Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che ogni successione reale limitata contiene almeno una sottosuccessione convergente.
Questo teorema esprime una proprietà profonda della retta reale: una successione che rimane confinata in un intervallo chiuso e limitato non può disperdersi completamente. Anche se la successione non converge, è sempre possibile estrarne una parte che converge.
Indice
- Enunciato del teorema di Bolzano-Weierstrass
- Significato del teorema
- Dimostrazione mediante intervalli annidati
- Perché l'ipotesi di limitatezza è necessaria
- Esempi di applicazione
- Relazione con i punti di accumulazione
Enunciato del teorema di Bolzano-Weierstrass
Consideriamo una successione reale
\[ (x_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Ricordiamo che una successione si dice limitata se esistono due numeri reali \(a\) e \(b\), con \(a\leq b\), tali che
\[ a\leq x_n\leq b \]
per ogni \(n\in\mathbb N\). In altre parole, tutti i termini della successione sono contenuti in uno stesso intervallo chiuso e limitato \([a,b]\).
Teorema di Bolzano-Weierstrass. Ogni successione reale limitata ammette una sottosuccessione convergente.
Equivalentemente, se \((x_n)\) è una successione reale limitata, allora esistono una successione crescente di indici
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots \]
e un numero reale \(x_0\) tali che
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
La successione \((x_{n_k})\) prende il nome di sottosuccessione di \((x_n)\).
Significato del teorema
Il teorema non afferma che ogni successione limitata sia convergente. Questo sarebbe falso. Ad esempio, la successione
\[ x_n=(-1)^n \]
è limitata, ma non converge, perché oscilla continuamente tra \(1\) e \(-1\).
Tuttavia essa contiene sottosuccessioni convergenti. Infatti, considerando gli indici pari, si ottiene
\[ x_{2k}=1 \]
per ogni \(k\), e quindi
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Considerando invece gli indici dispari, si ottiene
\[ x_{2k-1}=-1 \]
per ogni \(k\), e quindi
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma proprio questo: anche quando una successione limitata non converge globalmente, al suo interno esiste sempre una sottosuccessione che converge.
Dimostrazione mediante intervalli annidati
Dimostriamo il teorema usando il teorema degli intervalli annidati.
Sia \((x_n)\) una successione reale limitata. Allora esistono \(a,b\in\mathbb R\), con \(a\leq b\), tali che
\[ x_n\in[a,b] \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Poniamo
\[ I_1=[a,b]. \]
L'intervallo \(I_1\) contiene tutti i termini della successione, quindi contiene certamente infiniti termini della successione.
Dividiamo \(I_1\) in due intervalli chiusi di uguale ampiezza:
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Poiché \(I_1\) contiene infiniti termini della successione, almeno uno dei due sottointervalli contiene infiniti termini della successione. Scegliamo uno di questi sottointervalli e chiamiamolo \(I_2\).
Ripetiamo lo stesso procedimento. Supponiamo di avere costruito un intervallo chiuso \(I_k\) che contiene infiniti termini della successione. Dividiamo \(I_k\) in due intervalli chiusi di uguale ampiezza. Almeno uno dei due contiene infiniti termini della successione; scegliamolo e chiamiamolo \(I_{k+1}\).
In questo modo otteniamo una successione di intervalli chiusi e limitati
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots \]
tale che ogni \(I_k\) contiene infiniti termini della successione \((x_n)\).
Inoltre, a ogni passaggio l'ampiezza dell'intervallo viene dimezzata. Se \(I_1=[a,b]\), allora l'ampiezza di \(I_k\) è
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Poiché
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow 0, \]
per il teorema degli intervalli annidati esiste un unico punto \(x_0\in\mathbb R\) tale che
\[ \bigcap_{k=1}^{+\infty} I_k=\{x_0\}. \]
Resta da costruire una sottosuccessione di \((x_n)\) che converga a \(x_0\).
Per costruire tale sottosuccessione, procediamo per induzione sugli intervalli \(I_k\).
Poiché \(I_1\) contiene infiniti termini della successione, scegliamo un indice \(n_1\) tale che
\[ x_{n_1}\in I_1. \]
Poiché \(I_2\) contiene infiniti termini della successione, possiamo scegliere un indice \(n_2\) maggiore di \(n_1\) tale che
\[ x_{n_2}\in I_2. \]
In generale, supponiamo di aver scelto gli indici
\[ n_1\lt n_2\lt\cdots\lt n_k \]
in modo che
\[ x_{n_j}\in I_j \qquad \text{per ogni } j=1,\ldots,k. \]
Poiché \(I_{k+1}\) contiene infiniti termini della successione, possiamo scegliere un indice \(n_{k+1}\gt n_k\) tale che
\[ x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}. \]
Otteniamo così una sottosuccessione
\[ (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \]
tale che
\[ x_{n_k}\in I_k \qquad \forall k\in\mathbb N. \]
Dimostriamo ora che questa sottosuccessione converge a \(x_0\).
Poiché \(x_0\) appartiene a tutti gli intervalli \(I_k\) e anche \(x_{n_k}\in I_k\), la distanza tra \(x_{n_k}\) e \(x_0\) è al più uguale all'ampiezza di \(I_k\). Dunque
\[ |x_{n_k}-x_0|\leq \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Poiché
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow0, \]
per il teorema del confronto segue che
\[ |x_{n_k}-x_0|\longrightarrow0. \]
Pertanto
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Abbiamo quindi costruito una sottosuccessione convergente della successione iniziale. Questo conclude la dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass.
Perché l'ipotesi di limitatezza è necessaria
L'ipotesi di limitatezza è essenziale. Se una successione non è limitata, non è detto che essa ammetta una sottosuccessione convergente.
Consideriamo, ad esempio, la successione
\[ x_n=n. \]
Essa non è limitata superiormente. Inoltre ogni sua sottosuccessione è della forma
\[ x_{n_k}=n_k, \]
dove
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots. \]
Poiché gli indici \(n_k\) tendono a \(+\infty\), si ha
\[ x_{n_k}=n_k\longrightarrow+\infty. \]
Nessuna sottosuccessione può quindi convergere a un numero reale.
Questo esempio mostra che la limitatezza non è una condizione accessoria: è proprio ciò che impedisce ai termini della successione di fuggire all'infinito.
Esempi di applicazione
Esempio 1. Consideriamo la successione
\[ x_n=(-1)^n. \]
La successione è limitata, poiché
\[ -1\leq x_n\leq1 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\). Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette almeno una sottosuccessione convergente.
In effetti, considerando gli indici pari, si ottiene
\[ x_{2k}=1 \]
per ogni \(k\in\mathbb N\), quindi
\[ x_{2k}\longrightarrow1. \]
Considerando invece gli indici dispari, si ottiene
\[ x_{2k-1}=-1, \]
e quindi
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
La successione iniziale non converge, ma possiede due sottosuccessioni convergenti naturali.
Esempio 2. Consideriamo la successione
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Essa è limitata, perché
\[ -1\lt x_n\lt1 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\). Per Bolzano-Weierstrass, deve ammettere una sottosuccessione convergente.
Separiamo gli indici pari e dispari. Se \(n=2k\), allora
\[ x_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\longrightarrow1. \]
Se invece \(n=2k-1\), allora
\[ x_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}\longrightarrow -1. \]
Anche in questo caso la successione non converge, ma contiene sottosuccessioni convergenti.
Esempio 3. Consideriamo una successione qualunque \((x_n)\) contenuta nell'intervallo \([0,1]\).
Non è necessario conoscere la formula esplicita della successione. Il solo fatto che
\[ 0\leq x_n\leq1 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\) garantisce, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, l'esistenza di una sottosuccessione convergente.
Questo è uno degli aspetti più importanti del teorema: esso fornisce un'informazione di esistenza anche quando non sappiamo calcolare esplicitamente una sottosuccessione.
Relazione con i punti di accumulazione
Il teorema di Bolzano-Weierstrass può essere interpretato anche in termini di punti di accumulazione.
Se una successione reale limitata assume infiniti valori distinti, allora l'insieme dei suoi valori è un insieme infinito e limitato di \(\mathbb R\). In questo caso il teorema garantisce l'esistenza di almeno un punto di accumulazione.
Più precisamente, se una sottosuccessione
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0 \]
e i termini \(x_{n_k}\) sono distinti da \(x_0\) per infiniti indici, allora \(x_0\) è un punto di accumulazione dell'insieme dei valori della successione.
Nel caso in cui la successione assuma solo un numero finito di valori, il teorema resta comunque vero: almeno uno di questi valori deve essere assunto infinite volte. In tal caso esiste una sottosuccessione costante, e quindi convergente.
Dunque Bolzano-Weierstrass può essere letto in due modi complementari:
- ogni successione reale limitata possiede una sottosuccessione convergente;
- ogni insieme infinito e limitato di numeri reali possiede almeno un punto di accumulazione.
Questa seconda formulazione collega il teorema allo studio topologico della retta reale e prepara il terreno ai risultati sulla compattezza.