I seguenti esercizi hanno lo scopo di applicare in modo sistematico lo studio della continuità e delle discontinuità di una funzione. In ogni caso partiremo dal dominio, analizzeremo il comportamento della funzione in prossimità del punto indicato e, quando necessario, studieremo separatamente il limite sinistro e il limite destro. Soltanto dopo confronteremo i risultati ottenuti con l'eventuale valore assunto dalla funzione nel punto.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Studiare il comportamento della funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x-3} \]
in corrispondenza di \(x=3\). Stabilire se è presente una discontinuità e, in caso affermativo, classificarla. Determinare inoltre se la funzione può essere prolungata per continuità nel punto.
Risultato
La funzione non è definita in \(x=3\), ma
\[ \lim_{x\to3}f(x)=6. \]
Si tratta di una discontinuità eliminabile, o più precisamente di una singolarità eliminabile poiché \(3\) non appartiene al dominio della funzione originaria. La funzione può essere prolungata per continuità assegnando il valore \(6\) nel punto \(x=3\).
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio. La funzione è razionale e il denominatore non può essere uguale a zero. Dobbiamo quindi imporre
\[ x-3\neq0. \]
Da cui
\[ x\neq3. \]
Il dominio è pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Il punto \(x=3\) non appartiene quindi al dominio. Questo fatto, da solo, non permette però di stabilire quale sia il comportamento della funzione vicino a \(3\). Dobbiamo studiare il limite.
Se osserviamo direttamente la frazione, per \(x\to3\) sia il numeratore sia il denominatore tendono a zero. È quindi necessario trasformare l'espressione prima di calcolare il limite.
Il numeratore è una differenza di quadrati:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Per ogni \(x\neq3\) possiamo quindi scrivere
\[ f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}. \]
Poiché nello studio del limite \(x\) si avvicina a \(3\) senza coincidere con \(3\), possiamo semplificare il fattore \(x-3\):
\[ f(x)=x+3, \qquad x\neq3. \]
Il comportamento di \(f(x)\) in prossimità di \(3\) coincide quindi con quello della funzione \(x+3\). Pertanto
\[ \lim_{x\to3}f(x) = \lim_{x\to3}(x+3) = 6. \]
Il limite esiste ed è finito. Tuttavia \(f(3)\) non è definito, perché \(3\) è stato escluso dal dominio.
Abbiamo dunque un limite finito
\[ \lim_{x\to3}f(x)=6, \]
ma manca il valore della funzione nel punto. In senso strettamente formale la funzione originaria non può essere detta discontinua in \(x=3\), perché \(3\notin D_f\). Nello studio delle funzioni si parla comunemente di discontinuità eliminabile, o di singolarità eliminabile, perché il punto mancante può essere completato assegnando alla funzione il valore del limite.
Definiamo quindi
\[ g(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-9}{x-3}, & x\neq3,\\ 6, & x=3. \end{cases} \]
Per questa nuova funzione si ha
\[ \lim_{x\to3}g(x)=6 \]
e contemporaneamente
\[ g(3)=6. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to3}g(x)=g(3), \]
e \(g\) è continua in \(x=3\).
Esercizio 2 — livello ★★☆☆☆
Considerare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1, & x\neq1,\\ 5, & x=1. \end{cases} \]
Studiare la continuità della funzione in \(x=1\) e classificare l'eventuale discontinuità. Stabilire quale valore dovrebbe essere assegnato alla funzione in \(x=1\) per renderla continua.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2, \qquad f(1)=5. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità eliminabile in \(x=1\). Per renderla continua è sufficiente ridefinire
\[ f(1)=2. \]
Svolgimento
In questo caso la funzione è definita per ogni numero reale. Infatti, quando \(x\neq1\) viene utilizzata l'espressione \(x^2+1\), mentre per \(x=1\) è stato assegnato esplicitamente il valore \(5\).
Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}. \]
In particolare,
\[ 1\in D_f, \]
e il valore assunto dalla funzione nel punto è immediatamente ricavabile dalla seconda riga della definizione:
\[ f(1)=5. \]
Questo valore non è però sufficiente per stabilire se la funzione sia continua. Dobbiamo confrontarlo con il limite di \(f(x)\) quando \(x\) tende a \(1\).
Quando \(x\) si avvicina a \(1\) senza coincidere con \(1\), la formula che descrive la funzione è
\[ f(x)=x^2+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x^2+1) = 1^2+1 = 2. \]
Abbiamo quindi ottenuto
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2, \]
mentre
\[ f(1)=5. \]
Le due quantità non coincidono:
\[ \lim_{x\to1}f(x)\neq f(1). \]
Viene quindi meno la condizione fondamentale di continuità
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
La funzione è perciò discontinua in \(x=1\).
Il limite esiste ed è finito; il problema riguarda esclusivamente il valore assegnato alla funzione nel punto. La discontinuità è dunque eliminabile.
Per eliminarla è sufficiente sostituire il valore \(5\) con il valore del limite, cioè definire
\[ f(1)=2. \]
In tal modo avremmo
\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=2, \]
e la funzione risulterebbe continua anche in \(x=1\).
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
Studiare la continuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<2,\\ x-1, & x\geq2 \end{cases} \]
nel punto \(x=2\). Classificare l'eventuale discontinuità e determinarne l'ampiezza del salto.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=5, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=1. \]
I due limiti sono finiti ma differenti. La funzione presenta quindi una discontinuità a salto in \(x=2\). L'ampiezza del salto è
\[ |1-5|=4. \]
Svolgimento
La funzione è definita mediante due espressioni differenti, una per i valori minori di \(2\) e una per i valori maggiori o uguali a \(2\). Entrambe le espressioni sono polinomiali e non introducono restrizioni.
Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}. \]
Il punto nel quale cambia la formula della funzione è \(x=2\). Proprio per questo motivo non dobbiamo calcolare immediatamente un unico limite: occorre studiare separatamente ciò che accade quando \(x\) si avvicina a \(2\) da sinistra e quando vi si avvicina da destra.
Per \(x<2\) la funzione è
\[ f(x)=2x+1. \]
Il limite sinistro è quindi
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^-}(2x+1) = 2\cdot2+1 = 5. \]
Consideriamo ora il comportamento da destra. Per \(x\geq2\) la funzione è
\[ f(x)=x-1. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2^+}f(x) = \lim_{x\to2^+}(x-1) = 2-1 = 1. \]
Abbiamo dunque
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=5 \]
e
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=1. \]
Entrambi i limiti esistono e sono finiti, ma non coincidono:
\[ 5\neq1. \]
Non esiste pertanto il limite
\[ \lim_{x\to2}f(x). \]
Siamo precisamente nel caso di una discontinuità a salto.
Possiamo anche calcolare il valore assunto dalla funzione nel punto. Poiché la seconda espressione vale per \(x\geq2\), si ha
\[ f(2)=2-1=1. \]
È importante osservare che questo valore non modifica la classificazione della discontinuità. Anche se assegnassimo a \(f(2)\) un valore differente, il limite sinistro continuerebbe a essere \(5\) e il limite destro continuerebbe a essere \(1\).
La discontinuità non può quindi essere eliminata modificando soltanto il valore della funzione nel punto.
L'ampiezza del salto è data dal valore assoluto della differenza tra i due limiti:
\[ |L_2-L_1|. \]
In questo caso
\[ |1-5|=|-4|=4. \]
L'ampiezza del salto è quindi \(4\).
Esercizio 4 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della funzione
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-2} \]
in prossimità di \(x=2\). Classificare la discontinuità e stabilire se è presente un asintoto verticale.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty. \]
La funzione presenta una discontinuità infinita in \(x=2\) e la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Iniziamo dal dominio. Il denominatore della funzione non può annullarsi, quindi dobbiamo imporre
\[ x-2\neq0. \]
Otteniamo
\[ x\neq2. \]
Il dominio è dunque
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Il punto \(x=2\) è escluso dal dominio, ma questo non significa automaticamente che la discontinuità sia infinita. Dobbiamo studiare il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(2\).
In questo caso numeratore e denominatore non possiedono un fattore comune che possa essere semplificato. Infatti il numeratore, quando \(x\to2\), tende a
\[ 2+1=3. \]
Quindi il numeratore rimane positivo e vicino a \(3\) quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(2\).
Il denominatore
\[ x-2 \]
tende invece a zero e cambia segno a seconda del lato dal quale \(x\) si avvicina a \(2\). È quindi indispensabile studiare separatamente il limite sinistro e il limite destro.
Quando \(x\to2^-\), abbiamo \(x<2\). Di conseguenza
\[ x-2<0. \]
Inoltre il denominatore si avvicina a zero attraverso valori negativi. Il numeratore tende invece al numero positivo \(3\). Il rapporto tra una quantità positiva vicina a \(3\) e una quantità negativa sempre più vicina a zero assume valori negativi con valore assoluto arbitrariamente grande.
Pertanto
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty. \]
Consideriamo ora il limite destro. Quando \(x\to2^+\), abbiamo \(x>2\), quindi
\[ x-2>0. \]
Il denominatore tende ora a zero attraverso valori positivi, mentre il numeratore continua a tendere al valore positivo \(3\). Il rapporto assume quindi valori positivi arbitrariamente grandi.
Otteniamo
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty. \]
I due comportamenti sono dunque
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
Non si tratta di una discontinuità a salto. Una discontinuità a salto richiede infatti che il limite sinistro e il limite destro siano entrambi finiti e differenti. Qui, invece, entrambi i comportamenti sono infiniti.
La discontinuità è quindi infinita.
Inoltre, poiché almeno uno dei limiti della funzione quando \(x\) tende a \(2\) è infinito, la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale. In questo caso, in realtà, la funzione diverge in valore assoluto da entrambi i lati del punto.
Esercizio 5 — livello ★★★☆☆
Considerare la funzione
\[ f(x)=\sqrt{x-1}. \]
Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione nel punto \(x=1\). Spiegare perché non è necessario calcolare il limite sinistro.
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=[1,+\infty). \]
Poiché \(1\) è l'estremo sinistro del dominio, si considera soltanto il limite destro:
\[ \lim_{x\to1^+}\sqrt{x-1}=0. \]
Inoltre
\[ f(1)=0. \]
Pertanto la funzione è continua in \(x=1\).
Svolgimento
Prima di studiare la continuità dobbiamo determinare il dominio della funzione.
La radice quadrata reale è definita quando il suo argomento è maggiore o uguale a zero. Dobbiamo quindi imporre
\[ x-1\geq0. \]
Risolvendo la disequazione otteniamo
\[ x\geq1. \]
Il dominio della funzione è dunque
\[ D_f=[1,+\infty). \]
Il punto \(x=1\) appartiene al dominio ed è il suo estremo sinistro.
Calcoliamo innanzitutto il valore della funzione:
\[ f(1)=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0. \]
Per verificare la continuità dobbiamo ora studiare il comportamento di \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a \(1\).
A questo punto è fondamentale tenere conto del dominio. Non possiamo avvicinarci a \(1\) attraverso valori minori di \(1\), perché per tali valori la funzione reale \(\sqrt{x-1}\) non è definita.
Non ha quindi senso, nello studio della continuità della funzione sul proprio dominio, richiedere il limite sinistro
\[ \lim_{x\to1^-}f(x). \]
Dobbiamo considerare esclusivamente il limite dal lato appartenente al dominio, cioè il limite destro:
\[ \lim_{x\to1^+}\sqrt{x-1}. \]
Quando \(x\to1^+\), la quantità \(x-1\) tende a zero attraverso valori non negativi. Di conseguenza,
\[ \sqrt{x-1}\to0. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}\sqrt{x-1}=0. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=0 \]
e
\[ f(1)=0. \]
Poiché il limite dal lato consentito dal dominio coincide con il valore della funzione nel punto,
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=f(1), \]
la funzione è continua nell'estremo \(x=1\).
Questo esercizio mostra perché non bisogna richiedere automaticamente sia il limite sinistro sia il limite destro in ogni punto. Prima di studiare i limiti è sempre necessario conoscere il dominio e verificare da quali lati sia effettivamente possibile avvicinarsi al punto considerato.
Esercizio 6 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della funzione
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0, \]
in prossimità di \(x=0\). Stabilire se il limite esiste e classificare il comportamento della funzione nel punto.
Risultato
Il limite
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste, neppure come limite infinito. La funzione presenta quindi in \(x=0\) una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio.
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio della funzione. L'espressione
\[ \frac{1}{x} \]
è definita soltanto quando il denominatore è diverso da zero. Dobbiamo quindi imporre
\[ x\neq0. \]
Il dominio è pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Il punto \(x=0\) non appartiene al dominio, ma è un punto di accumulazione del dominio, perché possiamo avvicinarci a \(0\) attraverso valori di \(x\) appartenenti al dominio sia da sinistra sia da destra.
Dobbiamo quindi studiare il comportamento di
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
quando \(x\) tende a \(0\).
Quando \(x\) si avvicina a \(0\), la quantità
\[ \frac{1}{x} \]
assume valori arbitrariamente grandi in valore assoluto. La funzione seno, però, non tende a un valore preciso quando il suo argomento cresce senza limite: continua invece a oscillare tra \(-1\) e \(1\).
Per mostrare in modo più preciso che il limite non esiste, possiamo considerare due successioni di valori di \(x\) che tendono entrambe a \(0\), ma lungo le quali la funzione assume valori differenti.
Consideriamo
\[ x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}. \]
Quando \(n\to+\infty\), il denominatore tende a \(+\infty\), quindi
\[ x_n\to0. \]
Inoltre,
\[ \frac{1}{x_n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \]
per cui
\[ f(x_n) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right) = 1. \]
Consideriamo ora la successione
\[ y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}. \]
Anche in questo caso
\[ y_n\to0 \]
quando \(n\to+\infty\). Tuttavia,
\[ \frac{1}{y_n} = \frac{3\pi}{2}+2\pi n, \]
e quindi
\[ f(y_n) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right) = -1. \]
Abbiamo dunque trovato valori di \(x\) arbitrariamente vicini a \(0\) per i quali la funzione assume il valore \(1\) e altri valori, anch'essi arbitrariamente vicini a \(0\), per i quali assume il valore \(-1\).
La funzione non può quindi avvicinarsi a un unico numero reale.
Inoltre non tende neppure a \(+\infty\) o a \(-\infty\), perché rimane sempre compresa tra \(-1\) e \(1\):
\[ -1\leq\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste neppure come limite infinito.
Il comportamento è quindi quello di una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio.
Nessuna eventuale assegnazione di un valore a \(f(0)\) potrebbe rendere continua la funzione, perché il problema non riguarda il valore assunto esattamente nel punto, ma il comportamento della funzione in ogni intorno di \(0\).
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
Studiare la continuità della funzione
\[ f(x)=\frac{|x|}{x}, \qquad x\neq0, \]
in prossimità di \(x=0\). Classificare l'eventuale discontinuità e determinarne l'ampiezza del salto.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1. \]
I due limiti sono finiti ma differenti. La funzione presenta quindi una discontinuità a salto in \(x=0\).
L'ampiezza del salto è
\[ |1-(-1)|=2. \]
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio. La funzione contiene \(x\) al denominatore, quindi dobbiamo imporre
\[ x\neq0. \]
Il dominio è pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Per studiare il comportamento della funzione vicino a \(0\), dobbiamo ricordare la definizione del valore assoluto:
\[ |x|= \begin{cases} -x, & x<0,\\ x, & x\geq0. \end{cases} \]
Poiché la funzione originaria non è definita in \(x=0\), per \(x\neq0\) possiamo riscriverla come
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{-x}{x}, & x<0,\\ \displaystyle\frac{x}{x}, & x>0. \end{cases} \]
Semplificando otteniamo
\[ f(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases} \]
Studiamo ora il limite sinistro. Quando \(x\to0^-\), si ha \(x<0\), quindi la funzione vale costantemente \(-1\). Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=-1. \]
Quando invece \(x\to0^+\), si ha \(x>0\), quindi la funzione vale costantemente \(1\). Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=-1 \]
e
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
Entrambi i limiti esistono e sono finiti, ma sono differenti:
\[ -1\neq1. \]
Di conseguenza non esiste il limite
\[ \lim_{x\to0}f(x). \]
La funzione presenta quindi una discontinuità a salto in \(x=0\).
L'ampiezza del salto è data dal valore assoluto della differenza tra il limite destro e il limite sinistro:
\[ |L_2-L_1|. \]
In questo caso
\[ |1-(-1)|=|2|=2. \]
L'ampiezza del salto è quindi \(2\).
Anche assegnando un qualsiasi valore alla funzione in \(x=0\), la discontinuità non potrebbe essere eliminata, perché il limite sinistro e il limite destro continuerebbero a essere differenti.
Esercizio 8 — livello ★★★★☆
Determinare tutti i punti di discontinuità della funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-4} \]
e classificare ciascuna discontinuità.
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. \]
In \(x=2\) la funzione presenta una discontinuità eliminabile, perché
\[ \lim_{x\to2}f(x)=\frac{3}{4}. \]
In \(x=-2\) la funzione presenta invece una discontinuità infinita:
\[ \lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty. \]
La retta
\[ x=-2 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Iniziamo dal dominio. La funzione è razionale e il denominatore deve essere diverso da zero:
\[ x^2-4\neq0. \]
Fattorizziamo la differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Il denominatore si annulla quindi per
\[ x=2 \]
oppure
\[ x=-2. \]
Il dominio è pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. \]
I soli punti nei quali possono presentarsi discontinuità sono quindi \(x=-2\) e \(x=2\).
Per studiarli, fattorizziamo anche il numeratore:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
La funzione può allora essere scritta come
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)}. \]
Per \(x\neq2\) possiamo semplificare il fattore comune \(x-2\):
\[ f(x)=\frac{x+1}{x+2}, \qquad x\neq-2,\;x\neq2. \]
Studiamo innanzitutto il punto \(x=2\).
In prossimità di \(2\), la funzione originaria coincide con
\[ \frac{x+1}{x+2}. \]
Il denominatore di questa espressione non si annulla in \(x=2\), quindi possiamo calcolare il limite:
\[ \lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}\frac{x+1}{x+2} = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}. \]
Il limite esiste ed è finito, mentre la funzione originaria non è definita in \(x=2\).
In \(x=2\) abbiamo quindi una discontinuità eliminabile, o una singolarità eliminabile. Sarebbe sufficiente definire
\[ f(2)=\frac{3}{4} \]
per ottenere un prolungamento continuo nel punto.
Studiamo ora il punto \(x=-2\).
Dopo la semplificazione, in prossimità di \(-2\) la funzione è
\[ f(x)=\frac{x+1}{x+2}. \]
Quando \(x\to-2\), il numeratore tende a
\[ -2+1=-1, \]
quindi rimane negativo in un intorno sufficientemente piccolo di \(-2\).
Il denominatore \(x+2\), invece, tende a zero cambiando segno.
Quando \(x\to-2^-\), abbiamo \(x<-2\), quindi
\[ x+2<0. \]
Il numeratore è negativo e il denominatore è negativo e tende a zero. Il rapporto è quindi positivo e cresce senza limite:
\[ \lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty. \]
Quando invece \(x\to-2^+\), abbiamo \(x>-2\), quindi
\[ x+2>0. \]
Il numeratore è ancora negativo, mentre il denominatore è positivo e tende a zero. Il rapporto è quindi negativo e decresce senza limite:
\[ \lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty. \]
Pertanto in \(x=-2\) la funzione presenta una discontinuità infinita.
Inoltre la retta
\[ x=-2 \]
è un asintoto verticale.
Abbiamo quindi due punti esclusi dal dominio che presentano comportamenti completamente differenti: in \(x=2\) il fattore responsabile dell'annullamento del denominatore si semplifica e la discontinuità è eliminabile; in \(x=-2\) il fattore rimane al denominatore e la discontinuità è infinita.
Esercizio 9 — livello ★★★★☆
Determinare il valore del parametro \(a\in\mathbb{R}\) affinché la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+a, & x<1,\\ 3x-1, & x\geq1 \end{cases} \]
sia continua in \(x=1\).
Risultato
La funzione è continua in \(x=1\) se e solo se
\[ a=1. \]
Svolgimento
La funzione è definita mediante due espressioni polinomiali, quindi il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}. \]
Il punto nel quale cambia la formula è \(x=1\). Perché la funzione sia continua in questo punto, devono coincidere il limite sinistro, il limite destro e il valore della funzione.
Iniziamo dal limite sinistro. Per \(x<1\) la funzione è
\[ f(x)=x^2+a. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x^2+a) = 1+a. \]
Studiamo ora il limite destro. Per \(x\geq1\), la funzione è
\[ f(x)=3x-1. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(3x-1) = 3\cdot1-1 = 2. \]
Affinché esista il limite per \(x\to1\), il limite sinistro e il limite destro devono coincidere. Dobbiamo quindi imporre
\[ 1+a=2. \]
Sottraendo \(1\) da entrambi i membri otteniamo
\[ a=1. \]
Verifichiamo ora anche il valore della funzione nel punto.
Poiché \(x=1\) appartiene al secondo caso della definizione, abbiamo
\[ f(1)=3\cdot1-1=2. \]
Se \(a=1\), il limite sinistro diventa
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1+1=2. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = 2. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
Poiché inoltre
\[ f(1)=2, \]
otteniamo
\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1). \]
Pertanto la funzione è continua in \(x=1\) precisamente per
\[ a=1. \]
Se \(a\neq1\), il limite sinistro sarebbe diverso dal limite destro e la funzione presenterebbe una discontinuità a salto in \(x=1\).
Esercizio 10 — livello ★★★★☆
Determinare e classificare tutti i punti di discontinuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}, & x<1,\\ 4, & x=1,\\ \displaystyle\frac{1}{x-2}, & x>1. \end{cases} \]
Risultato
La funzione presenta due punti di discontinuità.
In \(x=1\),
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-1. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità a salto.
In \(x=2\),
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita e la retta \(x=2\) è un asintoto verticale.
Svolgimento
La funzione è definita mediante tre casi. Dobbiamo innanzitutto determinare il dominio e individuare i punti nei quali può cambiare il comportamento della funzione.
Per \(x<1\) compare la funzione
\[ \frac{x^2-1}{x-1}. \]
Il denominatore si annullerebbe in \(x=1\), ma questo valore non appartiene all'intervallo \(x<1\). Pertanto questa espressione è definita per tutti i valori che rientrano nel primo caso.
In \(x=1\) la funzione è definita esplicitamente e vale
\[ f(1)=4. \]
Per \(x>1\) compare invece
\[ \frac{1}{x-2}, \]
che non è definita per
\[ x=2. \]
Il dominio complessivo della funzione è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
I punti che richiedono attenzione sono \(x=1\), dove cambia la formula, e \(x=2\), che è escluso dal dominio.
Studiamo innanzitutto \(x=1\).
Per il limite sinistro dobbiamo utilizzare la prima espressione:
\[ \lim_{x\to1^-} \frac{x^2-1}{x-1}. \]
Fattorizziamo il numeratore:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Per \(x\neq1\),
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2. \]
Per il limite destro dobbiamo invece utilizzare la terza espressione:
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-2}. \]
Poiché il denominatore non si annulla in \(x=1\), otteniamo
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-2} = -1. \]
Abbiamo dunque
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-1. \]
I due limiti sono finiti ma differenti:
\[ 2\neq-1. \]
Il limite
\[ \lim_{x\to1}f(x) \]
non esiste e la funzione presenta una discontinuità a salto in \(x=1\).
Il fatto che
\[ f(1)=4 \]
non modifica questa conclusione. Anche assegnando un valore differente alla funzione in \(x=1\), i due limiti rimarrebbero rispettivamente \(2\) e \(-1\).
Studiamo ora il punto \(x=2\).
Poiché \(2>1\), in un intorno di \(2\) la funzione è descritta da
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Quando \(x\to2^-\), il denominatore tende a zero attraverso valori negativi:
\[ x-2<0. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty. \]
Quando invece \(x\to2^+\), il denominatore tende a zero attraverso valori positivi:
\[ x-2>0. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. \]
In \(x=2\) abbiamo quindi una discontinuità infinita.
Inoltre la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
In conclusione, la funzione presenta una discontinuità a salto in \(x=1\) e una discontinuità infinita in \(x=2\).
Esercizio 11 — livello ★★★★☆
Studiare il comportamento della funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{|x-2|}, \qquad x\neq2, \]
in prossimità di \(x=2\). Stabilire se il limite esiste, classificare la discontinuità e determinarne l'ampiezza.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-4, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=4. \]
I due limiti sono finiti ma differenti. La funzione presenta quindi una discontinuità a salto in \(x=2\).
L'ampiezza del salto è
\[ |4-(-4)|=8. \]
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio. Il denominatore è
\[ |x-2|. \]
Il valore assoluto è uguale a zero soltanto quando il suo argomento è uguale a zero, cioè quando
\[ x-2=0. \]
Pertanto
\[ x=2 \]
deve essere escluso dal dominio.
Abbiamo quindi
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Per studiare il comportamento della funzione vicino a \(2\), fattorizziamo il numeratore:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
La funzione può quindi essere scritta, per \(x\neq2\), nella forma
\[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{|x-2|}. \]
A questo punto il valore assoluto rende necessario distinguere ciò che accade a sinistra e a destra di \(2\).
Quando
\[ x<2, \]
si ha
\[ x-2<0. \]
Per la definizione di valore assoluto,
\[ |x-2|=-(x-2). \]
Pertanto, per \(x<2\),
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)}. \]
Poiché \(x\neq2\), possiamo semplificare il fattore \(x-2\):
\[ f(x)=-(x+2). \]
Il limite sinistro è quindi
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^-}[-(x+2)] = -4. \]
Consideriamo ora valori di \(x\) maggiori di \(2\). Quando
\[ x>2, \]
si ha
\[ x-2>0, \]
e quindi
\[ |x-2|=x-2. \]
Per \(x>2\) otteniamo allora
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. \]
Il limite destro è pertanto
\[ \lim_{x\to2^+}f(x) = \lim_{x\to2^+}(x+2) = 4. \]
Abbiamo quindi ottenuto
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-4 \]
e
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=4. \]
I due limiti esistono e sono finiti, ma non coincidono:
\[ -4\neq4. \]
Di conseguenza il limite
\[ \lim_{x\to2}f(x) \]
non esiste.
Poiché il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma differenti, la funzione presenta una discontinuità a salto in \(x=2\).
L'ampiezza del salto è
\[ |L_2-L_1| = |4-(-4)| = 8. \]
La discontinuità non può essere eliminata assegnando un valore alla funzione in \(x=2\), perché il problema non riguarda il valore nel punto, ma il fatto che la funzione si avvicina a due valori differenti dai due lati.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della funzione
\[ f(x)=\frac{3}{(x-1)^2} \]
in prossimità di \(x=1\). Classificare la discontinuità e stabilire se esiste un limite infinito per \(x\to1\).
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1}f(x)=+\infty. \]
La funzione presenta una discontinuità infinita in \(x=1\) e la retta
\[ x=1 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Cominciamo dal dominio. Il denominatore della funzione non può essere uguale a zero, quindi dobbiamo imporre
\[ (x-1)^2\neq0. \]
Un quadrato è uguale a zero se e solo se la sua base è uguale a zero. Pertanto
\[ x-1\neq0, \]
cioè
\[ x\neq1. \]
Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}. \]
Dobbiamo ora studiare ciò che accade quando \(x\) si avvicina a \(1\).
Il numeratore è la costante positiva \(3\). Il denominatore
\[ (x-1)^2 \]
tende invece a zero.
È fondamentale osservare che il denominatore è un quadrato. Per ogni \(x\neq1\),
\[ (x-1)^2>0. \]
Questo significa che il denominatore si avvicina a zero attraverso valori positivi sia quando \(x\) tende a \(1\) da sinistra sia quando vi tende da destra.
Consideriamo innanzitutto il limite sinistro. Quando \(x\to1^-\), la quantità \(x-1\) è negativa, ma il suo quadrato è positivo:
\[ (x-1)^2>0. \]
Inoltre
\[ (x-1)^2\to0^+. \]
Il rapporto tra il numero positivo \(3\) e una quantità positiva sempre più piccola assume valori positivi arbitrariamente grandi. Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{3}{(x-1)^2}=+\infty. \]
Lo stesso comportamento si verifica da destra. Quando \(x\to1^+\), abbiamo ancora
\[ (x-1)^2\to0^+. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{3}{(x-1)^2}=+\infty. \]
I due limiti hanno quindi lo stesso comportamento:
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = +\infty. \]
Possiamo pertanto scrivere
\[ \lim_{x\to1}f(x)=+\infty. \]
È importante non concludere che il limite non esiste semplicemente perché non è un numero reale finito. In questo caso esiste un limite infinito ed è uguale a \(+\infty\).
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=1\).
Inoltre, poiché la funzione cresce senza limite quando \(x\) si avvicina a \(1\), la retta
\[ x=1 \]
è un asintoto verticale.
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Determinare il valore del parametro \(a\in\mathbb{R}\) affinché la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}, & x\neq2,\\ a, & x=2 \end{cases} \]
sia continua in \(x=2\). Stabilire inoltre che cosa accade quando \(a\) assume un valore diverso da quello trovato.
Risultato
La funzione è continua in \(x=2\) se e solo se
\[ a=4. \]
Per ogni
\[ a\neq4, \]
la funzione presenta in \(x=2\) una discontinuità eliminabile.
Svolgimento
La funzione è definita per ogni numero reale. Infatti, per \(x\neq2\) viene utilizzata l'espressione razionale, mentre in \(x=2\) il valore della funzione è assegnato direttamente mediante il parametro \(a\).
Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}. \]
Perché la funzione sia continua in \(x=2\), deve essere verificata la condizione
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2). \]
Calcoliamo innanzitutto il limite.
Per \(x\neq2\),
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}. \]
Fattorizziamo il numeratore:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Otteniamo quindi
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}. \]
Per \(x\neq2\) possiamo semplificare il fattore \(x-2\):
\[ f(x)=x+2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}(x+2) = 4. \]
Il valore della funzione nel punto è invece, per definizione,
\[ f(2)=a. \]
Affinché la funzione sia continua, dobbiamo quindi imporre
\[ 4=a. \]
Il valore richiesto è dunque
\[ a=4. \]
Con questa scelta si ha infatti
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4=f(2), \]
e la funzione è continua in \(x=2\).
Consideriamo ora un qualsiasi valore
\[ a\neq4. \]
Il limite della funzione non cambia, perché il valore assunto esattamente in \(x=2\) non interviene nel calcolo del limite. Continueremo quindi ad avere
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4. \]
Tuttavia,
\[ f(2)=a\neq4. \]
La condizione di continuità non sarebbe quindi soddisfatta.
Poiché il limite esiste ed è finito e l'unico problema è costituito dal valore assegnato alla funzione nel punto, per ogni \(a\neq4\) si avrebbe una discontinuità eliminabile.
Sarebbe infatti sufficiente sostituire il valore \(a\) con \(4\) per rendere nuovamente continua la funzione.
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Considerare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x}, & x>0,\\ 2, & x=0. \end{cases} \]
Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione in \(x=0\). Classificare l'eventuale discontinuità e stabilire come eliminarla.
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=[0,+\infty). \]
Si ha
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0, \qquad f(0)=2. \]
La funzione non è continua nell'estremo sinistro del dominio. La discontinuità è eliminabile: è sufficiente ridefinire
\[ f(0)=0. \]
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio.
Per \(x>0\) la funzione è definita mediante
\[ \sqrt{x}, \]
che è certamente definita per tutti i valori positivi di \(x\).
Inoltre il valore della funzione in \(x=0\) è assegnato esplicitamente:
\[ f(0)=2. \]
La funzione non è invece definita per \(x<0\).
Il dominio è pertanto
\[ D_f=[0,+\infty). \]
Il punto \(x=0\) è l'estremo sinistro del dominio.
Questo fatto è essenziale per impostare correttamente lo studio della continuità. Poiché il dominio non contiene valori negativi, non possiamo avvicinarci a \(0\) da sinistra restando all'interno del dominio.
Dobbiamo quindi considerare soltanto il limite destro:
\[ \lim_{x\to0^+}f(x). \]
Per \(x>0\) abbiamo
\[ f(x)=\sqrt{x}. \]
Quando \(x\to0^+\), la quantità \(x\) tende a zero attraverso valori positivi e quindi
\[ \sqrt{x}\to0. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]
Il valore assunto dalla funzione nell'estremo è invece
\[ f(0)=2. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)\neq f(0). \]
La condizione di continuità nell'estremo sinistro del dominio non è soddisfatta e la funzione è quindi discontinua in \(x=0\).
Il limite dal lato consentito dal dominio esiste ed è finito. Il problema riguarda esclusivamente il valore assegnato alla funzione nell'estremo.
La discontinuità è quindi eliminabile.
Per eliminarla è sufficiente modificare il valore della funzione in \(x=0\) ponendo
\[ f(0)=0. \]
Con questa nuova definizione si avrebbe
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=0, \]
e la funzione sarebbe continua nell'estremo sinistro del proprio dominio.
Esercizio 15 — livello ★★★★★
Determinare tutti i punti di discontinuità della funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{|x-1|(x+2)} \]
e classificare ciascuna discontinuità. Quando possibile, determinare anche l'ampiezza del salto e gli eventuali asintoti verticali.
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}. \]
In \(x=1\) si ha
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\frac{2}{3}, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=\frac{2}{3}. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità a salto di ampiezza
\[ \left|\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)\right| = \frac{4}{3}. \]
In \(x=-2\) si ha
\[ \lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=-2\) e la retta
\[ x=-2 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio. Il denominatore è
\[ |x-1|(x+2). \]
Affinché la funzione sia definita, entrambi i fattori devono essere diversi da zero.
Il primo fattore si annulla quando
\[ |x-1|=0, \]
cioè quando
\[ x=1. \]
Il secondo fattore si annulla quando
\[ x+2=0, \]
cioè quando
\[ x=-2. \]
Pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}. \]
I punti da studiare sono quindi \(x=1\) e \(x=-2\).
Prima di analizzarli, fattorizziamo il numeratore:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Per \(x\neq1\) possiamo quindi scrivere
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{|x-1|(x+2)}. \]
Il rapporto
\[ \frac{x-1}{|x-1|} \]
cambia valore a seconda che \(x\) sia minore oppure maggiore di \(1\).
Se
\[ x<1, \]
allora
\[ |x-1|=-(x-1), \]
e quindi
\[ \frac{x-1}{|x-1|}=-1. \]
Ne segue che, per \(x<1\) e \(x\neq-2\),
\[ f(x) = -\frac{x+1}{x+2}. \]
Se invece
\[ x>1, \]
allora
\[ |x-1|=x-1, \]
e quindi
\[ f(x) = \frac{x+1}{x+2}. \]
Studiamo innanzitutto il punto \(x=1\).
Per \(x\to1^-\) dobbiamo utilizzare l'espressione
\[ -\frac{x+1}{x+2}. \]
Poiché il denominatore non si annulla in \(x=1\), otteniamo
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = -\frac{1+1}{1+2} = -\frac{2}{3}. \]
Per \(x\to1^+\) utilizziamo invece
\[ \frac{x+1}{x+2}. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}. \]
I due limiti sono finiti ma differenti:
\[ -\frac{2}{3}\neq\frac{2}{3}. \]
Di conseguenza
\[ \lim_{x\to1}f(x) \]
non esiste e la funzione presenta una discontinuità a salto in \(x=1\).
L'ampiezza del salto è
\[ \left| \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) \right| = \frac{4}{3}. \]
Studiamo ora il punto \(x=-2\).
In un intorno di \(-2\) si ha sempre \(x<1\). Possiamo quindi utilizzare l'espressione
\[ f(x)=-\frac{x+1}{x+2}. \]
Quando \(x\to-2\), il numeratore
\[ -(x+1) \]
tende a
\[ -(-2+1)=1. \]
Esso rimane quindi positivo in un intorno sufficientemente piccolo di \(-2\).
Il denominatore \(x+2\) tende invece a zero cambiando segno.
Quando \(x\to-2^-\), si ha
\[ x+2<0. \]
Abbiamo quindi una quantità positiva divisa per una quantità negativa sempre più vicina a zero. Pertanto
\[ \lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty. \]
Quando \(x\to-2^+\), invece,
\[ x+2>0. \]
Il numeratore rimane positivo e il denominatore tende a zero attraverso valori positivi. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty. \]
In \(x=-2\) la funzione presenta quindi una discontinuità infinita.
Inoltre la retta
\[ x=-2 \]
è un asintoto verticale.
In conclusione, la stessa funzione presenta due tipi differenti di discontinuità: una discontinuità a salto in \(x=1\) e una discontinuità infinita in \(x=-2\).
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Considerare la funzione \(f:D_f\to\mathbb{R}\), con
\[ D_f=\{0\}\cup[1,+\infty), \]
definita da
\[ f(x)= \begin{cases} 5, & x=0,\\ \sqrt{x-1}, & x\geq1. \end{cases} \]
Studiare la continuità della funzione nei punti \(x=0\) e \(x=1\), prestando particolare attenzione alla struttura del dominio.
Risultato
Il punto \(x=0\) è un punto isolato del dominio. La funzione è quindi automaticamente continua in \(x=0\).
Il punto \(x=1\) è invece l'estremo sinistro dell'intervallo \([1,+\infty)\). Si ha
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=0=f(1), \]
per cui la funzione è continua anche in \(x=1\).
Svolgimento
In questo esercizio il dominio è già assegnato:
\[ D_f=\{0\}\cup[1,+\infty). \]
È importante osservare che il dominio non è costituito da un unico intervallo. Esso contiene il punto isolato \(0\) e, separatamente, tutti i numeri reali maggiori o uguali a \(1\).
Studiamo innanzitutto la continuità in \(x=0\).
Il punto \(0\) appartiene al dominio e
\[ f(0)=5. \]
Tuttavia, per studiare correttamente la continuità, dobbiamo prima comprendere la posizione di \(0\) all'interno del dominio.
Non esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(0\) diversi da \(0\) stesso. Infatti, dopo il punto \(0\), il dominio ricomincia soltanto da \(1\).
Possiamo per esempio considerare l'intervallo
\[ \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right). \]
L'unico punto del dominio contenuto in questo intervallo è proprio \(0\).
Il punto \(0\) è quindi un punto isolato del dominio.
Come stabilito dalla teoria, una funzione è automaticamente continua in ogni punto isolato del proprio dominio.
Di conseguenza \(f\) è continua in \(x=0\).
È importante osservare che in questo caso non è necessario calcolare
\[ \lim_{x\to0}f(x), \]
perché \(0\) non è un punto di accumulazione del dominio.
Passiamo ora al punto \(x=1\).
Il punto \(1\) appartiene al dominio e, utilizzando la seconda espressione della funzione, otteniamo
\[ f(1)=\sqrt{1-1}=0. \]
Il punto \(1\) è inoltre un punto di accumulazione del dominio, perché esistono punti di \(D_f\) arbitrariamente vicini a \(1\) da destra.
Non possiamo invece avvicinarci a \(1\) da sinistra restando nel dominio attraverso punti arbitrariamente vicini a \(1\). Infatti, nell'intervallo
\[ 0<x<1 \]
non vi sono punti appartenenti al dominio.
Per verificare la continuità in \(x=1\) dobbiamo quindi considerare soltanto il limite destro:
\[ \lim_{x\to1^+}f(x). \]
Per \(x\geq1\),
\[ f(x)=\sqrt{x-1}. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\sqrt{x-1} = 0. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=0 \]
e
\[ f(1)=0. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=f(1), \]
e la funzione è continua anche in \(x=1\).
Questo esercizio mostra che, prima di calcolare i limiti, è indispensabile osservare attentamente il dominio: un punto isolato e un estremo del dominio richiedono considerazioni differenti rispetto a un punto interno di un intervallo.
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della funzione
\[ f(x)=\frac{1}{|x-2|} \]
in prossimità di \(x=2\). Classificare la discontinuità e stabilire se esiste il limite per \(x\to2\).
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2}f(x)=+\infty. \]
La funzione presenta una discontinuità infinita in \(x=2\) e la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio. Il denominatore
\[ |x-2| \]
deve essere diverso da zero.
Il valore assoluto è uguale a zero soltanto quando il suo argomento è uguale a zero:
\[ x-2=0. \]
Pertanto
\[ x\neq2. \]
Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Per studiare il comportamento della funzione vicino a \(2\), dobbiamo analizzare il valore assoluto separatamente a sinistra e a destra del punto.
Se \(x<2\), allora
\[ x-2<0, \]
e quindi
\[ |x-2|=-(x-2)=2-x. \]
Per \(x<2\) possiamo dunque scrivere
\[ f(x)=\frac{1}{2-x}. \]
Quando \(x\to2^-\), la quantità \(2-x\) è positiva e tende a zero:
\[ 2-x\to0^+. \]
Il reciproco di una quantità positiva sempre più vicina a zero assume valori positivi arbitrariamente grandi. Pertanto
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{|x-2|} = +\infty. \]
Consideriamo ora il comportamento da destra.
Se \(x>2\), allora
\[ x-2>0, \]
e quindi
\[ |x-2|=x-2. \]
Per \(x>2\),
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Quando \(x\to2^+\),
\[ x-2\to0^+. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{|x-2|} = +\infty. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = +\infty. \]
Poiché i due comportamenti coincidono, possiamo scrivere
\[ \lim_{x\to2}f(x)=+\infty. \]
Anche in questo caso è importante distinguere l'assenza di un limite reale finito dall'esistenza di un limite infinito. Il limite esiste come limite infinito ed è \(+\infty\).
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=2\).
Inoltre la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Studiare la continuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 1, & x=0,\\ x^2+1, & x>0 \end{cases} \]
nel punto \(x=0\). Stabilire se il cambiamento della formula determina necessariamente una discontinuità.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0}f(x)=1. \]
Poiché inoltre
\[ f(0)=1, \]
la funzione è continua in \(x=0\).
Svolgimento
La funzione è definita mediante tre casi, ma ciascun numero reale appartiene a uno di essi. Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}. \]
Il punto da studiare è \(x=0\), perché in corrispondenza di questo valore cambia l'espressione utilizzata per definire la funzione.
Il fatto che una funzione sia definita mediante formule differenti a sinistra e a destra di un punto non implica però automaticamente una discontinuità. Dobbiamo studiare i limiti.
Iniziamo dal limite sinistro.
Per \(x<0\),
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(x+1) = 1. \]
Passiamo al limite destro.
Per \(x>0\),
\[ f(x)=x^2+1. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x^2+1) = 1. \]
I due limiti esistono, sono finiti e coincidono:
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^+}f(x) = 1. \]
Pertanto esiste il limite
\[ \lim_{x\to0}f(x)=1. \]
Per stabilire la continuità dobbiamo ora confrontare questo risultato con il valore della funzione nel punto.
Dalla definizione,
\[ f(0)=1. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to0}f(x)=f(0)=1. \]
Tutte le condizioni richieste per la continuità sono soddisfatte.
La funzione è dunque continua in \(x=0\).
Questo esempio mostra che il punto in cui cambia la formula della funzione è soltanto un punto da controllare: non è necessariamente un punto di discontinuità. La classificazione dipende dal comportamento effettivo dei limiti e dal loro confronto con il valore della funzione.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Determinare tutti i punti di discontinuità della funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-5x+6} \]
e classificare ciascuna discontinuità. Stabilire inoltre se sono presenti asintoti verticali.
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}. \]
In \(x=3\) si ha
\[ \lim_{x\to3}f(x)=2, \]
per cui la discontinuità è eliminabile.
In \(x=2\) si ha invece
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
La discontinuità è infinita e la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio. Il denominatore deve essere diverso da zero:
\[ x^2-5x+6\neq0. \]
Fattorizziamo il polinomio:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Il denominatore si annulla quindi per
\[ x=2 \]
e
\[ x=3. \]
Pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}. \]
I punti da studiare sono quindi \(x=2\) e \(x=3\).
Fattorizziamo ora anche il numeratore:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Per \(x\neq2\) e \(x\neq3\), possiamo scrivere
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)(x-3)}. \]
Poiché \(x\neq3\), possiamo semplificare il fattore \(x-3\):
\[ f(x)=\frac{x-1}{x-2}. \]
Questa semplificazione è valida soltanto nei punti appartenenti al dominio originario. In particolare, \(x=3\) rimane escluso dal dominio anche se il fattore \(x-3\) non compare più nell'espressione semplificata.
Studiamo innanzitutto \(x=3\).
In prossimità di \(3\), la funzione coincide con
\[ \frac{x-1}{x-2}. \]
Poiché il denominatore non si annulla per \(x=3\), otteniamo
\[ \lim_{x\to3}f(x) = \lim_{x\to3}\frac{x-1}{x-2} = \frac{3-1}{3-2} = 2. \]
Il limite esiste ed è finito, mentre \(f(3)\) non è definito.
In \(x=3\) la funzione presenta quindi una discontinuità eliminabile, o una singolarità eliminabile.
Sarebbe sufficiente assegnare
\[ f(3)=2 \]
per ottenere un prolungamento continuo nel punto.
Studiamo ora \(x=2\).
In prossimità di \(2\) utilizziamo ancora
\[ f(x)=\frac{x-1}{x-2}. \]
Quando \(x\to2\), il numeratore tende a
\[ 2-1=1. \]
Il numeratore rimane quindi positivo in un intorno sufficientemente piccolo di \(2\).
Il denominatore tende invece a zero e cambia segno attraversando \(2\).
Quando \(x\to2^-\),
\[ x-2<0 \]
e
\[ x-2\to0^-. \]
Il rapporto tra una quantità positiva vicina a \(1\) e una quantità negativa sempre più vicina a zero assume valori negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto. Pertanto
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty. \]
Quando invece \(x\to2^+\),
\[ x-2>0 \]
e il denominatore tende a zero attraverso valori positivi. Pertanto
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
In \(x=2\) la funzione presenta quindi una discontinuità infinita.
Inoltre la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
In conclusione, la funzione presenta una discontinuità infinita in \(x=2\) e una discontinuità eliminabile in \(x=3\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Determinare e classificare tutti i punti di discontinuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}, & x<1,\\ 4, & x=1,\\ \displaystyle\frac{1}{x-2}, & 1<x<3,\\ 0, & x=3,\\ \displaystyle\sin\left(\frac{1}{x-3}\right), & x>3. \end{cases} \]
Per ciascun punto significativo, studiare il limite sinistro e il limite destro quando hanno significato, confrontare i risultati con il valore della funzione e classificare rigorosamente il comportamento osservato.
Risultato
La funzione presenta tre punti di discontinuità.
In \(x=1\),
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-1, \]
quindi la discontinuità è a salto.
In \(x=2\),
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty, \]
quindi la discontinuità è infinita e \(x=2\) è un asintoto verticale.
In \(x=3\),
\[ \lim_{x\to3^-}f(x)=1, \]
mentre
\[ \lim_{x\to3^+}f(x) \]
non esiste neppure come limite infinito a causa delle oscillazioni. La funzione presenta quindi una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio in \(x=3\).
Svolgimento
Questo esercizio riunisce diversi comportamenti studiati nella teoria. Dobbiamo procedere in modo ordinato, partendo dal dominio e individuando tutti i punti nei quali cambia la formula oppure una delle espressioni non è definita.
Per \(x<1\) la funzione è
\[ \frac{x^2-1}{x-1}. \]
L'unico valore che annulla il denominatore è \(x=1\), ma questo valore non appartiene al caso \(x<1\).
In \(x=1\) la funzione è definita esplicitamente:
\[ f(1)=4. \]
Per
\[ 1<x<3 \]
la funzione è
\[ \frac{1}{x-2}. \]
Questa espressione non è definita in \(x=2\). Pertanto \(2\) deve essere escluso dal dominio.
In \(x=3\) è assegnato direttamente il valore
\[ f(3)=0. \]
Per \(x>3\) compare infine
\[ \sin\left(\frac{1}{x-3}\right), \]
che è definita per tutti i valori \(x>3\).
Il dominio complessivo è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
I punti da studiare sono \(x=1\), \(x=2\) e \(x=3\).
Cominciamo da \(x=1\).
Per il limite sinistro utilizziamo
\[ \frac{x^2-1}{x-1}. \]
Fattorizziamo il numeratore:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Per \(x\neq1\),
\[ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2. \]
Per il limite destro, quando \(x\) è maggiore di \(1\) e sufficientemente vicino a \(1\), utilizziamo
\[ \frac{1}{x-2}. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-2} = -1. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-1. \]
Entrambi i limiti sono finiti, ma sono differenti:
\[ 2\neq-1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1}f(x) \]
non esiste e la funzione presenta una discontinuità a salto in \(x=1\).
Il valore
\[ f(1)=4 \]
non modifica la classificazione, perché il limite sinistro e il limite destro rimangono differenti indipendentemente dal valore assegnato esattamente nel punto.
Passiamo ora a \(x=2\).
In un intorno di \(2\), sia da sinistra sia da destra, la funzione è descritta da
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Quando \(x\to2^-\),
\[ x-2\to0^-, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty. \]
Quando invece \(x\to2^+\),
\[ x-2\to0^+, \]
per cui
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
Almeno uno dei due comportamenti è infinito; in questo caso lo sono entrambi. La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=2\).
Inoltre la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Rimane da studiare \(x=3\).
Cominciamo dal limite sinistro. Per \(x<3\) e sufficientemente vicino a \(3\), la funzione è
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to3^-}f(x) = \lim_{x\to3^-}\frac{1}{x-2} = 1. \]
Studiamo ora il limite destro.
Per \(x>3\),
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x-3}\right). \]
Quando \(x\to3^+\), la quantità
\[ x-3 \]
tende a zero attraverso valori positivi. Di conseguenza,
\[ \frac{1}{x-3}\to+\infty. \]
La funzione seno non si avvicina però a un unico valore quando il suo argomento cresce senza limite. Continua invece a oscillare tra \(-1\) e \(1\).
Per mostrare esplicitamente questa mancata convergenza, consideriamo valori di \(x\) della forma
\[ x_n = 3+\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}. \]
Quando \(n\to+\infty\),
\[ x_n\to3^+. \]
Inoltre
\[ \frac{1}{x_n-3} = \frac{\pi}{2}+2\pi n, \]
per cui
\[ f(x_n)=1. \]
Consideriamo invece
\[ y_n = 3+\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}. \]
Anche in questo caso
\[ y_n\to3^+, \]
ma
\[ f(y_n)=-1. \]
La funzione assume quindi valori differenti lungo successioni che si avvicinano entrambe a \(3\) da destra.
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to3^+}f(x) \]
non esiste.
Inoltre il limite destro non può essere \(+\infty\) né \(-\infty\), perché
\[ -1\leq \sin\left(\frac{1}{x-3}\right) \leq1. \]
In \(x=3\) abbiamo quindi un limite sinistro finito,
\[ \lim_{x\to3^-}f(x)=1, \]
mentre il limite destro non esiste neppure come limite infinito.
La funzione presenta pertanto una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio in \(x=3\).
Anche in questo caso il valore
\[ f(3)=0 \]
non può modificare la natura della discontinuità, perché il problema riguarda il comportamento della funzione in prossimità del punto e non il valore assegnato esattamente in \(x=3\).
In conclusione, la funzione presenta:
- una discontinuità a salto in \(x=1\);
- una discontinuità infinita in \(x=2\);
- una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio in \(x=3\).
L'esercizio mostra quindi come, all'interno della stessa funzione, possano comparire discontinuità di natura completamente differente. La classificazione deve essere effettuata punto per punto attraverso lo studio del dominio, dei limiti destro e sinistro e dell'eventuale valore assunto dalla funzione.