La tangente e la cotangente di un angolo orientato si definiscono a partire dal seno e dal coseno. Sulla circonferenza goniometrica, questi due quozienti si possono rappresentare mediante le intersezioni di una retta passante per l’origine con due rette tangenti alla circonferenza.
Nelle prossime sezioni determiniamo per quali angoli sono definite la tangente e la cotangente, ne studiamo i segni e la periodicità e calcoliamo i valori corrispondenti agli angoli notevoli. Le misure degli angoli sono espresse in radianti, salvo dove sono riportate anche in gradi.
Indice
- Definizione di tangente e cotangente
- Interpretazione sulla circonferenza goniometrica
- Tangente e cotangente nel triangolo rettangolo
- Segni nei quattro quadranti
- Periodicità e angoli opposti
- Valori degli angoli notevoli
- Esempi di calcolo
- Riepilogo
Definizione di tangente e cotangente
Sia \(\alpha\) un angolo orientato e sia \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) il punto a esso associato sulla circonferenza goniometrica.
Se \(\cos\alpha\ne 0\), la tangente di \(\alpha\) è il quoziente tra il seno e il coseno dell’angolo:
\[ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]
Se \(\sin\alpha\ne 0\), la cotangente di \(\alpha\) è il quoziente tra il coseno e il seno dell’angolo:
\[ \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Il coseno si annulla nei punti della circonferenza sull’asse delle ordinate, mentre il seno si annulla nei punti sull’asse delle ascisse. Pertanto i domini delle due funzioni sono:
\[ D_{\tan}=\mathbb R\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}, \qquad D_{\cot}=\mathbb R\setminus \left\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}. \]
Per \(\alpha=k\pi\) la tangente vale zero e la cotangente non è definita. Per \(\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\) la cotangente vale zero e la tangente non è definita.
Quando seno e coseno sono entrambi diversi da zero, tangente e cotangente sono reciproche:
\[ \tan\alpha\,\cot\alpha=1. \]
La scrittura \(\cot\alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha}\) si può quindi usare soltanto quando la tangente è definita e diversa da zero. La definizione mediante seno e coseno comprende anche gli angoli per i quali la cotangente vale zero.
Interpretazione sulla circonferenza goniometrica
Nella figura, la retta \(r\) passa per l’origine \(\mathcal{O}\) e per il punto \(P\) associato all’angolo \(\alpha\). La retta \(x=1\) è tangente alla circonferenza in \((1,0)\) e incontra \(r\) in \(T\). La retta \(y=1\) è tangente alla circonferenza in \((0,1)\) e incontra \(r\) in \(C\). La tangente di \(\alpha\) è l’ordinata di \(T\), mentre la cotangente di \(\alpha\) è l’ascissa di \(C\).
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Per capire perché si ottengono questi valori, partiamo dalle coordinate \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Moltiplicando entrambe le coordinate per uno stesso numero reale \(t\), si ottiene un punto \((t\cos\alpha,t\sin\alpha)\) della retta \(r\). Al variare di \(t\) si percorre l’intera retta. In particolare, i valori negativi di \(t\) danno i punti dalla parte opposta a \(P\) rispetto all’origine.
Il punto \(T\) è l’intersezione di \(r\) con la retta \(x=1\). Per trovarlo, imponiamo che la sua ascissa sia \(1\), cioè \(t\cos\alpha=1\). Se \(\cos\alpha\ne 0\), otteniamo \(t=\displaystyle\frac{1}{\cos\alpha}\). L’ordinata di \(T\) è quindi \(t\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\). Questo valore coincide con il coefficiente angolare di \(r\).
La retta \(y=1\) è tangente alla circonferenza in \((0,1)\). Per trovare \(C\), imponiamo che la sua ordinata sia \(1\), cioè \(t\sin\alpha=1\). Se \(\sin\alpha\ne 0\), otteniamo \(t=\displaystyle\frac{1}{\sin\alpha}\). L’ascissa di \(C\) è quindi \(t\cos\alpha=\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha\).
Il punto \(T\) si trova sopra l’asse \(x\) se \(P\) è nel primo o nel terzo quadrante e sotto l’asse \(x\) se \(P\) è nel secondo o nel quarto. La sua ordinata è \(\tan\alpha\), quindi la posizione di \(T\) rispetto all’asse \(x\) rende visibile il segno della tangente.
Se \(\cos\alpha=0\), la retta \(r\) è verticale e parallela a \(x=1\), perciò \(T\) non esiste. Analogamente, se \(\sin\alpha=0\), la retta \(r\) è orizzontale e parallela a \(y=1\), perciò \(C\) non esiste.
Tangente e cotangente nel triangolo rettangolo
Sia \(\alpha\) un angolo acuto di un triangolo rettangolo. Indichiamo con \(a\) la lunghezza del cateto opposto ad \(\alpha\), con \(b\) quella del cateto adiacente e con \(c\) quella dell’ipotenusa. Poiché \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{a}{c}\) e \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{b}{c}\), si ha:
\[ \tan\alpha=\frac{\frac ac}{\frac bc}=\frac{a}{b}, \qquad \cot\alpha=\frac{\frac bc}{\frac ac}=\frac{b}{a}. \]
La tangente è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente. La cotangente è il rapporto tra il cateto adiacente e il cateto opposto. I due rapporti dipendono soltanto dall’angolo \(\alpha\), poiché triangoli rettangoli con lo stesso angolo acuto sono simili.
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Segni nei quattro quadranti
All’interno di ciascun quadrante, seno e coseno sono entrambi diversi da zero. I quozienti \(\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) e \(\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) hanno quindi lo stesso segno: sono positivi se seno e coseno hanno lo stesso segno e negativi se hanno segni opposti.
| Quadrante | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| III | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| IV | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
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Periodicità e angoli opposti
Periodo fondamentale
Aggiungere \(\pi\) a un angolo porta al punto diametralmente opposto sulla circonferenza goniometrica. Le due coordinate cambiano segno:
\[ \cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha. \]
Il doppio cambio di segno lascia invariati i quozienti. Per \(k\) positivo si itera il passaggio da \(\alpha\) ad \(\alpha+\pi\). Per \(k\) negativo si itera il passaggio inverso, ottenuto applicando la stessa identità ad \(\alpha-\pi\). Il caso \(k=0\) è immediato. Nei rispettivi domini valgono quindi le identità:
\[ \tan(\alpha+k\pi)=\tan\alpha, \qquad \cot(\alpha+k\pi)=\cot\alpha. \]
Il periodo fondamentale di entrambe le funzioni è \(\pi\). Infatti, se \(p>0\) è un periodo della tangente, allora \(\tan p=\tan 0=0\), da cui \(p=k\pi\). Se \(p>0\) è un periodo della cotangente, allora \(\cot\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+p\right)=\cot\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\), da cui ancora \(p=k\pi\). In entrambi i casi il più piccolo periodo positivo è quindi \(\pi\).
Se \(P\) e \(Q\) sono i punti associati ad \(\alpha\) e \(\alpha+\pi\), allora sono diametralmente opposti. Individuano la stessa retta \(r\) passante per \(\mathcal{O}\) e quindi gli stessi punti di intersezione \(T\) e \(C\), quando esistono.
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Angoli opposti
Passando da \(\alpha\) a \(-\alpha\), il coseno resta invariato e il seno cambia segno. Di conseguenza, nei rispettivi domini, si ha:
\[ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha, \qquad \cot(-\alpha)=-\cot\alpha. \]
La tangente e la cotangente sono quindi entrambe funzioni dispari.
Valori degli angoli notevoli
I valori notevoli si ricavano dai corrispondenti valori di seno e coseno. Per esempio, poiché \(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac12\) e \(\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\), si ottiene:
\[ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}, \qquad \cot\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3. \]
| Radianti | Gradi | Tangente | Cotangente |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0^\circ\) | \(0\) | Non definita |
| \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) | \(30^\circ\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\) | \(\sqrt3\) |
| \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) | \(45^\circ\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) | \(60^\circ\) | \(\sqrt3\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) | \(90^\circ\) | Non definita | \(0\) |
Esempi di calcolo
Tangente di un angolo nel secondo quadrante
Per calcolare \(\tan\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\), osserviamo che \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+\pi\). Per la periodicità e la disparità della tangente si ha:
\[ \tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) =\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) =-\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{\sqrt3}{3}. \]
Cotangente di un angolo negativo
Per calcolare \(\cot\left(-\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right)\), aggiungiamo \(2\pi\), che è un multiplo del periodo fondamentale:
\[ \cot\left(-\frac{7\pi}{4}\right) =\cot\left(-\frac{7\pi}{4}+2\pi\right) =\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) =1. \]
Un angolo per cui la tangente non è definita
Per \(\alpha=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) il coseno vale \(0\) e il seno vale \(-1\). La tangente non è definita, perché il suo denominatore è zero. La cotangente è invece definita e vale:
\[ \cot\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{0}{-1}=0. \]
Tangente e cotangente ricavate dal seno e dal quadrante
Supponiamo che \(\sin\alpha=\displaystyle\frac35\) e che \(\alpha\) appartenga al secondo quadrante. Dall’identità \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) si ottiene \(\cos^2\alpha=\displaystyle\frac{16}{25}\). Nel secondo quadrante il coseno è negativo, quindi \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac45\). Pertanto
\[ \tan\alpha=\frac{\frac35}{-\frac45}=-\frac34, \qquad \cot\alpha=\frac{-\frac45}{\frac35}=-\frac43. \]
I due segni negativi concordano con la tabella dei segni del secondo quadrante, e i due valori sono reciproci, come previsto.
Riepilogo
- La tangente è \(\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) ed è definita per \(\alpha\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
- La cotangente è \(\cot\alpha=\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) ed è definita per \(\alpha\ne k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
- Sulla circonferenza goniometrica, la tangente si legge come ordinata sulla retta \(x=1\) e la cotangente come ascissa sulla retta \(y=1\).
- Dove sono entrambe definite, tangente e cotangente sono reciproche. Sono positive nel primo e nel terzo quadrante e negative nel secondo e nel quarto.
- Entrambe sono dispari e hanno periodo fondamentale \(\pi\).