Una raccolta di esercizi svolti in modo completo progettata per aiutarti a semplificare i radicali, portare fuori i fattori dal segno di radice e razionalizzare i denominatori.
Troverai anche svolgimenti passo dopo passo per manipolazioni più complesse ed equazioni irrazionali, con spiegazioni pensate per aiutarti a padroneggiare i concetti fondamentali.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{75} \]
Risultato
\[ 5\sqrt{3} \]
Svolgimento
Il nostro obiettivo è scrivere il radicale in una forma equivalente nella quale sotto il segno di radice non compaiano fattori quadrati perfetti diversi da \(1\). Per farlo cerchiamo, tra i divisori di \(75\), il più grande quadrato perfetto.
Poiché
\[ 75=25\cdot3 \]
e \(25=5^2\), possiamo applicare la proprietà del prodotto delle radici quadrate:
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b \qquad\text{per }a\geq0,\ b\geq0. \]
Nel nostro caso entrambi i fattori sono positivi, quindi
\[ \sqrt{75} = \sqrt{25\cdot3} = \sqrt{25}\,\sqrt3. \]
Calcoliamo ora la radice esatta del quadrato perfetto:
\[ \sqrt{25}=5. \]
Otteniamo pertanto
\[ \sqrt{75}=5\sqrt3. \]
Resta da controllare se \(\sqrt3\) possa essere ulteriormente semplificata. Il numero \(3\) è primo e non contiene alcun fattore quadrato perfetto maggiore di \(1\); il radicale è quindi già irriducibile.
È importante osservare che non abbiamo “tolto” arbitrariamente il \(25\) dalla radice: abbiamo usato la proprietà del prodotto e il fatto che \(25\) è il quadrato di \(5\).
\[ 5\sqrt{3} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{48} \]
Risultato
\[ 4\sqrt{3} \]
Svolgimento
Anche in questo caso dobbiamo individuare nel radicando un quadrato perfetto da estrarre. I divisori quadrati di \(48\) comprendono \(1\), \(4\) e \(16\); conviene scegliere \(16\), perché è il più grande e consente di concludere la semplificazione in un solo passaggio.
Scriviamo quindi
\[ 48=16\cdot3. \]
Poiché \(16\geq0\) e \(3\geq0\), possiamo separare la radice del prodotto:
\[ \sqrt{48} = \sqrt{16\cdot3} = \sqrt{16}\,\sqrt3. \]
La radice quadrata principale di \(16\) è
\[ \sqrt{16}=4, \]
perché \(4^2=16\) e, per definizione, la radice quadrata principale è non negativa. Ne segue
\[ \sqrt{48}=4\sqrt3. \]
Il radicando residuo \(3\) non contiene fattori quadrati perfetti maggiori di \(1\). La forma \(4\sqrt3\) è quindi la forma semplificata finale.
\[ 4\sqrt{3} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{\dfrac{25}{4}} \]
Risultato
\[ \dfrac{5}{2} \]
Svolgimento
Il radicando è una frazione positiva. Possiamo quindi usare la proprietà
\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}, \qquad a\geq0,\ b>0. \]
Le condizioni sono soddisfatte perché \(25\geq0\) e \(4>0\).
Applichiamo la proprietà:
\[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt4}. \]
Calcoliamo separatamente le due radici:
\[ \sqrt{25}=5, \qquad \sqrt4=2. \]
Pertanto
\[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac52. \]
Non compare il simbolo \(\pm\): \(\sqrt{25}\) indica per definizione la radice quadrata principale, cioè il numero non negativo il cui quadrato è \(25\). Il simbolo \(\pm\) compare quando si risolve un'equazione del tipo \(x^2=25\), non nel calcolo della radice \(\sqrt{25}\).
\[ \dfrac{5}{2} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \]
Risultato
\[ 7\sqrt{3} \]
Svolgimento
I due addendi hanno la stessa parte radicale:
\[ 2\sqrt3 \qquad\text{e}\qquad 5\sqrt3. \]
Si tratta quindi di radicali simili. Possiamo considerarli esattamente come termini algebrici aventi lo stesso fattore comune.
Mettiamo in evidenza \(\sqrt3\):
\[ 2\sqrt3+5\sqrt3 = (2+5)\sqrt3. \]
La somma dei coefficienti è
\[ 2+5=7, \]
perciò
\[ 2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3. \]
Il procedimento è semplicemente un'applicazione della proprietà distributiva:
\[ a c+b c=(a+b)c. \]
In questo caso \(c=\sqrt3\). Non stiamo sommando i radicandi: sarebbe errato scrivere
\[ 2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt6 \]
o \(\sqrt8\). Quando i radicali sono simili si combinano i coefficienti, mentre la parte radicale resta invariata.
\[ 7\sqrt{3} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{12} + \sqrt{27} \]
Risultato
\[ 5\sqrt{3} \]
Svolgimento
A prima vista i due radicali non sono simili, perché i radicandi sono diversi. Prima di sommarli dobbiamo quindi semplificarli separatamente.
Per \(\sqrt{12}\), scomponiamo \(12\) mettendo in evidenza il quadrato perfetto \(4\):
\[ 12=4\cdot3. \]
Quindi
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3} = \sqrt4\,\sqrt3 = 2\sqrt3. \]
Per \(\sqrt{27}\), utilizziamo il quadrato perfetto \(9\):
\[ 27=9\cdot3, \]
e pertanto
\[ \sqrt{27} = \sqrt9\,\sqrt3 = 3\sqrt3. \]
L'espressione iniziale diventa
\[ 2\sqrt3+3\sqrt3. \]
Ora i radicali sono simili, quindi raccogliamo \(\sqrt3\):
\[ 2\sqrt3+3\sqrt3 = (2+3)\sqrt3 = 5\sqrt3. \]
Il passaggio essenziale è dunque l'ordine delle operazioni: prima si semplificano i radicali, poi si verifica se sono simili, e soltanto a quel punto si sommano i coefficienti.
\[ 5\sqrt{3} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{50} - \sqrt{18} \]
Risultato
\[ 2\sqrt{2} \]
Svolgimento
Prima di eseguire la sottrazione, semplifichiamo entrambi i radicali.
Nel primo radicando,
\[ 50=25\cdot2, \]
quindi
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25}\,\sqrt2 = 5\sqrt2. \]
Nel secondo radicando,
\[ 18=9\cdot2, \]
perciò
\[ \sqrt{18} = \sqrt9\,\sqrt2 = 3\sqrt2. \]
Sostituendo queste forme equivalenti nell'espressione data otteniamo
\[ 5\sqrt2-3\sqrt2. \]
I due termini sono ora radicali simili. Mettiamo in evidenza \(\sqrt2\):
\[ 5\sqrt2-3\sqrt2 = (5-3)\sqrt2 = 2\sqrt2. \]
Il segno meno agisce sui coefficienti \(5\) e \(3\); il fattore radicale \(\sqrt2\) rimane invariato. Inoltre \(2\) non contiene fattori quadrati perfetti maggiori di \(1\), quindi \(\sqrt2\) non può essere ulteriormente semplificata.
\[ 2\sqrt{2} \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Risultato
\[ 4 \]
Svolgimento
I due radicali hanno lo stesso indice e radicandi non negativi. Possiamo quindi usare la proprietà
\[ \sqrt a\,\sqrt b=\sqrt{ab}, \qquad a\geq0,\ b\geq0. \]
Nel nostro caso
\[ a=2, \qquad b=8, \]
perciò
\[ \sqrt2\cdot\sqrt8 = \sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16}. \]
Poiché
\[ 4^2=16 \]
e la radice quadrata principale è non negativa,
\[ \sqrt{16}=4. \]
Quindi
\[ \sqrt2\cdot\sqrt8=4. \]
Si potrebbe arrivare allo stesso risultato semplificando prima \(\sqrt8=2\sqrt2\):
\[ \sqrt2\cdot2\sqrt2 = 2(\sqrt2)^2 = 2\cdot2 = 4. \]
Entrambi i metodi sono corretti; unire subito i radicali è semplicemente il percorso più breve.
\[ 4 \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{6}\cdot\sqrt{24} \]
Risultato
\[ 12 \]
Svolgimento
I radicandi \(6\) e \(24\) sono entrambi non negativi e i radicali hanno lo stesso indice. Possiamo quindi raccoglierli sotto un'unica radice quadrata:
\[ \sqrt6\cdot\sqrt{24} = \sqrt{6\cdot24}. \]
Calcoliamo il prodotto dei radicandi:
\[ 6\cdot24=144. \]
Otteniamo quindi
\[ \sqrt6\cdot\sqrt{24} = \sqrt{144}. \]
Il numero \(144\) è un quadrato perfetto:
\[ 144=12^2. \]
Pertanto
\[ \sqrt{144}=12. \]
Il risultato è dunque \(12\). Anche in questo esercizio la positività dei radicandi è importante: la formula
\[ \sqrt a\,\sqrt b=\sqrt{ab} \]
viene usata, nel campo reale, per \(a,b\geq0\).
\[ 12 \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \]
Risultato
\[ 2 \]
Svolgimento
I due fattori hanno la stessa prima parte e differiscono soltanto per il segno della seconda:
\[ (\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3). \]
Questa è esattamente la struttura del prodotto della somma per la differenza:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Poniamo
\[ a=\sqrt5, \qquad b=\sqrt3. \]
Applicando l'identità otteniamo
\[ (\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3) = (\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2. \]
Ora usiamo il fatto che, per radicandi non negativi,
\[ (\sqrt5)^2=5, \qquad (\sqrt3)^2=3. \]
Pertanto
\[ 5-3=2. \]
Il vantaggio del prodotto notevole è che i termini misti si cancellano automaticamente. Se sviluppassimo con la distributiva, otterremmo infatti
\[ 5-\sqrt{15}+\sqrt{15}-3=2. \]
La cancellazione conferma il risultato.
\[ 2 \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ (2\sqrt{3})^2 \]
Risultato
\[ 12 \]
Svolgimento
L'intera quantità \(2\sqrt3\) è elevata al quadrato. Il quadrato deve quindi agire sia sul coefficiente \(2\) sia sul fattore \(\sqrt3\).
Usiamo la proprietà
\[ (ab)^2=a^2b^2. \]
Otteniamo
\[ (2\sqrt3)^2 = 2^2(\sqrt3)^2. \]
Calcoliamo i due fattori:
\[ 2^2=4, \qquad (\sqrt3)^2=3. \]
Quindi
\[ (2\sqrt3)^2 = 4\cdot3 = 12. \]
È importante non scrivere \(2\cdot3=6\): il coefficiente \(2\) è dentro le parentesi e deve anch'esso essere elevato al quadrato. La scrittura corretta è \(2^2=4\).
\[ 12 \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{72}+\sqrt{32}-\sqrt{8} \]
Risultato
\[ 8\sqrt{2} \]
Svolgimento
L'espressione contiene tre radicali con radicandi diversi. Non possiamo combinarli direttamente: dobbiamo prima semplificare ciascun radicale e verificare se, dopo la semplificazione, diventano simili.
Per il primo termine:
\[ 72=36\cdot2, \]
quindi
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36}\,\sqrt2 = 6\sqrt2. \]
Per il secondo:
\[ 32=16\cdot2, \]
perciò
\[ \sqrt{32} = 4\sqrt2. \]
Per il terzo:
\[ 8=4\cdot2, \]
quindi
\[ \sqrt8=2\sqrt2. \]
Sostituiamo nell'espressione iniziale:
\[ 6\sqrt2+4\sqrt2-2\sqrt2. \]
Ora tutti i termini hanno la stessa parte radicale \(\sqrt2\). Possiamo raccoglierla:
\[ (6+4-2)\sqrt2. \]
Calcoliamo il coefficiente:
\[ 6+4-2=8. \]
Pertanto
\[ \sqrt{72}+\sqrt{32}-\sqrt8=8\sqrt2. \]
La semplificazione preliminare è essenziale: soltanto dopo aver ottenuto lo stesso radicale irriducibile è lecito sommare e sottrarre i coefficienti.
\[ 8\sqrt{2} \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]
Svolgimento
La frazione ha un radicale al denominatore. Per razionalizzare il denominatore vogliamo sostituirlo con un numero razionale senza modificare il valore della frazione.
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt2\):
\[ \frac{1}{\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2}. \]
Il secondo fattore vale \(1\), perché \(\sqrt2\neq0\). Quindi la frazione ottenuta è equivalente a quella iniziale.
Eseguendo la moltiplicazione,
\[ \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}. \]
Nel denominatore
\[ \sqrt2\cdot\sqrt2=(\sqrt2)^2=2. \]
Di conseguenza
\[ \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}. \]
Il denominatore è ora razionale. Non abbiamo cambiato il valore dell'espressione: abbiamo soltanto moltiplicato per \(1\) scritto nella forma \(\sqrt2/\sqrt2\).
\[ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
\[ \dfrac{3}{\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ \dfrac{3\sqrt{5}}{5} \]
Svolgimento
Anche qui il denominatore contiene una radice quadrata. Il fattore razionalizzante è \(\sqrt5\).
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt5\):
\[ \frac{3}{\sqrt5} \cdot \frac{\sqrt5}{\sqrt5}. \]
Poiché \(\sqrt5\neq0\), il secondo fattore è uguale a \(1\), quindi il valore della frazione non cambia.
Otteniamo
\[ \frac{3}{\sqrt5} = \frac{3\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}. \]
Al denominatore,
\[ \sqrt5\cdot\sqrt5=5. \]
Pertanto
\[ \frac{3}{\sqrt5} = \frac{3\sqrt5}{5}. \]
La frazione non può essere ulteriormente semplificata: il coefficiente numerico \(3\) non ha fattori comuni con \(5\), mentre \(\sqrt5\) è già irriducibile.
\[ \dfrac{3\sqrt{5}}{5} \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \]
Risultato
\[ 5+2\sqrt{6} \]
Svolgimento
L'espressione è il quadrato di un binomio:
\[ (\sqrt3+\sqrt2)^2. \]
Usiamo la formula
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
ponendo
\[ a=\sqrt3, \qquad b=\sqrt2. \]
Sostituendo,
\[ (\sqrt3+\sqrt2)^2 = (\sqrt3)^2 + 2\sqrt3\sqrt2 + (\sqrt2)^2. \]
Calcoliamo i tre termini separatamente. Per i quadrati,
\[ (\sqrt3)^2=3, \qquad (\sqrt2)^2=2. \]
Nel termine misto, poiché \(3\) e \(2\) sono positivi,
\[ \sqrt3\sqrt2=\sqrt6, \]
quindi
\[ 2\sqrt3\sqrt2=2\sqrt6. \]
Riunendo i termini,
\[ 3+2\sqrt6+2. \]
I termini razionali \(3\) e \(2\) sono simili e si sommano:
\[ 3+2=5. \]
Otteniamo quindi
\[ 5+2\sqrt6. \]
Il termine \(2\sqrt6\) non può essere sommato al numero \(5\), perché i due termini non sono simili.
\[ 5+2\sqrt{6} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ \dfrac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \sqrt{7}+\sqrt{2} \]
Svolgimento
Il denominatore è
\[ \sqrt7-\sqrt2. \]
Quando il denominatore è una somma o una differenza di due radicali quadratici, il fattore razionalizzante naturale è il coniugato. Il coniugato di \(\sqrt7-\sqrt2\) è
\[ \sqrt7+\sqrt2. \]
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per questo fattore:
\[ \frac{5}{\sqrt7-\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt7+\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt2}. \]
Il secondo fattore vale \(1\), perché \(\sqrt7+\sqrt2>0\).
Al numeratore otteniamo
\[ 5(\sqrt7+\sqrt2). \]
Al denominatore compare il prodotto di due espressioni coniugate:
\[ (\sqrt7-\sqrt2)(\sqrt7+\sqrt2) = (\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2 = 7-2 = 5. \]
Pertanto
\[ \frac{5(\sqrt7+\sqrt2)}{5}. \]
Il fattore \(5\) si semplifica:
\[ \sqrt7+\sqrt2. \]
La razionalizzazione funziona perché il prodotto dei coniugati elimina i termini misti e trasforma il denominatore in una differenza di quadrati.
\[ \sqrt{7}+\sqrt{2} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27} \]
Risultato
\[ 5 \]
Svolgimento
Le due radici cubiche sono esatte, perché i radicandi sono cubi perfetti.
Cominciamo da \(8\). Poiché
\[ 8=2^3, \]
per definizione di radice cubica
\[ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2. \]
Analogamente,
\[ 27=3^3, \]
quindi
\[ \sqrt[3]{27} = 3. \]
L'espressione diventa pertanto
\[ 2+3. \]
Eseguendo la somma,
\[ 2+3=5. \]
A differenza della radice quadrata, la radice cubica è definita nei reali anche per radicandi negativi; qui però i radicandi sono positivi e la loro radice è immediata perché sono cubi perfetti.
\[ 5 \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
\[ \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \sqrt{3}+\sqrt{5} \]
Svolgimento
Il numeratore è una somma e il denominatore \(\sqrt2\) è comune a entrambi gli addendi. Possiamo quindi distribuire la divisione:
\[ \frac{\sqrt6+\sqrt{10}}{\sqrt2} = \frac{\sqrt6}{\sqrt2} + \frac{\sqrt{10}}{\sqrt2}. \]
Ora consideriamo ciascun quoziente. Poiché i radicandi sono non negativi e il denominatore è positivo,
\[ \frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac ab} \qquad\text{per }a\geq0,\ b>0. \]
Per il primo termine:
\[ \frac{\sqrt6}{\sqrt2} = \sqrt{\frac62} = \sqrt3. \]
Per il secondo:
\[ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt2} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt5. \]
Sommando,
\[ \sqrt3+\sqrt5. \]
I due radicali finali non sono simili, perché hanno radicandi diversi e già irriducibili. Non possono quindi essere ulteriormente sommati.
\[ \sqrt{3}+\sqrt{5} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}} \]
Risultato
\[ \sqrt{3}+\sqrt{2} \]
Svolgimento
Vogliamo semplificare
\[ \sqrt{5+2\sqrt6}. \]
Il radicando ricorda lo sviluppo del quadrato di una somma:
\[ (\sqrt m+\sqrt n)^2 = m+n+2\sqrt{mn}, \]
con \(m,n\geq0\).
Confrontiamo questa forma con
\[ 5+2\sqrt6. \]
Dobbiamo quindi cercare due numeri non negativi \(m\) e \(n\) tali che
\[ m+n=5 \]
e
\[ mn=6. \]
I numeri \(3\) e \(2\) soddisfano entrambe le condizioni:
\[ 3+2=5, \qquad 3\cdot2=6. \]
Perciò
\[ 5+2\sqrt6 = 3+2+2\sqrt{3\cdot2} = (\sqrt3+\sqrt2)^2. \]
L'espressione diventa
\[ \sqrt{(\sqrt3+\sqrt2)^2}. \]
In generale,
\[ \sqrt{u^2}=|u|. \]
Qui
\[ u=\sqrt3+\sqrt2>0, \]
quindi
\[ |u|=u. \]
Pertanto
\[ \sqrt{5+2\sqrt6} = \sqrt3+\sqrt2. \]
Il controllo del segno nell'ultimo passaggio è importante: la radice quadrata principale restituisce sempre un valore non negativo.
\[ \sqrt{3}+\sqrt{2} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \]
Svolgimento
Il denominatore è una somma di due radicali:
\[ \sqrt3+\sqrt5. \]
Il suo coniugato è
\[ \sqrt3-\sqrt5. \]
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato:
\[ \frac{1}{\sqrt3+\sqrt5} \cdot \frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt3-\sqrt5}. \]
Il secondo fattore vale \(1\), perché \(\sqrt3-\sqrt5\neq0\). Al denominatore compare il prodotto della somma per la differenza:
\[ (\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt3-\sqrt5) = (\sqrt3)^2-(\sqrt5)^2 = 3-5 = -2. \]
Otteniamo quindi
\[ \frac{\sqrt3-\sqrt5}{-2}. \]
Portando il segno meno al numeratore,
\[ \frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}. \]
Il denominatore è ora razionale e positivo. La forma finale è dunque
\[ \frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}. \]
Questo passaggio mostra perché è preferibile usare esattamente il coniugato del denominatore: la razionalizzazione diventa una diretta applicazione della differenza di quadrati.
\[ \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{8+2\sqrt{15}} \]
Risultato
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Svolgimento
Consideriamo
\[ \sqrt{8+2\sqrt{15}}. \]
Cerchiamo di scrivere il radicando nella forma
\[ (\sqrt m+\sqrt n)^2 = m+n+2\sqrt{mn}. \]
Confrontando i due membri, dobbiamo trovare \(m,n\geq0\) tali che
\[ m+n=8 \]
e
\[ mn=15. \]
I numeri \(5\) e \(3\) soddisfano entrambe le condizioni:
\[ 5+3=8, \qquad 5\cdot3=15. \]
Quindi
\[ 8+2\sqrt{15} = 5+3+2\sqrt{5\cdot3} = (\sqrt5+\sqrt3)^2. \]
Pertanto
\[ \sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt5+\sqrt3)^2}. \]
Usiamo la regola
\[ \sqrt{u^2}=|u|. \]
Poiché
\[ \sqrt5+\sqrt3>0, \]
il valore assoluto non modifica l'espressione:
\[ \sqrt{(\sqrt5+\sqrt3)^2} = \sqrt5+\sqrt3. \]
La semplificazione è completa, perché i due radicali \(\sqrt5\) e \(\sqrt3\) sono già irriducibili.
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Esercizio 21 — livello ★★☆☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \]
Risultato
\[ 2+\sqrt{3} \]
Svolgimento
Il denominatore è
\[ \sqrt3-1. \]
Per razionalizzarlo usiamo il coniugato
\[ \sqrt3+1. \]
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la stessa espressione:
\[ \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1} \cdot \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}. \]
Al denominatore otteniamo
\[ (\sqrt3-1)(\sqrt3+1) = (\sqrt3)^2-1^2 = 3-1 = 2. \]
Al numeratore compare il quadrato
\[ (\sqrt3+1)^2. \]
Sviluppiamolo con la formula
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2: \]
\[ (\sqrt3+1)^2 = 3+2\sqrt3+1 = 4+2\sqrt3. \]
La frazione diventa
\[ \frac{4+2\sqrt3}{2}. \]
Dividiamo entrambi i termini del numeratore per \(2\):
\[ \frac42+\frac{2\sqrt3}{2} = 2+\sqrt3. \]
Il denominatore è stato eliminato correttamente e la forma finale non contiene radicali al denominatore.
\[ 2+\sqrt{3} \]
Esercizio 22 — livello ★★☆☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \dfrac{7-2\sqrt{10}}{3} \]
Svolgimento
Il denominatore è
\[ \sqrt5+\sqrt2. \]
Per razionalizzarlo moltiplichiamo per il coniugato
\[ \sqrt5-\sqrt2. \]
Poiché il numeratore è già \(\sqrt5-\sqrt2\), dopo la moltiplicazione comparirà il quadrato di questa differenza.
Scriviamo
\[ \frac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}. \]
Il denominatore diventa
\[ (\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2) = 5-2 = 3. \]
Calcoliamo ora il numeratore:
\[ (\sqrt5-\sqrt2)^2. \]
Usando
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \]
otteniamo
\[ (\sqrt5-\sqrt2)^2 = 5-2\sqrt{10}+2 = 7-2\sqrt{10}. \]
Pertanto
\[ \frac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2} = \frac{7-2\sqrt{10}}{3}. \]
Il termine misto \(-2\sqrt{10}\) è indispensabile: ometterlo significherebbe applicare in modo scorretto il quadrato di una differenza.
\[ \dfrac{7-2\sqrt{10}}{3} \]
Esercizio 23 — livello ★★★☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \]
Risultato
\[ 4 \]
Svolgimento
Le due frazioni sono costruite con denominatori coniugati. Conviene razionalizzarle separatamente e poi sommare i risultati.
Per la prima frazione,
\[ \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}, \]
il coniugato del denominatore è \(\sqrt3+1\). Moltiplicando,
\[ \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1} = \frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ (\sqrt3+1)^2 = 3+2\sqrt3+1 = 4+2\sqrt3. \]
Quindi
\[ \frac{4+2\sqrt3}{2} = 2+\sqrt3. \]
Per la seconda frazione,
\[ \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}, \]
il coniugato del denominatore è \(\sqrt3-1\). Otteniamo
\[ \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1} = \frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}. \]
Ora
\[ (\sqrt3-1)^2 = 3-2\sqrt3+1 = 4-2\sqrt3, \]
perciò
\[ \frac{4-2\sqrt3}{2} = 2-\sqrt3. \]
Sommiamo le due espressioni:
\[ (2+\sqrt3)+(2-\sqrt3). \]
I termini radicali sono opposti e si annullano:
\[ \sqrt3-\sqrt3=0. \]
Resta
\[ 2+2=4. \]
La simmetria tra le due frazioni è la ragione per cui i radicali scompaiono completamente nel risultato finale.
\[ 4 \]
Esercizio 24 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ 2 \]
Svolgimento
Prima di unire le due radici dobbiamo controllare che entrambi i radicandi siano non negativi.
Il primo,
\[ 3+\sqrt5, \]
è certamente positivo. Per il secondo osserviamo che
\[ 3>\sqrt5, \]
perché entrambi i membri sono positivi e
\[ 3^2=9>5. \]
Quindi
\[ 3-\sqrt5>0. \]
Possiamo pertanto usare
\[ \sqrt a\,\sqrt b=\sqrt{ab} \qquad\text{per }a,b\geq0. \]
Otteniamo
\[ \sqrt{3+\sqrt5}\cdot\sqrt{3-\sqrt5} = \sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}. \]
Il prodotto interno è una differenza di quadrati:
\[ (3+\sqrt5)(3-\sqrt5) = 3^2-(\sqrt5)^2 = 9-5 = 4. \]
Quindi
\[ \sqrt4=2. \]
Il controllo iniziale sui radicandi non è un dettaglio: la proprietà del prodotto delle radici quadrate, nei numeri reali, richiede che i radicandi siano non negativi.
\[ 2 \]
Esercizio 25 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2} \]
Risultato
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Svolgimento
Per sommare o sottrarre radicali cubici dobbiamo prima portarli, se possibile, allo stesso radicale irriducibile.
Cominciamo da
\[ \sqrt[3]{54}. \]
Poiché
\[ 54=27\cdot2=3^3\cdot2, \]
possiamo estrarre il cubo perfetto:
\[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27}\,\sqrt[3]2 = 3\sqrt[3]2. \]
Passiamo a
\[ \sqrt[3]{16}. \]
Scriviamo
\[ 16=8\cdot2=2^3\cdot2, \]
quindi
\[ \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]2. \]
L'ultimo termine è già
\[ \sqrt[3]2. \]
Sostituendo nell'espressione iniziale,
\[ 3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]2+\sqrt[3]2. \]
Ora i tre radicali sono simili. Raccogliamo \(\sqrt[3]2\):
\[ (3-2+1)\sqrt[3]2. \]
Calcoliamo il coefficiente:
\[ 3-2+1=2. \]
Pertanto
\[ 2\sqrt[3]2. \]
Il radicando \(2\) non contiene cubi perfetti diversi da \(1\), quindi la forma è completamente semplificata.
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Esercizio 26 — livello ★★★☆☆
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} \]
Risultato
\[ 2\sqrt{2} \]
Svolgimento
Razionalizziamo le due frazioni una alla volta.
Per
\[ \frac1{\sqrt2+1}, \]
il coniugato del denominatore è \(\sqrt2-1\). Moltiplichiamo:
\[ \frac1{\sqrt2+1} \cdot \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}. \]
Il denominatore è
\[ 2-1=1, \]
quindi
\[ \frac1{\sqrt2+1} = \sqrt2-1. \]
Per
\[ \frac1{\sqrt2-1}, \]
il coniugato è \(\sqrt2+1\):
\[ \frac1{\sqrt2-1} \cdot \frac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} = \frac{\sqrt2+1}{2-1} = \sqrt2+1. \]
Sommiamo:
\[ (\sqrt2-1)+(\sqrt2+1). \]
I termini \(-1\) e \(+1\) si annullano, mentre
\[ \sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2. \]
Otteniamo quindi
\[ 2\sqrt2. \]
Il risultato semplice dipende dalla perfetta simmetria delle due frazioni coniugate.
\[ 2\sqrt{2} \]
Esercizio 27 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{7+4\sqrt{3}} \]
Risultato
\[ 2+\sqrt{3} \]
Svolgimento
Cerchiamo di riconoscere il radicando
\[ 7+4\sqrt3 \]
come quadrato di un binomio della forma
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Poiché il termine radicale è \(4\sqrt3\), una scelta naturale è
\[ a=2, \qquad b=\sqrt3. \]
Verifichiamo tutti i termini, senza limitarci al termine misto.
Il quadrato del primo termine è
\[ a^2=2^2=4. \]
Il quadrato del secondo è
\[ b^2=(\sqrt3)^2=3. \]
La loro somma è
\[ 4+3=7. \]
Il doppio prodotto è
\[ 2ab = 2\cdot2\cdot\sqrt3 = 4\sqrt3. \]
Coincide esattamente con il termine radicale assegnato.
Pertanto
\[ 7+4\sqrt3 = (2+\sqrt3)^2. \]
L'espressione diventa
\[ \sqrt{(2+\sqrt3)^2}. \]
In generale \(\sqrt{u^2}=|u|\). Qui
\[ 2+\sqrt3>0, \]
quindi
\[ |2+\sqrt3|=2+\sqrt3. \]
Otteniamo infine
\[ 2+\sqrt3. \]
\[ 2+\sqrt{3} \]
Esercizio 28 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}} \]
Risultato
\[ 2\sqrt{2} \]
Svolgimento
Dobbiamo semplificare separatamente i due radicali annidati:
\[ \sqrt{5+2\sqrt6} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{5-2\sqrt6}. \]
Per il primo cerchiamo una forma
\[ (\sqrt m+\sqrt n)^2 = m+n+2\sqrt{mn}. \]
Le condizioni sono
\[ m+n=5, \qquad mn=6. \]
I numeri \(3\) e \(2\) soddisfano entrambe:
\[ 3+2=5, \qquad 3\cdot2=6. \]
Quindi
\[ 5+2\sqrt6 = (\sqrt3+\sqrt2)^2, \]
e, poiché \(\sqrt3+\sqrt2>0\),
\[ \sqrt{5+2\sqrt6} = \sqrt3+\sqrt2. \]
Per il secondo radicale usiamo la differenza:
\[ (\sqrt3-\sqrt2)^2 = 3+2-2\sqrt6 = 5-2\sqrt6. \]
Poiché \(\sqrt3>\sqrt2\), la quantità \(\sqrt3-\sqrt2\) è positiva. Pertanto
\[ \sqrt{5-2\sqrt6} = \sqrt3-\sqrt2. \]
Sostituiamo nell'espressione iniziale:
\[ (\sqrt3+\sqrt2)-(\sqrt3-\sqrt2). \]
Distribuiamo il segno meno:
\[ \sqrt3+\sqrt2-\sqrt3+\sqrt2. \]
I termini \(\sqrt3\) si annullano e rimane
\[ 2\sqrt2. \]
\[ 2\sqrt{2} \]
Esercizio 29 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{2x+1}=x-1 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Prima di elevare al quadrato è indispensabile determinare le condizioni che una soluzione deve soddisfare.
Il radicale
\[ \sqrt{2x+1} \]
è definito nei reali quando
\[ 2x+1\geq0, \]
cioè
\[ x\geq-\frac12. \]
Tuttavia l'equazione impone anche
\[ \sqrt{2x+1}=x-1. \]
Il primo membro è una radice quadrata e quindi è sempre non negativo. Di conseguenza anche il secondo membro deve essere non negativo:
\[ x-1\geq0, \]
da cui
\[ x\geq1. \]
Questa condizione è più restrittiva della precedente; lavoriamo quindi con
\[ x\geq1. \]
In questo insieme entrambi i membri sono non negativi, perciò elevare al quadrato conserva l'equivalenza:
\[ 2x+1=(x-1)^2. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (x-1)^2=x^2-2x+1. \]
Quindi
\[ 2x+1=x^2-2x+1. \]
Portiamo tutti i termini a destra:
\[ 0=x^2-4x. \]
Raccogliamo \(x\):
\[ x(x-4)=0. \]
Le soluzioni dell'equazione algebrica sono
\[ x=0 \qquad\text{oppure}\qquad x=4. \]
Il valore \(x=0\) non soddisfa la condizione \(x\geq1\), quindi va scartato.
Verifichiamo \(x=4\) nell'equazione iniziale:
\[ \sqrt{2\cdot4+1} = \sqrt9 = 3, \]
mentre
\[ 4-1=3. \]
I due membri coincidono, quindi \(x=4\) è una soluzione valida e, dopo lo scarto di \(x=0\), è l'unica soluzione.
\[ x=4 \]
Esercizio 30 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Determiniamo anzitutto le condizioni di esistenza:
\[ x+5\geq0 \]
e
\[ x-3\geq0. \]
La seconda condizione è la più restrittiva, quindi
\[ x\geq3. \]
Per evitare due elevamenti al quadrato, introduciamo
\[ u=\sqrt{x+5}, \qquad v=\sqrt{x-3}. \]
Per \(x\geq3\), sia \(u\) sia \(v\) sono non negativi. L'equazione data diventa
\[ u-v=2. \]
Dalle definizioni di \(u\) e \(v\) possiamo anche calcolare la differenza dei loro quadrati:
\[ u^2-v^2 = (x+5)-(x-3) = 8. \]
Usiamo la differenza di quadrati:
\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v). \]
Poiché \(u-v=2\),
\[ 2(u+v)=8, \]
da cui
\[ u+v=4. \]
Abbiamo ora il sistema
\[ \begin{cases} u-v=2,\\ u+v=4. \end{cases} \]
Sommiamo le due equazioni:
\[ 2u=6, \]
quindi
\[ u=3. \]
Sostituendo in \(u+v=4\),
\[ v=1. \]
Torniamo alla definizione di \(u\):
\[ u^2=x+5. \]
Poiché \(u=3\),
\[ 9=x+5, \]
e quindi
\[ x=4. \]
Il valore \(4\) soddisfa la condizione \(x\geq3\). Verifichiamolo nell'equazione iniziale:
\[ \sqrt{4+5}-\sqrt{4-3} = \sqrt9-\sqrt1 = 3-1 = 2. \]
La verifica è positiva, quindi \(x=4\) è l'unica soluzione.
\[ x=4 \]
Esercizio 31 — livello ★★★★☆
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^4 \]
Risultato
\[ 49+20\sqrt{6} \]
Svolgimento
La quarta potenza può essere scritta come quadrato del quadrato:
\[ (\sqrt3+\sqrt2)^4 = \left[(\sqrt3+\sqrt2)^2\right]^2. \]
Questo metodo è più ordinato dello sviluppo diretto di quattro fattori.
Calcoliamo anzitutto il primo quadrato:
\[ (\sqrt3+\sqrt2)^2. \]
Usiamo
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2: \]
\[ (\sqrt3+\sqrt2)^2 = 3+2\sqrt6+2 = 5+2\sqrt6. \]
Ora dobbiamo elevare al quadrato
\[ 5+2\sqrt6. \]
Applichiamo nuovamente la formula:
\[ (5+2\sqrt6)^2 = 5^2 + 2\cdot5\cdot2\sqrt6 + (2\sqrt6)^2. \]
Calcoliamo i tre termini:
\[ 5^2=25, \]
\[ 2\cdot5\cdot2\sqrt6=20\sqrt6, \]
e
\[ (2\sqrt6)^2 = 2^2(\sqrt6)^2 = 4\cdot6 = 24. \]
Quindi
\[ (5+2\sqrt6)^2 = 25+20\sqrt6+24. \]
Sommiamo i termini razionali:
\[ 25+24=49. \]
Otteniamo
\[ 49+20\sqrt6. \]
Il radicale \(\sqrt6\) è già irriducibile, perciò non vi sono ulteriori semplificazioni.
\[ 49+20\sqrt{6} \]
Esercizio 32 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt[4]{48}\cdot\sqrt[4]{3} \]
Risultato
\[ 2\sqrt{3} \]
Svolgimento
I due radicali hanno lo stesso indice \(4\) e radicandi positivi. Possiamo quindi unirli:
\[ \sqrt[4]{48}\cdot\sqrt[4]3 = \sqrt[4]{48\cdot3}. \]
Calcoliamo il prodotto:
\[ 48\cdot3=144. \]
Otteniamo
\[ \sqrt[4]{144}. \]
Per semplificare una radice quarta cerchiamo fattori che siano quarte potenze perfette. Scriviamo
\[ 144=16\cdot9. \]
Poiché
\[ 16=2^4, \]
possiamo estrarre \(2\):
\[ \sqrt[4]{144} = \sqrt[4]{16\cdot9} = \sqrt[4]{16}\,\sqrt[4]9 = 2\sqrt[4]9. \]
Resta da semplificare
\[ \sqrt[4]9. \]
Poiché
\[ 9=3^2, \]
abbiamo
\[ \sqrt[4]9 = 9^{1/4} = (3^2)^{1/4} = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt3. \]
Pertanto
\[ \sqrt[4]{48}\cdot\sqrt[4]3 = 2\sqrt3. \]
Un controllo alternativo consiste nell'osservare che \(\sqrt[4]{144}=\sqrt{\sqrt{144}}=\sqrt{12}=2\sqrt3\), ottenendo lo stesso risultato.
\[ 2\sqrt{3} \]
Esercizio 33 — livello ★★★★☆
\[ \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{16}-\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}} \]
Risultato
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Svolgimento
Semplifichiamo separatamente i tre termini:
\[ \frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]2}, \qquad \sqrt[3]{16}, \qquad \frac2{\sqrt[3]4}. \]
Per il primo quoziente, le radici cubiche hanno lo stesso indice e il denominatore è diverso da zero:
\[ \frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]2} = \sqrt[3]{\frac42} = \sqrt[3]2. \]
Per il secondo termine scomponiamo \(16\):
\[ 16=8\cdot2=2^3\cdot2. \]
Quindi
\[ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]8\,\sqrt[3]2 = 2\sqrt[3]2. \]
Consideriamo ora
\[ \frac2{\sqrt[3]4}. \]
Vogliamo trasformare il denominatore in una radice cubica esatta. Poiché
\[ 4\cdot2=8, \]
moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt[3]2\):
\[ \frac2{\sqrt[3]4} \cdot \frac{\sqrt[3]2}{\sqrt[3]2} = \frac{2\sqrt[3]2}{\sqrt[3]8}. \]
Poiché
\[ \sqrt[3]8=2, \]
si ha
\[ \frac{2\sqrt[3]2}{2} = \sqrt[3]2. \]
L'espressione iniziale diventa quindi
\[ \sqrt[3]2 + 2\sqrt[3]2 - \sqrt[3]2. \]
Raccogliamo \(\sqrt[3]2\):
\[ (1+2-1)\sqrt[3]2 = 2\sqrt[3]2. \]
Ogni passaggio è stato eseguito sul singolo termine prima della somma algebrica finale; questo evita di confondere le proprietà dei radicali con quelle dell'addizione.
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Esercizio 34 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ -1 \]
Svolgimento
Le due radici hanno indice dispari. Per le radici cubiche reali vale
\[ \sqrt[3]a\,\sqrt[3]b=\sqrt[3]{ab} \]
per tutti i numeri reali \(a\) e \(b\), anche quando uno dei radicandi è negativo.
Qui
\[ 2+\sqrt5>0, \]
mentre
\[ 2-\sqrt5<0, \]
perché \(\sqrt5>2\). Questo non crea alcun problema: la radice cubica di un numero negativo è reale.
Uniamo quindi i radicali:
\[ \sqrt[3]{2+\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt5} = \sqrt[3]{(2+\sqrt5)(2-\sqrt5)}. \]
Il prodotto interno è una differenza di quadrati:
\[ (2+\sqrt5)(2-\sqrt5) = 2^2-(\sqrt5)^2 = 4-5 = -1. \]
Otteniamo
\[ \sqrt[3]{-1}. \]
Cerchiamo il numero reale il cui cubo è \(-1\). Poiché
\[ (-1)^3=-1, \]
si ha
\[ \sqrt[3]{-1}=-1. \]
Il segno negativo del risultato è quindi una conseguenza naturale del fatto che il prodotto dei radicandi è negativo e l'indice della radice è dispari.
\[ -1 \]
Esercizio 35 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1 \]
Risultato
\[ x=5 \]
Svolgimento
Determiniamo innanzitutto le condizioni di esistenza dei due radicali:
\[ 3x+1\geq0 \]
e
\[ x+4\geq0. \]
La prima condizione dà
\[ x\geq-\frac13, \]
mentre la seconda dà
\[ x\geq-4. \]
La condizione complessiva è quindi
\[ x\geq-\frac13. \]
L'equazione è
\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1. \]
Isoliamo il primo radicale:
\[ \sqrt{3x+1} = 1+\sqrt{x+4}. \]
Il secondo membro è certamente non negativo, quindi possiamo elevare al quadrato:
\[ 3x+1 = \left(1+\sqrt{x+4}\right)^2. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ \left(1+\sqrt{x+4}\right)^2 = 1+2\sqrt{x+4}+x+4. \]
Quindi
\[ 3x+1 = x+5+2\sqrt{x+4}. \]
Portiamo i termini non radicali a sinistra:
\[ 2x-4 = 2\sqrt{x+4}. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x-2=\sqrt{x+4}. \]
A questo punto il secondo membro è non negativo, quindi una soluzione deve soddisfare anche
\[ x-2\geq0, \]
ossia
\[ x\geq2. \]
In tale insieme possiamo elevare nuovamente al quadrato:
\[ (x-2)^2=x+4. \]
Sviluppiamo:
\[ x^2-4x+4=x+4. \]
Portiamo tutto a sinistra:
\[ x^2-5x=0. \]
Raccogliamo \(x\):
\[ x(x-5)=0. \]
Le soluzioni candidate sono
\[ x=0 \qquad\text{e}\qquad x=5. \]
Il valore \(x=0\) non soddisfa la condizione \(x\geq2\) emersa prima del secondo quadrato e va scartato.
Verifichiamo \(x=5\) nell'equazione iniziale:
\[ \sqrt{3\cdot5+1}-\sqrt{5+4} = \sqrt{16}-\sqrt9 = 4-3 = 1. \]
La verifica è positiva. Pertanto \(x=5\) è l'unica soluzione.
\[ x=5 \]
Esercizio 36 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2} \]
Risultato
\[ x=1 \]
Svolgimento
L'equazione contiene una radice quadrata annidata:
\[ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\sqrt2. \]
Partiamo dalle condizioni di esistenza. La radice interna richiede
\[ 2x-1\geq0, \]
quindi
\[ x\geq\frac12. \]
Per tali valori \(x\) è positivo e \(\sqrt{2x-1}\geq0\); di conseguenza anche
\[ x+\sqrt{2x-1}\geq0. \]
Non servono quindi ulteriori condizioni per la radice esterna.
Entrambi i membri dell'equazione sono non negativi. Possiamo elevare al quadrato:
\[ x+\sqrt{2x-1}=2. \]
Isoliamo la radice interna:
\[ \sqrt{2x-1}=2-x. \]
Il primo membro è non negativo. Di conseguenza dobbiamo imporre
\[ 2-x\geq0, \]
cioè
\[ x\leq2. \]
Prima del secondo elevamento al quadrato lavoriamo dunque nell'intervallo
\[ \frac12\leq x\leq2. \]
Eleviamo al quadrato:
\[ 2x-1=(2-x)^2. \]
Sviluppiamo il secondo membro:
\[ (2-x)^2=4-4x+x^2. \]
Quindi
\[ 2x-1=4-4x+x^2. \]
Portando tutto a destra,
\[ x^2-6x+5=0. \]
Fattorizziamo:
\[ (x-1)(x-5)=0. \]
Le soluzioni candidate sono
\[ x=1 \qquad\text{e}\qquad x=5. \]
Il valore \(x=5\) non appartiene all'intervallo \(x\leq2\) e va scartato.
Verifichiamo \(x=1\):
\[ \sqrt{1+\sqrt{2\cdot1-1}} = \sqrt{1+\sqrt1} = \sqrt2. \]
L'uguaglianza è verificata. L'unica soluzione è quindi \(x=1\).
\[ x=1 \]
Esercizio 37 — livello ★★★★★
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \]
Risultato
\[ 1 \]
Svolgimento
La struttura della somma suggerisce di razionalizzare ciascun termine. Consideriamo anzitutto la forma generale
\[ \frac1{\sqrt n+\sqrt{n+1}}. \]
Il coniugato del denominatore è
\[ \sqrt{n+1}-\sqrt n. \]
Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato,
\[ \frac1{\sqrt n+\sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}. \]
Il denominatore diventa
\[ (\sqrt{n+1})^2-(\sqrt n)^2 = (n+1)-n = 1. \]
Quindi
\[ \frac1{\sqrt n+\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1}-\sqrt n. \]
Applichiamo ora questa identità ai tre termini.
Per il primo:
\[ \frac1{\sqrt1+\sqrt2} = \sqrt2-\sqrt1 = \sqrt2-1. \]
Per il secondo:
\[ \frac1{\sqrt2+\sqrt3} = \sqrt3-\sqrt2. \]
Per il terzo:
\[ \frac1{\sqrt3+\sqrt4} = \sqrt4-\sqrt3 = 2-\sqrt3. \]
La somma diventa
\[ (\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(2-\sqrt3). \]
Raggruppiamo i termini:
\[ \sqrt2-\sqrt2 + \sqrt3-\sqrt3 + 2-1. \]
I radicali si cancellano a coppie e resta
\[ 1. \]
Una somma di questo tipo si chiama telescopica proprio perché, dopo la trasformazione, i termini intermedi si cancellano e sopravvivono soltanto gli estremi.
\[ 1 \]
Esercizio 38 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}} \]
Risultato
\[ \sqrt{2} \]
Svolgimento
Poniamo
\[ E=\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}. \]
Prima di procedere, verifichiamo che i radicali siano reali. Il primo radicando è certamente positivo. Per il secondo,
\[ 6-\sqrt{11}>0 \]
perché \(6>\sqrt{11}\), come si vede da \(36>11\). Inoltre il primo radicale è maggiore del secondo, quindi
\[ E>0. \]
Invece di de-annidare separatamente i due radicali, calcoliamo \(E^2\):
\[ E^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)^2. \]
Usiamo
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Otteniamo
\[ E^2 = (6+\sqrt{11}) + (6-\sqrt{11}) - 2\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}. \]
I primi due termini si sommano:
\[ (6+\sqrt{11})+(6-\sqrt{11})=12. \]
Nel prodotto sotto radice compare una differenza di quadrati:
\[ (6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11}) = 36-11 = 25. \]
Quindi
\[ E^2 = 12-2\sqrt{25} = 12-2\cdot5 = 2. \]
Abbiamo dunque
\[ E^2=2. \]
In generale da \(E^2=2\) seguirebbe
\[ E=\pm\sqrt2. \]
Ma abbiamo già osservato che \(E>0\). Pertanto
\[ E=\sqrt2. \]
Il controllo del segno è essenziale: è ciò che consente di scegliere correttamente tra le due possibili radici dell'equazione \(E^2=2\).
\[ \sqrt{2} \]
Esercizio 39 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{9-4\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ \sqrt{5}-2 \]
Svolgimento
Vogliamo riconoscere il radicando
\[ 9-4\sqrt5 \]
come quadrato di una differenza.
Cerchiamo una forma
\[ (\sqrt m-\sqrt n)^2 = m+n-2\sqrt{mn}. \]
Confrontando i termini dobbiamo avere
\[ m+n=9 \]
e
\[ 2\sqrt{mn}=4\sqrt5. \]
Dividendo la seconda relazione per \(2\),
\[ \sqrt{mn}=2\sqrt5. \]
Elevando al quadrato,
\[ mn=20. \]
Cerchiamo quindi due numeri positivi con somma \(9\) e prodotto \(20\). Sono
\[ m=5, \qquad n=4. \]
Pertanto
\[ 9-4\sqrt5 = 5+4-2\sqrt{5\cdot4}. \]
Poiché
\[ 2\sqrt{20}=2\cdot2\sqrt5=4\sqrt5, \]
si ha
\[ 9-4\sqrt5 = (\sqrt5-2)^2. \]
L'espressione diventa
\[ \sqrt{(\sqrt5-2)^2}. \]
Ricordiamo che
\[ \sqrt{u^2}=|u|. \]
Dobbiamo quindi determinare il segno di
\[ \sqrt5-2. \]
Poiché \(5>4\), segue \(\sqrt5>2\), quindi
\[ \sqrt5-2>0. \]
Pertanto
\[ |\sqrt5-2|=\sqrt5-2. \]
Otteniamo infine
\[ \sqrt{9-4\sqrt5} = \sqrt5-2. \]
\[ \sqrt{5}-2 \]
Esercizio 40 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ 2 \]
Svolgimento
Semplifichiamo separatamente i due radicali.
Per il primo,
\[ 3+2\sqrt2, \]
osserviamo che
\[ (1+\sqrt2)^2 = 1^2+2\cdot1\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2 = 1+2\sqrt2+2 = 3+2\sqrt2. \]
Quindi
\[ \sqrt{3+2\sqrt2} = \sqrt{(1+\sqrt2)^2}. \]
Poiché \(1+\sqrt2>0\),
\[ \sqrt{3+2\sqrt2} = 1+\sqrt2. \]
Per il secondo radicale,
\[ 3-2\sqrt2, \]
osserviamo che
\[ (\sqrt2-1)^2 = (\sqrt2)^2-2\sqrt2\cdot1+1^2 = 2-2\sqrt2+1 = 3-2\sqrt2. \]
Pertanto
\[ \sqrt{3-2\sqrt2} = \sqrt{(\sqrt2-1)^2}. \]
La radice quadrata di un quadrato è il valore assoluto:
\[ \sqrt{(\sqrt2-1)^2} = |\sqrt2-1|. \]
Poiché
\[ \sqrt2>1, \]
abbiamo
\[ |\sqrt2-1| = \sqrt2-1. \]
Sostituiamo le due semplificazioni nell'espressione iniziale:
\[ (1+\sqrt2)-(\sqrt2-1). \]
Distribuiamo il segno meno:
\[ 1+\sqrt2-\sqrt2+1. \]
I termini radicali si cancellano e rimane
\[ 2. \]
Il controllo dei segni nei passaggi
\[ \sqrt{u^2}=|u| \]
è fondamentale: senza di esso la semplificazione dei radicali annidati può produrre un segno errato.
\[ 2 \]