Punti di Accumulazione e Punti Isolati: Definizione, Proprietà ed Esempi

Punto di accumulazione

Sia \( A\subseteq\mathbb R \). Un punto \( x_0\in\mathbb R \) si dice punto di accumulazione di \( A \) se ogni intorno di \( x_0 \) contiene almeno un elemento di \( A \) diverso da \( x_0 \).

Equivalentemente,

\[ \forall r>0, \qquad \Bigl((x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\}\Bigr)\cap A \neq\varnothing. \]

In altre parole, per quanto si restringa l'intorno centrato in \( x_0 \), si trovano sempre punti di \( A \) arbitrariamente vicini a \( x_0 \).

È importante osservare che \( x_0 \) non deve necessariamente appartenere all'insieme \( A \). La definizione richiede soltanto che nelle sue vicinanze siano presenti elementi di \( A \) diversi da \( x_0 \).

Inoltre, ogni intorno di un punto di accumulazione contiene necessariamente infiniti punti dell'insieme diversi da \( x_0 \). Infatti, se un certo intorno ne contenesse soltanto un numero finito, sarebbe possibile costruire un intorno più piccolo che li escluda tutti, in contraddizione con la definizione.

In particolare, nessun insieme finito può possedere punti di accumulazione.

Dal punto di vista geometrico, un punto di accumulazione rappresenta un punto attorno al quale l'insieme si addensa. Immaginando di effettuare ingrandimenti successivi della retta reale in prossimità di \( x_0 \), continueremmo sempre a osservare elementi dell'insieme arbitrariamente vicini a tale punto.

Un punto di accumulazione può appartenere oppure non appartenere all'insieme. Ad esempio, se \( A=(0,1) \), il punto \( \displaystyle \frac12 \) appartiene ad \( A \) ed è un punto di accumulazione. Anche i punti \( 0 \) e \( 1 \) sono punti di accumulazione, pur non appartenendo all'insieme, poiché ogni loro intorno contiene elementi di \( A \).

Punto isolato

Sia \( A\subseteq\mathbb R \). Un punto \( x_0\in A \) si dice punto isolato di \( A \) se esiste un intorno di \( x_0 \) che non contiene altri elementi dell'insieme.

In simboli,

\[ \exists r>0 \quad\text{tale che}\quad (x_0-r,x_0+r)\cap A=\{x_0\}. \]

Ciò significa che \( x_0 \) è separato dagli altri elementi di \( A \) da una distanza positiva. In un intorno sufficientemente piccolo di \( x_0 \), l'unico punto dell'insieme presente è proprio \( x_0 \).

Dal punto di vista geometrico, un punto isolato può essere pensato come un elemento "solitario" dell'insieme, circondato da una regione della retta reale priva di altri punti appartenenti ad \( A \).

Le nozioni di punto isolato e punto di accumulazione sono strettamente collegate. Se \( x_0\in A \), allora si verifica esattamente una delle seguenti possibilità:

• \( x_0 \) è un punto isolato;
• \( x_0 \) è un punto di accumulazione.

Le due proprietà sono incompatibili. Infatti, se esiste un intorno che contiene soltanto \( x_0 \), allora \( x_0 \) non può essere un punto di accumulazione. Viceversa, se \( x_0 \) è un punto di accumulazione, ogni suo intorno contiene infiniti punti dell'insieme diversi da \( x_0 \) e quindi \( x_0 \) non può essere isolato.

Confronto tra punti isolati e punti di accumulazione

Un medesimo insieme può contenere sia punti isolati sia punti di accumulazione. Ad esempio, nell'insieme

\[ \left\{0\right\} \cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]

il punto \(0\) è un punto di accumulazione, mentre tutti i punti della forma \( \displaystyle \frac1n \) sono isolati.

Esempi fondamentali

Consideriamo alcuni esempi fondamentali, utili per distinguere in modo preciso i punti di accumulazione dai punti isolati.

Intervalli

Sia \( A=(0,1) \). Ogni punto di \( (0,1) \) è un punto di accumulazione di \( A \), poiché ogni suo intorno contiene infiniti punti dell'intervallo. Anche \(0\) e \(1\) sono punti di accumulazione, pur non appartenendo ad \(A\). Infatti, ogni intorno di \(0\) contiene punti positivi minori di \(1\), mentre ogni intorno di \(1\) contiene punti dell'intervallo minori di \(1\).

Dunque l'insieme dei punti di accumulazione di \( (0,1) \) è

\[ [0,1]. \]

Insiemi finiti e insiemi discreti

Se \( A=\{1,3,7\} \), allora tutti gli elementi di \(A\) sono punti isolati. Ad esempio, intorno al punto \(3\) è possibile scegliere un intervallo sufficientemente piccolo che non contenga né \(1\) né \(7\). Più in generale, ogni insieme finito di numeri reali è formato soltanto da punti isolati e non possiede punti di accumulazione.

Anche l'insieme degli interi \( \mathbb Z \) è formato soltanto da punti isolati. Infatti, per ogni \( n\in\mathbb Z \), l'intorno

\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]

contiene come unico intero il punto \(n\). Quindi ogni intero è isolato e \( \mathbb Z \) non ha punti di accumulazione in \( \mathbb R \).

Un insieme con punti isolati e punto di accumulazione

Consideriamo l'insieme

\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]

Ogni punto della forma \(\displaystyle \frac1n \) è isolato. Infatti, fissato un valore di \(n\), è possibile scegliere un intorno abbastanza piccolo di \( \displaystyle \frac1n \) che non contenga nessun altro elemento della successione \(1,\displaystyle\frac12,\displaystyle\frac13,\ldots\).

Tuttavia \(0\) è un punto di accumulazione di \(A\). Infatti, per ogni \(r>0\), esiste \(n\in\mathbb N\) sufficientemente grande tale che

\[ 0<\frac1n<r. \]

Quindi ogni intorno di \(0\) contiene elementi di \(A\) diversi da \(0\). Osserviamo che \(0\notin A\): questo mostra che un punto di accumulazione non deve necessariamente appartenere all'insieme.

Se invece consideriamo

\[ B=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]

il punto \(0\) rimane un punto di accumulazione, ma ora appartiene anche all'insieme \(B\). I punti \( \displaystyle\frac1n \), invece, restano punti isolati.

I numeri razionali

Consideriamo l'insieme dei numeri razionali \( \mathbb Q \). Grazie alla densità dei razionali in \( \mathbb R \), tra due numeri reali distinti esistono sempre infiniti numeri razionali. Di conseguenza, ogni intorno di un qualunque punto della retta reale contiene infiniti elementi di \( \mathbb Q \).

Pertanto ogni numero reale è un punto di accumulazione di \( \mathbb Q \), cioè

\[ \mathbb Q' = \mathbb R. \]

Inoltre \( \mathbb Q \) non possiede alcun punto isolato. Questo esempio mostra in modo notevole che un insieme può avere punti di accumulazione in ogni punto della retta reale, pur non essendo un intervallo e pur essendo totalmente discontinuo.

Caratterizzazione mediante successioni

I punti di accumulazione possono essere caratterizzati mediante le successioni. Questo risultato è particolarmente importante perché permette di tradurre una proprietà geometrica degli insiemi in una proprietà di convergenza.

Teorema. Sia \( A\subseteq\mathbb R \) e sia \( x_0\in\mathbb R \). Allora \( x_0 \) è un punto di accumulazione di \( A \) se e solo se esiste una successione \( (x_n) \subseteq A\setminus\{x_0\} \) tale che

\[ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0. \]

Dimostrazione. Supponiamo che \( x_0 \) sia un punto di accumulazione di \( A \). Per ogni \( n\in\mathbb N \), l'intorno

\[ \left(x_0-\frac1n,x_0+\frac1n\right) \]

contiene almeno un punto \( x_n\in A\setminus\{x_0\} \). Ne segue che

\[ 0<|x_n-x_0|<\frac1n. \]

Poiché \( \displaystyle \frac1n\to0 \), dal teorema del confronto otteniamo \( x_n\to x_0 \).

Viceversa, supponiamo che esista una successione \( (x_n)\subseteq A\setminus\{x_0\} \) tale che \( x_n\to x_0 \). Sia \( r>0 \). Dalla definizione di limite esiste \( N\in\mathbb N \) tale che

\[ n\ge N \quad\Longrightarrow\quad |x_n-x_0|<r. \]

In particolare \( x_N\in(x_0-r,x_0+r) \), con \( x_N\in A \) e \( x_N\neq x_0 \). Pertanto ogni intorno di \( x_0 \) contiene un elemento di \( A \) diverso da \( x_0 \), e quindi \( x_0 \) è un punto di accumulazione di \( A \).

Questa caratterizzazione costituisce uno dei principali collegamenti tra la teoria degli insiemi e lo studio delle successioni.

Insieme derivato e insiemi chiusi

L'insieme di tutti i punti di accumulazione di un insieme \( A \subseteq \mathbb R \) prende il nome di insieme derivato di \( A \) e si indica con \( A' \).

In simboli,

\[ A'=\{x\in\mathbb R : x \text{ è punto di accumulazione di } A\}. \]

L'insieme derivato descrive il comportamento di \( A \) nelle sue vicinanze e raccoglie tutti i punti attorno ai quali l'insieme si addensa.

Osserviamo che i punti di \( A' \) non devono necessariamente appartenere ad \( A \). Ad esempio, se \( A=(0,1) \), allora \( 0 \) e \( 1 \) appartengono ad \( A' \) pur non appartenendo all'insieme.

Vediamo alcuni esempi.

• Se \( A=(0,1) \), allora \[ A'=[0,1]. \]
• Se \( A=\mathbb Z \), allora \[ A'=\varnothing, \] poiché ogni intero è un punto isolato.
• Se \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \] allora \[ A'=\{0\}. \]

Il concetto di insieme derivato permette di caratterizzare in modo semplice gli insiemi chiusi.

Teorema. Un insieme \( A\subseteq\mathbb R \) è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Equivalentemente,

\[ A \text{ è chiuso} \quad\Longleftrightarrow\quad A'\subseteq A. \]

In altre parole, un insieme è chiuso quando non "perde" alcun punto verso cui i suoi elementi possono accumularsi.

Ad esempio, l'intervallo chiuso \( [0,1] \) contiene tutti i suoi punti di accumulazione e pertanto è un insieme chiuso. Al contrario,

\[ (0,1) \]

non è chiuso, poiché i punti \(0\) e \(1\) sono punti di accumulazione ma non appartengono all'insieme.

I punti di accumulazione rivestono un ruolo fondamentale in Analisi Matematica. Uno dei teoremi più importanti dell’Analisi Reale, il teorema di Bolzano-Weierstrass, afferma infatti che ogni sottoinsieme infinito e limitato di \( \mathbb R \) possiede almeno un punto di accumulazione.

Questo risultato sottolinea come la presenza di punti di accumulazione sia una proprietà intrinseca degli insiemi infiniti limitati e rappresenta uno dei pilastri dell’Analisi Matematica.