I radicali nascono come operazioni inverse delle potenze e permettono di rappresentare radici quadrate, cubiche e, più in generale, radici \(n\)-esime. Il loro studio richiede però particolare attenzione, perché il significato di una radice dipende in modo essenziale dall'indice del radicale e dal segno del radicando.
In questa pagina introduciamo la definizione rigorosa di radicale nei numeri reali, distinguendo con precisione il caso di indice pari dal caso di indice dispari. Vedremo in particolare che, quando l'indice è pari, il simbolo \(\sqrt[n]{a}\) non indica tutte le soluzioni dell'equazione \(x^n=a\), ma soltanto la radice principale non negativa, quando essa esiste.
Studieremo poi le condizioni di esistenza, le proprietà fondamentali dei radicali, la semplificazione, le operazioni tra radicali e la razionalizzazione del denominatore. La parte finale sarà dedicata ai radicali con variabili e alle prime equazioni irrazionali, nelle quali è indispensabile determinare il dominio e verificare le soluzioni ottenute.
Indice
- Definizione di radicale
- Condizioni di esistenza
- Proprietà fondamentali
- Semplificazione dei radicali
- Moltiplicazione e divisione
- Addizione e sottrazione
- Potenze di radicali
- Razionalizzazione del denominatore
- Radicali con variabili
- Equazioni irrazionali
Definizione di radicale
Il radicale \(n\)-esimo di un numero reale \(a\) è l'operazione che permette di risalire, quando possibile, a un numero la cui \(n\)-esima potenza sia uguale ad \(a\). Nei numeri reali, però, la definizione dipende dalla parità dell'indice \(n\).
Sia \(n\in\mathbb{N}\), con \(n\geq 2\).
Se \(n\) è pari e \(a\geq0\), si definisce \(\sqrt[n]{a}\) come l'unico numero reale \(b\geq0\) tale che
\[ b^n=a. \]
In simboli:
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a,\quad b\geq0. \]
Se invece \(n\) è dispari e \(a\in\mathbb{R}\), si definisce \(\sqrt[n]{a}\) come l'unico numero reale \(b\) tale che
\[ b^n=a. \]
In simboli:
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a. \]
Il numero \(n\) si chiama indice del radicale, mentre il numero \(a\) si chiama radicando.
La distinzione tra indice pari e indice dispari è fondamentale. Se l'indice è pari, il radicando deve essere non negativo e il radicale indica sempre la radice principale non negativa. Se l'indice è dispari, invece, il radicale è definito per ogni radicando reale e conserva il segno del radicando.
Radice quadrata
Il caso più importante è quello della radice quadrata. Quando \(n=2\), l'indice viene omesso:
\[ \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}. \]
La radice quadrata è definita nei numeri reali solo per \(a\geq0\) e restituisce sempre il valore principale non negativo.
In particolare, per ogni \(a\in\mathbb{R}\), vale l'identità
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Non bisogna quindi confondere \(\sqrt{a^2}\) con \(a\). In generale, infatti,
\[ \sqrt{a^2}\neq a. \]
Per esempio:
\[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\neq -3. \]
Radice \(n\)-esima e parità dell'indice
| Indice \(n\) | Radicando \(a\) | Significato del radicale |
|---|---|---|
| Pari | \(a>0\) | esiste la radice principale positiva |
| Pari | \(a=0\) | \(\sqrt[n]{0}=0\) |
| Pari | \(a<0\) | non esiste nei numeri reali |
| Dispari | \(a\in\mathbb{R}\) | esiste un unico valore reale, con lo stesso segno di \(a\) |
Vediamo alcuni esempi.
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
perché
\[ (-2)^3=-8. \]
Inoltre
\[ \sqrt[4]{16}=2. \]
Infatti \(2^4=16\), ma il radicale \(\sqrt[4]{16}\) indica la radice principale non negativa, non il valore \(-2\), anche se \((-2)^4=16\).
Infine:
\[ \sqrt[5]{-32}=-2, \]
perché
\[ (-2)^5=-32. \]
Condizioni di esistenza
Le condizioni di esistenza di un radicale stabiliscono per quali valori del radicando il radicale è definito nei numeri reali. Anche in questo caso bisogna distinguere tra indice pari e indice dispari.
Se l'indice \(n\) è pari, il radicale
\[ \sqrt[n]{a} \]
esiste nei numeri reali se e solo se
\[ a\geq0. \]
Se invece l'indice \(n\) è dispari, il radicale
\[ \sqrt[n]{a} \]
esiste per ogni valore reale di \(a\).
Possiamo riassumere le condizioni di esistenza nel modo seguente:
\[ \sqrt[n]{a}\in\mathbb{R} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} a\geq0 & \text{se } n \text{ è pari},\\ a\in\mathbb{R} & \text{se } n \text{ è dispari}. \end{cases} \]
Vediamo alcuni esempi.
Il radicale
\[ \sqrt{x-3} \]
ha indice pari, quindi esiste se e solo se
\[ x-3\geq0. \]
Pertanto la condizione di esistenza è
\[ x\geq3. \]
Il radicale
\[ \sqrt[3]{x-3} \]
ha invece indice dispari, quindi esiste per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Infine, il radicale
\[ \sqrt{x^2-4} \]
ha indice pari, quindi dobbiamo imporre
\[ x^2-4\geq0. \]
Risolvendo la disequazione, otteniamo
\[ x\leq -2 \quad \text{oppure} \quad x\geq2. \]
Dunque il radicale \(\sqrt{x^2-4}\) esiste per
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty). \]
Proprietà fondamentali
Le proprietà dei radicali permettono di trasformare e semplificare le espressioni contenenti radici. Tuttavia, nei numeri reali, queste proprietà devono essere applicate rispettando le condizioni di esistenza e la convenzione della radice principale.
In particolare, quando l'indice è pari, tutti i radicali devono essere definiti nei numeri reali e il valore del radicale è sempre non negativo. Per questo motivo, alcune formule che sembrano immediate richiedono attenzione al segno delle quantità coinvolte.
| Proprietà | Formula | Condizioni |
|---|---|---|
| Prodotto di radicali con lo stesso indice | \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) | per \(n\) pari: \(a\geq0\), \(b\geq0\); per \(n\) dispari: \(a,b\in\mathbb{R}\) |
| Quoziente di radicali con lo stesso indice | \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) | per \(n\) pari: \(a\geq0\), \(b>0\); per \(n\) dispari: \(a\in\mathbb{R}\), \(b\neq0\) |
| Potenza di un radicale | \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) | quando il radicale \(\sqrt[n]{a}\) è definito e \(m\in\mathbb{N}^*\) |
| Radicale di radicale | \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\) | quando entrambi i membri sono definiti nei numeri reali |
| Riduzione allo stesso indice | \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}\) | vale sicuramente per \(a\geq0\) e \(k\in\mathbb{N}^*\) |
| Semplificazione con indice pari | \(\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|\) | per ogni \(a\in\mathbb{R}\) |
| Semplificazione con indice dispari | \(\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a\) | per ogni \(a\in\mathbb{R}\) |
Prodotto e quoziente
Se i radicali hanno lo stesso indice, è possibile moltiplicarli o dividerli portando il prodotto o il quoziente sotto un unico radicale, purché tutte le espressioni siano definite.
Per esempio:
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
Analogamente:
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Per il quoziente:
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
Nel caso di indice pari, bisogna però ricordare che i radicandi devono essere non negativi e, nel quoziente, il denominatore deve essere strettamente positivo.
Potenze di radicali
Se il radicale \(\sqrt[n]{a}\) è definito, allora possiamo elevare il radicale a una potenza naturale:
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Quando \(a\geq0\), questa proprietà si collega alla scrittura con esponente razionale:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Questa scrittura è particolarmente utile nel calcolo algebrico, ma va usata con attenzione quando si lavora nei numeri reali e sono presenti radicandi che possono assumere valori negativi.
Semplificazione di potenze perfette
Una delle identità più importanti è la seguente:
\[ \sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|. \]
Il valore assoluto è necessario perché una radice di indice pari restituisce sempre il valore principale non negativo.
Per esempio:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Allo stesso modo:
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
Se invece l'indice è dispari, non compare il valore assoluto:
\[ \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a. \]
Per esempio:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Riduzione allo stesso indice
La riduzione allo stesso indice permette di trasformare radicali con indici diversi in radicali aventi un indice comune. Questa trasformazione è particolarmente utile quando bisogna moltiplicare, dividere o confrontare radicali.
Se \(a\geq0\), allora:
\[ \sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}, \qquad k\in\mathbb{N}^*. \]
Per esempio:
\[ \sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}. \]
Inoltre:
\[ \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}. \]
Questa proprietà va applicata con cautela se il radicando è negativo. Infatti, quando si passa a un indice pari, il radicale rappresenta sempre una radice principale non negativa e il segno può cambiare.
Per esempio:
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
mentre
\[ \sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2. \]
Quindi, in generale, non si può ridurre l'indice senza controllare le condizioni e il segno del radicando.
Semplificazione dei radicali
Semplificare un radicale significa trasformarlo in una forma equivalente nella quale il radicando non contiene più fattori che siano potenze perfette dell'indice.
L'idea è separare, quando possibile, le potenze che possono essere estratte dal radicale da quelle che devono rimanere sotto radice.
Se \(a\geq0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geq2\), \(q\in\mathbb{N}\), \(0\leq r<n\) e \(qn+r\geq1\), allora
\[ \sqrt[n]{a^{qn+r}}=a^q\sqrt[n]{a^r}. \]
Questa formula esprime il principio generale della semplificazione: le potenze con esponente multiplo dell'indice possono essere portate fuori dal radicale, mentre le potenze restanti rimangono nel radicando.
Metodo di semplificazione
Per semplificare un radicale si può procedere nel modo seguente.
- Si scompone il radicando in fattori primi, oppure in fattori con esponenti.
- Si scrive ogni esponente come multiplo dell'indice più un resto.
- Si portano fuori dal radicale i fattori corrispondenti alle potenze perfette dell'indice.
Vediamo alcuni esempi.
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}. \]
Infatti \(36\) è un quadrato perfetto e può essere estratto dalla radice quadrata.
Inoltre:
\[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}. \]
In questo caso \(27=3^3\) è una potenza perfetta di indice \(3\).
Semplificazione con variabili
Quando nel radicando compaiono variabili reali, bisogna prestare particolare attenzione al segno. In particolare, con indici pari può essere necessario introdurre il valore assoluto.
Per esempio, per ogni \(x\in\mathbb{R}\) si ha
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Invece, se sappiamo che \(x\geq0\), allora possiamo scrivere
\[ \sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt{x}. \]
La condizione \(x\geq0\) è necessaria perché il radicale \(\sqrt{x^5}\) sia definito nei numeri reali.
Per un indice dispari, invece, non è necessario introdurre il valore assoluto. Per esempio:
\[ \sqrt[3]{a^8}=\sqrt[3]{a^6\cdot a^2}=a^2\sqrt[3]{a^2}. \]
Moltiplicazione e divisione
Per moltiplicare o dividere radicali con lo stesso indice, si usa la proprietà del prodotto o del quoziente, sempre rispettando le condizioni di esistenza.
Se i radicali hanno lo stesso indice, allora:
\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}. \]
Per esempio:
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
Allo stesso modo:
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Per il quoziente si ha:
\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}, \]
purché il radicale al denominatore sia definito e diverso da zero. In particolare, se l'indice è pari, bisogna richiedere \(b>0\); se l'indice è dispari, basta richiedere \(b\neq0\).
Per esempio:
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
Quando i radicali hanno indici diversi, prima di moltiplicarli o dividerli si può ricorrere alla riduzione allo stesso indice.
Per esempio:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32}. \]
Addizione e sottrazione
L'addizione e la sottrazione tra radicali non si eseguono portando i termini sotto un unico radicale. Si possono sommare o sottrarre direttamente solo i radicali simili, cioè radicali con lo stesso indice e lo stesso radicando.
In generale:
\[ p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}. \]
Analogamente:
\[ p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}. \]
Per esempio:
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}. \]
A volte i radicali non sono inizialmente simili, ma lo diventano dopo la semplificazione. Per esempio:
\[ \sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. \]
Un altro esempio è:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{18} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}+3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}. \]
Invece, radicali come \(\sqrt{2}\) e \(\sqrt{3}\) non sono simili e non possono essere sommati in un unico radicale.
Potenze di radicali
Le potenze di radicali si trattano applicando le proprietà delle potenze e tenendo conto delle condizioni di esistenza.
Se \(\sqrt[n]{a}\) è definito e \(m\in\mathbb{N}^*\), allora:
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Se inoltre \(a\geq0\), possiamo collegare questa scrittura alle potenze con esponente razionale:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Quadrato di un binomio con radicali
Se \(a\geq0\) e \(b\geq0\), allora:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+2\sqrt{ab}+b. \]
Allo stesso modo:
\[ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a-2\sqrt{ab}+b. \]
Per esempio:
\[ (\sqrt{5}+2)^2 = 5+4\sqrt{5}+4 = 9+4\sqrt{5}. \]
Prodotto di espressioni coniugate
Se \(a\geq0\) e \(b\geq0\), il prodotto di due espressioni coniugate permette di eliminare i radicali quadrati:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b. \]
Per esempio:
\[ (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=7-3=4. \]
Razionalizzazione del denominatore
La razionalizzazione del denominatore consiste nel trasformare una frazione in una frazione equivalente il cui denominatore non contenga radicali.
L'idea di base è moltiplicare numeratore e denominatore per un opportuno fattore che permetta di eliminare il radicale dal denominatore. Il valore della frazione non cambia, perché si moltiplica per una quantità uguale a \(1\).
Denominatore con un solo radicale quadrato
Consideriamo una frazione del tipo
\[ \frac{c}{\sqrt{a}}, \]
con \(a>0\). Per eliminare la radice dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{a}\):
\[ \frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{a}. \]
Per esempio:
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}. \]
Denominatore con un solo radicale \(n\)-esimo
Più in generale, se il denominatore contiene un radicale \(n\)-esimo, possiamo usare la proprietà delle potenze.
Se il radicale è definito e \(\sqrt[n]{a}\neq0\), allora:
\[ \frac{c}{\sqrt[n]{a}} = \frac{c\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}. \]
Nel caso di indice pari bisogna richiedere \(a>0\), mentre nel caso di indice dispari è sufficiente richiedere \(a\neq0\).
Per esempio:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}. \]
Denominatore binomio con radicali quadrati
Se il denominatore è un binomio con radicali quadrati, si usa il prodotto di due espressioni coniugate.
Per esempio, se \(a\geq0\), \(b\geq0\) e \(a\neq b\), allora:
\[ \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}. \]
Analogamente:
\[ \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}. \]
Vediamo un esempio:
\[ \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = 4\sqrt{3}-4\sqrt{2}. \]
Un altro esempio è:
\[ \frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{1-\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{1-\sqrt{5}}{1-5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}. \]
Denominatore con radicali cubici
Quando il denominatore contiene radicali cubici, si usano le identità della somma e della differenza di cubi:
\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \]
e
\[ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). \]
Per esempio, se \(a\neq b\), allora:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}. \]
Infatti, ponendo \(x=\sqrt[3]{a}\) e \(y=\sqrt[3]{b}\), si ha
\[ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3=a-b. \]
Per esempio:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1. \]
Analogamente, se \(a\neq -b\), allora:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}. \]
Radicali con variabili
Quando il radicando contiene variabili, le proprietà dei radicali devono essere applicate insieme alle condizioni di esistenza. In particolare, se l'indice è pari, bisogna imporre che il radicando sia non negativo.
Per esempio, il radicale
\[ \sqrt{x-1} \]
è definito nei numeri reali se e solo se
\[ x-1\geq0, \]
cioè per
\[ x\geq1. \]
Valore assoluto nella semplificazione
Quando si semplificano radicali con variabili reali, il valore assoluto compare naturalmente nei radicali di indice pari.
Infatti, per ogni \(x\in\mathbb{R}\),
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Allo stesso modo:
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
Inoltre:
\[ \sqrt{x^6}=|x^3|. \]
Se invece l'indice è dispari, il valore assoluto non compare. Per esempio:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Più in generale:
\[ \sqrt[2k]{x^{2k}}=|x|,\qquad \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}}=x. \]
Dominio di espressioni con più radicali
Se un'espressione contiene più radicali, il dominio si ottiene imponendo contemporaneamente tutte le condizioni di esistenza. In altre parole, il dominio è l'intersezione delle condizioni richieste dai singoli radicali.
Consideriamo, per esempio, la funzione
\[ f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}. \]
Il primo radicale richiede
\[ x+2\geq0, \]
cioè
\[ x\geq -2. \]
Il secondo radicale richiede
\[ 4-x\geq0, \]
cioè
\[ x\leq4. \]
Pertanto il dominio è
\[ [-2,4]. \]
Equazioni irrazionali
Le equazioni irrazionali sono equazioni nelle quali l'incognita compare sotto il segno di radice. Per risolverle è necessario prestare particolare attenzione al dominio e alle eventuali soluzioni estranee introdotte durante i passaggi.
Un metodo generale consiste nei seguenti passaggi.
- Si determinano le condizioni di esistenza di tutti i radicali presenti.
- Si isola, quando possibile, uno dei radicali.
- Si elevano entrambi i membri alla potenza opportuna.
- Si risolve l'equazione algebrica ottenuta.
- Si verificano le soluzioni candidate nell'equazione iniziale.
La verifica finale è indispensabile, perché l'elevamento a potenza può introdurre soluzioni estranee.
Esempio con una radice quadrata
Consideriamo l'equazione
\[ \sqrt{2x-1}=x-2. \]
Prima di elevare al quadrato, determiniamo le condizioni necessarie. Il radicale richiede
\[ 2x-1\geq0, \]
cioè
\[ x\geq\frac{1}{2}. \]
Inoltre, poiché una radice quadrata è sempre non negativa, anche il secondo membro deve essere non negativo:
\[ x-2\geq0. \]
Dunque dobbiamo avere
\[ x\geq2. \]
Elevando al quadrato entrambi i membri, otteniamo
\[ 2x-1=(x-2)^2. \]
Sviluppando:
\[ 2x-1=x^2-4x+4. \]
Portando tutti i termini al secondo membro:
\[ x^2-6x+5=0. \]
Da cui
\[ x=1 \quad \text{oppure} \quad x=5. \]
Il valore \(x=1\) non soddisfa la condizione \(x\geq2\), quindi viene scartato. Verifichiamo \(x=5\) nell'equazione iniziale:
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=5-2. \]
Infatti:
\[ \sqrt{9}=3. \]
Quindi l'unica soluzione è
\[ x=5. \]
Esempio con due radicali
Consideriamo ora l'equazione
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1. \]
Le condizioni di esistenza sono
\[ x+5\geq0 \qquad\text{e}\qquad x\geq0. \]
Dunque il dominio è
\[ x\geq0. \]
Isoliamo il primo radicale:
\[ \sqrt{x+5}=\sqrt{x}+1. \]
Eleviamo al quadrato:
\[ x+5=(\sqrt{x}+1)^2. \]
Sviluppando il secondo membro:
\[ x+5=x+2\sqrt{x}+1. \]
Quindi:
\[ 4=2\sqrt{x}. \]
Da cui
\[ \sqrt{x}=2 \]
e quindi
\[ x=4. \]
Verifichiamo nell'equazione iniziale:
\[ \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1. \]
La soluzione è quindi
\[ x=4. \]
Per esercitarsi con altri esempi, si può passare alla raccolta dedicata: