Esercizio del 12/03/2026 - 3:30 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2 - 9)(x^2 + 6x + 9) - (x+3)^2(x-3)^2}{x^2 - 3x} \]
Risultato
\[ \frac{6(x+3)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
La frazione esiste solo quando il denominatore è diverso da zero. Fattorizziamo subito: \[ x^2 - 3x = x(x-3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 3 \).
Idea risolutiva
Sia il numeratore che il denominatore contengono prodotti notevoli: l'obiettivo è fattorizzare tutto, raccogliere i fattori comuni e semplificare la frazione.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3), \quad x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \] Il numeratore diventa quindi:
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni nel numeratore: \[ (x-3)(x+3)^3 - (x-3)^2(x+3)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-3)\) e \((x+3)^2\): li raccogliamo fuori: \[ (x-3)(x+3)^2\,[(x+3)-(x-3)] \]
Semplificazione della parentesi
La differenza tra i due binomi si riduce a una costante: \[ (x+3)-(x-3) = x+3-x+3 = 6 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2 - 3x = x(x-3) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{6(x+3)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-3)(x+3)^3 - (x-3)^2(x+3)^2}{x^2-3x} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)^2\,[(x+3)-(x-3)]}{x(x-3)} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)^2 \cdot 6}{x(x-3)} \] \[ = \frac{6(x+3)^2}{x} \]
Esercizio del 12/03/2026 - 3:45 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2-1)(x^2-4)-(x-1)(x+1)(x-2)^2}{x^2-3x+2} \]
Risultato
\[ 4(x+1) \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore per trovare i valori esclusi: \[ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 1 \) e \( x \neq 2 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di due prodotti che condividono fattori comuni. Fattorizzando con i prodotti notevoli, possiamo raccogliere quei fattori e semplificare tutto con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)(x-2)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-1)\), \((x+1)\) e \((x-2)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-1)(x+1)(x-2)\,[(x+2)-(x-2)] \]
Calcolo della parentesi
La differenza tra i binomi si annulla lasciando solo una costante: \[ (x+2)-(x-2) = x+2-x+2 = 4 \]
Denominatore fattorizzato
Troviamo due numeri il cui prodotto è \(2\) e la cui somma è \(-3\): sono \(-1\) e \(-2\): \[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]
Risultato
Semplificando \((x-1)\) e \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{4(x+1)} \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)(x-2)^2}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)\,[(x+2)-(x-2)]}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-2) \cdot 4}{(x-1)(x-2)} \] \[ = 4(x+1) \]
Esercizio del 12/03/2026 - 6:35 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-4)^2-(x^2-1)^2}{x(x^2-4)} \]
Risultato
\[ \frac{-3(2x^2-5)}{x(x-2)(x+2)} \quad x \neq 0,\; x \neq 2,\; x \neq -2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x(x^2-4) = x(x-2)(x+2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \), \( x \neq 2 \) e \( x \neq -2 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di quadrati in cui i "quadrati" non sono semplici variabili, ma interi polinomi. Poniamo \(A = x^2-4\) e \(B = x^2-1\) e applichiamo la formula: \[ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \]
Applicazione della formula
Sostituendo \(A\) e \(B\): \[ [x^2-4-(x^2-1)][x^2-4+(x^2-1)] \]
Calcolo dei due fattori
Nel primo fattore i termini in \(x^2\) si cancellano; nel secondo si sommano: \[ [(x^2-4)-(x^2-1)] = -3 \] \[ [x^2-4+(x^2-1)] = 2x^2-5 \]
Numeratore semplificato
Il numeratore diventa quindi il prodotto dei due fattori appena calcolati: \[ -3(2x^2-5) \]
Denominatore fattorizzato
Applichiamo la differenza di quadrati anche a \(x^2 - 4\): \[ x(x^2-4) = x(x-2)(x+2) \]
Risultato
Non ci sono fattori comuni tra numeratore e denominatore, quindi la forma finale è: \[ \boxed{\frac{-3(2x^2-5)}{x(x-2)(x+2)}} \quad x \neq 0,\; x \neq 2,\; x \neq -2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4)^2-(x^2-1)^2}{x(x^2-4)} \] \[ = \frac{\bigl(x^2-4-(x^2-1)\bigr)\bigl(x^2-4+(x^2-1)\bigr)}{x(x^2-4)} \] \[ = \frac{(-3)(2x^2-5)}{x(x^2-4)} \] \[ = \frac{-3(2x^2-5)}{x(x-2)(x+2)} \]
Esercizio del 13/03/2026 - 5:34 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2-4x+4)(x^2-1)-(x-2)^2(x-1)^2}{x^2-3x+2} \]
Risultato
\[ 2(x-2) \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 1 \) e \( x \neq 2 \).
Idea risolutiva
Prima di tutto riconosciamo i prodotti notevoli nascosti nel numeratore, così da poter raccogliere i fattori comuni e semplificare con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo il quadrato di binomio e la differenza di quadrati: \[ x^2-4x+4 = (x-2)^2, \quad x^2-1 = (x-1)(x+1) \] Il numeratore diventa: \[ (x-2)^2(x-1)(x+1)-(x-2)^2(x-1)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-2)^2\) e \((x-1)\): \[ (x-2)^2(x-1)\,[(x+1)-(x-1)] \]
Calcolo della parentesi
La differenza tra i binomi lascia solo una costante: \[ (x+1)-(x-1) = x+1-x+1 = 2 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(2\) e somma \(-3\) sono \(-1\) e \(-2\): \[ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \]
Risultato
Semplificando \((x-1)\) e \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{2(x-2)} \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4x+4)(x^2-1)-(x-2)^2(x-1)^2}{x^2-3x+2} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x-1)(x+1)-(x-2)^2(x-1)^2}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x-1)\,[(x+1)-(x-1)]}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x-1) \cdot 2}{(x-1)(x-2)} \] \[ = 2(x-2) \]
Esercizio del 13/03/2026 - 6:05 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2-9)(x^2-4x+4)-(x-3)^2(x-2)^2}{x^2-5x+6} \]
Risultato
\[ 6(x-2) \quad x \neq 2,\; x \neq 3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 2 \) e \( x \neq 3 \).
Idea risolutiva
Come negli esercizi analoghi, si tratta di fattorizzare il numeratore usando i prodotti notevoli, raccogliere il fattore comune e poi semplificare con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-9 = (x-3)(x+3), \quad x^2-4x+4 = (x-2)^2 \] Il numeratore diventa: \[ (x-3)(x+3)(x-2)^2-(x-3)^2(x-2)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-3)\) e \((x-2)^2\): \[ (x-3)(x-2)^2\,[(x+3)-(x-3)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e rimane solo la somma delle costanti: \[ (x+3)-(x-3) = x+3-x+3 = 6 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(6\) e somma \(-5\) sono \(-2\) e \(-3\): \[ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) e \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{6(x-2)} \quad x \neq 2,\; x \neq 3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-9)(x^2-4x+4)-(x-3)^2(x-2)^2}{x^2-5x+6} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-2)^2-(x-3)^2(x-2)^2}{(x-2)(x-3)} \] \[ = \frac{(x-3)(x-2)^2\,[(x+3)-(x-3)]}{(x-2)(x-3)} \] \[ = \frac{(x-3)(x-2)^2 \cdot 6}{(x-2)(x-3)} \] \[ = 6(x-2) \]
Esercizio del 20/03/2026 - 3:46 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2-4)(x^2+4x+4)-(x-2)^2(x+2)^2}{x^2-2x} \]
Risultato
\[ \frac{4(x+2)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-2x = x(x-2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 2 \).
Idea risolutiva
La struttura è analoga al primo esercizio: si riconoscono i prodotti notevoli, si raccoglie il fattore comune nel numeratore e si semplifica con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-4 = (x-2)(x+2), \quad x^2+4x+4 = (x+2)^2 \] Il numeratore diventa: \[ (x-2)(x+2)^3-(x-2)^2(x+2)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-2)\) e \((x+2)^2\): \[ (x-2)(x+2)^2\,[(x+2)-(x-2)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si eliminano e restano solo le costanti: \[ (x+2)-(x-2) = x+2-x+2 = 4 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2-2x = x(x-2) \]
Risultato
Semplificando \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{4(x+2)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4)(x^2+4x+4)-(x-2)^2(x+2)^2}{x^2-2x} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)^3-(x-2)^2(x+2)^2}{x(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)^2\,[(x+2)-(x-2)]}{x(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)^2 \cdot 4}{x(x-2)} \] \[ = \frac{4(x+2)^2}{x} \]
Esercizio del 21/03/2026 - 4:00 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2-16)(x^2+8x+16)-(x-4)^2(x+4)^2}{x^2-4x} \]
Risultato
\[ \frac{8(x+4)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
La frazione esiste solo quando il denominatore è diverso da zero. Fattorizziamo subito: \[ x^2-4x = x(x-4) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 4 \).
Idea risolutiva
Numeratore e denominatore contengono prodotti notevoli. L'obiettivo è fattorizzare tutto, raccogliere i fattori comuni nel numeratore e semplificare la frazione.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-16 = (x-4)(x+4), \quad x^2+8x+16 = (x+4)^2 \] Il numeratore diventa quindi:
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni nel numeratore: \[ (x-4)(x+4)^3-(x-4)^2(x+4)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-4)\) e \((x+4)^2\): li raccogliamo fuori: \[ (x-4)(x+4)^2\,[(x+4)-(x-4)] \]
Semplificazione della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+4)-(x-4) = x+4-x+4 = 8 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2-4x = x(x-4) \]
Risultato
Semplificando \((x-4)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{8(x+4)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 4 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-16)(x^2+8x+16)-(x-4)^2(x+4)^2}{x^2-4x} \] \[ = \frac{(x-4)(x+4)^3-(x-4)^2(x+4)^2}{x(x-4)} \] \[ = \frac{(x-4)(x+4)^2\,[(x+4)-(x-4)]}{x(x-4)} \] \[ = \frac{(x-4)(x+4)^2 \cdot 8}{x(x-4)} \] \[ = \frac{8(x+4)^2}{x} \]
Esercizio del 21/03/2026 - 4:20 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2-25)(x^2+10x+25)-(x+5)^2(x-5)^2}{x^2-5x} \]
Risultato
\[ \frac{10(x+5)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-5x = x(x-5) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 5 \).
Idea risolutiva
La struttura è analoga agli esercizi precedenti: fattorizzare con i prodotti notevoli, raccogliere i fattori comuni e semplificare.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-25 = (x-5)(x+5), \quad x^2+10x+25 = (x+5)^2 \] Il numeratore diventa quindi:
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-5)(x+5)^3-(x-5)^2(x+5)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-5)\) e \((x+5)^2\): \[ (x-5)(x+5)^2\,[(x+5)-(x-5)] \]
Semplificazione della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+5)-(x-5) = x+5-x+5 = 10 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2-5x = x(x-5) \]
Risultato
Semplificando \((x-5)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{10(x+5)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 5 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-25)(x^2+10x+25)-(x+5)^2(x-5)^2}{x^2-5x} \] \[ = \frac{(x-5)(x+5)^3-(x-5)^2(x+5)^2}{x(x-5)} \] \[ = \frac{(x-5)(x+5)^2\,[(x+5)-(x-5)]}{x(x-5)} \] \[ = \frac{(x-5)(x+5)^2 \cdot 10}{x(x-5)} \] \[ = \frac{10(x+5)^2}{x} \]
Esercizio del 21/03/2026 - 4:45 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-9)(x^2-16)-(x-3)(x+3)(x-4)^2}{x^2-7x+12} \]
Risultato
\[ 8(x+3) \quad x \neq 3,\; x \neq 4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 3 \) e \( x \neq 4 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di due prodotti che condividono fattori comuni. Fattorizzando con le differenze di quadrati, possiamo raccogliere e semplificare con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-9=(x-3)(x+3), \quad x^2-16=(x-4)(x+4) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-3)(x+3)(x-4)(x+4)-(x-3)(x+3)(x-4)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-3)\), \((x+3)\) e \((x-4)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-3)(x+3)(x-4)\,[(x+4)-(x-4)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+4)-(x-4) = x+4-x+4 = 8 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(12\) e somma \(-7\) sono \(-3\) e \(-4\): \[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) e \((x-4)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{8(x+3)} \quad x \neq 3,\; x \neq 4 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-9)(x^2-16)-(x-3)(x+3)(x-4)^2}{x^2-7x+12} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)-(x-3)(x+3)(x-4)^2}{(x-3)(x-4)} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-4)\,[(x+4)-(x-4)]}{(x-3)(x-4)} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-4) \cdot 8}{(x-3)(x-4)} \] \[ = 8(x+3) \]
Esercizio del 21/03/2026 - 5:10 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-4)(x^2-25)-(x-2)(x+2)(x-5)^2}{x^2-7x+10} \]
Risultato
\[ 10(x+2) \quad x \neq 2,\; x \neq 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-7x+10 = (x-2)(x-5) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 2 \) e \( x \neq 5 \).
Idea risolutiva
Come nell'esercizio precedente, si fattorizzano entrambe le differenze di quadrati nel numeratore, si raccoglie il fattore comune e si semplifica con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-4=(x-2)(x+2), \quad x^2-25=(x-5)(x+5) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-2)(x+2)(x-5)(x+5)-(x-2)(x+2)(x-5)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-2)\), \((x+2)\) e \((x-5)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-2)(x+2)(x-5)\,[(x+5)-(x-5)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+5)-(x-5) = x+5-x+5 = 10 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(10\) e somma \(-7\) sono \(-2\) e \(-5\): \[ x^2-7x+10 = (x-2)(x-5) \]
Risultato
Semplificando \((x-2)\) e \((x-5)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{10(x+2)} \quad x \neq 2,\; x \neq 5 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4)(x^2-25)-(x-2)(x+2)(x-5)^2}{x^2-7x+10} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-5)(x+5)-(x-2)(x+2)(x-5)^2}{(x-2)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-5)\,[(x+5)-(x-5)]}{(x-2)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-5) \cdot 10}{(x-2)(x-5)} \] \[ = 10(x+2) \]
Esercizio del 22/03/2026 - 3:30 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-9)^2-(x^2-4)^2}{x(x^2-9)} \]
Risultato
\[ \frac{-5(2x^2-13)}{x(x-3)(x+3)} \quad x \neq 0,\; x \neq 3,\; x \neq -3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \), \( x \neq 3 \) e \( x \neq -3 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di quadrati in cui i "quadrati" sono interi polinomi. Poniamo \(A = x^2-9\) e \(B = x^2-4\) e applichiamo la formula: \[ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \]
Applicazione della formula
Sostituendo \(A\) e \(B\): \[ \bigl[x^2-9-(x^2-4)\bigr]\bigl[x^2-9+(x^2-4)\bigr] \]
Calcolo dei due fattori
Nel primo fattore i termini in \(x^2\) si cancellano; nel secondo si sommano: \[ (x^2-9-(x^2-4)) = -5 \] \[ (x^2-9+(x^2-4)) = 2x^2-13 \]
Numeratore semplificato
Il numeratore diventa il prodotto dei due fattori appena calcolati: \[ -5(2x^2-13) \]
Denominatore fattorizzato
Applichiamo la differenza di quadrati a \(x^2-9\): \[ x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) \]
Risultato
Non ci sono fattori comuni tra numeratore e denominatore, quindi la forma finale è: \[ \boxed{\frac{-5(2x^2-13)}{x(x-3)(x+3)}} \quad x \neq 0,\; x \neq 3,\; x \neq -3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-9)^2-(x^2-4)^2}{x(x^2-9)} \] \[ = \frac{\bigl(x^2-9-(x^2-4)\bigr)\bigl(x^2-9+(x^2-4)\bigr)}{x(x^2-9)} \] \[ = \frac{(-5)(2x^2-13)}{x(x^2-9)} \] \[ = \frac{-5(2x^2-13)}{x(x-3)(x+3)} \]
Esercizio del 22/03/2026 - 3:55 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-16)^2-(x^2-9)^2}{x(x^2-16)} \]
Risultato
\[ \frac{-7(2x^2-25)}{x(x-4)(x+4)} \quad x \neq 0,\; x \neq 4,\; x \neq -4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x(x^2-16) = x(x-4)(x+4) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \), \( x \neq 4 \) e \( x \neq -4 \).
Idea risolutiva
Come nell'esercizio precedente, il numeratore è una differenza di quadrati tra due polinomi. Poniamo \(A = x^2-16\) e \(B = x^2-9\) e applichiamo: \[ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \]
Applicazione della formula
Sostituendo \(A\) e \(B\): \[ \bigl(x^2-16-(x^2-9)\bigr)\bigl(x^2-16+(x^2-9)\bigr) \]
Calcolo dei due fattori
Nel primo fattore i termini in \(x^2\) si cancellano; nel secondo si sommano: \[ (x^2-16-(x^2-9)) = -7 \] \[ (x^2-16+(x^2-9)) = 2x^2-25 \]
Numeratore semplificato
Il numeratore diventa il prodotto dei due fattori appena calcolati: \[ -7(2x^2-25) \]
Denominatore fattorizzato
Applichiamo la differenza di quadrati a \(x^2-16\): \[ x(x^2-16) = x(x-4)(x+4) \]
Risultato
Non ci sono fattori comuni tra numeratore e denominatore, quindi la forma finale è: \[ \boxed{\frac{-7(2x^2-25)}{x(x-4)(x+4)}} \quad x \neq 0,\; x \neq 4,\; x \neq -4 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-16)^2-(x^2-9)^2}{x(x^2-16)} \] \[ = \frac{\bigl(x^2-16-(x^2-9)\bigr)\bigl(x^2-16+(x^2-9)\bigr)}{x(x^2-16)} \] \[ = \frac{(-7)(2x^2-25)}{x(x^2-16)} \] \[ = \frac{-7(2x^2-25)}{x(x-4)(x+4)} \]
Esercizio del 22/03/2026 - 4:20 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-6x+9)(x^2-25)-(x-3)^2(x-5)^2}{x^2-8x+15} \]
Risultato
\[ 10(x-3) \quad x \neq 3,\; x \neq 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-8x+15 = (x-3)(x-5) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 3 \) e \( x \neq 5 \).
Idea risolutiva
Riconosciamo i prodotti notevoli nel numeratore, raccogliamo i fattori comuni e semplifichiamo con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo il quadrato di binomio e la differenza di quadrati: \[ x^2-6x+9 = (x-3)^2, \quad x^2-25 = (x-5)(x+5) \] Il numeratore diventa: \[ (x-3)^2(x-5)(x+5)-(x-3)^2(x-5)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-3)^2\) e \((x-5)\): \[ (x-3)^2(x-5)\,[(x+5)-(x-5)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+5)-(x-5) = x+5-x+5 = 10 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(15\) e somma \(-8\) sono \(-3\) e \(-5\): \[ x^2-8x+15 = (x-3)(x-5) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) e \((x-5)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{10(x-3)} \quad x \neq 3,\; x \neq 5 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-6x+9)(x^2-25)-(x-3)^2(x-5)^2}{x^2-8x+15} \] \[ = \frac{(x-3)^2(x-5)(x+5)-(x-3)^2(x-5)^2}{(x-3)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-3)^2(x-5)\,[(x+5)-(x-5)]}{(x-3)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-3)^2(x-5) \cdot 10}{(x-3)(x-5)} \] \[ = 10(x-3) \]
Esercizio del 22/03/2026 - 4:50 · ★★★★★
\[ \frac{(x^2-1)(x^2-9)-(x+1)(x-1)(x+3)^2}{x^2+2x-3} \]
Risultato
\[ -6(x+1) \quad x \neq 1,\; x \neq -3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 1 \) e \( x \neq -3 \).
Idea risolutiva
Il numeratore contiene una differenza di due prodotti con fattori in comune. Attenzione: la raccolta produrrà una differenza di binomi con segno negativo, quindi il risultato finale sarà negativo.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-1)(x+1)(x-3)(x+3)-(x-1)(x+1)(x+3)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-1)\), \((x+1)\) e \((x+3)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-1)(x+1)(x+3)\,[(x-3)-(x+3)] \]
Calcolo della parentesi
Sottraendo i binomi, le \(x\) si annullano e resta un valore negativo: \[ (x-3)-(x+3) = x-3-x-3 = -6 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(-3\) e somma \(2\) sono \(-1\) e \(3\): \[ x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) \]
Risultato
Semplificando \((x-1)\) e \((x+3)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{-6(x+1)} \quad x \neq 1,\; x \neq -3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)-(x-1)(x+1)(x+3)^2}{(x-1)(x+3)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x+3)\,[(x-3)-(x+3)]}{(x-1)(x+3)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x+3) \cdot (-6)}{(x-1)(x+3)} \] \[ = -6(x+1) \]
Esercizio del 06/04/2026 - 9:00 · ★★★☆☆
\[ \frac{(x^2-36)(x^2+12x+36)-(x-6)^2(x+6)^2}{x^2-6x} \]
Risultato
\[ \frac{12(x+6)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 6 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-6x = x(x-6) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 6 \).
Idea risolutiva
La struttura è analoga ai primi esercizi: si fattorizzano i prodotti notevoli nel numeratore, si raccoglie il fattore comune e si semplifica con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-36 = (x-6)(x+6), \quad x^2+12x+36 = (x+6)^2 \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-6)(x+6)^3-(x-6)^2(x+6)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-6)\) e \((x+6)^2\): \[ (x-6)(x+6)^2\,[(x+6)-(x-6)] \]
Semplificazione della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+6)-(x-6) = x+6-x+6 = 12 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2-6x = x(x-6) \]
Risultato
Semplificando \((x-6)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{12(x+6)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 6 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-6)(x+6)^3-(x-6)^2(x+6)^2}{x(x-6)} \] \[ = \frac{(x-6)(x+6)^2\,[(x+6)-(x-6)]}{x(x-6)} \] \[ = \frac{(x-6)(x+6)^2 \cdot 12}{x(x-6)} \] \[ = \frac{12(x+6)^2}{x} \]
Esercizio del 06/04/2026 - 9:20 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2+2x+1)(x^2-4)-(x+1)^2(x-2)^2}{x^2-x-2} \]
Risultato
\[ 4(x+1) \quad x \neq -1,\; x \neq 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-x-2 = (x+1)(x-2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq -1 \) e \( x \neq 2 \).
Idea risolutiva
Il numeratore contiene un quadrato di binomio e una differenza di quadrati non ancora sviluppati. Una volta riconosciuti, si raccolgono i fattori comuni e si semplifica con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo il quadrato di binomio e la differenza di quadrati: \[ x^2+2x+1 = (x+1)^2, \quad x^2-4 = (x-2)(x+2) \] Il numeratore diventa: \[ (x+1)^2(x-2)(x+2)-(x+1)^2(x-2)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x+1)^2\) e \((x-2)\): \[ (x+1)^2(x-2)\,[(x+2)-(x-2)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+2)-(x-2) = x+2-x+2 = 4 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(-2\) e somma \(-1\) sono \(1\) e \(-2\): \[ x^2-x-2 = (x+1)(x-2) \]
Risultato
Semplificando \((x+1)\) e \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{4(x+1)} \quad x \neq -1,\; x \neq 2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x+1)^2(x-2)(x+2)-(x+1)^2(x-2)^2}{(x+1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x+1)^2(x-2)\,[(x+2)-(x-2)]}{(x+1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x+1)^2(x-2) \cdot 4}{(x+1)(x-2)} \] \[ = 4(x+1) \]
Esercizio del 06/04/2026 - 9:45 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-4)(x^2-36)-(x-2)(x+2)(x-6)^2}{x^2-8x+12} \]
Risultato
\[ 12(x+2) \quad x \neq 2,\; x \neq 6 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-8x+12 = (x-2)(x-6) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 2 \) e \( x \neq 6 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di due prodotti con fattori comuni. Si fattorizzano entrambe le differenze di quadrati e si raccoglie il fattore comune.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-4=(x-2)(x+2), \quad x^2-36=(x-6)(x+6) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-2)(x+2)(x-6)(x+6)-(x-2)(x+2)(x-6)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-2)\), \((x+2)\) e \((x-6)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-2)(x+2)(x-6)\,[(x+6)-(x-6)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+6)-(x-6) = x+6-x+6 = 12 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(12\) e somma \(-8\) sono \(-2\) e \(-6\): \[ x^2-8x+12 = (x-2)(x-6) \]
Risultato
Semplificando \((x-2)\) e \((x-6)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{12(x+2)} \quad x \neq 2,\; x \neq 6 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-6)(x+6)-(x-2)(x+2)(x-6)^2}{(x-2)(x-6)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-6)\,[(x+6)-(x-6)]}{(x-2)(x-6)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-6) \cdot 12}{(x-2)(x-6)} \] \[ = 12(x+2) \]
Esercizio del 06/04/2026 - 10:10 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-25)^2-(x^2-16)^2}{x(x^2-25)} \]
Risultato
\[ \frac{-9(2x^2-41)}{x(x-5)(x+5)} \quad x \neq 0,\; x \neq 5,\; x \neq -5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x(x^2-25) = x(x-5)(x+5) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \), \( x \neq 5 \) e \( x \neq -5 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di quadrati tra due polinomi. Poniamo \(A = x^2-25\) e \(B = x^2-16\) e applichiamo: \[ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \]
Applicazione della formula
Sostituendo \(A\) e \(B\): \[ \bigl(x^2-25-(x^2-16)\bigr)\bigl(x^2-25+(x^2-16)\bigr) \]
Calcolo dei due fattori
Nel primo fattore i termini in \(x^2\) si cancellano; nel secondo si sommano: \[ (x^2-25-(x^2-16)) = -9 \] \[ (x^2-25+(x^2-16)) = 2x^2-41 \]
Numeratore semplificato
Il numeratore diventa il prodotto dei due fattori: \[ -9(2x^2-41) \]
Denominatore fattorizzato
Applichiamo la differenza di quadrati a \(x^2-25\): \[ x(x^2-25) = x(x-5)(x+5) \]
Risultato
Non ci sono fattori comuni tra numeratore e denominatore, quindi la forma finale è: \[ \boxed{\frac{-9(2x^2-41)}{x(x-5)(x+5)}} \quad x \neq 0,\; x \neq 5,\; x \neq -5 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-25)^2-(x^2-16)^2}{x(x^2-25)} \] \[ = \frac{\bigl(x^2-25-(x^2-16)\bigr)\bigl(x^2-25+(x^2-16)\bigr)}{x(x^2-25)} \] \[ = \frac{(-9)(2x^2-41)}{x(x^2-25)} \] \[ = \frac{-9(2x^2-41)}{x(x-5)(x+5)} \]
Esercizio del 06/04/2026 - 10:35 · ★★★★☆
\[ \frac{(x^2-4x+4)(x^2-9)-(x-2)^2(x+3)^2}{x^2+x-6} \]
Risultato
\[ -6(x-2) \quad x \neq 2,\; x \neq -3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2+x-6 = (x-2)(x+3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 2 \) e \( x \neq -3 \).
Idea risolutiva
Si riconoscono i prodotti notevoli nel numeratore. Attenzione: la differenza prodotta dalla raccolta avrà segno negativo, rendendo il risultato finale negativo.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo il quadrato di binomio e la differenza di quadrati: \[ x^2-4x+4 = (x-2)^2, \quad x^2-9 = (x-3)(x+3) \] Il numeratore diventa: \[ (x-2)^2(x-3)(x+3)-(x-2)^2(x+3)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-2)^2\) e \((x+3)\): \[ (x-2)^2(x+3)\,[(x-3)-(x+3)] \]
Calcolo della parentesi
Sottraendo i binomi, le \(x\) si annullano e resta un valore negativo: \[ (x-3)-(x+3) = x-3-x-3 = -6 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(-6\) e somma \(1\) sono \(-2\) e \(3\): \[ x^2+x-6 = (x-2)(x+3) \]
Risultato
Semplificando \((x-2)\) e \((x+3)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{-6(x-2)} \quad x \neq 2,\; x \neq -3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-2)^2(x-3)(x+3)-(x-2)^2(x+3)^2}{(x-2)(x+3)} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x+3)\,[(x-3)-(x+3)]}{(x-2)(x+3)} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x+3) \cdot (-6)}{(x-2)(x+3)} \] \[ = -6(x-2) \]
Esercizio del 06/04/2026 - 11:00 · ★★★★★
\[ \frac{(x^2-1)(x^2-16)-(x-1)(x+1)(x+4)^2}{x^2+3x-4} \]
Risultato
\[ -8(x+1) \quad x \neq 1,\; x \neq -4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2+3x-4 = (x-1)(x+4) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 1 \) e \( x \neq -4 \).
Idea risolutiva
Il numeratore contiene due prodotti con fattori comuni. La raccolta produrrà una differenza di binomi con segno negativo. Occorre prestare attenzione anche alla fattorizzazione del denominatore, che ha termine noto negativo e termine in \(x\) positivo.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^2-16=(x-4)(x+4) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-1)(x+1)(x-4)(x+4)-(x-1)(x+1)(x+4)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-1)\), \((x+1)\) e \((x+4)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-1)(x+1)(x+4)\,[(x-4)-(x+4)] \]
Calcolo della parentesi
Sottraendo i binomi, le \(x\) si annullano e resta un valore negativo: \[ (x-4)-(x+4) = x-4-x-4 = -8 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(-4\) e somma \(3\) sono \(-1\) e \(4\): \[ x^2+3x-4 = (x-1)(x+4) \]
Risultato
Semplificando \((x-1)\) e \((x+4)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{-8(x+1)} \quad x \neq 1,\; x \neq -4 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)-(x-1)(x+1)(x+4)^2}{(x-1)(x+4)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x+4)\,[(x-4)-(x+4)]}{(x-1)(x+4)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x+4) \cdot (-8)}{(x-1)(x+4)} \] \[ = -8(x+1) \]