Esercizi Svolti - Regola di ruffini

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Idea risolutiva

Il divisore è un binomio di primo grado della forma \(x - a\): in questi casi la regola di Ruffini è lo strumento più efficiente. Anziché eseguire la divisione tra polinomi nella forma estesa, si lavora esclusivamente sui coefficienti del dividendo, riducendo notevolmente il numero di operazioni.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 1\). Nella regola di Ruffini si utilizza il valore che annulla il divisore: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Pertanto: \[ a = 1 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -6 \quad 11 \quad -6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 1\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 1\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -6 + 1 = -5 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(1\) e si somma:

\[ -5 \cdot 1 = -5 \] \[ 11 + (-5) = 6 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 6 \cdot 1 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - 5x + 6 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 1\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ x^2 - 5x + 4 \]

Idea risolutiva

Riconosciamo che il divisore è un binomio lineare della forma \(x - a\). Questo ci permette di applicare il teorema di Ruffini: invece di svolgere la divisione colonna per colonna tra polinomi, è sufficiente disporre i coefficienti del dividendo in una tabella ed eseguire una sequenza alternata di moltiplicazioni e addizioni.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 2\), già scritto nella forma canonica \(x - a\): non è necessaria alcuna riscrittura. Il valore che annulla il divisore si ottiene direttamente: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Pertanto: \[ a = 2 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -7 \quad 14 \quad -8 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 2\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 2\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -7 + 2 = -5 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(2\) e si somma:

\[ -5 \cdot 2 = -10 \] \[ 14 + (-10) = 4 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 4 \cdot 2 = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \\ & & 2 & -10 & 8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - 5x + 4 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 5x + 4} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 2\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 2)(x^2 - 5x + 4) \]

\[ x^2 - x - 2 \]

Idea risolutiva

Il divisore è un binomio lineare. Prima di applicare la regola di Ruffini occorre prestare attenzione al segno: il divisore non è della forma \(x - a\) con \(a\) positivo, bensì \(x + 3\). È quindi necessario identificare correttamente la radice del divisore, ovvero il valore di \(x\) che lo annulla, per non commettere errori di segno durante il procedimento.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 3\). Poiché la regola di Ruffini richiede la forma \(x - a\), riscriviamo il divisore mettendo in evidenza il segno: \[ x + 3 = x - (-3) \] Il valore che annulla il divisore è quindi: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Pertanto: \[ a = -3 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad 2 \quad -5 \quad -6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -3\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -3\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 2 + (-3) = -1 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-3\) e si somma:

\[ -1 \cdot (-3) = 3 \] \[ -5 + 3 = -2 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -2 \cdot (-3) = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \\ & & -3 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - x - 2 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - x - 2} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 3\) e si può scrivere come: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2) \]

\[ x^2 - 4x + 3 \]

Idea risolutiva

Anche in questo caso il divisore è lineare con segno positivo davanti alla costante, esattamente come nell'esercizio precedente. Ricordiamo che la regola di Ruffini richiede di inserire nello schema non il termine noto del divisore, bensì la radice del divisore, cioè il valore di \(x\) che lo annulla: un errore di segno in questa fase si propagherebbe a tutti i passi successivi.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 2\). Riscriviamo nella forma \(x - a\): \[ x + 2 = x - (-2) \] Il valore che annulla il divisore è: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Pertanto: \[ a = -2 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -2 \quad -5 \quad 6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -2\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -2\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -2 + (-2) = -4 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-2\) e si somma:

\[ -4 \cdot (-2) = 8 \] \[ -5 + 8 = 3 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 3 \cdot (-2) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \\ & & -2 & 8 & -6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - 4x + 3 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 4x + 3} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 2\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x^2 - 4x + 3) \]

\[ 2x^2 + x - 6 \]

Idea risolutiva

Il divisore è della forma \(x - a\), dunque si può applicare la regola di Ruffini. Vale la pena notare che il coefficiente direttivo del dividendo è \(2\) e non \(1\): questo non costituisce alcun ostacolo, poiché la regola opera sui coefficienti così come sono, qualunque sia il loro valore. Sarà sufficiente riportarli tutti correttamente nello schema.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 1\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Pertanto: \[ a = 1 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 \] I coefficienti associati sono: \[ 2 \quad -1 \quad -7 \quad 6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 1\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 2 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 1\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -1 + 2 = 1 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(1\) e si somma:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \\ & & 2 & 1 & -6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente. Poiché il dividendo era di grado 3 con coefficiente direttivo \(2\), il quoziente è di grado 2 con coefficiente direttivo \(2\): \[ 2x^2 + x - 6 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{2x^2 + x - 6} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 1\) e si può scrivere come: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(2x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 6x + 8 \]

Idea risolutiva

Il divisore è della forma \(x - a\), dunque si applica la regola di Ruffini. È utile ricordare che il grado del polinomio quoziente è sempre esattamente uno in meno rispetto al grado del dividendo: dividendo un polinomio di grado 3 per un binomio di grado 1, ci aspettiamo un quoziente di grado 2. Questo ci consente di verificare a colpo d'occhio che il risultato sia plausibile.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 3\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Pertanto: \[ a = 3 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -9 \quad 26 \quad -24 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 3\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 3\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -9 + 3 = -6 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(3\) e si somma:

\[ -6 \cdot 3 = -18 \] \[ 26 + (-18) = 8 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 8 \cdot 3 = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \\ & & 3 & -18 & 24 \\ \hline & 1 & -6 & 8 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - 6x + 8 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 6x + 8} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 3\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 3)(x^2 - 6x + 8) \]

\[ x^2 + 3x - 4 \]

Idea risolutiva

Il divisore è \(x + 1\), un caso particolare in cui la radice vale \(-1\). Nella regola di Ruffini questo significa che ad ogni passo si moltiplica per \(-1\), ovvero si cambia semplicemente il segno del valore corrente prima di sommarlo al coefficiente successivo. È un caso computazionalmente comodo, ma richiede comunque attenzione: l'alternanza di segni può generare errori se si procede di fretta.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 1 = x - (-1)\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \] Pertanto: \[ a = -1 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad 4 \quad -1 \quad -4 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -1\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -1\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot (-1) = -1 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 4 + (-1) = 3 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-1\) e si somma:

\[ 3 \cdot (-1) = -3 \] \[ -1 + (-3) = -4 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -4 \cdot (-1) = 4 \] \[ -4 + 4 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \\ & & -1 & 3 & -4 \end{array} \]

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \\ & & -1 & -3 & 4 \\ \hline & 1 & 3 & -4 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 + 3x - 4 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 + 3x - 4} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 1\) e si può scrivere come: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 = (x + 1)(x^2 + 3x - 4) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Idea risolutiva

La presenza di un binomio lineare al denominatore suggerisce l'uso della regola di Ruffini. Vale la pena confrontarla mentalmente con la divisione lunga tra polinomi: quest'ultima richiederebbe di riscrivere più volte i termini del dividendo e di sottrarre polinomi interi, mentre Ruffini riduce tutto a una riga di moltiplicazioni e addizioni scalari. La compattezza dello schema è particolarmente vantaggiosa quando i coefficienti sono numericamente elevati.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 4\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4 \] Pertanto: \[ a = 4 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -5 \quad -2 \quad 24 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 4\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 4\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot 4 = 4 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -5 + 4 = -1 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(4\) e si somma:

\[ -1 \cdot 4 = -4 \] \[ -2 + (-4) = -6 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -6 \cdot 4 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \\ & & 4 & -4 & -24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - x - 6 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 4\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 = (x - 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Idea risolutiva

Il divisore \(x + 4\) ha segno positivo davanti alla costante, come nei casi \(x + 3\) e \(x + 2\) già incontrati. La regola di Ruffini si applica in modo identico, ma è opportuno ribadire il ragionamento: non si inserisce \(+4\) nello schema, bensì la radice del divisore, ovvero il valore \(x = -4\) che lo annulla. Confondere il termine noto del divisore con la sua radice è l'errore più frequente nell'applicazione di questa tecnica.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 4 = x - (-4)\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Pertanto: \[ a = -4 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad 3 \quad -10 \quad -24 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -4\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -4\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 3 + (-4) = -1 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-4\) e si somma:

\[ -1 \cdot (-4) = 4 \] \[ -10 + 4 = -6 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -6 \cdot (-4) = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \\ & & -4 & 4 & 24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - x - 6 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 4\) e si può scrivere come: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = (x + 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ 2x^2 + 7x + 3 \]

Idea risolutiva

Il divisore è della forma \(x - a\), dunque si può applicare la regola di Ruffini. Il dividendo ha coefficiente direttivo \(2\): vale la pena osservare che tale valore si trasferisce invariato come primo elemento della riga inferiore dello schema, e determina il coefficiente direttivo del quoziente. In altri termini, il quoziente di un polinomio con coefficiente direttivo \(k\) diviso per un binomio monico avrà anch'esso coefficiente direttivo \(k\).

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 2\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Pertanto: \[ a = 2 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \] I coefficienti associati sono: \[ 2 \quad 3 \quad -11 \quad -6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 2\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 2 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 2\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 2 \cdot 2 = 4 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 3 + 4 = 7 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(2\) e si somma:

\[ 7 \cdot 2 = 14 \] \[ -11 + 14 = 3 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \\ & & 4 & 14 & 6 \\ \hline & 2 & 7 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente. Il coefficiente direttivo \(2\) del dividendo compare invariato come primo coefficiente del quoziente: \[ 2x^2 + 7x + 3 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{2x^2 + 7x + 3} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 2\) e si può scrivere come: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \]

\[ x^2 + 2x - 8 \]

Idea risolutiva

Prima di applicare la regola di Ruffini, è utile richiamare il teorema su cui essa si fonda: il teorema del resto afferma che il resto della divisione di un polinomio \(p(x)\) per \((x - a)\) è uguale a \(p(a)\). In particolare, se \(p(a) = 0\) allora il resto è nullo e \((x - a)\) è un divisore esatto. Ruffini non fa altro che rendere meccanico e compatto il calcolo di quoziente e resto che questo teorema garantisce.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 3\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Pertanto: \[ a = 3 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -1 \quad -14 \quad 24 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 3\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 3\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -1 + 3 = 2 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(3\) e si somma:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \] \[ -14 + 6 = -8 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -8 \cdot 3 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \\ & & 3 & 6 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -8 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 + 2x - 8 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 + 2x - 8} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 3\) e si può scrivere come: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x - 3)(x^2 + 2x - 8) \]

\[ x^2 - 6x + 5 \]

Idea risolutiva

Applichiamo la regola di Ruffini e, al termine, verificheremo il risultato nel modo più diretto possibile: espandendo il prodotto \((x + 2)(x^2 - 6x + 5)\) e controllando che si ottenga il polinomio di partenza. Questa abitudine di verifica — rapida da eseguire — permette di individuare immediatamente eventuali errori di calcolo commessi durante lo schema.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 2 = x - (-2)\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Pertanto: \[ a = -2 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -4 \quad -7 \quad 10 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -2\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -2\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -4 + (-2) = -6 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-2\) e si somma:

\[ -6 \cdot (-2) = 12 \] \[ -7 + 12 = 5 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 5 \cdot (-2) = -10 \] \[ 10 + (-10) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \\ & & -2 & 12 & -10 \\ \hline & 1 & -6 & 5 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - 6x + 5 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 6x + 5} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 2\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x + 2)(x^2 - 6x + 5) \]

\[ 3x^2 + x - 2 \]

Idea risolutiva

Anche in questo caso il divisore è della forma \(x - a\) e si applica la regola di Ruffini. Il coefficiente direttivo del dividendo è \(3\): nei passi intermedi i prodotti saranno multipli di \(3\), il che non aumenta la difficoltà del metodo, ma richiede di non trascurare alcun fattore. È buona norma, con coefficienti non unitari, rileggere ogni moltiplicazione prima di procedere al passo successivo.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 2\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Pertanto: \[ a = 2 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \] I coefficienti associati sono: \[ 3 \quad -5 \quad -4 \quad 4 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 2\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 3 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 2\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -5 + 6 = 1 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(2\) e si somma:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \] \[ -4 + 2 = -2 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -2 \cdot 2 = -4 \] \[ 4 + (-4) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \\ & & 6 & 2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente. Il coefficiente direttivo \(3\) del dividendo si ritrova invariato come primo coefficiente del quoziente: \[ 3x^2 + x - 2 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{3x^2 + x - 2} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 2\) e si può scrivere come: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(3x^2 + x - 2) \]

\[ x^2 + x - 2 \]

Idea risolutiva

Il divisore è \(x + 4\), con termine noto di valore assoluto maggiore rispetto ai casi precedenti. Nella regola di Ruffini questo si traduce in prodotti intermedi più grandi: è opportuno eseguire ogni moltiplicazione con attenzione, poiché un errore su un valore elevato produce scarti più evidenti nella riga finale. Dal punto di vista procedurale non cambia nulla: si individua la radice \(a = -4\) e si procede come sempre.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 4 = x - (-4)\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Pertanto: \[ a = -4 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad 5 \quad 2 \quad -8 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -4\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -4\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 5 + (-4) = 1 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-4\) e si somma:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \] \[ 2 + (-4) = -2 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -2 \cdot (-4) = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \\ & & -4 & -4 & 8 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 + x - 2 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 + x - 2} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 4\) e si può scrivere come: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x^2 + x - 2) \]

\[ 2x^2 - 3x - 2 \]

Idea risolutiva

Oltre a fornire quoziente e resto, la regola di Ruffini è uno strumento di fattorizzazione: ogni volta che il resto è nullo, il polinomio si scrive come prodotto del divisore per il quoziente. Se anche il quoziente ottenuto è ulteriormente fattorizzabile — ad esempio tramite la formula quadratica — si ottiene la decomposizione completa in fattori irriducibili del polinomio di partenza. In questo esercizio il quoziente \(2x^2 - 3x - 2\) è un trinomio che si può fattorizzare ulteriormente, ma ciò esula dall'obiettivo corrente.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 3\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Pertanto: \[ a = 3 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \] I coefficienti associati sono: \[ 2 \quad -9 \quad 7 \quad 6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 3\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 2 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 3\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -9 + 6 = -3 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(3\) e si somma:

\[ -3 \cdot 3 = -9 \] \[ 7 + (-9) = -2 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -2 \cdot 3 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \\ & & 6 & -9 & -6 \\ \hline & 2 & -3 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ 2x^2 - 3x - 2 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{2x^2 - 3x - 2} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 3\) e si può scrivere come: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = (x - 3)(2x^2 - 3x - 2) \]

\[ x^2 + x - 6 \]

Idea risolutiva

Il dividendo \(x^3 - 7x + 6\) non contiene il termine in \(x^2\): si tratta di un polinomio con un termine mancante. Prima di applicare la regola di Ruffini è indispensabile rendere esplicito il coefficiente nullo corrispondente, inserendo \(0\) nella posizione di \(x^2\) all'interno dello schema. Dimenticare questo passaggio porterebbe ad associare ogni coefficiente alla potenza sbagliata, invalidando l'intero calcolo.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 1\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Pertanto: \[ a = 1 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio scritto in forma completa con il termine mancante esplicitato è: \[ x^3 + 0x^2 - 7x + 6 \] I coefficienti associati, nell'ordine, sono: \[ 1 \quad 0 \quad -7 \quad 6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 1\) a sinistra e si riportano tutti e quattro i coefficienti — incluso lo zero — sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 1\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 0 + 1 = 1 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(1\) e si somma:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 + x - 6 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 + x - 6} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 1\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Idea risolutiva

Prima di avviare lo schema, conviene verificare rapidamente che \(x + 3\) sia effettivamente un divisore esatto, calcolando \(p(-3)\) a mente: \((-3)^3 - 2(-3)^2 - 9(-3) + 18 = -27 - 18 + 27 + 18 = 0\). Questa pre-verifica, resa possibile dal teorema del resto, richiede pochi secondi e ci assicura che lo schema di Ruffini produrrà resto nullo. Se invece il risultato fosse diverso da zero, sapremmo già che la divisione non è esatta, senza dover completare l'intero schema.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 3 = x - (-3)\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Pertanto: \[ a = -3 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad -2 \quad -9 \quad 18 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -3\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -3\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ -2 + (-3) = -5 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-3\) e si somma:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -9 + 15 = 6 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 6 \cdot (-3) = -18 \] \[ 18 + (-18) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \\ & & -3 & 15 & -18 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 - 5x + 6 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta, come anticipato dalla pre-verifica.

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 3\) e si può scrivere come: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x + 3)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ 2x^2 - 5x + 2 \]

Idea risolutiva

Questo esercizio combina due elementi già incontrati separatamente: un divisore della forma \(x + k\) con \(k > 0\) — che impone di ricavare una radice negativa — e un coefficiente direttivo del dividendo diverso da \(1\). La regola di Ruffini gestisce entrambe le situazioni senza modifiche al procedimento; ciò che cambia è solo la maggiore attenzione richiesta nell'eseguire prodotti che coinvolgono simultaneamente numeri negativi e coefficienti interi superiori all'unità.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x + 3 = x - (-3)\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Pertanto: \[ a = -3 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 \] I coefficienti associati sono: \[ 2 \quad 1 \quad -13 \quad 6 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = -3\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 2 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = -3\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 1 + (-6) = -5 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(-3\) e si somma:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -13 + 15 = 2 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \\ & & -6 & 15 & -6 \\ \hline & 2 & -5 & 2 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente. Il coefficiente direttivo \(2\) del dividendo si ritrova come primo coefficiente del quoziente: \[ 2x^2 - 5x + 2 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{2x^2 - 5x + 2} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x + 3\) e si può scrivere come: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x + 3)(2x^2 - 5x + 2) \]

\[ x^2 + 2x - 3 \]

Idea risolutiva

Applicare la regola di Ruffini non si limita a trovare quoziente e resto: quando il resto è nullo, \(a\) è una radice del polinomio dividendo. In questo esercizio otterremo il quoziente \(x^2 + 2x - 3\), anch'esso fattorizzabile come \((x - 1)(x + 3)\). Ciò significa che \(x = 1\) è una radice doppia e \(x = -3\) è un'ulteriore radice, e la decomposizione completa del polinomio di partenza è \((x-1)^2(x+3)\). Ruffini è quindi il primo passo di una catena di fattorizzazioni.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 1\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Pertanto: \[ a = 1 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 \] I coefficienti associati sono: \[ 1 \quad 1 \quad -5 \quad 3 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 1\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 1 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 1\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 1 + 1 = 2 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(1\) e si somma:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \] \[ -5 + 2 = -3 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -3 \cdot 1 = -3 \] \[ 3 + (-3) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \\ & & 1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente: \[ x^2 + 2x - 3 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{x^2 + 2x - 3} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 1\) e si può scrivere come: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x^2 + 2x - 3) \] Fattorizzando ulteriormente il quoziente si ottiene la decomposizione completa: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)^2(x + 3) \]

\[ 3x^2 + 5x - 2 \]

Idea risolutiva

Giunti al ventesimo esercizio, possiamo fare un bilancio del metodo. La regola di Ruffini ha dimostrato di essere applicabile in modo uniforme indipendentemente dal segno della radice, dal valore assoluto dei coefficienti o dal coefficiente direttivo del dividendo. L'unica condizione necessaria resta che il divisore sia un binomio monico di primo grado \(x - a\): quando questa condizione è soddisfatta, lo schema a tre righe fornisce sempre quoziente e resto in modo rapido e controllabile.

Individuazione del valore da utilizzare

Il divisore è \(x - 1\), già nella forma canonica \(x - a\). Il valore che annulla il divisore è: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Pertanto: \[ a = 1 \]

Scrittura dei coefficienti

Il polinomio è già ordinato in potenze decrescenti: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 \] I coefficienti associati sono: \[ 3 \quad 2 \quad -7 \quad 2 \]

Costruzione dello schema di Ruffini

Si dispone il valore \(a = 1\) a sinistra e si riportano i coefficienti sulla riga superiore:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \end{array} \]

Applicazione passo passo della regola

Passo 1: si riporta il primo coefficiente nella riga inferiore senza modificarlo.

\[ 3 \]

Passo 2: si moltiplica il valore appena scritto per \(a = 1\) e si colloca il risultato sotto il coefficiente successivo:

\[ 3 \cdot 1 = 3 \]

Passo 3: si sommano i valori presenti nella colonna:

\[ 2 + 3 = 5 \]

Passo 4: si ripete il procedimento: si moltiplica il valore ottenuto per \(1\) e si somma:

\[ 5 \cdot 1 = 5 \] \[ -7 + 5 = -2 \]

Passo 5: si esegue l'ultimo passaggio:

\[ -2 \cdot 1 = -2 \] \[ 2 + (-2) = 0 \]

Schema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \\ & & 3 & 5 & -2 \\ \hline & 3 & 5 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretazione del risultato

I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l'ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente. Il coefficiente direttivo \(3\) del dividendo compare invariato come primo coefficiente del quoziente: \[ 3x^2 + 5x - 2 \]

L'ultimo valore è il resto della divisione: \[ r = 0 \] Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.

Risultato

\[ \boxed{3x^2 + 5x - 2} \]

Conclusione

Essendo il resto nullo, il polinomio iniziale è divisibile per \(x - 1\) e si può scrivere come: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 = (x - 1)(3x^2 + 5x - 2) \]