Archi Associati e Riduzione al Primo Quadrante

By Pimath, 11 November, 2026

Gli archi associati permettono di collegare i valori delle funzioni goniometriche di angoli legati da simmetrie o rotazioni sulla circonferenza goniometrica. Usando queste relazioni, possiamo ricondurre il calcolo di seno, coseno, tangente e cotangente ai valori di un angolo del primo quadrante.

Ricaveremo le formule dalle coordinate dei punti sulla circonferenza e costruiremo un procedimento per scegliere il segno corretto. Gli angoli sono espressi in radianti, con alcune equivalenze in gradi negli esempi.

Indice

Archi associati e angolo di riferimento
Angoli opposti e supplementari
Angoli che differiscono di mezzo giro
Angoli complementari e rotazioni di un quarto di giro
Come ridurre al primo quadrante
Esempi svolti
Errori comuni e riepilogo

Archi associati e angolo di riferimento

Sulla circonferenza goniometrica, all’angolo \(\alpha\) corrisponde il punto

\[ P=(\cos\alpha,\sin\alpha). \]

Gli angoli \(-\alpha\), \(\pi-\alpha\), \(\pi+\alpha\) e \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\) individuano punti le cui coordinate si ricavano da quelle di \(P\) mediante cambi di segno o scambi di coordinate. Da queste trasformazioni seguono le formule degli archi associati.

Per un angolo il cui lato finale non giace su un asse, l’angolo di riferimento è l’angolo acuto compreso tra il lato finale e il semiasse orizzontale più vicino. La sua misura appartiene a \(\left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Le relazioni per seno e coseno che ricaveremo valgono per ogni \(\alpha\in\mathbb{R}\). Per tangente e cotangente occorre invece controllare che i rispettivi denominatori siano diversi da zero.

Angoli opposti e supplementari

Angoli opposti

Gli angoli \(\alpha\) e \(-\alpha\) individuano punti simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. L’ascissa resta invariata e l’ordinata cambia segno. Pertanto

\[ \cos(-\alpha)=\cos\alpha, \qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha. \]

Passando ai quozienti tra seno e coseno, otteniamo

\[ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha \quad\text{se }\cos\alpha\ne 0, \]

\[ \cot(-\alpha)=-\cot\alpha \quad\text{se }\sin\alpha\ne 0. \]

Angoli supplementari

Gli angoli \(\alpha\) e \(\pi-\alpha\) individuano punti simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. L’ascissa cambia segno e l’ordinata resta invariata. Quindi

\[ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha. \]

Di conseguenza,

\[ \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha \quad\text{se }\cos\alpha\ne 0, \]

\[ \cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha \quad\text{se }\sin\alpha\ne 0. \]

Il grafico del coseno iperbolico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate e ha minimo in (0, 1). All’ascissa ln 2, il punto di ordinata 5/4 sul coseno iperbolico è il punto medio del segmento verticale tra le ordinate 2 e 1/2 delle curve y = e^x e y = e^(−x).

Angoli che differiscono di mezzo giro

Aggiungendo \(\pi\) all’angolo \(\alpha\), il punto associato compie una rotazione di mezzo giro e raggiunge il punto diametralmente opposto. Entrambe le coordinate cambiano segno.

\[ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha. \]

Nei quozienti, i due cambi di segno si compensano. Si ottiene quindi

\[ \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha \quad\text{se }\cos\alpha\ne 0, \]

\[ \cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha \quad\text{se }\sin\alpha\ne 0. \]

Un giro completo riporta invece il punto nella posizione di partenza. Per ogni \(k\in\mathbb{Z}\),

\[ \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha, \qquad \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha. \]

Tangente e cotangente riprendono già lo stesso valore dopo mezzo giro. Nei rispettivi domini,

\[ \tan(\alpha+k\pi)=\tan\alpha, \qquad \cot(\alpha+k\pi)=\cot\alpha. \]

I punti associati ad alfa e pi più alfa sono diametralmente opposti sulla circonferenza goniometrica. Le loro ascisse e ordinate hanno segno opposto. I rapporti che definiscono tangente e cotangente restano invariati, dove sono definiti.

Angoli complementari e rotazioni di un quarto di giro

Angoli complementari

I punti associati ad \(\alpha\) e a \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\) sono simmetrici rispetto alla retta \(y=x\). Le coordinate si scambiano, quindi

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha. \]

Dalle definizioni di tangente e cotangente segue

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha \quad\text{se }\sin\alpha\ne 0, \]

\[ \cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha \quad\text{se }\cos\alpha\ne 0. \]

Aggiungere un quarto di giro

Una rotazione antioraria di \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) trasforma il punto \((\cos\alpha,\sin\alpha)\) nel punto \((-\sin\alpha,\cos\alpha)\). Pertanto

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha. \]

Per i due quozienti,

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha \quad\text{se }\sin\alpha\ne 0, \]

\[ \cot\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\tan\alpha \quad\text{se }\cos\alpha\ne 0. \]

Due diagrammi mostrano lo scambio delle coordinate sulla circonferenza goniometrica. La riflessione rispetto alla retta y = x associa alfa a pi greco mezzi meno alfa. La rotazione antioraria di un quarto di giro associa alfa a pi greco mezzi più alfa e cambia anche il segno dell’ascissa.

Come ridurre al primo quadrante

Per ricondurre un angolo a un angolo di riferimento del primo quadrante, procediamo in tre passaggi.

Sottraiamo o aggiungiamo un multiplo intero di \(2\pi\), ottenendo una misura \(\theta\) con \(0\leq\theta<2\pi\).
Individuiamo il quadrante e determiniamo l’angolo di riferimento \(\beta\).
Usiamo il valore della funzione in \(\beta\) e scegliamo il segno in base al quadrante di \(\theta\).

Se \(\theta\) non corrisponde a un punto sugli assi, l’angolo di riferimento è dato dalla tabella seguente.

Angolo di riferimento e segni nei quattro quadranti
Quadrante	Intervallo di \(\theta\)	Angolo \(\beta\)	Seno	Coseno	Tangente e cotangente
Primo	\(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\)	\(\beta=\theta\)	Positivo	Positivo	Positive
Secondo	\(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)	\(\beta=\pi-\theta\)	Positivo	Negativo	Negative
Terzo	\(\pi<\theta<\displaystyle\frac{3\pi}{2}\)	\(\beta=\theta-\pi\)	Negativo	Negativo	Positive
Quarto	\(\displaystyle\frac{3\pi}{2}<\theta<2\pi\)	\(\beta=2\pi-\theta\)	Negativo	Positivo	Negative

Per esempio, se \(\theta\) appartiene al secondo quadrante, allora \(\theta=\pi-\beta\). Le formule degli angoli supplementari danno \(\sin\theta=\sin\beta\), \(\cos\theta=-\cos\beta\), \(\tan\theta=-\tan\beta\) e \(\cot\theta=-\cot\beta\). Negli altri quadranti si procede con le relazioni corrispondenti.

Se \(\theta\) è \(0\), \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\pi\) oppure \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), il punto associato si trova su un asse. In questi casi si leggono direttamente le coordinate e si controlla l’esistenza di tangente e cotangente.

Una circonferenza goniometrica mostra i punti associati a beta, pi meno beta, pi più beta e due pi meno beta. I quattro punti hanno coordinate con gli stessi valori assoluti. Gli archi evidenziano l’angolo di riferimento beta rispetto ai semiassi orizzontali.

Esempi svolti

1. Un angolo del secondo quadrante

Calcoliamo seno, coseno e tangente di \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\), pari a \(150^\circ\). L’angolo di riferimento è \(\beta=\pi-\displaystyle\frac{5\pi}{6}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\). Il seno è positivo, il coseno e la tangente sono negativi. Dalla tabella dei valori notevoli segue

\[ \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12,\qquad \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{3}. \]

2. Un angolo negativo

Consideriamo \(-\displaystyle\frac{7\pi}{4}\). Aggiungendo \(2\pi\), otteniamo \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\), che appartiene al primo quadrante. Pertanto

\[ \sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan\left(-\frac{7\pi}{4}\right)=1. \]

3. Un angolo maggiore di un giro

Riduciamo \(\displaystyle\frac{17\pi}{6}\) al primo giro. Sottraendo \(2\pi\), otteniamo \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\). Di conseguenza,

\[ \sin\frac{17\pi}{6}=\frac12, \qquad \cos\frac{17\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

4. Usare gli angoli complementari

Poiché \(\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\), si ha

\[ \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12, \qquad \tan\frac{\pi}{6}=\cot\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{3}. \]

Errori comuni e riepilogo

L’angolo di riferimento determina i valori assoluti delle funzioni. Il segno si ricava dal quadrante dell’angolo iniziale. Per esempio, \(\sin(\pi+\beta)=-\sin\beta\), perché nel terzo quadrante il seno è negativo.

Nelle formule che coinvolgono \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), occorre controllare anche lo scambio tra le funzioni. Per esempio, \(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha\) e \(\tan\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha\), quest’ultima quando \(\sin\alpha\ne 0\).

Formule degli archi associati
Angolo	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente
\(-\alpha\)	\(-\sin\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(-\tan\alpha\)	\(-\cot\alpha\)
\(\pi-\alpha\)	\(\sin\alpha\)	\(-\cos\alpha\)	\(-\tan\alpha\)	\(-\cot\alpha\)
\(\pi+\alpha\)	\(-\sin\alpha\)	\(-\cos\alpha\)	\(\tan\alpha\)	\(\cot\alpha\)
\(2\pi-\alpha\)	\(-\sin\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(-\tan\alpha\)	\(-\cot\alpha\)
\(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(\sin\alpha\)	\(\cot\alpha\)	\(\tan\alpha\)
\(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(-\sin\alpha\)	\(-\cot\alpha\)	\(-\tan\alpha\)

Le formule di seno e coseno valgono per ogni \(\alpha\in\mathbb{R}\). Nelle colonne della tangente e della cotangente, ciascuna uguaglianza vale quando le espressioni sono definite. In particolare, \(\tan\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)\) richiede \(\sin\alpha\ne 0\), mentre \(\cot\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)\) richiede \(\cos\alpha\ne 0\).