Identità Goniometriche Fondamentali

Che cos’è un’identità goniometrica

Un’identità goniometrica è un’uguaglianza tra espressioni goniometriche che vale per ogni valore della variabile nel loro dominio comune. Per verificarla occorre quindi controllare sia l’uguaglianza dei valori sia le condizioni che rendono definite le espressioni.

Per esempio, \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) vale per ogni \(x\in\mathbb{R}\). La relazione \(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) richiede invece \(\cos x\ne 0\). Durante una semplificazione, queste condizioni devono essere conservate.

La relazione fondamentale tra seno e coseno

Sulla circonferenza goniometrica, il punto associato all’angolo \(x\) ha coordinate \(P=(\cos x,\sin x)\). La circonferenza ha centro nell’origine e raggio \(1\). Per il teorema di Pitagora, la somma dei quadrati delle coordinate di \(P\) è quindi \(1\).

\[ \boxed{\sin^2 x+\cos^2 x=1}, \qquad x\in\mathbb{R}. \]

Le scritture \(\sin^2 x\) e \(\cos^2 x\) indicano rispettivamente \((\sin x)^2\) e \((\cos x)^2\). La relazione vale in tutti i quadranti, perché i quadrati delle coordinate coincidono con i quadrati delle lunghezze delle proiezioni.

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Ricavare il seno o il coseno

Isolando uno dei quadrati si ottiene

\[ \sin^2 x=1-\cos^2 x, \qquad \cos^2 x=1-\sin^2 x. \]

Passando alle radici quadrate, le uguaglianze diventano

\[ |\sin x|=\sqrt{1-\cos^2 x}, \qquad |\cos x|=\sqrt{1-\sin^2 x}. \]

Per determinare il valore del seno o del coseno occorre quindi conoscere anche il suo segno. Il quadrante dell’angolo permette di scegliere il segno corretto.

Identità con tangente e secante

Se \(\cos x\ne 0\), possiamo dividere la relazione fondamentale per \(\cos^2 x\).

\[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} +\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}. \]

Usando le definizioni di tangente e secante, otteniamo

\[ \boxed{1+\tan^2 x=\sec^2 x}, \qquad \cos x\ne 0. \]

Poiché \(\sec x=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\), la stessa identità si può scrivere nella forma

\[ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}, \qquad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Le condizioni sono necessarie anche nella forma equivalente \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\). Nei punti esclusi, il membro sinistro è indefinito.

Identità con cotangente e cosecante

Se \(\sin x\ne 0\), dividiamo la relazione fondamentale per \(\sin^2 x\).

\[ \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} +\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} =\frac{1}{\sin^2 x}. \]

Dalle definizioni di cotangente e cosecante segue

\[ \boxed{1+\cot^2 x=\csc^2 x}, \qquad \sin x\ne 0. \]

Equivalentemente,

\[ 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}, \qquad x\ne k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Rapporti e reciproci

Per usare le identità fondamentali è utile raccogliere anche le relazioni che derivano direttamente dalle definizioni.

Per dimostrare la relazione tra tangente e cotangente, supponiamo che seno e coseno siano entrambi diversi da zero. Allora

\[ \tan x\cot x =\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1. \]

La condizione sul coseno è necessaria nella scrittura \(\cot x=\displaystyle\frac{1}{\tan x}\). Per esempio, in \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) la cotangente è definita e vale \(0\), mentre la tangente è indefinita.

Esempi svolti

1. Ricavare il coseno dal seno e dal quadrante

Supponiamo che \(\sin x=\displaystyle\frac35\) e che \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<x<\pi\). Dalla relazione fondamentale,

\[ \cos^2 x=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}. \]

L’angolo appartiene al secondo quadrante, dove il coseno è negativo. Pertanto

\[ \cos x=-\frac45, \qquad \tan x=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34. \]

2. Ricavare seno e coseno dalla tangente

Sia \(\tan x=2\), con \(\pi<x<\displaystyle\frac{3\pi}{2}\). Dall’identità \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) segue \(\sec^2 x=5\), quindi \(\cos^2 x=\displaystyle\frac15\). Nel terzo quadrante il coseno è negativo. Otteniamo

\[ \cos x=-\frac{1}{\sqrt5}=-\frac{\sqrt5}{5}. \]

Poiché \(\sin x=\tan x\cos x\), segue

\[ \sin x=-\frac{2}{\sqrt5}=-\frac{2\sqrt5}{5}. \]

3. Semplificare conservando le condizioni di esistenza

Consideriamo \(\displaystyle\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}\). L’espressione è definita soltanto per \(\sin x\ne 0\). Sostituendo \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\), otteniamo

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} =\frac{\sin^2 x}{\sin x} =\sin x, \qquad x\ne k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

L’espressione semplificata coincide con quella iniziale soltanto sul dominio di quest’ultima. La cancellazione del fattore \(\sin x\) richiede che sia diverso da zero.

4. Verificare un’identità con un prodotto notevole

Verifichiamo l’uguaglianza

\[ \frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=2\sec^2 x. \]

Il membro sinistro è definito se \(\sin x\ne 1\) e \(\sin x\ne-1\). Queste condizioni equivalgono a \(\cos x\ne 0\), richiesta anche dal membro destro. Sul dominio comune,

\[ \begin{aligned} \frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x} &=\frac{(1+\sin x)+(1-\sin x)} {(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ &=\frac{2}{1-\sin^2 x} =\frac{2}{\cos^2 x} =2\sec^2 x. \end{aligned} \]

Errori comuni e riepilogo

Nel passaggio da un quadrato al valore della funzione, occorre tenere conto del segno. L’uguaglianza \(\cos^2 x=a^2\) implica \(\cos x=a\) oppure \(\cos x=-a\). Il quadrante permette di scegliere il valore corretto.

Anche le condizioni di esistenza richiedono attenzione. Dividere per \(\cos^2 x\) esclude gli angoli in cui il coseno si annulla. Dividere per \(\sin^2 x\) esclude quelli in cui si annulla il seno. Le stesse condizioni vanno conservate dopo le semplificazioni.