tutte le misure possibili
Per ottenere lo stesso lato finale di \(-35^\circ\) possiamo aggiungere o sottrarre qualunque numero intero di giri. Scriviamo quindi:
\[ \alpha=-35^\circ+k\cdot360^\circ,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Qui \(k\) conta i giri aggiunti con segno: \(k=0\) conserva la misura iniziale, \(k=1\) aggiunge un giro, \(k=-1\) ne sottrae uno.
Tradurre l’intervallo in disuguaglianze
L’intervallo \([-720^\circ,720^\circ)\) comprende il suo estremo sinistro ed esclude quello destro. Dunque richiediamo contemporaneamente:
\[ -720^\circ\le\alpha,\qquad\alpha<720^\circ. \]
Sostituendo l’espressione di \(\alpha\) e confrontando i valori numerici in gradi:
\[ -720\le-35+360k<720. \]
Isolare il numero intero di giri
Aggiungiamo \(35\) a tutti e tre i membri: questa operazione conserva l’ordine delle disuguaglianze.
\[ -685\le360k<755. \]
Dividiamo tutti i membri per \(360\). Il divisore è positivo, quindi i versi non cambiano:
\[ -\frac{685}{360}\le k<\frac{755}{360}. \]
Individuare gli interi senza saltare passaggi
Il limite inferiore è compreso tra \(-2\) e \(-1\), perché \(-720<-685<-360\). Il limite superiore è compreso tra \(2\) e \(3\), perché \(720<755<1080\). Gli interi ammessi sono quindi esattamente:
\[ k=-1,\quad0,\quad1,\quad2. \]
Il valore \(-2\) è troppo piccolo; il valore \(3\) è troppo grande. Tutti gli interi ancora più lontani sono esclusi per lo stesso motivo.
Sostituire uno alla volta
\[ k=-1:\quad\alpha=-35^\circ-360^\circ=-395^\circ. \]
\[ k=0:\quad\alpha=-35^\circ. \]
\[ k=1:\quad\alpha=-35^\circ+360^\circ=325^\circ. \]
\[ k=2:\quad\alpha=-35^\circ+720^\circ=685^\circ. \]
Verificare completezza e appartenenza
Tutti e quattro i risultati appartengono all’intervallo richiesto. Per \(k=-2\) avremmo \(-755^\circ\), escluso perché minore di \(-720^\circ\); per \(k=3\) avremmo \(1045^\circ\), escluso perché maggiore di \(720^\circ\). Inoltre, aumentando \(k\) di uno la misura aumenta sempre di \(360^\circ\), quindi non possono esserci ulteriori valori intermedi.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Per l’angolo di misura \(-1080^\circ\), trovare il rappresentante in \([0^\circ,360^\circ)\), la più piccola misura strettamente positiva e la più grande misura strettamente negativa aventi lo stesso lato finale.
Risultato
Nell’ordine: \(0^\circ\), \(360^\circ\), \(-360^\circ\).
Svolgimento
Ridurre la misura assegnata
La misura \(-1080^\circ\) corrisponde a tre giri completi orari, perché \(1080=3\cdot360\). Aggiungiamo tre giri completi:
\[ -1080^\circ+3\cdot360^\circ=0^\circ. \]
Il valore \(0^\circ\) appartiene all’intervallo \([0^\circ,360^\circ)\), quindi è il rappresentante richiesto. Il valore \(360^\circ\) è escluso da questo intervallo.
Elencare le misure con lo stesso lato finale
Tutte le misure cercate sono multipli interi di un giro:
\[ \ldots,-1080^\circ,-720^\circ,-360^\circ,0^\circ,360^\circ,720^\circ,1080^\circ,\ldots \]
Ognuna riporta la semiretta sul lato iniziale.
Cercare la più piccola misura positiva
«Strettamente positiva» significa maggiore di zero. Lo zero non è ammesso. Nella lista, il primo valore maggiore di zero è \(360^\circ\); i successivi sono ancora più grandi. La più piccola misura positiva è dunque \(360^\circ\).
Cercare la più grande misura negativa
«Strettamente negativa» significa minore di zero. Tra i valori negativi della lista, \(-360^\circ\) è quello più vicino a zero e quindi il più grande:
\[ \ldots<-1080^\circ<-720^\circ<-360^\circ<0^\circ. \]
Non esiste invece una più piccola misura negativa nella famiglia, perché possiamo continuare a sottrarre giri senza limite. La richiesta riguarda proprio la più grande.
Distinguere misura e posizione
I tre risultati \(0^\circ\), \(360^\circ\) e \(-360^\circ\) descrivono rispettivamente assenza di rotazione, un giro antiorario e un giro orario. Sono misure diverse, con lo stesso lato finale.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Esprimere \(18{,}499999^\circ\) in gradi, primi e secondi, prima senza arrotondare e poi arrotondando al secondo d’arco più vicino.
Risultato
Forma esatta: \(18^\circ29'59{,}9964''\). Arrotondamento al secondo più vicino: \(18^\circ30'0''\).
Svolgimento
Ricavare i gradi e i primi senza arrotondare
La parte intera fornisce \(18^\circ\). Convertiamo la frazione di grado in primi:
\[ 0{,}499999\cdot60=29{,}99994. \]
Otteniamo \(29'\) interi e \(0{,}99994'\) residui. Non arrotondiamo ancora: per la forma esatta dobbiamo conservare tutte le cifre.
Calcolare i secondi esatti
Convertiamo la frazione di primo:
\[ 0{,}99994\cdot60=59{,}9964. \]
Quindi:
\[ 18{,}499999^\circ=18^\circ29'59{,}9964''. \]
I secondi possono avere una parte decimale. La misura è normalizzata, perché \(29<60\) e \(59{,}9964<60\).
Arrotondare al secondo più vicino
Arrotondare al secondo più vicino significa scegliere il numero intero di secondi più vicino a \(59{,}9964\). Il valore è distante \(0{,}9964\) da \(59\) e soltanto \(0{,}0036\) da \(60\), quindi arrotondiamo a \(60''\).
Otteniamo provvisoriamente \(18^\circ29'60''\). Qui non usiamo il segno di uguaglianza con la misura iniziale, perché abbiamo effettuato un’approssimazione.
Riportare il secondo arrotondato
La scrittura con \(60''\) non è normalizzata. Poiché \(60''=1'\), aggiungiamo un primo ai \(29'\) e lasciamo zero secondi:
\[ 18^\circ29'60''=18^\circ30'0''. \]
Il risultato arrotondato si scrive:
\[ 18{,}499999^\circ\approx18^\circ30'0''. \]
Controllare l’errore di arrotondamento
La misura arrotondata è \(18{,}5^\circ\). La differenza dal dato iniziale è:
\[ 18{,}5^\circ-18{,}499999^\circ=0{,}000001^\circ. \]
In secondi, la differenza vale \(0{,}000001\cdot3600=0{,}0036\), cioè \(0{,}0036''\). È minore di mezzo secondo, come ci aspettiamo da un arrotondamento al secondo più vicino.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Una semiretta compie una rotazione oraria di \(810^\circ\). Esprimere la rotazione come numero orientato di giri e descriverla in giri completi e frazione di giro residua. Trovare poi il rappresentante in \([0^\circ,360^\circ)\).
Risultato
Numero orientato di giri: \(\displaystyle-\frac94\). La rotazione comprende due giri completi orari e un quarto di giro orario. Rappresentante: \(270^\circ\).
Svolgimento
Scrivere la misura orientata
La rotazione ha ampiezza \(810^\circ\), ma avviene in senso orario. La sua misura orientata è quindi \(-810^\circ\). Manteniamo il segno nelle conversioni che descrivono il verso.
Passare dai gradi ai giri
Un giro contiene \(360^\circ\). Per sapere quanti giri corrispondono alla misura assegnata dividiamo per la misura di un giro:
\[ \frac{-810^\circ}{360^\circ}=-\frac{810}{360}. \]
Le unità si semplificano perché il rapporto confronta due misure in gradi. Dividendo numeratore e denominatore per \(90\), otteniamo:
\[ -\frac{810}{360}=-\frac94. \]
Il numero orientato di giri è dunque \(\displaystyle-\frac94\); il segno meno specifica il senso orario.
Separare giri completi e frazione residua
Nel valore assoluto, \(\displaystyle\frac94=\frac84+\frac14=2+\frac14\). La semiretta compie quindi due giri completi orari e un ulteriore quarto di giro orario. In gradi:
\[ -810^\circ=-720^\circ-90^\circ. \]
Abbiamo usato \(\displaystyle\frac14\cdot360^\circ=90^\circ\).
Ridurre al primo giro
Aggiungendo due giri otteniamo \(-810^\circ+720^\circ=-90^\circ\), ancora negativo. Aggiungiamo un altro giro:
\[ -90^\circ+360^\circ=270^\circ. \]
Poiché \(0^\circ\le270^\circ<360^\circ\), il rappresentante è \(270^\circ\).
Verificare la conversione
Moltiplicando il numero orientato di giri per la misura di un giro ritroviamo:
\[ -\frac94\cdot360^\circ=-9\cdot90^\circ=-810^\circ. \]
Inoltre, \(270^\circ-(-810^\circ)=1080^\circ=3\cdot360^\circ\): il rappresentante ha effettivamente lo stesso lato finale.
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Trovare tutte le misure \(\alpha\in[0^\circ,360^\circ)\) per le quali gli angoli di misura \(3\alpha+25^\circ\) e \(\alpha-35^\circ\) hanno lo stesso lato finale, assumendo comune il lato iniziale.
Risultato
\[ \alpha=150^\circ\quad\text{oppure}\quad\alpha=330^\circ. \]
Svolgimento
Tradurre la richiesta geometrica
Il lato iniziale è comune. I lati finali coincidono se e solo se la differenza tra le due misure è un multiplo intero di \(360^\circ\). Introduciamo perciò un intero \(k\) e scriviamo:
\[ (3\alpha+25^\circ)-(\alpha-35^\circ)=k\cdot360^\circ. \]
La lettera \(\alpha\) indica la misura da trovare; la lettera \(k\) indica un numero intero di giri. Hanno ruoli diversi.
Semplificare la differenza
Il segno meno davanti alla seconda parentesi cambia il segno di entrambi i termini contenuti:
\[ 3\alpha+25^\circ-\alpha+35^\circ=k\cdot360^\circ. \]
Sommiamo i termini con \(\alpha\), poi quelli in gradi:
\[ 2\alpha+60^\circ=k\cdot360^\circ. \]
Isolare la misura incognita
Sottraiamo \(60^\circ\) da entrambi i membri:
\[ 2\alpha=k\cdot360^\circ-60^\circ. \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\):
\[ \alpha=k\cdot180^\circ-30^\circ. \]
Ogni intero \(k\) fornisce una misura che soddisfa il criterio sul lato finale, ma dobbiamo ancora selezionare quelle nell’intervallo richiesto.
Determinare esplicitamente gli interi ammessi
Imponiamo \(0^\circ\le\alpha<360^\circ\). Sostituendo la formula e considerando i valori numerici in gradi:
\[ 0\le180k-30<360. \]
Aggiungiamo \(30\) a tutti i membri e poi dividiamo per \(180\), che è positivo:
\[ 30\le180k<390,\qquad\frac16\le k<\frac{13}{6}. \]
Il limite inferiore è maggiore di \(0\) e minore di \(1\); quello superiore è maggiore di \(2\) e minore di \(3\). Gli unici interi compresi sono \(1\) e \(2\). Zero è troppo piccolo e tre è troppo grande.
Calcolare e controllare entrambe le soluzioni
Per \(k=1\), \(\alpha=180^\circ-30^\circ=150^\circ\). Le due misure iniziali diventano:
\[ 3\cdot150^\circ+25^\circ=475^\circ,\qquad150^\circ-35^\circ=115^\circ. \]
La differenza è \(360^\circ\), quindi i lati finali coincidono.
Per \(k=2\), \(\alpha=360^\circ-30^\circ=330^\circ\). Le misure diventano \(1015^\circ\) e \(295^\circ\), con differenza \(720^\circ\), pari a due giri. Entrambe le soluzioni sono comprese nell’intervallo e non ne esistono altre, perché abbiamo esaurito tutti gli interi ammessi.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Gli angoli \(\alpha\) e \(\beta\), misurati a partire dallo stesso lato iniziale, soddisfano \(\beta=\alpha+k\cdot360^\circ\), con \(k\in\mathbb Z\). Gli angoli di misura \(\displaystyle\frac\alpha2\) e \(\displaystyle\frac\beta2\) hanno sempre lo stesso lato finale? Determinare la condizione su \(k\) e applicarla ad \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=400^\circ\).
Risultato
Le metà hanno lo stesso lato finale se e solo se \(k\) è pari. Nel caso assegnato le metà sono \(20^\circ\) e \(200^\circ\): i lati finali sono opposti.
Svolgimento
Capire che cosa viene dimezzato
Le misure \(\alpha\) e \(\beta\) differiscono di un numero intero di giri. Quando le dividiamo entrambe per \(2\), dividiamo per \(2\) anche la loro differenza. Un giro completo dimezzato diventa mezzo giro: per questo la coincidenza dei lati finali potrebbe non conservarsi.
Calcolare la differenza tra le metà
Partiamo dal dato:
\[ \beta=\alpha+k\cdot360^\circ. \]
Dividiamo tutti i termini per \(2\) e sottraiamo \(\displaystyle\frac\alpha2\):
\[ \frac\beta2=\frac\alpha2+k\cdot180^\circ,\qquad\frac\beta2-\frac\alpha2=k\cdot180^\circ. \]
Le metà hanno lo stesso lato finale se e solo se questa nuova differenza è ancora un multiplo intero di \(360^\circ\).
Spiegare il caso in cui k è pari
Un intero è pari quando è divisibile per \(2\), cioè può essere scritto \(k=2n\), con \(n\) intero. Questa definizione comprende zero e gli interi pari negativi. Sostituendo:
\[ k\cdot180^\circ=2n\cdot180^\circ=n\cdot360^\circ. \]
La differenza delle metà è un numero intero di giri, quindi i lati finali coincidono.
Spiegare il caso in cui k è dispari
Un intero dispari si scrive \(k=2n+1\), con \(n\) intero. Anche questa forma comprende i dispari negativi: per esempio, \(-1=2\cdot(-1)+1\). Sostituendo:
\[ k\cdot180^\circ=(2n+1)\cdot180^\circ=n\cdot360^\circ+180^\circ. \]
Dopo aver eliminato i giri completi rimane mezzo giro. I lati finali sono quindi opposti. Ogni intero è pari oppure dispari: abbiamo esaminato tutti i casi.
Applicare il criterio ai dati
Per \(\alpha=40^\circ\) e \(\beta=400^\circ\),
\[ \beta-\alpha=400^\circ-40^\circ=360^\circ. \]
Quindi \(k=1\), che è dispari. Le metà sono \(20^\circ\) e \(200^\circ\), con differenza \(180^\circ\). Non hanno lo stesso lato finale.
Rispondere alla domanda generale
La risposta a «sempre?» è no. Le metà hanno lo stesso lato finale esattamente quando il numero di giri di differenza è pari. Per esempio, con \(40^\circ\) e \(760^\circ\) la differenza è di due giri; le metà, \(20^\circ\) e \(380^\circ\), differiscono di un giro e hanno lo stesso lato finale.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Una semiretta compie tre giri completi in senso orario e prosegue nello stesso verso per \(125^\circ40'20''\). Poi inverte il verso e compie due giri completi antiorari, seguiti da altri \(80^\circ35'50''\) antiorari. Determinare la rotazione complessiva orientata, il suo rappresentante in \([0^\circ,360^\circ)\) e l’ampiezza totale percorsa, senza tener conto del verso.
Risultato
Rotazione complessiva: \(-\left(405^\circ4'30''\right)\).
Rappresentante: \(314^\circ55'30''\).
Ampiezza totale percorsa: \(2006^\circ16'10''\).
Svolgimento
Separare le tre quantità richieste
La rotazione complessiva orientata è la somma con segno dei due movimenti. Il rappresentante nel primo giro descrive soltanto il lato finale. L’ampiezza totale percorsa è invece la somma delle ampiezze dei due movimenti, senza compensare i versi opposti. Calcoliamo separatamente questi tre dati.
Calcolare la prima fase con il suo segno
Tre giri completi hanno ampiezza \(3\cdot360^\circ=1080^\circ\). La prima fase continua nello stesso verso per altri \(125^\circ40'20''\), quindi l’ampiezza è:
\[ 1080^\circ+125^\circ40'20''=1205^\circ40'20''. \]
Il verso è orario: la misura orientata è
\[ \alpha_1=-\left(1205^\circ40'20''\right). \]
Il segno meno riguarda gradi, primi e secondi insieme.
Calcolare la seconda fase con il suo segno
Due giri completi hanno ampiezza \(720^\circ\). Aggiungiamo gli ulteriori \(80^\circ35'50''\):
\[ 720^\circ+80^\circ35'50''=800^\circ35'50''. \]
Il verso è antiorario, quindi:
\[ \alpha_2=+\left(800^\circ35'50''\right). \]
Stabilire il segno del bilancio orientato
Sommiamo una misura negativa e una positiva. Per farlo confrontiamo i valori assoluti. L’ampiezza della prima fase è maggiore, perché \(1205\) gradi superano \(800\) gradi. Il risultato avrà quindi segno negativo e ampiezza pari alla differenza tra le due misure positive.
Eseguire la differenza sessagesimale
Dobbiamo calcolare \(1205^\circ40'20''-800^\circ35'50''\). Poiché \(20''<50''\), prendiamo un primo dai \(40'\) e lo trasformiamo in \(60''\):
\[ 1205^\circ40'20''=1205^\circ39'80''. \]
Ora possiamo sottrarre componente per componente:
\[ 80''-50''=30'',\qquad39'-35'=4',\qquad1205^\circ-800^\circ=405^\circ. \]
La differenza positiva vale \(405^\circ4'30''\). Applicando il segno già stabilito:
\[ \alpha_1+\alpha_2=-\left(405^\circ4'30''\right). \]
Scegliere quanti giri aggiungere
Aggiungendo un solo giro a una misura minore di \(-405^\circ\) rimarremmo sotto zero: otteniamo infatti \(-\left(45^\circ4'30''\right)\). Aggiungiamo quindi due giri, pari a \(720^\circ\). Il rappresentante si trova calcolando:
\[ 720^\circ-405^\circ4'30''. \]
Calcolare il rappresentante con due prestiti
Partiamo da \(720^\circ0'0''\). Per avere secondi da sottrarre, trasformiamo prima un grado in primi e poi uno di questi primi in secondi:
\[ 720^\circ0'0''=719^\circ60'0''=719^\circ59'60''. \]
Ora:
\[ 719^\circ59'60''-405^\circ4'30''=314^\circ55'30''. \]
Il risultato è maggiore di zero e minore di \(360^\circ\). Inoltre differisce dal bilancio orientato di esattamente \(720^\circ\): ha quindi lo stesso lato finale.
Sommare le ampiezze del percorso
Per il movimento totale non usiamo i segni: anche il tratto percorso nel verso opposto contribuisce all’ampiezza totale.
\[ 1205^\circ40'20''+800^\circ35'50''=2005^\circ75'70''. \]
I \(70''\) sono \(1'10''\): riportiamo un primo e otteniamo \(2005^\circ76'10''\). I \(76'\) sono \(1^\circ16'\): riportiamo un grado e otteniamo
\[ 2006^\circ16'10''. \]
Verificare e interpretare i risultati
La differenza positiva tra le due fasi era \(405^\circ4'30''\). Sommando a questa l’ampiezza minore ritroviamo l’ampiezza maggiore:
\[ 405^\circ4'30''+800^\circ35'50''=1205^\circ39'80''=1205^\circ40'20''. \]
Il bilancio orientato è negativo perché prevale la fase oraria. Il rappresentante è invece non negativo per la scelta dell’intervallo, senza che questo trasformi il movimento originario in un moto soltanto antiorario. L’ampiezza totale percorsa tiene conto di entrambe le fasi e vale \(2006^\circ16'10''\).