Il seno e il coseno di un angolo si definiscono mediante le coordinate del punto associato sulla circonferenza goniometrica. Questa costruzione estende le definizioni basate sui triangoli rettangoli e permette di considerare angoli di qualsiasi misura, compresi quelli negativi e quelli maggiori di un giro.
Le proprietà di seno e coseno derivano dalla geometria della circonferenza: i segni dipendono dal quadrante, i valori sono compresi tra \(-1\) e \(1\) e si ripetono dopo ogni giro completo. In questa pagina sviluppiamo queste proprietà e le utilizziamo per determinare valori esatti e risolvere alcuni problemi.
Indice
- Definizione di seno e coseno
- Il legame con i triangoli rettangoli
- I segni nei quattro quadranti
- I valori negli angoli sugli assi
- La relazione fondamentale della goniometria
- I valori degli angoli di 30°, 45° e 60°
- Periodicità e angoli opposti
- Esempi svolti
- Riepilogo
Definizione di seno e coseno
Consideriamo la circonferenza goniometrica, di centro nell’origine \(O\) e raggio unitario. Rappresentiamo un angolo orientato \(\alpha\) con il vertice in \(O\) e il lato iniziale coincidente con il semiasse positivo delle ascisse.
Il lato finale incontra la circonferenza in un unico punto \(P\), chiamato punto associato all’angolo. Indichiamo le sue coordinate con \(P=(x_P,y_P)\).
Definizione. Il coseno dell’angolo \(\alpha\) è l’ascissa del punto \(P\), mentre il seno di \(\alpha\) è la sua ordinata:
\[ \cos\alpha=x_P, \qquad \sin\alpha=y_P. \]
Il punto associato si scrive quindi:
\[ P=(\cos\alpha,\sin\alpha). \]
L’ordine delle coordinate è essenziale: il coseno corrisponde alla posizione orizzontale, il seno alla posizione verticale. Le due quantità sono numeri con segno, determinati dalla posizione del punto rispetto agli assi cartesiani.
Nella figura, indichiamo con \(H\) la proiezione ortogonale di \(P\) sull’asse delle ascisse e con \(K\) la sua proiezione sull’asse delle ordinate. Le loro coordinate sono:
\[ H=(\cos\alpha,0), \qquad K=(0,\sin\alpha). \]
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Gradi e radianti
Seno e coseno dipendono dall’angolo rappresentato, non dall’unità scelta per misurarlo. Poiché \(60^\circ\) e \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}\) descrivono la stessa rotazione, si ha:
\[ \sin60^\circ=\sin\frac{\pi}{3}, \qquad \cos60^\circ=\cos\frac{\pi}{3}. \]
Quando l’argomento è espresso mediante un numero senza il simbolo del grado, la misura si intende in radianti. Per esempio, \(\sin1\) indica il seno di un angolo di un radiante, mentre \(\sin1^\circ\) indica il seno di un angolo di un grado: sono valori diversi.
Seno e coseno come funzioni
A ogni misura angolare reale corrisponde un unico punto della circonferenza e, di conseguenza, un unico valore del seno e un unico valore del coseno. Utilizzando i radianti, otteniamo due funzioni definite su tutto \(\mathbb{R}\):
\[ \sin:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, \qquad \cos:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}. \]
Il loro dominio è dunque \(\mathbb{R}\). Determineremo tra poco l’insieme dei valori che esse assumono.
Il legame con i triangoli rettangoli
Per un angolo acuto, la definizione sulla circonferenza goniometrica coincide con quella espressa mediante i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo. Possiamo verificarlo confrontando triangoli simili.
Sia \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), equivalentemente \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) in radianti. Il punto associato \(P\) si trova nel primo quadrante. Se \(H\) è la sua proiezione sull’asse delle ascisse, il triangolo \(OHP\) è rettangolo in \(H\) e ha ipotenusa \(OP=1\).
Poiché entrambe le coordinate sono positive:
\[ OH=\cos\alpha, \qquad HP=\sin\alpha. \]
Consideriamo ora un qualsiasi triangolo rettangolo con un angolo acuto uguale ad \(\alpha\). Indichiamo con \(a\) il cateto opposto ad \(\alpha\), con \(b\) il cateto adiacente e con \(c\) l’ipotenusa. Per similitudine con il triangolo \(OHP\):
\[ \frac{a}{c}=\frac{HP}{OP}=\sin\alpha, \qquad \frac{b}{c}=\frac{OH}{OP}=\cos\alpha. \]
Otteniamo quindi:
\[ \sin\alpha= \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}, \qquad \cos\alpha= \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}. \]
I rapporti non dipendono dalle dimensioni del triangolo: tutti i triangoli rettangoli con lo stesso angolo acuto sono simili e hanno i lati corrispondenti proporzionali.
Attenzione. Le espressioni «cateto opposto» e «cateto adiacente» si riferiscono all’angolo scelto. Passando all’altro angolo acuto, i due cateti si scambiano di ruolo, mentre l’ipotenusa rimane la stessa.
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I segni nei quattro quadranti
Per angoli che non sono acuti, le coordinate del punto associato possono essere negative oppure nulle. La definizione sulla circonferenza permette di determinarne il segno senza ricorrere a rapporti tra lunghezze.
Il coseno è positivo quando \(P\) si trova a destra dell’asse delle ordinate e negativo quando si trova a sinistra. Il seno è positivo quando \(P\) si trova sopra l’asse delle ascisse e negativo quando si trova sotto.
Considerando una misura ridotta al primo giro, otteniamo:
| Quadrante | Intervallo in radianti | Coseno | Seno |
|---|---|---|---|
| Primo | \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) | Positivo | Positivo |
| Secondo | \(\displaystyle \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) | Negativo | Positivo |
| Terzo | \(\displaystyle \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\) | Negativo | Negativo |
| Quarto | \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\) | Positivo | Negativo |
Gli estremi degli intervalli sono esclusi perché i punti sugli assi non appartengono ad alcun quadrante. In quelle posizioni almeno una delle due coordinate è nulla.
Per esempio, un angolo di \(120^\circ\) individua un punto nel secondo quadrante, quindi ha coseno negativo e seno positivo. Un angolo di \(240^\circ\) individua invece un punto nel terzo quadrante, quindi ha sia coseno sia seno negativi.
Errore comune. Il segno della misura dell’angolo non determina direttamente il segno del seno o del coseno. Per esempio, \(-30^\circ\) individua un punto nel quarto quadrante: il seno è negativo, ma il coseno è positivo.
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I valori negli angoli sugli assi
Quando il lato finale di un angolo coincide con un semiasse cartesiano, le coordinate del punto associato si leggono immediatamente. I quattro punti di riferimento sono \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\) e \((0,-1)\).
Poiché il coseno è la prima coordinata e il seno la seconda, si ottengono i valori seguenti:
| Gradi | Radianti | Coseno | Seno |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(90^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(1\) |
| \(180^\circ\) | \(\pi\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(270^\circ\) | \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(360^\circ\) | \(2\pi\) | \(1\) | \(0\) |
Il seno si annulla nei punti sull’asse delle ascisse; il coseno si annulla nei punti sull’asse delle ordinate. Considerando anche i giri completi e gli angoli negativi, possiamo esprimere tutti gli zeri in radianti:
\[ \sin\alpha=0 \iff \alpha=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}, \]
\[ \cos\alpha=0 \iff \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
In gradi, le stesse condizioni diventano rispettivamente \(\alpha=k\cdot180^\circ\) e \(\alpha=90^\circ+k\cdot180^\circ\), con \(k\in\mathbb{Z}\).
La relazione fondamentale della goniometria
Le coordinate di ogni punto della circonferenza goniometrica soddisfano l’equazione \(x^2+y^2=1\). Sostituendo alle coordinate del punto associato le definizioni di coseno e seno, otteniamo una relazione valida per qualsiasi angolo.
Proposizione. Per ogni angolo \(\alpha\) vale la relazione fondamentale della goniometria:
\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]
Dimostrazione. Il punto \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) appartiene alla circonferenza di equazione \(x^2+y^2=1\). Le sue coordinate soddisfano quindi l’uguaglianza \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\).
Le scritture \(\cos^2\alpha\) e \(\sin^2\alpha\) indicano rispettivamente \((\cos\alpha)^2\) e \((\sin\alpha)^2\): prima si calcola il valore della funzione e poi lo si eleva al quadrato.
I valori possibili di seno e coseno
Poiché i quadrati sono non negativi, dalla relazione fondamentale segue:
\[ \cos^2\alpha\leq1, \qquad \sin^2\alpha\leq1. \]
Pertanto:
\[ -1\leq\cos\alpha\leq1, \qquad -1\leq\sin\alpha\leq1. \]
Ogni valore dell’intervallo \([-1,1]\) viene effettivamente assunto da entrambe le funzioni. Infatti, per ogni \(t\in[-1,1]\), i punti
\[ \left(t,\sqrt{1-t^2}\right), \qquad \left(\sqrt{1-t^2},t\right) \]
appartengono alla circonferenza goniometrica. Il primo ha ascissa \(t\), quindi corrisponde a un angolo con coseno \(t\); il secondo ha ordinata \(t\), quindi corrisponde a un angolo con seno \(t\).
L’insieme dei valori di ciascuna funzione è dunque esattamente \([-1,1]\). Entrambe hanno minimo \(-1\) e massimo \(1\).
Errore comune. La relazione fondamentale riguarda la somma dei quadrati, non la somma dei valori. In generale, \(\cos\alpha+\sin\alpha\) non è uguale a \(1\).
Ricavare una funzione conoscendo l’altra
Isolando uno dei due quadrati, otteniamo:
\[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha, \qquad \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha. \]
Di conseguenza:
\[ |\cos\alpha|=\sqrt{1-\sin^2\alpha}, \qquad |\sin\alpha|=\sqrt{1-\cos^2\alpha}. \]
Queste formule determinano il valore assoluto della funzione cercata. Per stabilirne il segno bisogna conoscere anche la posizione del punto associato, per esempio il quadrante a cui appartiene.
Errore comune. Non si può scrivere sempre \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\): la radice quadrata è non negativa, mentre il coseno può essere negativo. Nel secondo e nel terzo quadrante occorre scegliere il valore negativo.
I valori degli angoli di 30°, 45° e 60°
Alcuni valori di seno e coseno si ricavano esattamente dalla geometria di triangoli particolari. Gli angoli di \(30^\circ\), \(45^\circ\) e \(60^\circ\) costituiscono i riferimenti principali per molti calcoli.
L’angolo di 45°
Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele con entrambi i cateti di lunghezza \(1\). I due angoli acuti sono uguali e misurano \(45^\circ\). Per il teorema di Pitagora, l’ipotenusa misura:
\[ c=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. \]
I rapporti che definiscono seno e coseno sono quindi uguali:
\[ \sin45^\circ=\cos45^\circ =\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Poiché \(45^\circ\) corrisponde a \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) radianti:
\[ \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Gli angoli di 30° e 60°
Consideriamo un triangolo equilatero di lato \(2\). L’altezza relativa a uno dei lati lo divide in due triangoli rettangoli congruenti: ciascuno ha ipotenusa \(2\), un cateto di lunghezza \(1\) e l’altro di lunghezza:
\[ h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}. \]
L’altezza biseca anche l’angolo al vertice. Nei due triangoli rettangoli gli angoli acuti misurano quindi \(30^\circ\) e \(60^\circ\).
Rispetto all’angolo di \(30^\circ\), il cateto opposto misura \(1\) e quello adiacente misura \(\sqrt{3}\). Pertanto:
\[ \sin30^\circ=\frac{1}{2}, \qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Rispetto all’angolo di \(60^\circ\), i due cateti si scambiano di ruolo:
\[ \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos60^\circ=\frac{1}{2}. \]
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Tabella dei valori principali nel primo quadrante
Raccogliamo i valori ricavati e quelli degli estremi \(0^\circ\) e \(90^\circ\), che delimitano il primo quadrante.
| Gradi | Radianti | Coseno | Seno |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
| \(45^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| \(60^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(90^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(1\) |
Questi valori sono esatti. Espressioni come \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) e \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) non devono essere sostituite da approssimazioni decimali se il problema richiede un risultato esatto.
Periodicità e angoli opposti
La ripetizione delle posizioni sulla circonferenza e le simmetrie rispetto agli assi permettono di confrontare i valori di seno e coseno per angoli diversi. Consideriamo prima l’effetto dei giri completi e poi quello del cambiamento di segno dell’angolo.
La periodicità
Aggiungere o sottrarre un giro completo lascia invariato il punto associato e quindi entrambe le coordinate. Per ogni \(\alpha\in\mathbb{R}\), espresso in radianti, e ogni \(k\in\mathbb{Z}\):
\[ \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha, \qquad \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha. \]
Le due funzioni sono dunque periodiche: \(2\pi\) è un periodo comune a entrambe. In gradi, le stesse identità si scrivono:
\[ \sin(\alpha+k\cdot360^\circ)=\sin\alpha, \qquad \cos(\alpha+k\cdot360^\circ)=\cos\alpha. \]
La periodicità permette di ridurre un angolo al primo giro prima di calcolarne seno e coseno. Per esempio, \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\), quindi:
\[ \sin390^\circ=\sin30^\circ=\frac{1}{2}, \qquad \cos390^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Gli angoli opposti
Gli angoli \(\alpha\) e \(-\alpha\) individuano punti simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. Le loro ascisse sono uguali, mentre le ordinate sono opposte. Di conseguenza:
\[ \cos(-\alpha)=\cos\alpha, \qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha. \]
Il coseno è quindi una funzione pari, mentre il seno è una funzione dispari.
Per esempio:
\[ \cos(-60^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \sin(-60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. \]
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Esempi svolti
Negli esempi seguenti utilizziamo la definizione geometrica, i segni nei quadranti, la relazione fondamentale e la periodicità. Quando ricaviamo una funzione conoscendo l’altra, distinguiamo il calcolo del valore assoluto dalla scelta del segno.
Esempio 1: Seno e coseno in un triangolo rettangolo.
Un triangolo rettangolo ha cateti di lunghezza \(5\) e \(12\). Sia \(\alpha\) l’angolo acuto opposto al cateto di lunghezza \(5\). Determiniamo \(\sin\alpha\) e \(\cos\alpha\).
Per il teorema di Pitagora, l’ipotenusa misura:
\[ c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13. \]
Rispetto ad \(\alpha\), il cateto opposto misura \(5\) e quello adiacente misura \(12\). Pertanto:
\[ \sin\alpha=\frac{5}{13}, \qquad \cos\alpha=\frac{12}{13}. \]
Entrambi i valori sono positivi perché \(\alpha\) è acuto.
Esempio 2: Ricavare il coseno dal seno e dal quadrante.
Sappiamo che \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}\) e che il punto associato ad \(\alpha\) appartiene al secondo quadrante. Determiniamo \(\cos\alpha\).
Dalla relazione fondamentale:
\[ \cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha =1-\frac{9}{25} =\frac{16}{25}. \]
Quindi:
\[ |\cos\alpha|=\frac{4}{5}. \]
Nel secondo quadrante il coseno è negativo, perciò:
\[ \cos\alpha=-\frac{4}{5}. \]
Senza l’informazione sul quadrante sarebbero possibili entrambi i valori \(\displaystyle \frac{4}{5}\) e \(\displaystyle -\frac{4}{5}\).
Esempio 3: Ricavare il seno dal coseno e dal quadrante.
Sia \(\displaystyle \cos\alpha=-\frac{5}{13}\), con il punto associato nel terzo quadrante. Dalla relazione fondamentale:
\[ \sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha =1-\frac{25}{169} =\frac{144}{169}. \]
Il valore assoluto del seno è quindi \(\displaystyle \frac{12}{13}\). Nel terzo quadrante il seno è negativo, dunque:
\[ \sin\alpha=-\frac{12}{13}. \]
Esempio 4: Un angolo negativo maggiore di un giro in valore assoluto.
Calcoliamo il seno e il coseno dell’angolo di misura \(\displaystyle -\frac{13\pi}{3}\). Aggiungendo due giri completi otteniamo:
\[ -\frac{13\pi}{3}+2\cdot2\pi =-\frac{13\pi}{3}+\frac{12\pi}{3} =-\frac{\pi}{3}. \]
Non è necessario ottenere una misura nel primo giro: la misura \(\displaystyle -\frac{\pi}{3}\) permette di utilizzare direttamente i valori dell’angolo di \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) e le proprietà degli angoli opposti. Per periodicità e parità:
\[ \sin\left(-\frac{13\pi}{3}\right) =\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) =-\frac{\sqrt{3}}{2}, \]
\[ \cos\left(-\frac{13\pi}{3}\right) =\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) =\frac{1}{2}. \]
Esempio 5: Verificare se due valori sono compatibili.
Può esistere un angolo \(\alpha\) per il quale siano contemporaneamente \(\displaystyle \cos\alpha=\frac{3}{4}\) e \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{2}\)?
Entrambi i numeri appartengono all’intervallo \([-1,1]\), ma questo non basta: devono anche soddisfare la relazione fondamentale. Calcoliamo:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^2+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{9}{16}+\frac{4}{16} =\frac{13}{16}\neq1. \]
Non esiste quindi un angolo con quei due valori. Geometricamente, il punto \(\displaystyle \left(\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)\) non appartiene alla circonferenza goniometrica.
Riepilogo
Seno e coseno sono le coordinate del punto associato a un angolo sulla circonferenza goniometrica: il coseno è l’ascissa, il seno è l’ordinata. Per un angolo acuto, coincidono rispettivamente con il rapporto tra cateto adiacente e ipotenusa e con quello tra cateto opposto e ipotenusa.
Le due funzioni sono definite per ogni misura reale e assumono tutti e soli i valori dell’intervallo \([-1,1]\). Sono legate dall’identità:
\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]
I segni si determinano dalla posizione del punto nei quadranti. Conoscere una delle due funzioni permette di ricavare il valore assoluto dell’altra; per scegliere il segno occorre un’informazione ulteriore, salvo i casi in cui il valore cercato sia nullo.
In radianti, le proprietà di periodicità e di parità si esprimono mediante:
\[ \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha, \qquad \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha, \qquad k\in\mathbb{Z}, \]
\[ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha, \qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha. \]
La circonferenza goniometrica permette così di interpretare seno e coseno mediante un’unica costruzione, valida per angoli acuti, ottusi, negativi e maggiori di un giro.