Il prodotto cartesiano è una costruzione fondamentale della teoria degli insiemi. A partire da due insiemi \(A\) e \(B\), esso permette di formare un nuovo insieme i cui elementi sono coppie ordinate, cioè coppie nelle quali non conta soltanto quali elementi compaiono, ma anche l’ordine in cui compaiono.
Questa idea è alla base di molte nozioni centrali della matematica. Le relazioni tra insiemi, le funzioni, i grafici di funzioni e gli spazi cartesiani possono infatti essere descritti in modo rigoroso proprio mediante il prodotto cartesiano.
Il nome richiama il piano cartesiano e l’opera di René Descartes, noto in italiano come Cartesio. Nel piano cartesiano ogni punto viene associato a una coppia ordinata di numeri reali; allo stesso modo, il prodotto cartesiano formalizza l’idea di costruire tutte le possibili coppie ordinate scegliendo il primo elemento in un insieme e il secondo elemento in un altro.
In questa pagina introduciamo la definizione di prodotto cartesiano, ne studiamo le principali proprietà e mostriamo come questa costruzione conduca naturalmente ai concetti di relazione, funzione e spazio cartesiano.
Indice
- Definizione formale
- Coppie ordinate e importanza dell’ordine
- Proprietà fondamentali
- Proprietà rispetto alle operazioni tra insiemi
- Interpretazione geometrica
- Prodotto cartesiano di più insiemi
- Relazioni e funzioni
- Approfondimento sulla cardinalità
- Conclusione
Definizione formale
Siano \(A\) e \(B\) due insiemi. Il prodotto cartesiano di \(A\) e \(B\), indicato con \(A \times B\), è l’insieme di tutte le coppie ordinate \((a,b)\) tali che il primo elemento appartiene ad \(A\) e il secondo elemento appartiene a \(B\).
In simboli:
\[ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \ \text{e} \ b \in B\}. \]
Quindi costruire il prodotto cartesiano \(A \times B\) significa associare ogni elemento di \(A\) a ogni elemento di \(B\), rispettando l’ordine delle componenti.
Esempio
Consideriamo gli insiemi
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x,y\}. \]
Il prodotto cartesiano \(A \times B\) è dato da
\[ A \times B=\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)\}. \]
Ogni coppia ha come prima componente un elemento di \(A\) e come seconda componente un elemento di \(B\). Per esempio, \((1,x)\) appartiene ad \(A \times B\), mentre \((x,1)\) non appartiene ad \(A \times B\), perché \(x\) non è un elemento di \(A\) e \(1\) non è un elemento di \(B\).
Coppie ordinate e importanza dell’ordine
Nel prodotto cartesiano gli elementi non sono semplici insiemi di due elementi, ma coppie ordinate. Questo significa che la posizione delle componenti è essenziale.
Due coppie ordinate sono uguali se e solo se hanno uguali le rispettive componenti:
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{e} \quad b=d. \]
In particolare, in generale si ha
\[ (a,b) \neq (b,a). \]
L’uguaglianza \((a,b)=(b,a)\) può verificarsi solo nel caso particolare in cui \(a=b\). Per questo motivo, quando si lavora con il prodotto cartesiano, non basta sapere quali elementi compaiono nella coppia: bisogna anche sapere quale elemento occupa la prima posizione e quale occupa la seconda.
Definizione insiemistica di coppia ordinata
Dal punto di vista intuitivo, una coppia ordinata è una coppia di elementi scritti in un certo ordine. Tuttavia, nella teoria degli insiemi, è possibile definire anche le coppie ordinate usando soltanto il concetto di insieme.
Una definizione classica, dovuta a Kuratowski, è la seguente:
\[ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}. \]
Questa definizione non serve nei calcoli ordinari, ma ha un ruolo teorico importante: permette di costruire le coppie ordinate all’interno della teoria degli insiemi e garantisce la proprietà fondamentale
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{e} \quad b=d. \]
In questo modo il prodotto cartesiano non viene assunto come oggetto intuitivo, ma viene ricondotto a una costruzione rigorosa fondata sugli insiemi.
Proprietà fondamentali
Il prodotto cartesiano possiede alcune proprietà elementari che conviene conoscere fin da subito. Esse dipendono direttamente dalla definizione e dal fatto che gli elementi di \(A \times B\) sono coppie ordinate.
Cardinalità del prodotto cartesiano
Se \(A\) e \(B\) sono insiemi finiti, il numero di elementi del prodotto cartesiano è dato dal prodotto delle cardinalità:
\[ |A \times B|=|A|\cdot |B|. \]
Infatti, per costruire una coppia ordinata \((a,b)\), si può scegliere la prima componente in \(|A|\) modi e, per ciascuna di queste scelte, la seconda componente in \(|B|\) modi.
Per esempio, se \(A\) ha \(2\) elementi e \(B\) ha \(3\) elementi, allora \(A \times B\) ha \(2\cdot 3=6\) elementi.
Prodotto cartesiano con l’insieme vuoto
Il prodotto cartesiano \(A \times B\) è vuoto se e solo se almeno uno dei due insiemi \(A\) e \(B\) è vuoto:
\[ A \times B=\varnothing \quad \Longleftrightarrow \quad A=\varnothing \ \text{oppure} \ B=\varnothing. \]
Infatti, se \(A=\varnothing\), non è possibile scegliere la prima componente della coppia. Se \(B=\varnothing\), non è possibile scegliere la seconda componente. In entrambi i casi non si può formare alcuna coppia ordinata.
In particolare:
\[ A \times \varnothing=\varnothing \qquad \text{e} \qquad \varnothing \times A=\varnothing. \]
Il prodotto cartesiano non è commutativo
In generale il prodotto cartesiano non è commutativo. Questo significa che, in generale, \(A \times B\) e \(B \times A\) non sono lo stesso insieme.
La ragione è che gli elementi di \(A \times B\) hanno come prima componente un elemento di \(A\) e come seconda componente un elemento di \(B\), mentre gli elementi di \(B \times A\) hanno le componenti nell’ordine opposto.
Per esempio, se
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x\}, \]
allora
\[ A \times B=\{(1,x),(2,x)\}, \]
mentre
\[ B \times A=\{(x,1),(x,2)\}. \]
I due prodotti cartesiani sono diversi, perché le coppie ordinate \((1,x)\) e \((x,1)\) non coincidono.
Più precisamente, si ha
\[ A \times B = B \times A \quad \Longleftrightarrow \quad A=B \ \text{oppure} \ A=\varnothing \ \text{oppure} \ B=\varnothing. \]
Dunque il prodotto cartesiano diventa commutativo solo in casi particolari: quando i due insiemi coincidono, oppure quando almeno uno dei due insiemi è vuoto.
Monotonia rispetto all’inclusione
Il prodotto cartesiano è compatibile con l’inclusione tra insiemi. Se
\[ A \subseteq A' \qquad \text{e} \qquad B \subseteq B', \]
allora
\[ A \times B \subseteq A' \times B'. \]
Infatti, se \((a,b)\in A \times B\), allora \(a\in A\) e \(b\in B\). Poiché \(A\subseteq A'\) e \(B\subseteq B'\), segue che \(a\in A'\) e \(b\in B'\). Quindi \((a,b)\in A'\times B'\).
Questa proprietà esprime un fatto naturale: se si ingrandiscono gli insiemi di partenza, allora si ingrandisce anche il prodotto cartesiano.
Proprietà rispetto alle operazioni tra insiemi
Il prodotto cartesiano si comporta in modo regolare rispetto ad alcune operazioni tra insiemi, come intersezione, unione e differenza. Le proprietà seguenti sono conseguenze dirette della definizione di prodotto cartesiano.
Intersezione
Per ogni insieme \(A\), \(B\) e \(C\) vale:
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
Dimostriamo l’uguaglianza verificando le due inclusioni.
Sia \((a,x)\in A\times(B\cap C)\). Allora \(a\in A\) e \(x\in B\cap C\). Quindi \(x\in B\) e \(x\in C\). Ne segue che \((a,x)\in A\times B\) e \((a,x)\in A\times C\), cioè
\[ (a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C). \]
Abbiamo così provato che
\[ A\times(B\cap C)\subseteq (A\times B)\cap(A\times C). \]
Viceversa, sia \((a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C)\). Allora \((a,x)\in A\times B\) e \((a,x)\in A\times C\). Dunque \(a\in A\), \(x\in B\) e \(x\in C\). Pertanto \(x\in B\cap C\), e quindi
\[ (a,x)\in A\times(B\cap C). \]
Anche l’inclusione opposta è dimostrata, perciò
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
Unione
Il prodotto cartesiano è distributivo anche rispetto all’unione:
\[ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C). \]
Infatti, una coppia \((a,x)\) appartiene ad \(A\times(B\cup C)\) se e solo se \(a\in A\) e \(x\in B\cup C\). Questo significa che \(a\in A\) e che \(x\) appartiene almeno a uno tra \(B\) e \(C\).
Nel primo caso \((a,x)\in A\times B\), mentre nel secondo caso \((a,x)\in A\times C\). Di conseguenza
\[ (a,x)\in (A\times B)\cup(A\times C). \]
Il ragionamento inverso mostra l’altra inclusione, e quindi l’uguaglianza è dimostrata.
Differenza
Vale anche la proprietà relativa alla differenza tra insiemi:
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
Infatti, una coppia \((a,x)\) appartiene ad \(A\times(B\setminus C)\) se e solo se \(a\in A\), \(x\in B\) e \(x\notin C\).
Questo equivale a dire che \((a,x)\in A\times B\), ma \((a,x)\notin A\times C\). Pertanto
\[ (a,x)\in (A\times B)\setminus(A\times C). \]
Si ottiene così l’identità:
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
Un errore frequente
Bisogna fare attenzione a non applicare in modo scorretto le proprietà distributive. In generale, non è vero che
\[ (A \cup C) \times (B \cup D) = (A \times B) \cup (C \times D). \]
Consideriamo, per esempio,
\[ A=\{1\}, \qquad C=\{2\}, \qquad B=\{3\}, \qquad D=\{4\}. \]
Allora
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{1,2\}\times\{3,4\} \]
e quindi
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}. \]
Invece
\[ (A\times B)\cup(C\times D)=\{(1,3)\}\cup\{(2,4)\} =\{(1,3),(2,4)\}. \]
I due insiemi non coincidono: nel primo compaiono anche le coppie \((1,4)\) e \((2,3)\), che non appartengono al secondo.
La formula corretta per l’intersezione di due prodotti cartesiani è invece
\[ (A\cap C)\times(B\cap D)=(A\times B)\cap(C\times D). \]
Infatti una coppia appartiene al membro di sinistra se e solo se la sua prima componente appartiene sia ad \(A\) sia a \(C\), e la sua seconda componente appartiene sia a \(B\) sia a \(D\). Questa è esattamente la condizione per appartenere contemporaneamente ad \(A\times B\) e a \(C\times D\).
Interpretazione geometrica
Quando gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\), il prodotto cartesiano assume una naturale interpretazione geometrica nel piano cartesiano.
Se \(A\subseteq \mathbb{R}\) e \(B\subseteq \mathbb{R}\), allora \(A\times B\) è l’insieme di tutti i punti del piano la cui ascissa appartiene ad \(A\) e la cui ordinata appartiene a \(B\):
\[ A\times B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x\in A \ \text{e} \ y\in B\}. \]
In questa interpretazione, la prima componente della coppia ordinata rappresenta la coordinata orizzontale, cioè l’ascissa, mentre la seconda componente rappresenta la coordinata verticale, cioè l’ordinata.
Esempi
Il prodotto cartesiano
\[ [0,1]\times[0,1] \]
rappresenta il quadrato unitario chiuso del piano, formato da tutti i punti \((x,y)\) tali che \(0\leq x\leq 1\) e \(0\leq y\leq 1\).
Invece
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R} \]
coincide con l’intero piano cartesiano \(\mathbb{R}^2\), perché sia la prima sia la seconda componente possono essere scelte liberamente tra tutti i numeri reali.
Più in generale, se \(A\) e \(B\) sono intervalli reali, il prodotto cartesiano \(A\times B\) individua una regione rettangolare del piano, eventualmente aperta, chiusa o illimitata a seconda del tipo di intervalli considerati.
Prodotto cartesiano di più insiemi
La definizione di prodotto cartesiano si estende in modo naturale anche a più di due insiemi. Se \(A_1,A_2,\dots,A_n\) sono \(n\) insiemi, il loro prodotto cartesiano è l’insieme di tutte le \(n\)-uple ordinate
\[ (a_1,a_2,\dots,a_n) \]
tali che la prima componente appartiene ad \(A_1\), la seconda appartiene ad \(A_2\), e così via fino all’ultima componente, che appartiene ad \(A_n\).
In simboli:
\[ A_1\times A_2\times \cdots \times A_n = \{(a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_i\in A_i \ \text{per ogni} \ i=1,\dots,n\}. \]
Anche in questo caso l’ordine delle componenti è essenziale. La prima componente deve appartenere al primo insieme, la seconda al secondo insieme, e così via.
Potenze cartesiane
Quando tutti gli insiemi sono uguali a uno stesso insieme \(A\), si usa una notazione più compatta. Per esempio:
\[ A^2=A\times A, \qquad A^3=A\times A\times A. \]
Più in generale, \(A^n\) indica il prodotto cartesiano di \(A\) con sé stesso \(n\) volte:
\[ A^n=\underbrace{A\times A\times \cdots \times A}_{n \ \text{volte}}. \]
Gli elementi di \(A^n\) sono quindi \(n\)-uple ordinate di elementi di \(A\).
Spazi cartesiani
Un caso particolarmente importante si ottiene scegliendo \(A=\mathbb{R}\). In questo modo si definisce lo spazio cartesiano reale \(n\)-dimensionale:
\[ \mathbb{R}^n= \underbrace{\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n \ \text{volte}}. \]
Per esempio, \(\mathbb{R}^2\) è il piano cartesiano, i cui elementi sono coppie ordinate \((x,y)\). Invece \(\mathbb{R}^3\) è lo spazio tridimensionale, i cui elementi sono terne ordinate \((x,y,z)\).
Il prodotto cartesiano è associativo?
Quando il prodotto cartesiano viene definito inizialmente come operazione tra due insiemi, bisogna fare una precisazione. Gli insiemi
\[ (A\times B)\times C \qquad \text{e} \qquad A\times(B\times C) \]
non sono letteralmente uguali.
Infatti, gli elementi di \((A\times B)\times C\) hanno la forma
\[ ((a,b),c), \]
mentre gli elementi di \(A\times(B\times C)\) hanno la forma
\[ (a,(b,c)). \]
Questi due oggetti hanno una struttura formale diversa. Tuttavia esiste una corrispondenza biunivoca naturale tra essi e le terne ordinate \((a,b,c)\):
\[ ((a,b),c) \longleftrightarrow (a,b,c) \longleftrightarrow (a,(b,c)). \]
Per questo motivo, quando il contesto è chiaro, si scrive semplicemente
\[ A\times B\times C \]
e lo si interpreta come insieme delle terne ordinate \((a,b,c)\), con \(a\in A\), \(b\in B\) e \(c\in C\).
Relazioni e funzioni
Una delle ragioni principali per cui il prodotto cartesiano è così importante è che permette di definire in modo rigoroso le relazioni e le funzioni tra insiemi.
Relazioni
Siano \(A\) e \(B\) due insiemi. Una relazione tra \(A\) e \(B\) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \(A\times B\).
In simboli, una relazione \(R\) tra \(A\) e \(B\) è un insieme tale che
\[ R\subseteq A\times B. \]
Questo significa che gli elementi di \(R\) sono alcune coppie ordinate \((a,b)\), con \(a\in A\) e \(b\in B\). Quando \((a,b)\in R\), si dice che \(a\) è in relazione con \(b\).
Dunque il prodotto cartesiano \(A\times B\) contiene tutte le coppie ordinate possibili, mentre una relazione sceglie soltanto alcune di queste coppie.
Funzioni
Una funzione da \(A\) in \(B\) è una relazione particolare tra \(A\) e \(B\). Precisamente, una funzione \(f:A\to B\) è una relazione \(f\subseteq A\times B\) tale che a ogni elemento di \(A\) viene associato uno e un solo elemento di \(B\).
In simboli:
\[ \forall a\in A, \ \exists! \, b\in B \ \text{tale che} \ (a,b)\in f. \]
Il simbolo \(\exists!\) significa “esiste ed è unico”. Quindi la condizione precedente dice due cose contemporaneamente:
- per ogni \(a\in A\) esiste almeno un elemento \(b\in B\) associato ad \(a\);
- tale elemento \(b\) è unico.
La prima condizione esclude che qualche elemento di \(A\) rimanga senza immagine. La seconda condizione esclude che uno stesso elemento di \(A\) venga associato a due o più elementi distinti di \(B\).
Grafico di una funzione
Se \(f:A\to B\) è una funzione, il suo grafico è l’insieme delle coppie ordinate formate da ogni elemento del dominio e dalla sua immagine:
\[ G_f=\{(a,f(a))\mid a\in A\}. \]
Il grafico di \(f\) è quindi un sottoinsieme del prodotto cartesiano \(A\times B\):
\[ G_f\subseteq A\times B. \]
Nel caso delle funzioni reali di variabile reale, cioè delle funzioni \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano:
\[ G_f=\{(x,f(x))\mid x\in\mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
In questo modo il prodotto cartesiano fornisce il collegamento tra la definizione insiemistica di funzione e la sua rappresentazione geometrica nel piano.
Il criterio della retta verticale
Geometricamente, il grafico di una funzione reale di variabile reale soddisfa il criterio della retta verticale. Questo significa che, fissato un valore della variabile indipendente \(x\), può esistere al massimo un solo valore corrispondente della variabile dipendente \(y\).
In particolare, se \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), allora ogni retta verticale \(x=a\), con \(a\in\mathbb{R}\), interseca il grafico della funzione in uno e un solo punto.
Se invece una retta verticale intersecasse il grafico in due punti distinti, allora allo stesso valore \(a\) sarebbero associati due valori diversi di \(y\). In tal caso non si avrebbe più una funzione.
Quante funzioni esistono tra due insiemi finiti?
Se \(A\) e \(B\) sono insiemi finiti, l’insieme di tutte le funzioni da \(A\) in \(B\) si indica con \(B^A\).
La sua cardinalità è
\[ |B^A|=|B|^{|A|}. \]
Infatti, per definire una funzione \(f:A\to B\), bisogna scegliere un elemento di \(B\) come immagine di ciascun elemento di \(A\). Se \(A\) ha \(|A|\) elementi e, per ciascuno di essi, ci sono \(|B|\) possibili scelte, allora il numero totale di funzioni è \(|B|^{|A|}\).
Questa formula va distinta da quella del prodotto cartesiano:
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Nel prodotto cartesiano si sceglie una prima componente in \(A\) e una seconda componente in \(B\). Invece, per costruire una funzione da \(A\) in \(B\), si sceglie un elemento di \(B\) per ogni elemento di \(A\). Per questo motivo compare una potenza, non un prodotto.
Approfondimento sulla cardinalità
Per insiemi finiti, la cardinalità del prodotto cartesiano è descritta dalla formula
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Questa formula ha un significato molto concreto: se \(A\) ha un certo numero di elementi e \(B\) ha un certo numero di elementi, allora il prodotto cartesiano \(A\times B\) contiene tutte le possibili coppie ordinate ottenute scegliendo una prima componente in \(A\) e una seconda componente in \(B\).
Quando si passa agli insiemi infiniti, però, la nozione di cardinalità diventa più delicata. In questo caso non si può più contare semplicemente il numero di elementi uno per uno, ma si confrontano gli insiemi mediante corrispondenze biunivoche.
Due insiemi hanno la stessa cardinalità quando esiste una corrispondenza biunivoca tra essi, cioè una funzione che associa a ogni elemento del primo insieme un unico elemento del secondo e tale che ogni elemento del secondo sia immagine di uno e un solo elemento del primo.
Un risultato fondamentale della teoria degli insiemi afferma che
\[ |\mathbb{R}\times\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|. \]
Questo significa che il piano cartesiano \(\mathbb{R}^2\) e la retta reale \(\mathbb{R}\) hanno la stessa cardinalità. In altri termini, dal punto di vista del numero di elementi, esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e i punti di un piano.
Lo stesso vale, più in generale, per ogni spazio cartesiano reale \(\mathbb{R}^n\), con \(n\geq 1\):
\[ |\mathbb{R}^n|=|\mathbb{R}|. \]
Questa cardinalità viene indicata con \(\mathfrak{c}\) ed è chiamata cardinalità del continuo.
È importante non confondere la cardinalità con la struttura geometrica. Il fatto che \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{R}^2\) abbiano la stessa cardinalità non significa che una retta e un piano siano geometricamente la stessa cosa. Essi hanno la stessa quantità di punti in senso insiemistico, ma possiedono proprietà geometriche e topologiche profondamente diverse.
Questo esempio mostra che il prodotto cartesiano, pur essendo una costruzione semplice nella definizione, conduce rapidamente a questioni molto profonde della matematica.
Conclusione
Il prodotto cartesiano è una costruzione essenziale della teoria degli insiemi. A partire da insiemi dati, permette di formare insiemi di coppie ordinate e, più in generale, di \(n\)-uple ordinate.
La sua importanza non dipende soltanto dalla definizione in sé, ma soprattutto dalle strutture che consente di costruire. Le relazioni tra insiemi, le funzioni, i grafici di funzioni e gli spazi cartesiani possono infatti essere descritti in modo rigoroso mediante il prodotto cartesiano.
Per questo motivo, comprendere bene il prodotto cartesiano significa acquisire uno strumento di base che ritorna in molte aree della matematica, dall’algebra alla geometria, dall’analisi alla teoria degli insiemi.