Raccolta di esercizi sullo studio del segno di funzioni polinomiali e fratte. Risoluzioni passo passo con schemi grafici e analisi degli zeri, del dominio e degli eventuali punti esclusi.
Lo studio del segno consiste nel determinare per quali valori della variabile una funzione è positiva, negativa o nulla. Per farlo si analizzano gli zeri, il dominio e, quando necessario, il segno dei singoli fattori.
Esercizio 1 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = (x-3)(x+1) \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -1 \text{ o } x > 3\]
\[ f(x) = 0 \text{ per } x=-1,\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -1 < x < 3 \]
Svolgimento
Zeri
Gli zeri sono i valori che annullano almeno un fattore:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x)>0\) per \(x<-1\) oppure \(x>3\).
\(f(x)=0\) per \(x=-1\) e \(x=3\).
\(f(x)<0\) per \(-1<x<3\).
Esercizio 2 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = -(x+2)(x-4) \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < 4\]
\[ f(x) = 0 \text{ per } x=-2,\,4\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } x > 4 \]
Svolgimento
Osservazione
Il fattore \(-1\) inverte il segno del prodotto \((x+2)(x-4)\).
Zeri
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2, \qquad x-4=0 \Rightarrow x=4. \]
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x)>0\) per \(-2<x<4\).
\(f(x)=0\) per \(x=-2\) e \(x=4\).
\(f(x)<0\) per \(x<-2\) oppure \(x>4\).
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < 2 \text{ o } x > 3\]
\[ f(x) = 0 \text{ per } x=2,\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } 2 < x < 3 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]
Zeri
\(x=2\) e \(x=3\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x)>0\) per \(x<2\) oppure \(x>3\).
\(f(x)<0\) per \(2<x<3\).
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = -x^2 + x + 6 \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < 3\]
\[ f(x) = 0 \text{ per } x=-2,\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } x > 3 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ -x^2+x+6 = -(x^2-x-6)=-(x-3)(x+2) \]
Zeri
\(x=-2\) e \(x=3\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x)>0\) per \(-2<x<3\).
\(f(x)<0\) per \(x<-2\) oppure \(x>3\).
Esercizio 5 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = (x+1)(x-2)(x-5) \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -1 < x < 2 \text{ o } x > 5\]
\[ f(x) = 0 \text{ per } x=-1,\,2,\,5\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -1 \text{ o } 2 < x < 5 \]
Svolgimento
Zeri
\(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\).
Osservazione
Gli zeri sono semplici, quindi il segno del prodotto cambia attraversando ciascuno di essi.
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x)>0\) per \(-1<x<2\) oppure \(x>5\).
\(f(x)<0\) per \(x<-1\) oppure \(2<x<5\).
Esercizio 6 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -3 \text{ o } x > 1\]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=1\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -3 < x < 1 \]
Svolgimento
Dominio
Il denominatore si annulla per \(x=-3\). Quindi \(x\neq -3\).
Zero
Il numeratore si annulla per \(x=1\).
Schema dei segni
Conclusione
\(x=-3\) è escluso dal dominio; \(x=1\) è uno zero della funzione.
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = x^3 - 4x \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < 0 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=-2,\,0,\,2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } 0 < x < 2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2) \]
Zeri
\(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\).
Schema dei segni
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < 1 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=-2,\,2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } 1 < x < 2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \]
Dominio
\(x\neq 1\).
Schema dei segni
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = (2x+1)(x-3)^2 \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x > -\frac{1}{2},\ x\neq 3\]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=-\frac{1}{2},\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -\frac{1}{2} \]
Svolgimento
Zeri
\(x=-\frac{1}{2}\) è uno zero semplice; \(x=3\) è uno zero doppio.
Osservazione
Il fattore \((x-3)^2\) è sempre non negativo: il segno non cambia attraversando \(x=3\).
Schema dei segni
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-4)} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } 0 < x < 1 \text{ o } x > 4\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -2 < x < 0 \text{ o } 1 < x < 4 \]
Svolgimento
Dominio
\(x\neq 0\), \(x\neq 4\).
Zeri
\(x=-2\) e \(x=1\).
Schema dei segni
Esercizio 11 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -2,\ -1 < x < 1,\ x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -2 < x < -1 \text{ o } 1 < x < 2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Zeri
\(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\).
Schema dei segni
Esercizio 12 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -3 \text{ o } 1 < x < 2 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -3 < x < 1 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} \]
Dominio
\(x\neq -3\), \(x\neq 2\).
Semplificazione
Per \(x\neq 2\), la funzione ha lo stesso segno di \(\frac{x-1}{x+3}\), ma il punto \(x=2\) resta escluso dal dominio.
Schema dei segni
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = (x^2-1)(x^2-9) \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -3,\ -1 < x < 1,\ x > 3\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -3 < x < -1 \text{ o } 1 < x < 3 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ (x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \]
Zeri
\(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\).
Schema dei segni
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^3-x}{x^2-4} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < -1 \text{ o } 0 < x < 1 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } -1 < x < 0 \text{ o } 1 < x < 2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ f(x)=\frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \]
Dominio
\(x\neq -2\), \(x\neq 2\).
Zeri
\(x=-1\), \(x=0\), \(x=1\).
Schema dei segni
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = x^2(x-2)(x+3) \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -3 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=-3,\,0,\,2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -3 < x < 0 \text{ o } 0 < x < 2 \]
Svolgimento
Zeri
\(x=-3\), \(x=0\), \(x=2\).
Osservazione
Lo zero \(x=0\) è doppio, quindi il segno non cambia attraversandolo.
Schema dei segni
Esercizio 16 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^2(x+2)} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } -1 < x < 0 \text{ o } 0 < x < 1 \text{ o } x > 1\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -2 < x < -1 \]
Svolgimento
Dominio
\(x\neq -2\), \(x\neq 1\).
Zeri
\(x=-1\) e \(x=0\).
Osservazione
Il fattore \(x^2\) e il fattore \((x-1)^2\) non cambiano segno. Lo zero \(x=0\) è doppio e il polo \(x=1\) è doppio.
Schema dei segni
Esercizio 17 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^4-1}{x^3-x} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } 0 < x < 1 \text{ o } x > 1\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -1 \text{ o } -1 < x < 0 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
\[ x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) \]
Dominio
\[ x\neq -1,\quad x\neq 0,\quad x\neq 1 \]
Semplificazione
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{x} \]
Poiché \(x^2+1>0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), il segno dipende solo da \(x\), ma \(x=-1\), \(x=0\), \(x=1\) restano esclusi dal dominio.
Schema dei segni
Esercizio 18 — livello ★★★★★
\[ f(x) = (x^2+2x-3)^2 \]
Risultato
\[ f(x)\geq 0 \text{ per ogni } x\in\mathbb{R}\]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=-3 \text{ e } x=1 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
\[ f(x)=\big[(x+3)(x-1)\big]^2 \]
Zeri
\(x=-3\) e \(x=1\).
Osservazione
La funzione è il quadrato di un’espressione reale, quindi è sempre non negativa.
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x)>0\) per tutti i reali diversi da \(-3\) e \(1\).
\(f(x)=0\) per \(x=-3\) e \(x=1\).
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -3 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } -3 < x < -1 \text{ o } -1 < x < 0 \text{ o } 0 < x < 2 \]
Svolgimento
Dominio
\(x\neq -3\), \(x\neq 0\).
Zeri
\(x=-1\) è uno zero doppio; \(x=2\) è uno zero semplice.
Osservazione
Il fattore \((x+1)^2\) e il fattore \(x^2\) non cambiano segno. Il segno dipende dai fattori \(x-2\) e \(x+3\), tenendo conto dei punti esclusi.
Schema dei segni
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2-x-2} \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < -1 \text{ o } -1 < x < 2 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=-2\]
\[ f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione del numeratore
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Fattorizzazione del denominatore
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Dominio
\(x\neq -1\), \(x\neq 2\).
Semplificazione
Per \(x\neq -1\) e \(x\neq 2\):
\[ f(x)=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=x+2 \]
La funzione ha quindi lo stesso segno di \(x+2\), ma i punti \(x=-1\) e \(x=2\) restano esclusi dal dominio.
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x)>0\) per \(-2<x<-1\), \(-1<x<2\) oppure \(x>2\).
\(f(x)<0\) per \(x<-2\).
\(f(x)=0\) per \(x=-2\).
I punti \(x=-1\) e \(x=2\) sono esclusi dal dominio.