Il Teorema di Weierstrass è uno dei risultati fondamentali dell'analisi matematica. Esso afferma che una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato assume necessariamente un valore massimo e un valore minimo.
In altre parole, una funzione continua su un intervallo del tipo \([a,b]\) non solo è limitata, ma raggiunge effettivamente i suoi estremi assoluti in almeno un punto dell'intervallo.
Indice
- Enunciato del Teorema di Weierstrass
- Esistenza del massimo
- Esistenza del minimo
- Perché le ipotesi sono necessarie
Enunciato del Teorema di Weierstrass
Sia
\[ f:[a,b]\to\mathbb R \]
una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato \([a,b]\subseteq\mathbb R\). Allora \(f\) è limitata e ammette massimo e minimo assoluti su \([a,b]\).
Ciò significa che esistono due punti \(x_M,x_m\in[a,b]\) tali che
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
per ogni \(x\in[a,b]\).
Il numero \(f(x_M)\) è il massimo assoluto di \(f\) su \([a,b]\), mentre il numero \(f(x_m)\) è il minimo assoluto di \(f\) su \([a,b]\).
Esistenza del massimo
Dimostriamo prima che \(f\) assume massimo assoluto su \([a,b]\).
Supponiamo per assurdo che \(f\) non sia limitata superiormente su \([a,b]\). Allora, per ogni \(n\in\mathbb N\), esiste un punto \(x_n\in[a,b]\) tale che
\[ f(x_n)>n. \]
La successione \((x_n)\) è contenuta nell'intervallo chiuso e limitato \([a,b]\), quindi è limitata. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una sottosuccessione convergente:
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Poiché \(a\leq x_{n_k}\leq b\) per ogni \(k\), passando al limite si ottiene
\[ x_0\in[a,b]. \]
Essendo \(f\) continua in \(x_0\), si ha
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
In particolare, la successione \((f(x_{n_k}))\) deve essere limitata, perché ogni successione convergente è limitata.
D'altra parte, dalla costruzione iniziale abbiamo
\[ f(x_{n_k})>n_k. \]
Poiché \(n_k\to+\infty\), segue che \(f(x_{n_k})\to+\infty\), in contraddizione con il fatto che \((f(x_{n_k}))\) è convergente e quindi limitata.
Dunque \(f\) è limitata superiormente su \([a,b]\).
Possiamo allora definire
\[ M=\sup f([a,b]). \]
Vogliamo dimostrare che questo estremo superiore è effettivamente assunto dalla funzione.
Per la caratterizzazione dell'estremo superiore, per ogni \(n\in\mathbb N\) esiste \(x_n\in[a,b]\) tale che
\[ M-\frac{1}{n}\lt f(x_n)\leq M. \]
Da ciò segue che
\[ f(x_n)\to M. \]
La successione \((x_n)\) è contenuta in \([a,b]\), quindi è limitata. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione
\[ x_{n_k}\to x_M \]
con \(x_M\in[a,b]\).
Per la continuità di \(f\), si ha
\[ f(x_{n_k})\to f(x_M). \]
Ma, poiché \(f(x_n)\to M\), anche la sottosuccessione \((f(x_{n_k}))\) converge a \(M\). Per l'unicità del limite,
\[ f(x_M)=M. \]
Quindi \(f\) assume massimo assoluto su \([a,b]\).
Esistenza del minimo
Dimostriamo ora che \(f\) assume minimo assoluto su \([a,b]\).
Il ragionamento è analogo a quello svolto per il massimo.
Prima di tutto, \(f\) è limitata inferiormente. Infatti, se non lo fosse, per ogni \(n\in\mathbb N\) esisterebbe un punto \(w_n\in[a,b]\) tale che
\[ f(w_n)<-n. \]
La successione \((w_n)\), essendo contenuta in \([a,b]\), è limitata. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione
\[ w_{n_k}\to w_0 \]
con \(w_0\in[a,b]\).
Per la continuità di \(f\), si avrebbe
\[ f(w_{n_k})\to f(w_0). \]
Ma dalla costruzione \(f(w_{n_k})<-n_k\), e quindi \(f(w_{n_k})\to-\infty\), impossibile per una successione convergente a un numero reale.
Dunque \(f\) è limitata inferiormente su \([a,b]\).
Possiamo quindi definire
\[ m=\inf f([a,b]). \]
Per la caratterizzazione dell'estremo inferiore, per ogni \(n\in\mathbb N\) esiste \(y_n\in[a,b]\) tale che
\[ m\leq f(y_n)\lt m+\frac{1}{n}. \]
Da ciò segue che
\[ f(y_n)\to m. \]
Poiché \((y_n)\) è contenuta in \([a,b]\), il teorema di Bolzano-Weierstrass garantisce l'esistenza di una sottosuccessione
\[ y_{n_k}\to x_m \]
con \(x_m\in[a,b]\).
Per la continuità di \(f\), si ha
\[ f(y_{n_k})\to f(x_m). \]
Ma anche \(f(y_{n_k})\to m\). Per l'unicità del limite,
\[ f(x_m)=m. \]
Quindi \(f\) assume minimo assoluto su \([a,b]\).
Abbiamo così dimostrato che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata e raggiunge sia il suo massimo assoluto sia il suo minimo assoluto.
Perché le ipotesi sono necessarie
Le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono essenziali. Se manca la continuità, oppure se l'intervallo non è chiuso o non è limitato, la conclusione può essere falsa.
Se l'intervallo non è chiuso. Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x \]
definita sull'intervallo aperto \((0,1)\). La funzione è continua e limitata, ma non assume né massimo né minimo. Infatti i valori della funzione si avvicinano a \(0\) e a \(1\), ma i punti \(0\) e \(1\) non appartengono al dominio.
Se l'intervallo non è limitato. Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x \]
definita su \(\mathbb R\). La funzione è continua, ma non è limitata né superiormente né inferiormente. Di conseguenza non ammette massimo né minimo assoluti.
Se manca la continuità. Consideriamo la funzione \(f:[0,1]\to\mathbb R\) definita da
\[ f(x)= \begin{cases} x, & 0\leq x\lt 1,\\ 0, & x=1. \end{cases} \]
Il dominio \([0,1]\) è chiuso e limitato, ma \(f\) non è continua in \(x=1\). La funzione è limitata, ma non assume massimo assoluto: infatti
\[ \sup f([0,1])=1, \]
ma non esiste alcun \(x\in[0,1]\) tale che \(f(x)=1\).
Questi esempi mostrano che il Teorema di Weierstrass dipende in modo essenziale da tutte le sue ipotesi: continuità della funzione e dominio chiuso e limitato.