Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sul prodotto cartesiano, sviluppati con rigore teorico e attenzione alla comprensione concettuale. Gli esercizi guidano dalla costruzione delle coppie ordinate fino allo studio di sottoinsiemi, relazioni e interpretazioni geometriche nel piano.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Siano \( A = \{1,2\} \) e \( B = \{a,b\} \). Determinare il prodotto cartesiano \( A \times B \).
Risultato
\[ A \times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \]
Svolgimento
Definizione formale
Per definizione,
\[ A \times B = \{(x,y) \mid x \in A,\ y \in B\}. \]
Interpretazione
Costruire \(A \times B\) significa associare ogni elemento di \(A\) a ogni elemento di \(B\), rispettando l’ordine delle componenti.
Costruzione
Prendendo \(1\) come prima componente, otteniamo
\[ (1,a),(1,b). \]
Prendendo \(2\) come prima componente, otteniamo
\[ (2,a),(2,b). \]
Conclusione
Riunendo tutte le coppie ordinate costruite, si ha
\[ A \times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}. \]
Osservazione
L’ordine è fondamentale: in generale \((1,a)\neq(a,1)\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Siano \( A = \{0,1\} \) e \( B = \{2,3,4\} \). Determinare \( A \times B \) e la sua cardinalità.
Risultato
\[ A \times B = \{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \]
\[ |A \times B| = 6 \]
Svolgimento
Struttura del problema
Ogni elemento di \(A\) deve comparire come prima componente insieme a ciascun elemento di \(B\), che compare come seconda componente.
Costruzione
Con \(0\) come prima componente si ottengono
\[ (0,2),(0,3),(0,4). \]
Con \(1\) come prima componente si ottengono
\[ (1,2),(1,3),(1,4). \]
Cardinalità
Poiché \(|A|=2\) e \(|B|=3\), si ha
\[ |A \times B| = |A|\cdot|B| = 2\cdot3 = 6. \]
Interpretazione
Il prodotto cartesiano crea una struttura a griglia: la scelta della prima coordinata è indipendente dalla scelta della seconda.
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{-1,1\} \) e \( B = \{0,2\} \). Determinare \( A \times B \) e interpretarlo nel piano cartesiano.
Risultato
\[ A \times B = \{(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2)\} \]
Svolgimento
Costruzione
Con \(-1\) come prima componente si ottengono
\[ (-1,0),(-1,2). \]
Con \(1\) come prima componente si ottengono
\[ (1,0),(1,2). \]
Interpretazione geometrica
Le coppie ordinate rappresentano punti del piano cartesiano. In questo caso si ottengono i quattro vertici del rettangolo individuato dalle ascisse \(-1\) e \(1\) e dalle ordinate \(0\) e \(2\).
Osservazione fondamentale
In generale
\[ A \times B \neq B \times A. \]
Cambiando l’ordine degli insiemi, infatti, cambia anche il ruolo delle coordinate.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{x\} \). Determinare \( A \times B \).
Risultato
\[ A \times B = \{(1,x),(2,x),(3,x)\} \]
Svolgimento
Analisi
L’insieme \(B\) contiene un solo elemento. Di conseguenza, in ogni coppia ordinata la seconda componente deve essere necessariamente \(x\).
Costruzione
Associando ogni elemento di \(A\) all’unico elemento di \(B\), otteniamo
\[ (1,x),(2,x),(3,x). \]
Cardinalità
Poiché \(|A|=3\) e \(|B|=1\), si ha
\[ |A \times B| = |A|\cdot |B| = 3\cdot 1 = 3. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{a,b\} \) e \( B = \varnothing \). Determinare \( A \times B \).
Risultato
\[ A \times B = \varnothing \]
Svolgimento
Definizione
Per costruire una coppia \((x,y)\in A\times B\), bisogna scegliere una prima componente \(x\in A\) e una seconda componente \(y\in B\).
Osservazione
Poiché \(B=\varnothing\), non esiste alcun elemento che possa essere scelto come seconda componente.
Conclusione
Non si può quindi formare nessuna coppia ordinata. Pertanto
\[ A \times B = \varnothing. \]
Proprietà generale
Per ogni insieme \(A\), vale
\[ A \times \varnothing = \varnothing. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{a,b\} \). Determinare il sottoinsieme di \( A \times B \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x > 1\}. \]
Risultato
\[ S = \{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
Svolgimento
Comprensione della condizione
La condizione \(x > 1\) riguarda soltanto la prima coordinata della coppia ordinata.
Selezione della prima coordinata
Poiché \(A=\{1,2,3\}\), gli elementi di \(A\) maggiori di \(1\) sono \(2\) e \(3\). Quindi la prima coordinata può essere solo \(2\) oppure \(3\).
Costruzione
Con \(2\) come prima componente si ottengono
\[ (2,a),(2,b). \]
Con \(3\) come prima componente si ottengono
\[ (3,a),(3,b). \]
Conclusione
Pertanto
\[ S = \{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}. \]
Interpretazione
Il vincolo agisce solo sulla prima coordinata; quindi, per ogni valore ammesso di \(x\), si mantengono tutte le possibili seconde coordinate appartenenti a \(B\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x = y\}. \]
Risultato
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Svolgimento
Significato della condizione
La condizione \(x=y\) impone che le due coordinate della coppia coincidano.
Verifica delle coppie
Gli elementi di \(A\times B\) sono
\[ A\times B=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}. \]
Tra queste coppie, soddisfano la condizione \(x=y\) soltanto
\[ (1,1) \qquad \text{e} \qquad (2,2). \]
Conclusione
Quindi
\[ S = \{(1,1),(2,2)\}. \]
Osservazione
La coppia \((3,3)\) non compare perché \(3\notin B\). Infatti, una coppia di \(A\times B\) deve avere la seconda componente appartenente a \(B\).
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ A \times A. \]
Risultato
\[ A \times A = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Svolgimento
Struttura
Il prodotto \(A\times A\) è il prodotto cartesiano di un insieme con sé stesso. Ogni elemento di \(A\) può quindi comparire sia come prima componente sia come seconda componente.
Costruzione
Con \(1\) come prima componente si ottengono
\[ (1,1),(1,2),(1,3). \]
Con \(2\) come prima componente si ottengono
\[ (2,1),(2,2),(2,3). \]
Con \(3\) come prima componente si ottengono
\[ (3,1),(3,2),(3,3). \]
Cardinalità
Poiché \(|A|=3\), si ha
\[ |A \times A| = |A|^2 = 3^2 = 9. \]
Interpretazione
Si ottiene una griglia quadrata: ogni elemento viene associato anche a sé stesso.
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\}. \]
Risultato
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \]
Svolgimento
Significato della condizione
La condizione \(x < y\) seleziona soltanto le coppie in cui la prima coordinata è minore della seconda.
Analisi sistematica
Se \(x=1\), allora \(y\) può essere \(2\) oppure \(3\), quindi otteniamo
\[ (1,2),(1,3). \]
Se \(x=2\), allora l’unico valore di \(y\in B\) maggiore di \(2\) è \(3\), quindi otteniamo
\[ (2,3). \]
Se \(x=3\), non esiste alcun elemento di \(B\) maggiore di \(3\).
Conclusione
Pertanto
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}. \]
Interpretazione geometrica
Nel piano cartesiano, questi punti si trovano sopra la diagonale \(y=x\).
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2\} \), \( B = \{a,b\} \), \( C = \{0,1\} \). Determinare:
\[ A \times B \times C. \]
Risultato
\[ \begin{aligned} A \times B \times C = \{ &(1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1),\\ &(2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1) \}. \end{aligned} \]
Svolgimento
Definizione
Il prodotto cartesiano \(A\times B\times C\) è l’insieme di tutte le triple ordinate \((x,y,z)\) tali che
\[ x\in A,\qquad y\in B,\qquad z\in C. \]
Costruzione
Per ogni scelta della prima componente in \(A\) e della seconda componente in \(B\), la terza componente può essere \(0\) oppure \(1\).
Con prima componente \(1\) si ottengono
\[ (1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1). \]
Con prima componente \(2\) si ottengono
\[ (2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1). \]
Cardinalità
Poiché \(|A|=2\), \(|B|=2\) e \(|C|=2\), si ha
\[ |A \times B \times C| = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8. \]
Interpretazione
Si tratta di un prodotto cartesiano a tre fattori: ogni elemento è una tripla ordinata.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x \ge y\}. \]
Risultato
\[ S = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Svolgimento
Interpretazione della condizione
La condizione \(x \ge y\) seleziona tutte le coppie ordinate in cui la prima coordinata è maggiore o uguale alla seconda.
Analisi sistematica
Se \(x=1\), l’unico valore di \(y\in B\) tale che \(1\ge y\) è \(y=1\). Otteniamo quindi
\[ (1,1). \]
Se \(x=2\), possiamo scegliere \(y=1\) oppure \(y=2\). Otteniamo quindi
\[ (2,1),(2,2). \]
Se \(x=3\), possiamo scegliere \(y=1\), \(y=2\) oppure \(y=3\). Otteniamo quindi
\[ (3,1),(3,2),(3,3). \]
Conclusione
Riunendo tutte le coppie trovate, si ha
\[ S = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\}. \]
Interpretazione geometrica
Nel piano cartesiano, la condizione \(x\ge y\) equivale a \(y\le x\). I punti selezionati si trovano quindi sulla diagonale \(y=x\) oppure al di sotto di essa.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2,3,4\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x + y = 4\}. \]
Risultato
\[ S = \{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
Svolgimento
Significato della condizione
La condizione \(x+y=4\) impone un vincolo tra le due coordinate: la somma della prima e della seconda coordinata deve essere uguale a \(4\).
Analisi sistematica
Se \(x=1\), allora deve essere \(y=3\), e \(3\in B\). Otteniamo quindi la coppia \((1,3)\).
Se \(x=2\), allora deve essere \(y=2\), e \(2\in B\). Otteniamo quindi la coppia \((2,2)\).
Se \(x=3\), allora deve essere \(y=1\), e \(1\in B\). Otteniamo quindi la coppia \((3,1)\).
Se \(x=4\), allora dovrebbe essere \(y=0\), ma \(0\notin B\). Quindi non si ottiene nessuna coppia.
Conclusione
Pertanto
\[ S = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}. \]
Interpretazione geometrica
I punti selezionati sono punti discreti appartenenti alla retta di equazione \(x+y=4\).
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x \neq y\}. \]
Risultato
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \]
Svolgimento
Interpretazione della condizione
La condizione \(x\neq y\) seleziona le coppie ordinate di \(A\times A\) in cui le due coordinate sono diverse.
Punto di partenza
Il prodotto cartesiano \(A\times A\) contiene \(3^2=9\) coppie:
\[ A\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}. \]
Eliminazione delle coppie non ammesse
Dobbiamo escludere le coppie con coordinate uguali, cioè
\[ (1,1),(2,2),(3,3). \]
Conclusione
Restano quindi le coppie con coordinate distinte:
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}. \]
Osservazione
La cardinalità di \(S\) è
\[ |S|=|A|^2-|A|=3^2-3=6. \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Siano \( A = \mathbb{N} \), \( B = \mathbb{N} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid y = 2x\}. \]
Risultato
\[ S = \{(x,2x) \mid x \in \mathbb{N}\} \]
Svolgimento
Analisi
L’insieme \(S\) contiene tutte le coppie \((x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) tali che la seconda coordinata sia il doppio della prima.
Costruzione
Per ogni \(x\in\mathbb{N}\), la condizione \(y=2x\) determina un unico valore di \(y\). Quindi le coppie hanno la forma
\[ (x,2x). \]
Pertanto
\[ S = \{(x,2x) \mid x \in \mathbb{N}\}. \]
Esempi di coppie
Poiché adottiamo la convenzione \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}\), le prime coppie sono
\[ (0,0),(1,2),(2,4),(3,6),\dots \]
Interpretazione geometrica
L’insieme \(S\) è formato da punti discreti appartenenti alla retta \(y=2x\). Non coincide con tutto \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\), ma ne rappresenta un sottoinsieme particolare.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Determinare il sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2\}. \]
Risultato
L’insieme \(S\) è il grafico della parabola di equazione \(y=x^2\).
Svolgimento
Interpretazione
L’insieme \(S\) contiene tutte e sole le coppie reali \((x,y)\) tali che la seconda coordinata sia il quadrato della prima.
Forma delle coppie
Poiché \(y=x^2\), ogni punto di \(S\) ha la forma
\[ (x,x^2), \qquad x\in\mathbb{R}. \]
Significato geometrico
Al variare di \(x\) in \(\mathbb{R}\), i punti \((x,x^2)\) descrivono la parabola di equazione \(y=x^2\).
Osservazione fondamentale
Il prodotto cartesiano \(\mathbb{R}^2\) rappresenta l’intero piano cartesiano, mentre \(S\) è soltanto una curva contenuta nel piano.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x + y \text{ è pari}\}. \]
Risultato
\[ S = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\} \]
Svolgimento
Analisi della condizione
La somma \(x+y\) è pari quando \(x\) e \(y\) hanno la stessa parità: sono entrambi pari oppure entrambi dispari.
Classificazione degli elementi di \(A\)
Nell’insieme \(A=\{1,2,3\}\), gli elementi dispari sono \(1\) e \(3\), mentre l’unico elemento pari è \(2\).
Costruzione
Le coppie formate da due elementi dispari sono
\[ (1,1),(1,3),(3,1),(3,3). \]
La coppia formata da due elementi pari è
\[ (2,2). \]
Conclusione
Quindi
\[ S = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\}. \]
Interpretazione
Il vincolo seleziona le coppie in cui le coordinate hanno la stessa parità. Questo tipo di condizione è un esempio naturale di relazione definita su un prodotto cartesiano.
Esercizio 17 — livello ★★★★★
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare se la relazione
\[ R = \{(x,y) \in A \times A \mid x \le y\} \]
è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Risultato
La relazione \(R\) è riflessiva e transitiva, ma non è simmetrica.
Svolgimento
Riflessività
Una relazione su \(A\) è riflessiva se, per ogni \(x\in A\), si ha \((x,x)\in R\).
In questo caso, per ogni \(x\in A\), vale certamente \(x\le x\). Dunque
\[ (1,1),(2,2),(3,3)\in R. \]
La relazione è quindi riflessiva.
Simmetria
Una relazione è simmetrica se, ogni volta che \((x,y)\in R\), allora anche \((y,x)\in R\).
Consideriamo la coppia \((1,2)\). Poiché \(1\le 2\), si ha \((1,2)\in R\). Tuttavia \((2,1)\notin R\), perché \(2\le 1\) è falso.
La relazione quindi non è simmetrica.
Transitività
Una relazione è transitiva se, da \((x,y)\in R\) e \((y,z)\in R\), segue \((x,z)\in R\).
Nel nostro caso, \((x,y)\in R\) significa \(x\le y\), mentre \((y,z)\in R\) significa \(y\le z\). Da
\[ x\le y \qquad \text{e} \qquad y\le z \]
segue
\[ x\le z. \]
Quindi \((x,z)\in R\), e la relazione è transitiva.
Conclusione
La relazione \(R\) è riflessiva, non è simmetrica ed è transitiva.
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Determinare il sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1\}. \]
Risultato
L’insieme \(S\) è l’iperbole di equazione \(xy=1\), cioè il grafico della funzione \(y=\frac{1}{x}\), con \(x\neq 0\).
Svolgimento
Analisi della condizione
La condizione \(xy=1\) collega le due coordinate in modo non lineare. In particolare, nessuna delle due coordinate può essere uguale a \(0\), perché il prodotto dovrebbe essere \(1\).
Forma esplicita
Dalla condizione \(xy=1\), per \(x\neq 0\), ricaviamo
\[ y=\frac{1}{x}. \]
Quindi le coppie di \(S\) hanno la forma
\[ \left(x,\frac{1}{x}\right), \qquad x\in\mathbb{R},\ x\neq 0. \]
Interpretazione geometrica
Al variare di \(x\) in \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), si ottiene un’iperbole con due rami, uno nel primo quadrante e uno nel terzo quadrante.
Osservazione
Il prodotto cartesiano \(\mathbb{R}^2\) contiene tutti i punti del piano, mentre la relazione \(xy=1\) seleziona soltanto i punti che appartengono a questa curva.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid |x - y| = 1\}. \]
Risultato
\[ S = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\} \]
Svolgimento
Interpretazione della condizione
La condizione \(|x-y|=1\) significa che le due coordinate devono differire esattamente di \(1\).
Costruzione
Se una delle due coordinate è \(1\), l’altra deve essere \(2\). Questo fornisce le coppie
\[ (1,2),(2,1). \]
Se una delle due coordinate è \(2\), l’altra può essere \(1\) oppure \(3\). Le coppie con \(1\) sono già state individuate; quelle con \(3\) sono
\[ (2,3),(3,2). \]
Se una delle due coordinate è \(3\), l’altra deve essere \(2\), e queste coppie sono già comprese nell’elenco precedente.
Conclusione
Pertanto
\[ S = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}. \]
Osservazione
La relazione è simmetrica: se \((x,y)\) soddisfa \(|x-y|=1\), allora anche \((y,x)\) soddisfa la stessa condizione.
Interpretazione grafica
Nel piano cartesiano discreto \(A\times A\), i punti selezionati si trovano sulle due diagonali descritte dalle equazioni \(y=x+1\) e \(y=x-1\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Determinare il sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\}. \]
Risultato
L’insieme \(S\) è la regione del piano formata dai punti che stanno sopra la parabola \(y=x^2\), parabola inclusa.
Svolgimento
Interpretazione della condizione
La condizione \(y\ge x^2\) non seleziona soltanto i punti della parabola \(y=x^2\), ma tutti i punti la cui ordinata è maggiore o uguale al quadrato dell’ascissa.
Frontiera della regione
La frontiera inferiore della regione è il grafico della parabola
\[ y=x^2. \]
Poiché la disuguaglianza è \(y\ge x^2\), i punti della parabola sono inclusi nell’insieme \(S\).
Significato geometrico
Per ogni valore reale di \(x\), sono ammessi tutti i punti con ordinata \(y\) maggiore o uguale a \(x^2\). Si ottiene quindi una regione illimitata del piano, posta sopra la parabola e comprendente la parabola stessa.
Osservazione finale
Questo esempio mostra che un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\) non deve essere necessariamente una curva: può anche essere una regione del piano.