Esercizio del 06/03/2026 - 09:00 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x} = 5 \]
Risultato
\[ x = 25 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Il radicando deve essere non negativo: \(x \geq 0\).
Elevamento al quadrato
Il secondo membro è positivo, quindi l'elevamento al quadrato conserva l'equivalenza.
\[ x = 25 \]
Verifica
\[ \sqrt{25} = 5 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 25} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 09:10 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x - 3} = 4 \]
Risultato
\[ x = 19 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x - 3 \geq 0 \implies x \geq 3 \]
Elevamento al quadrato
\[ x - 3 = 16 \implies x = 19 \]
Verifica
\[ \sqrt{19-3} = \sqrt{16} = 4 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 19} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 09:20 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{2x + 1} = 3 \]
Risultato
\[ x = 4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 2x + 1 \geq 0 \implies x \geq -\tfrac{1}{2} \]
Elevamento al quadrato
\[ 2x + 1 = 9 \implies x = 4 \]
Verifica
\[ \sqrt{9} = 3 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 4} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 09:30 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 6} \]
Risultato
\[ x = 4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 3x-2 \geq 0 \implies x \geq \tfrac{2}{3} \qquad x+6 \geq 0 \implies x \geq -6 \]
Condizione complessiva: \(x \geq \tfrac{2}{3}\).
Idea risolutiva
Se due radici quadrate sono uguali e i radicandi sono entrambi non negativi, si possono eguagliare i radicandi.
Uguaglianza dei radicandi
\[ 3x - 2 = x + 6 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \]
Verifica
\[ \sqrt{10} = \sqrt{10} \]
Risultato
\[ \boxed{x = 4} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 09:45 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{x + 4} = x - 2 \]
Risultato
\[ x = 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x+4 \geq 0 \implies x \geq -4 \qquad x-2 \geq 0 \implies x \geq 2 \]
Il secondo membro deve essere non negativo perché è uguale a una radice. Condizione dominante: \(x \geq 2\).
Elevamento al quadrato
\[ x+4 = (x-2)^2 = x^2-4x+4 \implies x^2-5x = 0 \implies x(x-5) = 0 \]
Verifica e scarto
\(x = 0\): non soddisfa \(x \geq 2\), scartato.
\(x = 5\): \(\sqrt{9} = 3 = 5-2\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 5} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 10:00 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{x^2 - 5} = 2 \]
Risultato
\[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x^2 - 5 \geq 0 \implies x \leq -\sqrt{5} \text{ oppure } x \geq \sqrt{5} \]
Elevamento al quadrato
\[ x^2 - 5 = 4 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm3 \]
Verifica di entrambe le soluzioni
\(x = 3\): \(\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2\) — valido.
\(x = -3\): \(\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -3} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 10:15 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{4x + 1} = x + 1 \]
Risultato
\[ x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 4x+1 \geq 0 \implies x \geq -\tfrac{1}{4} \qquad x+1 \geq 0 \implies x \geq -1 \]
Condizione dominante: \(x \geq -\tfrac{1}{4}\).
Elevamento al quadrato
\[ 4x+1 = (x+1)^2 = x^2+2x+1 \implies x^2-2x = 0 \implies x(x-2) = 0 \]
Verifica delle soluzioni candidate
\(x = 0\): \(\sqrt{1} = 1 = 0+1\) — valido.
\(x = 2\): \(\sqrt{9} = 3 = 2+1\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 2} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 10:30 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{5 - x} + x = 3 \]
Risultato
\[ x = 1 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 5-x \geq 0 \implies x \leq 5 \]
Isolamento del radicale
\[ \sqrt{5-x} = 3-x \]
Occorre \(3-x \geq 0\), cioè \(x \leq 3\). Condizione: \(x \leq 3\).
Elevamento al quadrato
\[ 5-x = (3-x)^2 = 9-6x+x^2 \implies x^2-5x+4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0 \]
Verifica e scarto
\(x = 4\): non soddisfa \(x \leq 3\), scartato.
\(x = 1\): \(\sqrt{4}+1 = 2+1 = 3\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 1} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 10:45 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt[3]{x - 1} = 2 \]
Risultato
\[ x = 9 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
La radice cubica è definita per tutti i reali: non ci sono condizioni da imporre.
Elevamento al cubo
La funzione cubo è strettamente crescente, quindi l'operazione non introduce soluzioni estranee.
\[ x-1 = 2^3 = 8 \implies x = 9 \]
Verifica
\[ \sqrt[3]{9-1} = \sqrt[3]{8} = 2 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 9} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 11:00 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{2x - 3} = x - 3 \]
Risultato
\[ x = 6 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 2x-3 \geq 0 \implies x \geq \tfrac{3}{2} \qquad x-3 \geq 0 \implies x \geq 3 \]
Condizione dominante: \(x \geq 3\).
Elevamento al quadrato
\[ 2x-3 = (x-3)^2 = x^2-6x+9 \implies x^2-8x+12 = 0 \implies (x-2)(x-6) = 0 \]
Verifica e scarto
\(x = 2\): non soddisfa \(x \geq 3\), scartato.
\(x = 6\): \(\sqrt{9} = 3 = 6-3\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 6} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 11:20 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x + 7} - \sqrt{x} = 1 \]
Risultato
\[ x = 9 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x \geq 0 \]
Isolamento di un radicale
\[ \sqrt{x+7} = 1 + \sqrt{x} \]
Primo elevamento al quadrato
\[ x+7 = 1 + 2\sqrt{x} + x \implies 6 = 2\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 3 \]
Secondo elevamento al quadrato
\[ x = 9 \]
Verifica
\[ \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4-3 = 1 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 9} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 11:35 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1} = 3 \]
Risultato
\[ x = 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x+2 \geq 0,\quad x-1 \geq 0 \implies x \geq 1 \]
Isolamento di un radicale
\[ \sqrt{x+2} = 3 - \sqrt{x-1} \]
Occorre \(3-\sqrt{x-1} \geq 0\), cioè \(x \leq 10\). Condizione: \(1 \leq x \leq 10\).
Primo elevamento al quadrato
\[ x+2 = 9 - 6\sqrt{x-1} + (x-1) = 8+x-6\sqrt{x-1} \]
\[ 2 = 8-6\sqrt{x-1} \implies 6\sqrt{x-1} = 6 \implies \sqrt{x-1} = 1 \]
Secondo elevamento al quadrato
\[ x-1 = 1 \implies x = 2 \]
Verifica
\[ \sqrt{4}+\sqrt{1} = 2+1 = 3 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 2} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 11:50 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{3x + 4} - \sqrt{x + 1} = 1 \]
Risultato
\[ x = -1 \quad \text{oppure} \quad x = 0 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 3x+4 \geq 0 \implies x \geq -\tfrac{4}{3} \qquad x+1 \geq 0 \implies x \geq -1 \]
Condizione dominante: \(x \geq -1\).
Isolamento di un radicale
\[ \sqrt{3x+4} = 1+\sqrt{x+1} \]
Primo elevamento al quadrato
\[ 3x+4 = 1+2\sqrt{x+1}+(x+1) = x+2+2\sqrt{x+1} \]
\[ 2x+2 = 2\sqrt{x+1} \implies x+1 = \sqrt{x+1} \]
Secondo elevamento al quadrato
Poniamo \(t = \sqrt{x+1} \geq 0\). Allora \(t^2 = t \implies t(t-1) = 0 \implies t = 0\) oppure \(t = 1\).
\(t = 0\): \(x+1=0 \implies x=-1\). Verifica: \(\sqrt{1}-\sqrt{0}=1\) — valido.
\(t = 1\): \(x+1=1 \implies x=0\). Verifica: \(\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = -1 \quad \text{oppure} \quad x = 0} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 12:05 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 4} = 4 \]
Risultato
\[ x = 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x-4 \geq 0 \implies x \geq 4 \]
Isolamento di un radicale
\[ \sqrt{x+4} = 4 - \sqrt{x-4} \]
Occorre \(4-\sqrt{x-4} \geq 0\), cioè \(x \leq 20\). Condizione: \(4 \leq x \leq 20\).
Primo elevamento al quadrato
\[ x+4 = 16 - 8\sqrt{x-4} + (x-4) = 12+x-8\sqrt{x-4} \]
\[ 4 = 12 - 8\sqrt{x-4} \implies 8\sqrt{x-4} = 8 \implies \sqrt{x-4} = 1 \]
Secondo elevamento al quadrato
\[ x-4 = 1 \implies x = 5 \]
Verifica
\[ \sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3 = 4 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 5} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 12:20 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} = 2 \]
Risultato
\[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = 11 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 2x+3 \geq 0,\quad x-2 \geq 0 \implies x \geq 2 \]
Isolamento di un radicale
\[ \sqrt{2x+3} = 2+\sqrt{x-2} \]
Primo elevamento al quadrato
\[ 2x+3 = 4+4\sqrt{x-2}+(x-2) = x+2+4\sqrt{x-2} \]
\[ x+1 = 4\sqrt{x-2} \]
Secondo elevamento al quadrato
\[ (x+1)^2 = 16(x-2) \implies x^2+2x+1 = 16x-32 \implies x^2-14x+33 = 0 \]
\[ (x-3)(x-11) = 0 \]
Verifica di entrambe le soluzioni
\(x=3\): \(\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2\) — valido.
\(x=11\): \(\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = 11} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 12:35 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{5x + 4} \]
Risultato
\[ x = 1 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 2x-1 \geq 0 \implies x \geq \tfrac{1}{2} \]
Elevamento al quadrato di entrambi i membri
\[ (2x-1)+(x+3)+2\sqrt{(2x-1)(x+3)} = 5x+4 \]
\[ 3x+2+2\sqrt{(2x-1)(x+3)} = 5x+4 \]
\[ 2\sqrt{(2x-1)(x+3)} = 2x+2 \implies \sqrt{(2x-1)(x+3)} = x+1 \]
Occorre \(x+1 \geq 0\) (automatico per \(x \geq \tfrac{1}{2}\)).
Secondo elevamento al quadrato
\[ (2x-1)(x+3) = (x+1)^2 \implies 2x^2+5x-3 = x^2+2x+1 \implies x^2+3x-4 = 0 \]
\[ (x+4)(x-1) = 0 \]
Verifica e scarto
\(x=-4\): non soddisfa \(x \geq \tfrac{1}{2}\), scartato.
\(x=1\): \(\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3=\sqrt{9}\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 1} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 12:50 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2} \]
Risultato
\[ x = 1 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ 2x-1 \geq 0 \implies x \geq \tfrac{1}{2} \qquad x+\sqrt{2x-1} \geq 0 \text{ (automatico)} \]
Primo elevamento al quadrato
\[ x + \sqrt{2x-1} = 2 \implies \sqrt{2x-1} = 2-x \]
Occorre \(2-x \geq 0\), cioè \(x \leq 2\). Condizione: \(\tfrac{1}{2} \leq x \leq 2\).
Secondo elevamento al quadrato
\[ 2x-1 = (2-x)^2 = 4-4x+x^2 \implies x^2-6x+5 = 0 \implies (x-1)(x-5) = 0 \]
Verifica e scarto
\(x=5\): non soddisfa \(x \leq 2\), scartato.
\(x=1\): \(\sqrt{1+\sqrt{1}}=\sqrt{2}\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 1} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 13:05 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{3x + 7} \]
Risultato
\[ x = 6 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x-2 \geq 0 \implies x \geq 2 \]
Elevamento al quadrato di entrambi i membri
\[ (x+3)+(x-2)+2\sqrt{(x+3)(x-2)} = 3x+7 \]
\[ 2x+1+2\sqrt{(x+3)(x-2)} = 3x+7 \]
\[ 2\sqrt{(x+3)(x-2)} = x+6 \]
Occorre \(x+6 \geq 0\) (automatico per \(x \geq 2\)).
Secondo elevamento al quadrato
\[ 4(x+3)(x-2) = (x+6)^2 \implies 4x^2+4x-24 = x^2+12x+36 \implies 3x^2-8x-60 = 0 \]
\[ \Delta = 64+720 = 784 = 28^2 \implies x = \frac{8\pm28}{6} \]
Verifica e scarto
\(x=-\tfrac{10}{3}\): non soddisfa \(x \geq 2\), scartato.
\(x=6\): \(\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5=\sqrt{25}\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 6} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 13:20 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2} = \sqrt{4x - 1} \]
Risultato
\[ x = 1 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
\[ x-1 \geq 0 \implies x \geq 1 \]
Elevamento al quadrato di entrambi i membri
\[ (x-1)+(x+2)+2\sqrt{(x-1)(x+2)} = 4x-1 \]
\[ 2x+1+2\sqrt{(x-1)(x+2)} = 4x-1 \implies 2\sqrt{(x-1)(x+2)} = 2(x-1) \]
\[ \sqrt{(x-1)(x+2)} = x-1 \]
Occorre \(x-1 \geq 0\) (già garantito da \(x \geq 1\)).
Secondo elevamento al quadrato
\[ (x-1)(x+2) = (x-1)^2 \implies (x-1)\left[(x+2)-(x-1)\right] = 0 \implies 3(x-1) = 0 \]
\[ x = 1 \]
Verifica
\[ \sqrt{0}+\sqrt{3} = \sqrt{3} = \sqrt{3} \]
Risultato
\[ \boxed{x = 1} \]
Esercizio del 06/03/2026 - 13:35 — livello ★★★★★
\[ \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x - 1} = \sqrt[3]{2x} \]
Risultato
\[ x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = -1 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si sfrutta l'identità \((a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)\) con \(a=\sqrt[3]{x+1}\), \(b=\sqrt[3]{x-1}\), \(a+b=\sqrt[3]{2x}\).
Elevamento al cubo di entrambi i membri
\[ a^3+b^3+3ab(a+b) = (a+b)^3 \implies (x+1)+(x-1)+3\sqrt[3]{(x+1)(x-1)}\cdot\sqrt[3]{2x} = 2x \]
\[ 2x + 3\sqrt[3]{2x(x^2-1)} = 2x \implies 3\sqrt[3]{2x(x^2-1)} = 0 \]
Soluzione
\[ 2x(x^2-1) = 0 \implies x = 0,\; x = 1,\; x = -1 \]
Verifica di tutte le soluzioni
\(x=0\): \(\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{-1}=1-1=0=\sqrt[3]{0}\) — valido.
\(x=1\): \(\sqrt[3]{2}+0=\sqrt[3]{2}\) — valido.
\(x=-1\): \(0+\sqrt[3]{-2}=-\sqrt[3]{2}\) — valido.
Risultato
\[ \boxed{x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = -1} \]