Tangente e Cotangente Iperboliche

Definizioni ed espressioni esponenziali

Ricordiamo le definizioni di seno e coseno iperbolici:

\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]

La tangente iperbolica, indicata con \(\tanh x\), è il rapporto fra seno e coseno iperbolici:

\[ \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}. \]

Sostituendo le espressioni esponenziali e moltiplicando numeratore e denominatore per \(e^x\), otteniamo

\[ \tanh x =\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} =\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}. \]

La cotangente iperbolica, indicata con \(\coth x\), è invece

\[ \coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x} =\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} =\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}, \qquad x\ne0. \]

Per \(x\ne0\), le due funzioni sono reciproche:

\[ \coth x=\frac{1}{\tanh x}, \qquad \tanh x=\frac{1}{\coth x}. \]

In particolare, \(\tanh 0=0\), mentre \(\coth 0\) non è definita.

Dominio, segno e simmetrie

Dominio

Poiché \(e^x\) ed \(e^{-x}\) sono positivi per ogni \(x\in\mathbb R\), anche il coseno iperbolico è sempre positivo:

\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0. \]

La tangente iperbolica è quindi definita su tutto \(\mathbb R\).

Il seno iperbolico si annulla soltanto in \(0\). Infatti,

\[ \sinh x=0 \iff e^x=e^{-x} \iff e^{2x}=1 \iff x=0. \]

Il dominio della cotangente iperbolica è pertanto \(\mathbb R\setminus\{0\}\).

Segno e zeri

Il seno iperbolico ha lo stesso segno di \(x\), mentre il coseno iperbolico è positivo. Di conseguenza, entrambe le funzioni sono positive per \(x>0\) e negative per \(x<0\).

• La tangente iperbolica ha un unico zero: \(x=0\).
• La cotangente iperbolica non ha zeri, perché il suo numeratore non si annulla mai.

Funzioni dispari

Il seno iperbolico è dispari e il coseno iperbolico è pari. Ne segue che

\[ \tanh(-x) =\frac{-\sinh x}{\cosh x} =-\tanh x, \]

\[ \coth(-x) =\frac{\cosh x}{-\sinh x} =-\coth x, \qquad x\ne0. \]

Entrambe le funzioni sono dunque dispari: i loro grafici sono simmetrici rispetto all’origine.

Identità fondamentali

L’identità fondamentale delle funzioni iperboliche è

\[ \cosh^2x-\sinh^2x=1. \]

Dividendo per \(\cosh^2x\), che è sempre positivo, ricaviamo

\[ 1-\tanh^2x=\frac{1}{\cosh^2x}. \]

Il secondo membro è strettamente positivo; pertanto

\[ \tanh^2x<1, \qquad\text{ossia}\qquad -1<\tanh x<1. \]

La tangente iperbolica non raggiunge mai i valori \(-1\) e \(1\).

Per \(x\ne0\), dividendo invece l’identità fondamentale per \(\sinh^2x\), otteniamo

\[ \coth^2x-1=\frac{1}{\sinh^2x}>0. \]

Quindi

\[ |\coth x|>1. \]

Più precisamente,

\[ x>0\Longrightarrow\coth x>1, \qquad x<0\Longrightarrow\coth x<-1. \]

Queste identità permettono già di escludere alcuni valori nelle equazioni: per esempio, \(\tanh x=2\) e \(\coth x=0\) non hanno soluzioni reali.

Grafico della tangente iperbolica

La funzione \(y=\tanh x\) è continua su \(\mathbb R\), passa per l’origine ed è strettamente crescente. La monotonia sarà giustificata mediante la derivata nella sezione 6.

Limiti e asintoti

Dall’espressione esponenziale si ricava

\[ \lim_{x\to+\infty}\tanh x =\lim_{x\to+\infty}\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} =1, \]

\[ \lim_{x\to-\infty}\tanh x =\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} =-1. \]

Il grafico possiede quindi due asintoti orizzontali:

\[ y=1\quad\text{per }x\to+\infty, \qquad y=-1\quad\text{per }x\to-\infty. \]

Poiché la funzione è continua e strettamente crescente, il suo insieme dei valori è esattamente

\[ (-1,1). \]

Comportamento vicino all’origine

La derivata in \(0\) vale \(1\). La tangente al grafico nell’origine ha pertanto equazione \(y=x\). Inoltre,

\[ \lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}=1. \]

Per valori di \(x\) vicini a \(0\), la tangente iperbolica è quindi approssimata da \(x\).

Grafico della cotangente iperbolica

La funzione \(y=\coth x\) è continua nei due intervalli \((-\infty,0)\) e \((0,+\infty)\). Il grafico ha due rami simmetrici rispetto all’origine.

Limiti e asintoti

Quando \(x\to0\), il numeratore \(\cosh x\) tende a \(1\), mentre \(\sinh x\) tende a \(0\) con lo stesso segno di \(x\). Ne segue che

\[ \lim_{x\to0^+}\coth x=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\coth x=-\infty. \]

La retta \(x=0\) è quindi un asintoto verticale.

All’infinito, dalle espressioni esponenziali otteniamo

\[ \lim_{x\to+\infty}\coth x=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\coth x=-1. \]

Gli asintoti orizzontali sono \(y=1\) a destra e \(y=-1\) a sinistra. La funzione non assume nessuno dei due valori.

Monotonia e insieme dei valori

La cotangente iperbolica è strettamente decrescente in ciascuno dei due intervalli del dominio. Il ramo positivo scende da \(+\infty\) verso \(1\); quello negativo scende da valori prossimi a \(-1\) verso \(-\infty\).

Il suo insieme dei valori è

\[ (-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \]

Non si può affermare che la funzione sia decrescente sull’intero dominio: se \(x_1<0<x_2\), allora \(\coth x_1<0<\coth x_2\), mentre una funzione decrescente dovrebbe soddisfare \(\coth x_1>\coth x_2\).

Immagine

Derivate e formule di addizione

Derivata della tangente iperbolica

Usando \((\sinh x)'=\cosh x\), \((\cosh x)'=\sinh x\) e la regola di derivazione del quoziente, otteniamo

\[ (\tanh x)' =\frac{\cosh^2x-\sinh^2x}{\cosh^2x} =\frac{1}{\cosh^2x} =1-\tanh^2x. \]

La derivata è positiva per ogni \(x\in\mathbb R\), quindi la tangente iperbolica è strettamente crescente su tutto il dominio. In particolare, \(\tanh'(0)=1\).

Derivata della cotangente iperbolica

Per \(x\ne0\),

\[ (\coth x)' =\frac{\sinh^2x-\cosh^2x}{\sinh^2x} =-\frac{1}{\sinh^2x} =1-\coth^2x. \]

La derivata è negativa in ogni punto del dominio. Questo dimostra la stretta decrescenza su ciascuno degli intervalli \((-\infty,0)\) e \((0,+\infty)\).

Formule di addizione della tangente iperbolica

Dalle formule di addizione di seno e coseno iperbolici, dividendo numeratore e denominatore per \(\cosh u\cosh v\), ricaviamo

\[ \tanh(u+v) =\frac{\tanh u+\tanh v}{1+\tanh u\,\tanh v}. \]

Sostituendo \(v\) con \(-v\), otteniamo

\[ \tanh(u-v) =\frac{\tanh u-\tanh v}{1-\tanh u\,\tanh v}. \]

Queste formule valgono per ogni \(u,v\in\mathbb R\). Infatti, \(|\tanh u\,\tanh v|<1\), quindi i denominatori sono sempre positivi.

In particolare, per \(u=v=x\),

\[ \tanh(2x)=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}. \]

Formula di addizione della cotangente iperbolica

Se \(u\ne0\), \(v\ne0\) e \(u+v\ne0\), vale

\[ \coth(u+v) =\frac{\coth u\,\coth v+1}{\coth u+\coth v}. \]

Le condizioni indicate garantiscono che tutte le cotangenti presenti siano definite. Inoltre,

\[ \coth u+\coth v =\frac{\sinh(u+v)}{\sinh u\,\sinh v}\ne0. \]

Ponendo \(u=v=x\ne0\), segue la formula di duplicazione:

\[ \coth(2x)=\frac{\coth^2x+1}{2\coth x}. \]

Equazioni elementari

La stretta monotonia permette di stabilire anche l’unicità delle soluzioni. A differenza delle funzioni goniometriche, tangente e cotangente iperboliche non sono periodiche: nelle soluzioni non compare un termine periodico \(k\pi\).

L’equazione \(\tanh x=a\)

Poiché l’insieme dei valori della tangente iperbolica è \((-1,1)\), l’equazione ammette una soluzione reale se e solo se \(|a|<1\). In tal caso la soluzione è unica.

Usiamo l’espressione esponenziale:

\[ \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=a. \]

Il denominatore è sempre positivo. Moltiplicando e riordinando,

\[ e^{2x}-1=ae^{2x}+a, \qquad (1-a)e^{2x}=1+a. \]

Per \(-1<a<1\), il rapporto seguente è positivo e possiamo applicare il logaritmo naturale:

\[ e^{2x}=\frac{1+a}{1-a}, \qquad x=\frac12\ln\left(\frac{1+a}{1-a}\right). \]

Esempio 1. Risolviamo \(\displaystyle\tanh x=\frac12\):

\[ x=\frac12\ln\left(\frac{1+\frac12}{1-\frac12}\right) =\frac12\ln3. \]

La verifica si ottiene sostituendo \(e^{2x}=3\):

\[ \tanh x=\frac{3-1}{3+1}=\frac12. \]

Esempio 2. L’equazione \(\tanh x=1\) non ha soluzioni reali. Il valore \(1\) è un limite all’infinito, ma non viene raggiunto dalla funzione.

L’equazione \(\coth x=a\)

L’equazione ammette una soluzione reale se e solo se \(|a|>1\). La soluzione è positiva per \(a>1\) e negativa per \(a<-1\); in entrambi i casi è unica.

Partendo da

\[ \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=a, \qquad x\ne0, \]

otteniamo

\[ e^{2x}+1=ae^{2x}-a, \qquad (a-1)e^{2x}=a+1. \]

Per \(|a|>1\), il rapporto \(\displaystyle\frac{a+1}{a-1}\) è positivo. Ne segue

\[ x=\frac12\ln\left(\frac{a+1}{a-1}\right). \]

Questa soluzione è diversa da zero, perché il rapporto all’interno del logaritmo non può essere uguale a \(1\).

Esempio 3. Risolviamo \(\coth x=2\):

\[ x=\frac12\ln\left(\frac{2+1}{2-1}\right) =\frac12\ln3. \]

Per questo valore di \(x\), abbiamo contemporaneamente \(\displaystyle\tanh x=\frac12\) e \(\coth x=2\), in accordo con la relazione di reciprocità.

Esempio 4. Risolviamo \(\coth x=-2\):

\[ x=\frac12\ln\left(\frac{-2+1}{-2-1}\right) =\frac12\ln\frac13 =-\frac12\ln3. \]

Riepilogo ed errori comuni

Errori comuni

• Confondere funzioni goniometriche e iperboliche. Tangente e cotangente iperboliche sono definite mediante esponenziali reali e non sono periodiche.
• Includere gli asintoti nell’insieme dei valori. La tangente iperbolica non assume mai i valori \(-1\) e \(1\); la cotangente iperbolica assume soltanto valori di modulo maggiore di \(1\).
• Attribuire alla cotangente iperbolica uno zero. Il numeratore \(\cosh x\) è sempre positivo, quindi \(\coth x\) non si annulla.
• Usare la reciprocità in \(x=0\). La relazione \(\displaystyle\coth x=\frac{1}{\tanh x}\) vale soltanto per \(x\ne0\).
• Affermare che la cotangente iperbolica è decrescente su tutto il dominio. La decrescenza vale separatamente su \((-\infty,0)\) e \((0,+\infty)\).
• Sbagliare il segno nelle identità. Le relazioni corrette sono \(\displaystyle1-\tanh^2x=\frac{1}{\cosh^2x}\) e \(\displaystyle\coth^2x-1=\frac{1}{\sinh^2x}\).