In questa sezione proponiamo 20 esercizi svolti sui punti di accumulazione, sui punti isolati e sull'insieme derivato. Gli esercizi sono ordinati per difficoltà crescente e sono pensati per applicare passo passo le definizioni studiate nella teoria.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Determinare i punti isolati e i punti di accumulazione dell'insieme
\[ A=\{2,5,9\}. \]
Risultato
Tutti i punti di \(A\), cioè \(2,5,9\), sono punti isolati. L'insieme \(A\) non possiede punti di accumulazione:
\[ A'=\varnothing. \]
Svolgimento
L'insieme \(A\) contiene soltanto tre punti. Per verificare che ciascuno di essi sia isolato, dobbiamo mostrare che attorno a ogni punto esiste un intorno che non contiene altri elementi di \(A\).
Per esempio, consideriamo il punto \(2\). La distanza tra \(2\) e l'elemento più vicino di \(A\), cioè \(5\), è
\[ |5-2|=3. \]
Possiamo allora scegliere, ad esempio, l'intorno
\[ \left(2-\frac12,2+\frac12\right). \]
Tale intorno contiene \(2\), ma non contiene né \(5\) né \(9\). Quindi \(2\) è un punto isolato.
Con lo stesso ragionamento, anche \(5\) e \(9\) sono punti isolati. Inoltre un insieme finito di numeri reali non possiede punti di accumulazione, perché attorno a ogni suo elemento si può costruire un intorno sufficientemente piccolo che lo separa dagli altri punti dell'insieme.
Pertanto
\[ A'=\varnothing. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Determinare i punti isolati e i punti di accumulazione dell'insieme
\[ A=(0,1). \]
Risultato
L'insieme \(A\) non ha punti isolati. I suoi punti di accumulazione sono tutti e soli i punti dell'intervallo chiuso:
\[ A'=[0,1]. \]
Svolgimento
Ogni punto \(x_0\in(0,1)\) è un punto di accumulazione di \(A\). Infatti, qualunque sia \(r>0\), l'intorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
contiene infiniti punti dell'intervallo \((0,1)\) diversi da \(x_0\).
Anche \(0\) è un punto di accumulazione. Infatti, per ogni \(r>0\), l'intervallo
\[ (-r,r) \]
contiene punti positivi minori di \(1\), e quindi contiene elementi di \(A\).
Analogamente, anche \(1\) è un punto di accumulazione, perché ogni intorno di \(1\) contiene punti minori di \(1\) e maggiori di \(0\).
Se invece \(x_0<0\) oppure \(x_0>1\), possiamo scegliere un intorno di \(x_0\) abbastanza piccolo da non incontrare l'intervallo \((0,1)\). Quindi tali punti non sono punti di accumulazione.
Concludiamo dunque che
\[ A'=[0,1]. \]
Poiché ogni punto di \(A\) è un punto di accumulazione, nessun punto di \(A\) è isolato.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=[0,1]. \]
Risultato
L'insieme \(A\) non ha punti isolati e
\[ A'=[0,1]. \]
Svolgimento
Consideriamo prima un punto \(x_0\in(0,1)\). Ogni intorno di \(x_0\) contiene infiniti punti dell'intervallo \([0,1]\) diversi da \(x_0\), quindi \(x_0\) è un punto di accumulazione.
Consideriamo ora l'estremo \(0\). Ogni intorno di \(0\), cioè ogni intervallo della forma
\[ (-r,r), \qquad r>0, \]
contiene punti di \([0,1]\) diversi da \(0\), ad esempio punti positivi sufficientemente piccoli. Dunque \(0\) è un punto di accumulazione.
Allo stesso modo, ogni intorno di \(1\) contiene punti di \([0,1]\) diversi da \(1\), per esempio punti minori di \(1\) e abbastanza vicini a \(1\). Quindi anche \(1\) è un punto di accumulazione.
Nessun punto esterno a \([0,1]\) è di accumulazione, perché se \(x_0<0\) oppure \(x_0>1\), esiste un intorno di \(x_0\) che non interseca \([0,1]\).
Pertanto
\[ A'=[0,1]. \]
Poiché ogni punto di \(A\) è punto di accumulazione, l'insieme \(A\) non possiede punti isolati.
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Determinare i punti isolati e i punti di accumulazione di
\[ A=\mathbb Z. \]
Risultato
Tutti gli interi sono punti isolati e
\[ A'=\varnothing. \]
Svolgimento
Consideriamo un intero qualunque \(n\in\mathbb Z\). L'intorno
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
contiene un solo numero intero, cioè \(n\) stesso.
Infatti il numero intero precedente è \(n-1\) e quello successivo è \(n+1\), entrambi distanti \(1\) da \(n\). Scegliendo un raggio minore di \(1\), ad esempio \(\displaystyle \frac12\), escludiamo tutti gli altri interi.
Quindi ogni \(n\in\mathbb Z\) è un punto isolato di \(\mathbb Z\).
Inoltre, nessun numero reale è punto di accumulazione di \(\mathbb Z\). Intuitivamente, gli interi non si addensano in nessun punto della retta reale: sono sempre separati l'uno dall'altro da distanza \(1\).
Pertanto
\[ \mathbb Z'=\varnothing. \]
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Determinare l'insieme derivato di
\[ A=\mathbb Q. \]
Risultato
Ogni numero reale è punto di accumulazione di \(\mathbb Q\). Quindi
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
L'insieme \(\mathbb Q\) non ha punti isolati.
Svolgimento
La proprietà fondamentale da usare è la densità dei razionali in \(\mathbb R\): tra due numeri reali distinti esiste sempre almeno un numero razionale, anzi ne esistono infiniti.
Sia \(x_0\in\mathbb R\). Dobbiamo verificare che ogni intorno di \(x_0\) contenga un numero razionale diverso da \(x_0\).
Consideriamo un intorno arbitrario
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0. \]
Poiché i razionali sono densi in \(\mathbb R\), in tale intervallo esistono infiniti numeri razionali. In particolare, esiste almeno un numero razionale appartenente all'intorno e diverso da \(x_0\).
Quindi \(x_0\) è punto di accumulazione di \(\mathbb Q\). Poiché \(x_0\) era un numero reale arbitrario, ogni numero reale è punto di accumulazione di \(\mathbb Q\).
Pertanto
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
Inoltre \(\mathbb Q\) non ha punti isolati, perché ogni intorno di un numero razionale contiene infiniti altri razionali.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Risultato
Tutti i punti della forma \(\displaystyle \frac1n\) sono punti isolati. L'unico punto di accumulazione è \(0\). Quindi
\[ A'=\{0\}. \]
Svolgimento
Gli elementi di \(A\) sono
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Essi si avvicinano sempre di più a \(0\), ma \(0\) non appartiene ad \(A\).
Mostriamo prima che \(0\) è un punto di accumulazione. Sia \(r>0\). Poiché \(\displaystyle \frac1n\to0\), esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ 0<\frac1n<r. \]
Dunque l'intorno \((-r,r)\) contiene un elemento di \(A\), diverso da \(0\). Questo vale per ogni \(r>0\), quindi \(0\) è punto di accumulazione.
Mostriamo ora che ogni punto \(\displaystyle \frac1n\) è isolato.
Se \(n=1\), basta scegliere un raggio
\[ r<1-\frac12=\frac12. \]
L'intorno \((1-r,1+r)\) non contiene altri elementi di \(A\).
Se \(n\ge2\), il punto \(\displaystyle \frac1n\) è compreso tra i due termini consecutivi
\[ \frac1{n-1} \qquad\text{e}\qquad \frac1{n+1}. \]
Poniamo
\[ r=\frac12 \min\!\left\{ \frac1{n-1}-\frac1n, \frac1n-\frac1{n+1} \right\}. \]
Poiché le due quantità all'interno del minimo sono positive, risulta \(r>0\).
Con tale scelta l'intorno
\[ \left(\frac1n-r,\frac1n+r\right) \]
non contiene alcun altro elemento di \(A\). Pertanto \(\displaystyle \frac1n\) è un punto isolato.
L'unico punto di accumulazione è dunque \(0\), e perciò
\[ A'=\{0\}. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Risultato
Il punto \(0\) è punto di accumulazione e appartiene ad \(A\). Tutti i punti \(\displaystyle \frac1n\) sono isolati. Inoltre
\[ A'=\{0\}. \]
Svolgimento
L'insieme è formato dal punto \(0\) e dai punti della successione
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Il punto \(0\) appartiene all'insieme, ma questo non impedisce che sia anche un punto di accumulazione. Infatti, per ogni \(r>0\), esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ 0<\frac1n<r. \]
Quindi ogni intorno di \(0\) contiene punti di \(A\) diversi da \(0\).
Consideriamo ora un punto della forma \(\displaystyle \frac1n\). Fissato \(n\), tale punto è separato dagli altri elementi dell'insieme da una distanza positiva. Possiamo dunque scegliere un intorno sufficientemente piccolo che contenga soltanto \(\displaystyle \frac1n\).
Di conseguenza ogni punto \(\displaystyle \frac1n\) è isolato.
L'unico punto di accumulazione è \(0\), quindi
\[ A'=\{0\}. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=(0,1)\cup\{2\}. \]
Risultato
Il punto \(2\) è isolato. I punti di accumulazione sono tutti e soli i punti di \([0,1]\). Quindi
\[ A'=[0,1]. \]
Svolgimento
L'insieme \(A\) è formato dall'intervallo aperto \((0,1)\) e dal punto isolato \(2\).
Come già sappiamo, l'intervallo \((0,1)\) ha come punti di accumulazione tutti i punti dell'intervallo chiuso \([0,1]\). Infatti ogni intorno di un punto di \([0,1]\) contiene elementi di \((0,1)\).
Il punto \(2\), invece, non è un punto di accumulazione. Infatti possiamo scegliere, ad esempio, l'intorno
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Tale intorno contiene il punto \(2\), ma non contiene altri elementi di \(A\), perché l'intervallo \((0,1)\) si trova tutto a sinistra di \(\displaystyle \frac32\).
Quindi \(2\) è un punto isolato.
Non ci sono altri punti di accumulazione: i punti esterni a \([0,1]\), diversi da \(2\), possono essere separati da \(A\) mediante un intorno opportuno, mentre \(2\) è isolato.
Pertanto
\[ A'=[0,1]. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=[0,1]\cup\{2,3\}. \]
Risultato
I punti \(2\) e \(3\) sono isolati. L'insieme derivato è
\[ A'=[0,1]. \]
Svolgimento
L'intervallo \([0,1]\) è formato interamente da punti di accumulazione. Infatti ogni punto interno dell'intervallo ha infiniti punti dell'insieme arbitrariamente vicini, e lo stesso vale per gli estremi \(0\) e \(1\).
Consideriamo ora il punto \(2\). Possiamo scegliere un intorno piccolo di \(2\), per esempio
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Questo intorno contiene \(2\), ma non contiene punti di \([0,1]\) e non contiene \(3\). Quindi \(2\) è isolato.
Analogamente, per il punto \(3\), possiamo scegliere un intorno sufficientemente piccolo, ad esempio
\[ \left(\frac52,\frac72\right), \]
che contiene \(3\), ma non contiene altri punti di \(A\). Quindi anche \(3\) è isolato.
I punti isolati non appartengono all'insieme derivato, perché non sono punti di accumulazione. Di conseguenza
\[ A'=[0,1]. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Risultato
Tutti i punti della forma \(\displaystyle 1+\frac1n\) sono isolati. L'unico punto di accumulazione è \(1\). Quindi
\[ A'=\{1\}. \]
Svolgimento
Gli elementi dell'insieme sono
\[ 2,\frac32,\frac43,\frac54,\ldots \]
Essi sono tutti maggiori di \(1\) e si avvicinano a \(1\) quando \(n\) diventa grande, perché
\[ 1+\frac1n\to1. \]
Dunque \(1\) è un punto di accumulazione di \(A\). Infatti, se \(r>0\), esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ \frac1n<r. \]
Allora
\[ \left|\left(1+\frac1n\right)-1\right|=\frac1n<r. \]
Quindi ogni intorno di \(1\) contiene elementi di \(A\).
Ogni punto della forma \(\displaystyle 1+\frac1n\), invece, è isolato. Infatti, fissato \(n\), tale punto è separato dagli altri termini della successione da una distanza positiva.
Pertanto
\[ A'=\{1\}. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=(-1,0)\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Risultato
I punti della forma \(\displaystyle \frac1n\) sono isolati. L'insieme derivato è
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}=[-1,0]. \]
In particolare, \(0\) è punto di accumulazione sia dell'intervallo \((-1,0)\) sia della successione \(\displaystyle \frac1n\).
Svolgimento
L'insieme \(A\) è l'unione di due parti:
- l'intervallo \((-1,0)\);
- la successione \(\displaystyle 1,\frac12,\frac13,\ldots\).
L'intervallo \((-1,0)\) ha come punti di accumulazione tutti i punti dell'intervallo chiuso \([-1,0]\). Infatti ogni punto interno è evidentemente punto di accumulazione, mentre gli estremi \(-1\) e \(0\), pur non appartenendo all'intervallo, sono raggiunti da punti dell'intervallo arbitrariamente vicini.
La successione \(\displaystyle \frac1n\) ha come unico punto di accumulazione \(0\).
Mettendo insieme le due informazioni, otteniamo
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}. \]
Poiché \(0\in[-1,0]\), possiamo semplificare:
\[ A'=[-1,0]. \]
I punti della forma \(\displaystyle \frac1n\) sono isolati, perché ciascuno di essi può essere separato dagli altri termini della successione e dall'intervallo \((-1,0)\), che si trova interamente nella parte negativa della retta reale.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Risultato
L'insieme ha due punti di accumulazione:
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Tutti gli elementi di \(A\) sono punti isolati.
Svolgimento
Studiamo separatamente i termini con indice pari e quelli con indice dispari.
Se \(n\) è pari, allora \((-1)^n=1\), quindi i termini corrispondenti sono della forma
\[ 1+\frac1n. \]
Per \(n\to\infty\), tali termini tendono a \(1\).
Se \(n\) è dispari, allora \((-1)^n=-1\), quindi i termini corrispondenti sono della forma
\[ -1+\frac1n. \]
Per \(n\to\infty\), tali termini tendono a \(-1\).
Dunque i due candidati naturali a essere punti di accumulazione sono \(-1\) e \(1\).
Mostriamo che entrambi lo sono. Ogni intorno di \(1\) contiene termini pari della successione, perché
\[ 1+\frac1n\to1 \]
lungo gli indici pari. Analogamente, ogni intorno di \(-1\) contiene termini dispari della successione, perché
\[ -1+\frac1n\to-1 \]
lungo gli indici dispari.
Tutti gli elementi dell'insieme sono isolati: fissato un termine della successione, esso è separato dagli altri termini da una distanza positiva, perché non coincide con un punto limite ma con un singolo valore della successione.
Pertanto
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\left\{2+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Risultato
Tutti gli elementi di \(A\) sono isolati. I punti di accumulazione sono \(0\) e \(2\), quindi
\[ A'=\{0,2\}. \]
Svolgimento
L'insieme è unione di due successioni:
\[ \frac1n\to0 \]
e
\[ 2+\frac1n\to2. \]
La prima successione ha come unico punto di accumulazione \(0\), perché i suoi termini diventano arbitrariamente vicini a \(0\).
La seconda successione ha come unico punto di accumulazione \(2\), perché i suoi termini diventano arbitrariamente vicini a \(2\).
Dunque certamente
\[ 0,2\in A'. \]
Non esistono altri punti di accumulazione. Infatti, lontano da \(0\) e da \(2\), entrambe le successioni hanno soltanto un numero finito di termini in ogni regione limitata separata da questi due punti limite; di conseguenza si può scegliere un intorno che non contenga elementi di \(A\) diversi dal punto eventualmente considerato.
Ogni elemento delle due successioni è isolato. Fissato un termine, infatti, possiamo scegliere un intorno abbastanza piccolo che non contenga altri termini della stessa successione né termini dell'altra successione.
Concludiamo quindi che
\[ A'=\{0,2\}. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Determinare l'insieme derivato di
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Risultato
Tutti gli elementi di \(A\) sono isolati e
\[ A'=\{1\}. \]
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
Da questa forma si vede immediatamente che
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Quindi \(1\) è un punto di accumulazione di \(A\). Infatti, dato \(r>0\), possiamo scegliere \(n\) abbastanza grande in modo che
\[ \frac1{n+1}<r. \]
Allora
\[ \left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac1{n+1}<r. \]
Dunque ogni intorno di \(1\) contiene elementi di \(A\).
Ogni punto della forma \(\displaystyle \frac{n}{n+1}\) è isolato. Infatti i termini sono distinti e, fissato un termine, è possibile scegliere un intorno sufficientemente piccolo che non contenga altri elementi della successione.
Pertanto l'unico punto di accumulazione è \(1\):
\[ A'=\{1\}. \]
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Determinare i punti isolati e l'insieme derivato di
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup[2,3]. \]
Risultato
I punti della forma \(\displaystyle \frac1n\) sono isolati. L'insieme derivato è
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Svolgimento
L'insieme \(A\) è formato da due parti: una successione che tende a \(0\) e un intervallo chiuso \([2,3]\).
La successione
\[ \frac1n \]
ha come unico punto di accumulazione \(0\). Tutti i suoi termini sono isolati.
L'intervallo \([2,3]\), invece, ha come insieme derivato sé stesso. Infatti ogni punto di \([2,3]\), compresi gli estremi, è punto di accumulazione dell'intervallo.
Poiché la successione \(\displaystyle \frac1n\) si trova in \((0,1]\) e l'intervallo \([2,3]\) è separato da essa, non si creano ulteriori punti di accumulazione tra \(1\) e \(2\).
Dunque l'insieme derivato è
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Determinare l'insieme derivato di
\[ A=\left\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb N,\ 0<m<n\right\}. \]
Risultato
Si ha
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1), \]
quindi
\[ A'=[0,1]. \]
L'insieme \(A\) non ha punti isolati.
Svolgimento
L'insieme \(A\) è formato da tutte le frazioni \(\displaystyle \frac mn\), con \(m,n\in\mathbb N\) e \(0<m<n\). La condizione \(0<m<n\) implica
\[ 0<\frac mn<1. \]
Inoltre, ogni numero razionale compreso tra \(0\) e \(1\) può essere scritto nella forma \(\displaystyle \frac mn\), con \(0<m<n\). Quindi
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1). \]
Poiché i razionali sono densi in \(\mathbb R\), ogni intorno di un punto \(x_0\in(0,1)\) contiene infiniti razionali appartenenti a \((0,1)\). Dunque ogni punto di \((0,1)\) è punto di accumulazione.
Anche \(0\) e \(1\) sono punti di accumulazione, perché ogni loro intorno contiene razionali rispettivamente maggiori di \(0\) e minori di \(1\).
Nessun punto esterno a \([0,1]\) può essere punto di accumulazione, perché può essere separato dall'intervallo \((0,1)\) mediante un intorno opportuno.
Pertanto
\[ A'=[0,1]. \]
Infine, \(A\) non ha punti isolati, perché ogni intorno di un punto razionale di \((0,1)\) contiene infiniti altri razionali di \((0,1)\).
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Determinare l'insieme derivato di
\[ A=\mathbb Q\cap[0,1]. \]
Risultato
L'insieme derivato è
\[ A'=[0,1]. \]
L'insieme \(A\) non ha punti isolati.
Svolgimento
Consideriamo un punto \(x_0\in[0,1]\). Vogliamo mostrare che ogni intorno di \(x_0\) contiene punti di \(A\) diversi da \(x_0\).
Se \(x_0\in(0,1)\), allora ogni intorno di \(x_0\) contiene infiniti numeri razionali. Poiché l'intorno può essere scelto abbastanza piccolo da restare dentro \([0,1]\), esso contiene infiniti elementi di \(\mathbb Q\cap[0,1]\).
Se \(x_0=0\), ogni intorno di \(0\) contiene numeri razionali positivi arbitrariamente piccoli, quindi contiene elementi di \(A\) diversi da \(0\).
Se \(x_0=1\), ogni intorno di \(1\) contiene numeri razionali minori di \(1\) e arbitrariamente vicini a \(1\), quindi contiene elementi di \(A\) diversi da \(1\).
Dunque ogni punto di \([0,1]\) è punto di accumulazione di \(A\).
Se invece \(x_0<0\) oppure \(x_0>1\), esiste un intorno di \(x_0\) che non interseca \([0,1]\), e quindi non interseca \(A\). Tali punti non sono punti di accumulazione.
Concludiamo che
\[ A'=[0,1]. \]
Inoltre \(A\) non ha punti isolati, perché ogni intorno di un suo punto contiene infiniti altri razionali dell'intervallo.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
è chiuso in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) non è chiuso, perché
\[ A'=\{0\} \]
ma \(0\notin A\).
Svolgimento
Un insieme \(A\subseteq\mathbb R\) è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Nell'esercizio abbiamo
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Il punto \(0\) è punto di accumulazione di \(A\), perché
\[ \frac1n\to0. \]
Infatti, per ogni \(r>0\), esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ 0<\frac1n<r. \]
Quindi ogni intorno di \(0\) contiene elementi di \(A\).
Tuttavia \(0\notin A\), perché gli elementi di \(A\) sono tutti positivi e della forma \(\displaystyle \frac1n\), con \(n\ge1\).
Dunque \(A\) non contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Pertanto \(A\) non è chiuso in \(\mathbb R\).
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Determinare i punti di accumulazione di
\[ A=\left\{\frac1n+\frac1m:n,m\in\mathbb N,\ n,m\ge1\right\}. \]
Risultato
L'insieme derivato è
\[ A'=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Svolgimento
Gli elementi di \(A\) sono somme di due termini della forma \(\displaystyle \frac1n\). Per capire dove possono accumularsi, fissiamo prima uno degli indici.
Fissato \(n\), consideriamo la successione ottenuta facendo variare \(m\):
\[ \frac1n+\frac1m. \]
Poiché \(\displaystyle \frac1m\to0\), otteniamo
\[ \frac1n+\frac1m\to\frac1n. \]
Quindi ogni punto della forma \(\displaystyle \frac1n\) è punto di accumulazione di \(A\).
Inoltre, lasciando tendere entrambi gli indici all'infinito, otteniamo
\[ \frac1n+\frac1m\to0. \]
Quindi anche \(0\) è punto di accumulazione di \(A\).
Mostriamo ora che non ci sono altri punti di accumulazione. Se una successione di elementi di \(A\) converge, essa ha la forma
\[ x_k=\frac1{n_k}+\frac1{m_k}. \]
Se almeno uno tra \(n_k\) e \(m_k\) rimane costante lungo una sottosuccessione, allora il limite possibile è della forma \(\displaystyle \frac1n\). Se invece entrambi gli indici tendono all'infinito, allora entrambi i termini tendono a \(0\), e il limite è \(0\).
Pertanto i soli punti di accumulazione sono
\[ \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Determinare l'insieme derivato di
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x=\frac1n+\frac{k}{m},\ n,m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\}. \]
Risultato
L'insieme derivato è
\[ A'=[0,2]. \]
Svolgimento
Osserviamo che i numeri della forma \(\displaystyle \frac{k}{m}\), con \(1\le k<m\), sono razionali appartenenti all'intervallo \((0,1)\) e sono densi in \((0,1)\).
Fissato \(n\in\mathbb N\), l'insieme
\[ \left\{\frac1n+\frac{k}{m}:m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\} \]
è quindi denso nell'intervallo
\[ \left(\frac1n,1+\frac1n\right). \]
Per \(n=1\) otteniamo un sottoinsieme denso in \((1,2)\); per \(n=2\) otteniamo un sottoinsieme denso in \(\left(\frac12,\frac32\right)\); e così via.
Di conseguenza tutti i punti dell'intervallo \((0,2)\) sono punti di accumulazione di \(A\).
Anche \(0\) è punto di accumulazione. Infatti possiamo scegliere \(n\) molto grande e, per esempio, prendere \(\displaystyle \frac{k}{m}\) molto piccolo. In questo modo si ottengono elementi di \(A\) positivi e arbitrariamente vicini a \(0\).
Anche \(2\) è punto di accumulazione. Infatti, fissando \(n=1\), possiamo scegliere razionali \(\displaystyle \frac{k}{m}\in(0,1)\) arbitrariamente vicini a \(1\). Allora
\[ 1+\frac{k}{m}\to2. \]
Quindi ogni intorno di \(2\) contiene punti di \(A\) diversi da \(2\).
Infine, nessun punto esterno a \([0,2]\) può essere punto di accumulazione. Infatti ogni elemento di \(A\) soddisfa
\[ 0<\frac1n+\frac{k}{m}<2. \]
Dunque \(A\subseteq(0,2)\), e ogni punto \(x_0<0\) oppure \(x_0>2\) può essere separato da \(A\) mediante un intorno opportuno.
Concludiamo quindi che
\[ A'=[0,2]. \]