Formule di Addizione e Sottrazione

Perché servono le formule di addizione

Conoscere il seno di due angoli non permette, in generale, di ottenere il seno della loro somma sommando i due valori. Per esempio,

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right) =\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \]

mentre

\[ \sin\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{6} =\frac12+\frac12=1. \]

Le formule di addizione combinano invece prodotti di seno e coseno. Per ricavarle useremo le coordinate dei punti sulla circonferenza goniometrica, la formula della distanza tra due punti e il fatto che una rotazione conserva le lunghezze.

Dimostrazione della formula del coseno di una differenza

La distanza tra i punti associati ai due angoli

Sulla circonferenza goniometrica consideriamo i punti

\[ P=(\cos\alpha,\sin\alpha), \qquad Q=(\cos\beta,\sin\beta). \]

Il quadrato della distanza tra due punti è la somma dei quadrati delle differenze delle rispettive coordinate. Questa formula deriva dal teorema di Pitagora applicato alle distanze orizzontale e verticale tra i punti. Nel nostro caso,

\[ PQ^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2 +(\sin\alpha-\sin\beta)^2. \]

Sviluppiamo i quadrati e raccogliamo i termini.

\[ \begin{aligned} PQ^2 &=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha +\cos^2\beta+\sin^2\beta\\ &\quad-2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta. \end{aligned} \]

L’identità fondamentale dà \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) e \(\cos^2\beta+\sin^2\beta=1\). Pertanto

\[ PQ^2 =2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta). \]

Una rotazione che conserva la corda

Ruotiamo entrambi i punti attorno all’origine di un angolo \(-\beta\). Il punto \(Q\), associato all’angolo \(\beta\), raggiunge \(A=(1,0)\). Il punto \(P\), associato all’angolo \(\alpha\), raggiunge il punto

\[ R=(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta)). \]

La rotazione conserva la distanza tra i punti, quindi \(PQ=RA\). Calcolando il quadrato della nuova distanza, otteniamo

\[ \begin{aligned} RA^2 &=(\cos(\alpha-\beta)-1)^2 +\sin^2(\alpha-\beta)\\ &=\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta) -2\cos(\alpha-\beta)+1\\ &=2-2\cos(\alpha-\beta). \end{aligned} \]

Poiché \(PQ^2=RA^2\), segue

\[ 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) =2-2\cos(\alpha-\beta). \]

Sottraendo \(2\) e dividendo per \(-2\), ricaviamo la formula del coseno di una differenza

\[ \boxed{ \cos(\alpha-\beta) =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. } \]

La dimostrazione vale per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Le coordinate tengono conto dei segni e la rotazione conserva le distanze anche per angoli negativi o maggiori di un giro.

Immagine

Formule di addizione di seno e coseno

Coseno di una somma

Sostituiamo \(\beta\) con \(-\beta\) nella formula del coseno di una differenza.

\[ \cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta). \]

Dalle relazioni degli angoli opposti, \(\cos(-\beta)=\cos\beta\) e \(\sin(-\beta)=-\sin\beta\). Otteniamo quindi

\[ \boxed{ \cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. } \]

Seno di una somma

Per gli angoli complementari vale \(\sin t=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\right)\). Scriviamo dunque

\[ \sin(\alpha+\beta) =\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right). \]

Applichiamo la formula del coseno di una differenza e poi le relazioni degli angoli complementari.

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta +\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta\\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned} \]

Abbiamo così dimostrato la formula del seno di una somma

\[ \boxed{ \sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. } \]

Formula del seno di una differenza

Sostituendo \(\beta\) con \(-\beta\) nella formula di addizione del seno, otteniamo

\[ \sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta). \]

Poiché il coseno è pari e il seno è dispari, segue

\[ \boxed{ \sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. } \]

Tutte e quattro le formule di seno e coseno valgono per ogni coppia di angoli reali. Per il seno, il segno tra i prodotti coincide con quello tra gli angoli. Per il coseno, i due segni sono opposti.

Formule di addizione e sottrazione della tangente

Tangente di una somma

Supponiamo che \(\tan\alpha\) e \(\tan\beta\) siano definite, quindi che \(\cos\alpha\ne 0\) e \(\cos\beta\ne 0\). Se anche \(\cos(\alpha+\beta)\ne 0\), possiamo scrivere

\[ \tan(\alpha+\beta) =\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} =\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta} {\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}. \]

Dividiamo numeratore e denominatore per \(\cos\alpha\cos\beta\), che è diverso da zero. Risulta

\[ \boxed{ \tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta} {1-\tan\alpha\tan\beta}. } \]

Le condizioni per applicare questa formula sono

\[ \cos\alpha\ne 0,\qquad \cos\beta\ne 0,\qquad 1-\tan\alpha\tan\beta\ne 0. \]

Sotto le prime due condizioni, la terza equivale a \(\cos(\alpha+\beta)\ne 0\), perché

\[ \cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta (1-\tan\alpha\tan\beta). \]

Tangente di una differenza

Sostituiamo \(\beta\) con \(-\beta\) e usiamo \(\tan(-\beta)=-\tan\beta\). Si ottiene

\[ \boxed{ \tan(\alpha-\beta) =\frac{\tan\alpha-\tan\beta} {1+\tan\alpha\tan\beta}. } \]

Le condizioni corrispondenti sono

\[ \cos\alpha\ne 0,\qquad \cos\beta\ne 0,\qquad 1+\tan\alpha\tan\beta\ne 0. \]

Le tangenti dei singoli angoli possono essere indefinite anche quando la tangente della loro somma esiste. Per esempio,

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =\tan\frac{3\pi}{4}=-1. \]

Il valore si può calcolare mediante gli archi associati, ma la formula in termini di \(\tan\alpha\) e \(\tan\beta\) non è applicabile a questa scelta degli angoli, perché \(\tan\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) è indefinita.

Esempi svolti

1. Calcolare il seno di \(15^\circ\)

Scriviamo \(\displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{6}\), cioè \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\). Usando la formula del seno di una differenza e i valori notevoli, otteniamo

\[ \begin{aligned} \sin\frac{\pi}{12} &=\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} -\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12\\ &=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{aligned} \]

2. Calcolare il coseno di \(75^\circ\)

Poiché \(\displaystyle\frac{5\pi}{12}=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{6}\), applichiamo la formula del coseno di una somma.

\[ \begin{aligned} \cos\frac{5\pi}{12} &=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} -\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12\\ &=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{aligned} \]

Il risultato coincide con \(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{12}\right)\), perché \(15^\circ\) e \(75^\circ\) sono complementari.

3. Calcolare la tangente di \(15^\circ\)

Le tangenti di \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) e \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) sono definite. Il denominatore della formula di sottrazione è positivo, quindi possiamo applicarla.

\[ \begin{aligned} \tan\frac{\pi}{12} &=\frac{\tan(\pi/4)-\tan(\pi/6)} {1+\tan(\pi/4)\tan(\pi/6)}\\ &=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}} {1+\frac{1}{\sqrt3}} =\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ &=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1} =2-\sqrt3. \end{aligned} \]

4. Usare i valori delle funzioni nei singoli angoli

Siano \(\alpha\) e \(\beta\) nel primo quadrante, con \(\sin\alpha=\displaystyle\frac35\) e \(\cos\beta=\displaystyle\frac{12}{13}\). Dall’identità fondamentale e dai segni nel primo quadrante ricaviamo

\[ \cos\alpha=\frac45,\qquad \sin\beta=\frac5{13}. \]

Per il seno della somma,

\[ \sin(\alpha+\beta) =\frac35\cdot\frac{12}{13} +\frac45\cdot\frac5{13} =\frac{56}{65}. \]

Per il coseno della somma,

\[ \cos(\alpha+\beta) =\frac45\cdot\frac{12}{13} -\frac35\cdot\frac5{13} =\frac{33}{65}. \]

Il coseno è diverso da zero, quindi esiste anche la tangente della somma.

\[ \tan(\alpha+\beta) =\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} =\frac{56}{33}. \]

Errori comuni e riepilogo

Seno e coseno di una somma non si calcolano sommando i valori delle funzioni nei singoli angoli. Le formule contengono prodotti tra seno e coseno.

Nel seno di una differenza, l’ordine dei prodotti è essenziale. Scambiare \(\sin\alpha\cos\beta\) con \(\cos\alpha\sin\beta\) cambia il segno del risultato. Nel coseno di una somma compare invece il segno meno tra i prodotti.

Per la tangente occorre controllare che esistano le tangenti dei singoli angoli e che il denominatore della formula sia diverso da zero.

Le formule di seno e coseno valgono per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Per quelle della tangente devono essere definite \(\tan\alpha\) e \(\tan\beta\). Il denominatore \(1-\tan\alpha\tan\beta\) deve essere diverso da zero per la somma, mentre \(1+\tan\alpha\tan\beta\) deve essere diverso da zero per la differenza.