Radicali: definizione, condizioni di esistenza, proprietà fondamentali, semplificazione, operazioni e razionalizzazione. Esempi ed esercizi svolti passo passo.
Indice
- Definizione di radicale
- Condizioni di esistenza
- Proprietà fondamentali
- Semplificazione dei radicali
- Moltiplicazione e divisione
- Addizione e sottrazione
- Potenze di radicali
- Razionalizzazione del denominatore
- Radicali con variabili
- Equazioni irrazionali
Definizione di radicale
Il radicale n-esimo di un numero reale \(a\) è il numero \(b\) tale che, elevato alla \(n\)-esima potenza, restituisce \(a\).
Definizione
Dato \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \) e \( a \in \mathbb{R} \), si definisce radicale n-esimo di \( a \) il numero reale \( b \) tale che: \[ b = \sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n = a \]
Il numero \( n \) è l’indice del radicale, mentre \( a \) è il radicando.
Radice Quadrata
Per convenzione, quando \( n = 2 \) si omette l’indice:
\[ \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} \]
La radice quadrata restituisce sempre il valore principale non negativo ed è definita solo per \( a \geq 0 \). Vale inoltre l’importante identità:
\[ \sqrt{a^2} = |a| \] Attenzione In generale \( \sqrt{a^2} \neq a \). Ad esempio \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3 \).
Radice n-esima: parità dell’indice
| Indice \( n \) | Radicando \( a \) | Risultato |
|---|---|---|
| Pari | \( a > 0 \) | esiste un unico valore reale positivo (radice principale) |
| Pari | \( a = 0 \) | \( \sqrt[n]{0} = 0 \) |
| Pari | \( a < 0 \) | non esiste in \( \mathbb{R} \) |
| Dispari | qualsiasi \( a \in \mathbb{R} \) | esiste un unico valore reale, con lo stesso segno di \( a \) |
Esempi
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \) perché \( (-2)^3 = -8 \)
\( \sqrt[4]{16} = 2 \) (radice principale)
\( \sqrt[5]{-32} = -2 \) perché \( (-2)^5 = -32 \)
Condizioni di esistenza
Un radicale esiste in \( \mathbb{R} \) solo quando il radicando soddisfa le seguenti condizioni, che dipendono dalla parità dell’indice.
Condizione di esistenza
\[ \sqrt[n]{a} \in \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} a \geq 0 & \text{se } n \text{ è pari} \\ a \in \mathbb{R} & \text{se } n \text{ è dispari} \end{cases} \] Esempi
\( \sqrt{x-3} \) esiste ⇔ \( x-3 \geq 0 \) ⇔ \( x \geq 3 \)
\( \sqrt[3]{x-3} \) esiste per ogni \( x \in \mathbb{R} \)
\( \sqrt{x^2-4} \) esiste ⇔ \( x \leq -2 \) oppure \( x \geq 2 \)
Proprietà fondamentali
Le proprietà seguenti valgono quando tutte le espressioni sono definite nei numeri reali (in particolare, per indici pari, tutti i radicandi devono essere non negativi).
| Proprietà | Formula |
|---|---|
| Radicale di una potenza | \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \) (con \( a \geq 0 \) se \( n \) pari) |
| Potenza di un radicale | \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \) |
| Radicale di radicale | \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \) |
| Riduzione allo stesso indice | \( \sqrt[n]{a} = \sqrt[kn]{a^k} \) per \( k \in \mathbb{N}, k \geq 1 \) |
| Semplificazione dell’indice | \( \sqrt[kn]{a^k} = \sqrt[n]{a} \) |
Collegamento con le potenze frazionarie
\[ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \]
Semplificazione dei radicali
Un radicale è semplificato quando nel radicando non rimangono fattori che siano potenze perfette dell’indice (cioè estraibili interamente).
Metodo per la semplificazione
- Scomporre il radicando in fattori primi (o in fattori con esponenti).
- Scrivere ogni esponente come multiplo di \( n \) più un resto \( r \) con \( 0 \leq r < n \).
- Estrarre dalla radice le parti multiple dell’indice.
\[ \sqrt[n]{a^{qn+r}} = a^q \sqrt[n]{a^r}, \quad 0 \leq r < n \quad (a \geq 0 \text{ se } n \text{ pari}) \] Esempi
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)
\( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \)
\( \sqrt{x^5} = x^2 \sqrt{x} \) per \( x \geq 0 \)
\( \sqrt[3]{a^8} = a^2 \sqrt[3]{a^2} \)
Riduzione allo stesso indice
Per operare tra radicali con indici diversi si usa il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici.
Esempio
\( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
\( \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} \)
Moltiplicazione e divisione
Proprietà (per espressioni definite)
\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}, \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b > 0) \] Attenzione Le proprietà valgono solo quando tutti i radicandi rispettano le condizioni di esistenza. Esempi
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6 \)
\( \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
\( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32} \)
Addizione e sottrazione
Si possono sommare o sottrarre solo radicali simili (stesso indice e stesso radicando).
Radicali simili
\( p\sqrt[n]{a} \pm q\sqrt[n]{a} = (p \pm q)\sqrt[n]{a} \) Esempi
\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
\( \sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
\( \sqrt{8} - \sqrt{2} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
Potenze di radicali
\[ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \quad (a \geq 0 \text{ se } n \text{ pari}) \]
Quadrato di un binomio con radicali
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \]
\[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \]
Prodotto di espressioni coniugate
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b \]
Razionalizzazione del denominatore
La razionalizzazione consiste nell’eliminare i radicali dal denominatore di una frazione moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore.
Caso 1 — Denominatore con un singolo radicale
\[ \frac{b}{\sqrt[n]{a}} = \frac{b \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}{a} \quad (a \geq 0 \text{ se } n \text{ pari}) \] Esempi
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} \]
Caso 2 — Denominatore binomio con radicali quadrati
\[ \frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{a - b} \] Esempi
\[ \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3-2} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \]
\[ \frac{1}{1 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \]
Caso 3 — Denominatore con radicali cubici (somma o differenza)
Si utilizza la somma o la differenza di cubi:
\[ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \qquad x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) \]
Per \( \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \) (con \( x = \sqrt[3]{a} \), \( y = \sqrt[3]{b} \)):
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a - b} \] Esempio
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 \]
Radicali con variabili
Valore assoluto nella semplificazione
Per indice pari (\( n = 2k \)): \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \)
Per indice dispari: \( \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}} = x \) Esempi
\( \sqrt{x^2} = |x| \)
\( \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
\( \sqrt{x^6} = |x^3| \)
\( \sqrt[3]{x^3} = x \)
Dominio di espressioni con più radicali
Il dominio è l’intersezione delle condizioni di esistenza di tutti i radicali presenti.
Esempio
\( f(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{4-x} \)
Dominio: \( x \geq -2 \) e \( x \leq 4 \) ⇒ \( [-2, 4] \)
Equazioni irrazionali
Per risolvere un’equazione irrazionale:
- Determinare il dominio (condizioni di esistenza di tutti i radicali).
- Isolare un radicale (se possibile).
- Elevare entrambi i membri alla potenza opportuna.
- Risolvere l’equazione algebrica ottenuta.
- Verificare ogni soluzione candidata nell’equazione originale e nel dominio (per eliminare eventuali soluzioni estranee).
Attenzione L’elevamento a potenza può introdurre soluzioni estranee. La verifica è obbligatoria.
Esempio – indice pari
\( \sqrt{2x-1} = x-2 \)
Dominio: \( x \geq \frac{1}{2} \) e \( x-2 \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 2 \).
Elevando al quadrato: \( 2x-1 = (x-2)^2 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow x=1 \) oppure \( x=5 \).
Verifica: \( x=1 \) non appartiene al dominio → soluzione estranea.
\( x=5 \): \( \sqrt{10-1} = 3 \) e \( 5-2=3 \) → verificata.
Soluzione: \( x=5 \)
Esempio – due radicali
\( \sqrt{x+5} - \sqrt{x} = 1 \)
Dominio: \( x \geq 0 \).
Isoliamo: \( \sqrt{x+5} = \sqrt{x} + 1 \).
Eleviamo al quadrato: \( x+5 = x + 2\sqrt{x} + 1 \Rightarrow 4 = 2\sqrt{x} \Rightarrow x=4 \).
Verifica: \( \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1 \) → corretta.
Soluzione: \( x=4 \)