Grafici delle Funzioni Secante e Cosecante

Dal coseno e dal seno ai loro reciproci

Come abbiamo visto nella pagina sulla secante e cosecante di un angolo, le due funzioni sono definite da

\[ \sec x=\frac{1}{\cos x}\quad\text{se }\cos x\ne 0, \qquad \csc x=\frac{1}{\sin x}\quad\text{se }\sin x\ne 0. \]

Sul grafico, passare al reciproco significa mantenere la stessa ascissa \(x\) e sostituire l’ordinata \(y\) con \(\displaystyle\frac{1}{y}\). Per esempio, un punto di ordinata \(\displaystyle\frac{1}{2}\) corrisponde a un punto di ordinata \(2\), mentre un punto di ordinata \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) corrisponde a un punto di ordinata \(-2\).

• Il reciproco ha lo stesso segno del valore di partenza.
• Le ordinate \(1\) e \(-1\) restano invariate.
• Quando l’ordinata tende a zero da valori positivi, il reciproco tende a \(+\infty\). Quando tende a zero da valori negativi, il reciproco tende a \(-\infty\).

Poiché seno e coseno assumono valori compresi tra \(-1\) e \(1\), i loro reciproci, dove esistono, valgono almeno \(1\) oppure al più \(-1\). Di conseguenza, secante e cosecante non hanno zeri.

Grafico della funzione secante

Dominio e asintoti verticali

La secante è definita dove il coseno è diverso da zero. Poiché gli zeri del coseno sono le ascisse \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), il dominio della secante è

\[ \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\;\middle|\;k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

Per esempio, in prossimità di \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\), il coseno tende a zero ed è positivo a sinistra e negativo a destra. Quindi

\[ \lim_{x\to(\pi/2)^-}\sec x=+\infty, \qquad \lim_{x\to(\pi/2)^+}\sec x=-\infty. \]

Il coseno tende a zero e cambia segno in corrispondenza di ciascuno dei suoi zeri. Le rette \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\), sono dunque gli asintoti verticali della secante.

Ramo positivo e ramo negativo

Nell’intervallo \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\), il coseno è positivo. Cresce fino al valore \(1\) in \(x=0\), poi decresce verso zero. La secante compie il percorso inverso in ordinata. Scende da \(+\infty\) fino al minimo del ramo, pari a \(1\) in \(x=0\), poi risale verso \(+\infty\).

Nell’intervallo \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\), il coseno è negativo. Il ramo della secante sale da \(-\infty\) fino al massimo del ramo, pari a \(-1\) in \(x=\pi\), poi scende di nuovo verso \(-\infty\).

I due rami assumono rispettivamente tutti i valori di \([1,+\infty)\) e di \((-\infty,-1]\). L’immagine della secante è quindi \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\).

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Grafico della funzione cosecante

Dominio e asintoti verticali

La cosecante è definita dove il seno è diverso da zero. Poiché il seno si annulla per \(x=k\pi\), il dominio della cosecante è

\[ \mathbb{R}\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}. \]

In prossimità di \(x=0\), il seno tende a zero ed è negativo a sinistra e positivo a destra. Pertanto

\[ \lim_{x\to 0^-}\csc x=-\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+}\csc x=+\infty. \]

Il seno tende a zero e cambia segno in corrispondenza di ciascuno dei suoi zeri. Le rette \(x=k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\), sono gli asintoti verticali della cosecante. In particolare, l’asse delle ordinate coincide con l’asintoto \(x=0\).

Ramo positivo e ramo negativo

Nell’intervallo \((0,\pi)\), il seno è positivo. Cresce fino al valore \(1\) in \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\), poi decresce verso zero. Il ramo della cosecante scende da \(+\infty\) fino al minimo del ramo, pari a \(1\), poi risale verso \(+\infty\).

Nell’intervallo \((\pi,2\pi)\), il seno è negativo. Il ramo della cosecante sale da \(-\infty\) fino al massimo del ramo, pari a \(-1\) in \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), poi scende di nuovo verso \(-\infty\).

Come per la secante, i due rami assumono tutti i valori di \([1,+\infty)\) e di \((-\infty,-1]\). L’immagine della cosecante è \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\).

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Periodicità e simmetrie

Periodo fondamentale

Aggiungere \(2\pi\) all’argomento lascia invariati il coseno e il seno. Lo stesso vale per i loro reciproci. Nei rispettivi domini si ha

\[ \sec(x+2\pi)=\sec x, \qquad \csc(x+2\pi)=\csc x. \]

Per verificare che \(2\pi\) sia il periodo fondamentale, ossia il più piccolo periodo positivo, consideriamo dove le due funzioni assumono il valore \(1\). Se \(p>0\) è un periodo della secante, allora \(\sec p=\sec 0=1\). Ciò richiede \(\cos p=1\), quindi \(p=2k\pi\) per qualche intero \(k\geq 1\).

Se \(p>0\) è un periodo della cosecante, allora \(\csc\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+p\right)=\csc\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=1\). Poiché il seno vale \(1\) soltanto per \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\), anche in questo caso \(p=2k\pi\) per qualche intero \(k\geq 1\). Dunque \(2\pi\) è il periodo fondamentale di entrambe le funzioni.

Dopo mezzo giro, seno e coseno cambiano segno. Perciò \(\sec(x+\pi)=-\sec x\) e \(\csc(x+\pi)=-\csc x\), nei rispettivi domini. Graficamente, traslare un ramo di \(\pi\) verso destra e rifletterlo rispetto all’asse delle ascisse produce il ramo successivo.

Parità della secante e disparità della cosecante

Il coseno è pari e il seno è dispari. Prendendo i reciproci si ottiene, nei rispettivi domini,

\[ \sec(-x)=\sec x, \qquad \csc(-x)=-\csc x. \]

La secante è pari. I punti \((x,\sec x)\) e \((-x,\sec x)\) sono simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. La cosecante è dispari. I punti \((x,\csc x)\) e \((-x,-\csc x)\) sono simmetrici rispetto all’origine.

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Come passare dal grafico della cosecante a quello della secante

Dalla relazione \(\cos x=\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) segue, passando ai reciproci dove sono definiti,

\[ \sec x=\csc\left(x+\frac{\pi}{2}\right). \]

Il grafico della secante si ottiene quindi traslando il grafico della cosecante verso sinistra di \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Il minimo del ramo positivo della cosecante, in \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\), si sposta nel minimo del ramo positivo della secante, in \(x=0\). Anche gli asintoti \(x=0\) e \(x=\pi\), ai lati di quel ramo, si spostano della stessa quantità e diventano \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) e \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

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Esempi svolti

1. Trovare un punto del grafico della secante

Poiché \(\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\), alla stessa ascissa la secante vale

\[ \sec\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{1/2}=2. \]

Il punto \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{3},2\right)\) appartiene quindi al ramo positivo della secante.

2. Usare la simmetria della cosecante

Il seno di \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) vale \(\displaystyle\frac{1}{2}\), quindi la cosecante di \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) vale \(2\). Poiché la cosecante è dispari,

\[ \csc\left(-\frac{\pi}{6}\right) =-\csc\left(\frac{\pi}{6}\right)=-2. \]

3. Distinguere un asintoto da un punto del grafico

In \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\), il coseno vale \(0\) e il seno vale \(1\). La secante è indefinita e la retta \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) è un suo asintoto verticale. La cosecante, invece, vale \(1\) e in quel punto raggiunge il minimo del suo ramo positivo.

Riepilogo

Nella tabella \(k\) indica un intero arbitrario.

I minimi dei rami positivi valgono \(1\) e i massimi dei rami negativi valgono \(-1\). Poiché entrambe le funzioni sono illimitate superiormente e inferiormente, nessuna delle due ha un massimo o un minimo assoluto.