Lo studio del segno di una funzione consiste nel determinare per quali valori della variabile la funzione assume valori positivi, negativi oppure nulli.
In altre parole, data una funzione \(f\), vogliamo stabilire dove vale:
\[ f(x)>0,\qquad f(x)=0,\qquad f(x)<0. \]
Questo procedimento è fondamentale nello studio di equazioni, disequazioni, funzioni polinomiali, funzioni fratte e, più in generale, nello studio del grafico di una funzione.
Indice
- Che cosa significa studiare il segno di una funzione
- Insieme di positività , negatività e zeri
- Metodo generale per lo studio del segno
- Studio del segno di un prodotto
- Studio del segno di una funzione fratta
- Zeri di molteplicità pari e dispari
- Fattori sempre positivi o sempre negativi
- Esempio svolto completo
- Errori comuni
Che cosa significa studiare il segno di una funzione
Studiare il segno di una funzione significa stabilire in quali intervalli del suo dominio la funzione è positiva, negativa oppure nulla.
Dal punto di vista geometrico:
- \(f(x)>0\) significa che il grafico della funzione si trova sopra l’asse \(x\);
- \(f(x)<0\) significa che il grafico della funzione si trova sotto l’asse \(x\);
- \(f(x)=0\) significa che il grafico interseca o tocca l’asse \(x\).
Gli zeri della funzione sono quindi i punti in cui il grafico incontra l’asse delle ascisse.
Insieme di positività , negatività e zeri
Sia \(f\) una funzione definita in un dominio \(D_f\).
Si chiama insieme di positività l’insieme dei valori \(x\in D_f\) per cui:
\[ f(x)>0. \]
Si chiama insieme di negatività l’insieme dei valori \(x\in D_f\) per cui:
\[ f(x)<0. \]
Gli zeri della funzione sono invece i valori del dominio per cui:
\[ f(x)=0. \]
È importante sottolineare che gli zeri devono appartenere al dominio della funzione. Un valore che annulla un denominatore, per esempio, non è uno zero della funzione: è un punto escluso dal dominio.
Metodo generale per lo studio del segno
Il metodo generale per studiare il segno di una funzione algebrica si basa su alcuni passaggi fondamentali.
1. Determinare il dominio
Il primo passo è determinare il dominio \(D_f\), cioè l’insieme dei valori per cui la funzione è definita.
Per esempio, se:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
il denominatore non può essere nullo. Dunque:
\[ x+3\neq 0. \]
Quindi:
\[ x\neq -3. \]
Il dominio è:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}. \]
2. Fattorizzare la funzione
Quando possibile, bisogna scomporre la funzione in fattori semplici.
Per esempio:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
La fattorizzazione permette di studiare separatamente il segno dei singoli fattori.
3. Trovare zeri e punti esclusi
Gli zeri della funzione si ottengono annullando il numeratore o, nel caso di un prodotto, annullando almeno uno dei fattori.
I punti esclusi si ottengono invece dai valori che annullano il denominatore o che rendono la funzione non definita.
4. Ordinare i punti critici sulla retta reale
Gli zeri e i punti esclusi dividono la retta reale in intervalli. In ciascuno di questi intervalli il segno della funzione rimane costante, purché la funzione sia composta da fattori continui e non si annulli all’interno dell’intervallo.
5. Costruire lo schema dei segni
Infine si costruisce uno schema dei segni, studiando il segno di ogni fattore in ciascun intervallo e poi combinando i segni.
Studio del segno di un prodotto
Consideriamo una funzione scritta come prodotto di fattori:
\[ f(x)=A(x)\cdot B(x). \]
Il segno di \(f(x)\) dipende dal segno dei due fattori.
Ricordiamo le regole fondamentali:
\[ (+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+, \]
mentre:
\[ (+)\cdot(-)=-,\qquad (-)\cdot(+)=-. \]
Quindi un prodotto è positivo quando contiene un numero pari di fattori negativi, mentre è negativo quando contiene un numero dispari di fattori negativi.
Esempio
Studiamo il segno di:
\[ f(x)=(x+1)(x-3). \]
Gli zeri sono:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
I punti \(-1\) e \(3\) dividono la retta reale negli intervalli:
\[ (-\infty,-1),\qquad (-1,3),\qquad (3,+\infty). \]
Studiamo il segno dei fattori:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,3) & (3,+\infty)\\ \hline x+1 & - & + & +\\ x-3 & - & - & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Dunque:
\[ f(x)>0 \text{ per } x<-1 \text{ oppure } x>3, \]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=-1 \text{ e } x=3, \]
\[ f(x)<0 \text{ per } -1<x<3. \]
Studio del segno di una funzione fratta
Una funzione fratta ha la forma:
\[ f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}. \]
In questo caso bisogna distinguere con molta attenzione:
- gli zeri del numeratore, che possono essere zeri della funzione;
- gli zeri del denominatore, che sono punti esclusi dal dominio.
Una frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno:
\[ \frac{+}{+}=+,\qquad \frac{-}{-}=+. \]
È invece negativa quando numeratore e denominatore hanno segno opposto:
\[ \frac{+}{-}=-,\qquad \frac{-}{+}=-. \]
Esempio
Studiamo il segno di:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Il denominatore si annulla per:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Quindi:
\[ x\neq -3. \]
Il numeratore si annulla per:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]
Studiamo il segno negli intervalli determinati da \(-3\) e \(1\):
\[ (-\infty,-3),\qquad (-3,1),\qquad (1,+\infty). \]
Lo schema dei segni è:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-3) & (-3,1) & (1,+\infty)\\ \hline x-1 & - & - & +\\ x+3 & - & + & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Dunque:
\[ f(x)>0 \text{ per } x<-3 \text{ oppure } x>1, \]
\[ f(x)=0 \text{ per } x=1, \]
\[ f(x)<0 \text{ per } -3<x<1. \]
Il punto \(x=-3\), invece, non è uno zero: è escluso dal dominio.
Zeri di molteplicità pari e dispari
Un punto molto importante nello studio del segno riguarda la molteplicità degli zeri.
Consideriamo un fattore del tipo:
\[ (x-a)^m. \]
Il numero \(m\) si chiama molteplicità dello zero \(x=a\).
Molteplicità dispari
Se \(m\) è dispari, il fattore cambia segno attraversando \(x=a\).
Per esempio:
\[ (x-2)^3 \]
è negativo per \(x<2\) e positivo per \(x>2\).
Infatti:
\[ (x-2)^3<0 \text{ per } x<2, \]
mentre:
\[ (x-2)^3>0 \text{ per } x>2. \]
Molteplicità pari
Se \(m\) è pari, il fattore non cambia segno attraversando \(x=a\).
Per esempio:
\[ (x-2)^2 \]
è sempre non negativo:
\[ (x-2)^2\ge 0 \]
per ogni \(x\in\mathbb{R}\), e si annulla solo per \(x=2\).
In particolare:
\[ (x-2)^2>0 \text{ per } x\neq 2. \]
Per questo motivo, in uno schema dei segni, uno zero di molteplicità pari non produce un cambio di segno.
Fattori sempre positivi o sempre negativi
Alcuni fattori non cambiano mai segno.
Per esempio:
\[ x^2+1>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb{R}\), perché \(x^2\ge 0\) e quindi \(x^2+1\) è sempre strettamente positivo.
Anche un quadrato come:
\[ (x-3)^2 \]
è sempre non negativo:
\[ (x-3)^2\ge 0. \]
Esso si annulla solo per \(x=3\), ma non cambia segno attraversando quel punto.
Queste osservazioni sono molto utili perché permettono di semplificare lo studio del segno.
Esempio svolto completo
Studiamo il segno della funzione:
\[ f(x)=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)}. \]
Dominio
Il denominatore è:
\[ x^2(x+3). \]
Il denominatore si annulla per:
\[ x^2=0 \Rightarrow x=0, \]
oppure:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Quindi:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}. \]
Zeri della funzione
Gli zeri si ottengono annullando il numeratore:
\[ (x+1)^2(x-2)=0. \]
Quindi:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
Il valore \(x=-1\) è uno zero doppio, perché compare il fattore \((x+1)^2\).
Studio del segno dei fattori
I fattori da considerare sono:
\[ (x+1)^2,\qquad x-2,\qquad x^2,\qquad x+3. \]
I fattori \((x+1)^2\) e \(x^2\) sono sempre non negativi e non cambiano segno.
Il segno della funzione dipende quindi dai fattori \(x-2\) e \(x+3\), tenendo conto degli zeri e dei punti esclusi.
I punti critici sono:
\[ -3,\qquad -1,\qquad 0,\qquad 2. \]
Lo schema dei segni è:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-3) & (-3,-1) & (-1,0) & (0,2) & (2,+\infty)\\ \hline (x+1)^2 & + & + & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & +\\ x^2 & + & + & + & + & +\\ x+3 & - & + & + & + & +\\ \hline f(x) & + & - & - & - & + \end{array} \]
Conclusione
La funzione è positiva per:
\[ x<-3 \text{ oppure } x>2. \]
La funzione è negativa per:
\[ -3<x<0 \text{ oppure } 0<x<2. \]
La funzione si annulla per:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
I punti:
\[ x=-3,\qquad x=0 \]
sono esclusi dal dominio.
Errori comuni nello studio del segno
Dimenticare il dominio
Nelle funzioni fratte, il dominio è il primo passaggio. Un valore che annulla il denominatore deve essere escluso, anche se in seguito un fattore viene semplificato.
Confondere zeri e punti esclusi
Uno zero della funzione è un valore per cui \(f(x)=0\). Un punto escluso dal dominio, invece, non appartiene alla funzione.
Per esempio, nella funzione:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
\(x=1\) è uno zero, mentre \(x=-3\) è un punto escluso dal dominio.
Dimenticare la molteplicità degli zeri
Uno zero di molteplicità dispari produce un cambio di segno. Uno zero di molteplicità pari, invece, non produce un cambio di segno.
Semplificare senza conservare le esclusioni
Consideriamo:
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)}. \]
Per \(x\neq 2\), possiamo semplificare il fattore \(x-2\):
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Tuttavia il valore \(x=2\) resta escluso dal dominio della funzione iniziale.
Questo è un punto molto importante: una semplificazione può modificare l’espressione, ma non cancella le condizioni di esistenza della funzione di partenza.
In conclusione, lo studio del segno è una procedura essenziale per comprendere il comportamento di una funzione. Il metodo corretto consiste nel determinare il dominio, fattorizzare l’espressione, individuare zeri e punti esclusi, studiare il segno dei singoli fattori e infine combinare le informazioni nello schema dei segni.