In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulle disequazioni con parametro, ordinati per difficoltà e risolti passo passo.
L'obiettivo è imparare a riconoscere i valori del parametro che modificano la struttura della disequazione: il segno di un coefficiente, il verso della disuguaglianza, il grado dell'espressione, il discriminante e la concavità della parabola.
Ogni esercizio mostra come impostare correttamente la discussione per casi, evitando gli errori più comuni e arrivando a una descrizione completa dell'insieme soluzione al variare del parametro.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ (k-3)x > 6 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x > \dfrac{6}{k-3}, & k > 3, \\[6pt] x < \dfrac{6}{k-3}, & k < 3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = 3. \end{cases} \]
Svolgimento
La disequazione è lineare nell'incognita \(x\). Il coefficiente di \(x\) è:
\[ k - 3. \]
Per isolare \(x\), dovremmo dividere entrambi i membri per \(k-3\). Tuttavia il segno di \(k-3\) dipende dal parametro \(k\). Per questo motivo dobbiamo distinguere tre casi:
\[ k-3 > 0, \qquad k-3 < 0, \qquad k-3 = 0. \]
Caso \(k > 3\)
Se \(k > 3\), allora \(k-3 > 0\), quindi possiamo dividere per \(k-3\) senza cambiare il verso della disequazione:
\[ x > \frac{6}{k-3}. \]
Caso \(k < 3\)
Se \(k < 3\), allora \(k-3 < 0\), quindi dividendo per una quantità negativa il verso della disequazione si inverte:
\[ x < \frac{6}{k-3}. \]
Caso \(k = 3\)
Se \(k = 3\), il coefficiente di \(x\) si annulla. La disequazione diventa:
\[ 0 \cdot x > 6, \qquad \text{cioè} \qquad 0 > 6. \]
Questa proposizione è falsa, quindi non esiste alcun valore reale di \(x\) che soddisfi la disequazione. Pertanto:
\[ S = \emptyset. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ (k+1)x - 4 \leq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{4}{k+1}, & k > -1, \\[6pt] x \geq \dfrac{4}{k+1}, & k < -1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = -1. \end{cases} \]
Svolgimento
Portiamo il termine noto al secondo membro:
\[ (k+1)x \leq 4. \]
Anche in questo caso il coefficiente dell'incognita dipende dal parametro: \(k+1\). Per dividere correttamente bisogna sapere se \(k+1\) è positivo, negativo oppure nullo.
Caso \(k > -1\)
Se \(k > -1\), allora \(k+1 > 0\). Dividendo per una quantità positiva il verso non cambia:
\[ x \leq \frac{4}{k+1}. \]
Caso \(k < -1\)
Se \(k < -1\), allora \(k+1 < 0\). Dividendo per una quantità negativa il verso si inverte:
\[ x \geq \frac{4}{k+1}. \]
Caso \(k = -1\)
Se \(k = -1\), il coefficiente di \(x\) si annulla. La disequazione iniziale diventa:
\[ 0 \cdot x - 4 \leq 0, \qquad \text{cioè} \qquad -4 \leq 0. \]
Questa proposizione è vera per ogni valore reale di \(x\). Dunque:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ (k-2)x + 5 \geq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x \geq -\dfrac{5}{k-2}, & k > 2, \\[6pt] x \leq -\dfrac{5}{k-2}, & k < 2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = 2. \end{cases} \]
Svolgimento
Isoliamo il termine contenente l'incognita:
\[ (k-2)x \geq -5. \]
Il coefficiente di \(x\) è \(k-2\). Poiché dipende dal parametro, non possiamo dividere senza discutere il suo segno.
Caso \(k > 2\)
Se \(k > 2\), allora \(k-2 > 0\). Dividendo per \(k-2\), il verso rimane invariato:
\[ x \geq -\frac{5}{k-2}. \]
Caso \(k < 2\)
Se \(k < 2\), allora \(k-2 < 0\). Dividendo per una quantità negativa, il verso cambia:
\[ x \leq -\frac{5}{k-2}. \]
Caso \(k = 2\)
Se \(k = 2\), il termine contenente \(x\) scompare:
\[ 0 \cdot x + 5 \geq 0, \qquad \text{cioè} \qquad 5 \geq 0. \]
Questa proposizione è sempre vera. Di conseguenza ogni numero reale è soluzione:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ (k^2 - 1)x < 2 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x < \dfrac{2}{k^2-1}, & k < -1 \ \text{oppure}\ k > 1, \\[6pt] x > \dfrac{2}{k^2-1}, & -1 < k < 1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = \pm 1. \end{cases} \]
Svolgimento
La disequazione è lineare nell'incognita \(x\), ma il coefficiente di \(x\) è:
\[ k^2 - 1 = (k-1)(k+1). \]
Studiamo il segno di \(k^2-1\):
\[ k^2 - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < -1 \ \text{oppure}\ k > 1, \]
\[ k^2 - 1 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 < k < 1, \]
\[ k^2 - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = \pm 1. \]
Caso \(k < -1\) oppure \(k > 1\)
In questo caso \(k^2-1 > 0\). Possiamo dividere senza cambiare verso:
\[ x < \frac{2}{k^2-1}. \]
Caso \(-1 < k < 1\)
In questo caso \(k^2-1 < 0\). Dividendo per una quantità negativa, il verso si inverte:
\[ x > \frac{2}{k^2-1}. \]
Caso \(k = \pm 1\)
Se \(k = \pm 1\), allora \(k^2 - 1 = 0\). La disequazione diventa:
\[ 0 \cdot x < 2, \qquad \text{cioè} \qquad 0 < 2. \]
Questa proposizione è vera per ogni \(x \in \mathbb{R}\). Quindi:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ (k-1)x^2 - 4 > 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x < -\dfrac{2}{\sqrt{k-1}} \ \text{oppure}\ x > \dfrac{2}{\sqrt{k-1}}, & k > 1, \\[10pt] S = \emptyset, & k \leq 1. \end{cases} \]
Svolgimento
La disequazione contiene il termine \(x^2\), il cui coefficiente è \(k-1\). Dobbiamo distinguere i casi in cui tale coefficiente è positivo, nullo oppure negativo.
Caso \(k > 1\)
Se \(k > 1\), allora \(k-1 > 0\). Possiamo dividere senza cambiare verso:
\[ x^2 > \frac{4}{k-1}. \]
Il secondo membro è positivo, quindi:
\[ |x| > \frac{2}{\sqrt{k-1}}, \]
cioè:
\[ x < -\frac{2}{\sqrt{k-1}} \quad \text{oppure} \quad x > \frac{2}{\sqrt{k-1}}. \]
Caso \(k = 1\)
Se \(k = 1\), il termine quadratico si annulla. La disequazione diventa \(-4 > 0\), che è falsa. Dunque:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(k < 1\)
Se \(k < 1\), allora \(k-1 < 0\). Poiché \(x^2 \geq 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), si ha \((k-1)x^2 \leq 0\), quindi:
\[ (k-1)x^2 - 4 < 0 \]
per ogni \(x \in \mathbb{R}\). La disequazione non ha soluzioni:
\[ S = \emptyset. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \geq -2, \\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \dfrac{1}{\sqrt{-k-2}}, & k < -2. \end{cases} \]
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k+2\). Dobbiamo distinguere i casi \(k+2 > 0\), \(k+2 = 0\) e \(k+2 < 0\).
Caso \(k > -2\)
Se \(k > -2\), allora \(k+2 > 0\). Poiché \(x^2 \geq 0\), si ha \((k+2)x^2 \geq 0\), quindi:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 1 > 0. \]
La disequazione è verificata per ogni \(x \in \mathbb{R}\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = -2\)
Se \(k = -2\), il termine quadratico scompare e la disequazione diventa \(1 \geq 0\), sempre vera:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k < -2\)
Se \(k < -2\), allora \(k+2 < 0\). Partiamo dalla disequazione:
\[ (k+2)x^2 \geq -1. \]
Poiché \(k+2 < 0\), dividendo per \(k+2\) il verso si inverte:
\[ x^2 \leq \frac{-1}{k+2} = \frac{1}{-k-2}. \]
Quindi:
\[ -\frac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{-k-2}}. \]
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 > 0 \]
Risultato
\[ x < k-1 \quad \text{oppure} \quad x > k+1. \]
Svolgimento
Osserviamo che il trinomio può essere riconosciuto come un quadrato meno \(1\):
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 = (x-k)^2 - 1. \]
La disequazione diventa:
\[ (x-k)^2 > 1, \]
cioè \(|x-k| > 1\). Dunque:
\[ x - k < -1 \quad \text{oppure} \quad x - k > 1, \]
da cui:
\[ x < k-1 \quad \text{oppure} \quad x > k+1. \]
L'insieme soluzione è:
\[ S = (-\infty,\, k-1) \cup (k+1,\, +\infty). \]
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ x^2 + (k-3)x + k < 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < 1 \ \text{oppure}\ k > 9, \\[6pt] S = \emptyset, & 1 \leq k \leq 9, \end{cases} \]
dove, per \(k < 1\) oppure \(k > 9\),
\[ x_1 = \frac{3-k-\sqrt{k^2-10k+9}}{2}, \qquad x_2 = \frac{3-k+\sqrt{k^2-10k+9}}{2}. \]
Svolgimento
Consideriamo il trinomio \(P(x) = x^2 + (k-3)x + k\). Il coefficiente di \(x^2\) è \(a = 1 > 0\), quindi la parabola è sempre rivolta verso l'alto.
Poiché la disequazione richiede \(P(x) < 0\), il trinomio deve possedere due radici reali distinte (con concavità verso l'alto, il trinomio è negativo soltanto tra le due radici).
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = (k-3)^2 - 4k = k^2 - 6k + 9 - 4k = k^2 - 10k + 9 = (k-1)(k-9). \]
Studiamo il segno:
\[ \Delta > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < 1 \ \text{oppure}\ k > 9, \]
\[ \Delta = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = 1 \ \text{oppure}\ k = 9, \]
\[ \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < k < 9. \]
Caso \(k < 1\) oppure \(k > 9\)
Il trinomio ha due radici reali distinte e la parabola è rivolta verso l'alto, quindi è negativo tra le due radici:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = 1\) oppure \(k = 9\)
Il trinomio ha una radice doppia. Con concavità verso l'alto è sempre \(\geq 0\), ma la disequazione richiede \(P(x) < 0\). Pertanto:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(1 < k < 9\)
Il discriminante è negativo. La parabola, rivolta verso l'alto, non interseca l'asse delle ascisse e il trinomio è sempre positivo. Quindi:
\[ S = \emptyset. \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ (k-4)x^2 + 2x - 3 \leq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \leq \dfrac{11}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{oppure}\ x \geq x_2, & \dfrac{11}{3} < k < 4, \\[8pt] x \leq \dfrac{3}{2}, & k = 4, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & k > 4, \end{cases} \]
dove \(x_1\) e \(x_2\) indicano le due radici ordinate del trinomio, con \(x_1 < x_2\).
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k-4\). Prima di studiare il discriminante, dobbiamo verificare se la disequazione è davvero di secondo grado.
Caso \(k = 4\)
Se \(k = 4\), il termine quadratico si annulla e la disequazione diventa \(2x - 3 \leq 0\), da cui:
\[ x \leq \frac{3}{2}. \]
Caso \(k \neq 4\)
Per \(k \neq 4\), consideriamo \(P(x) = (k-4)x^2 + 2x - 3\). Il discriminante è:
\[ \Delta = 4 - 4(k-4)(-3) = 4 + 12(k-4) = 12k - 44 = 4(3k-11). \]
Studiamo il segno:
\[ \Delta > 0 \iff k > \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta < 0 \iff k < \tfrac{11}{3}. \]
La concavità dipende dal segno di \(k-4\).
Caso \(k < \dfrac{11}{3}\)
In questo caso \(\Delta < 0\) e \(k - 4 < 0\). La parabola è rivolta verso il basso e non interseca l'asse delle ascisse: il trinomio è sempre negativo. Poiché la disequazione richiede \(P(x) \leq 0\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = \dfrac{11}{3}\)
In questo caso \(\Delta = 0\) e \(k - 4 = \frac{11}{3} - 4 = -\frac{1}{3} < 0\). La parabola è rivolta verso il basso e tocca l'asse in una radice doppia: il trinomio è sempre \(\leq 0\). Pertanto:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(\dfrac{11}{3} < k < 4\)
In questo caso \(\Delta > 0\) e \(k - 4 < 0\). Il trinomio ha due radici reali distinte e la parabola è rivolta verso il basso: è positivo tra le radici e negativo all'esterno. Per \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{oppure} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(k > 4\)
In questo caso \(\Delta > 0\) e \(k - 4 > 0\). Il trinomio ha due radici reali distinte e la parabola è rivolta verso l'alto: è negativo tra le radici. Poiché la disequazione è non stretta, le radici si includono:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Esercizio 10 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + k > 0 \]
Risultato
Poniamo:
\[ k_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad k_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq k_1, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & k_1 < k < 1, \\[6pt] x > -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x < x_1 \ \text{oppure}\ x > x_2, & 1 < k < k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k > k_2. \end{cases} \]
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k-1\). Il primo valore da controllare è \(k = 1\).
Caso \(k = 1\)
Se \(k = 1\), la disequazione diventa \(2x + 1 > 0\), da cui:
\[ x > -\frac{1}{2}. \]
Caso \(k \neq 1\)
Per \(k \neq 1\) calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1)k = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k = -3k^2 + 6k + 1. \]
Poniamo \(\Delta = 0\): \(3k^2 - 6k - 1 = 0\), con soluzioni:
\[ k = \frac{6 \pm \sqrt{36+12}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
Poiché il discriminante (come funzione di \(k\)) è una parabola rivolta verso il basso:
\[ \Delta > 0 \iff k_1 < k < k_2, \quad \Delta = 0 \iff k = k_1 \ \text{o}\ k = k_2, \quad \Delta < 0 \iff k < k_1 \ \text{o}\ k > k_2. \]
Caso \(k < k_1\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre negativo. Quindi \(S = \emptyset\).
Caso \(k = k_1\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre \(\leq 0\). La disequazione è stretta, quindi \(S = \emptyset\).
Caso \(k_1 < k < 1\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio positivo tra le radici. Quindi:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(1 < k < k_2\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio positivo all'esterno delle radici. Quindi:
\[ x < x_1 \quad \text{oppure} \quad x > x_2. \]
Caso \(k = k_2\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre \(\geq 0\), ma si annulla nella radice doppia \(x_0 = -\dfrac{k+1}{2(k-1)}\). Poiché la disequazione è stretta:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Caso \(k > k_2\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre positivo. Pertanto \(S = \mathbb{R}\).
Esercizio 11 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ (k^2 - 4)x^2 - 1 < 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}}, & |k| > 2, \\[10pt] S = \mathbb{R}, & |k| \leq 2. \end{cases} \]
Svolgimento
Il coefficiente di \(x^2\) è \(k^2 - 4 = (k-2)(k+2)\). Studiamo il suo segno:
\[ k^2 - 4 > 0 \iff |k| > 2, \quad k^2 - 4 = 0 \iff k = \pm 2, \quad k^2 - 4 < 0 \iff |k| < 2. \]
Caso \(|k| > 2\)
Poiché \(k^2 - 4 > 0\), dividiamo per essa senza cambiare verso:
\[ x^2 < \frac{1}{k^2 - 4}. \]
Quindi:
\[ -\frac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \frac{1}{\sqrt{k^2-4}}. \]
Caso \(|k| < 2\)
Poiché \(k^2 - 4 < 0\) e \(x^2 \geq 0\), si ha \((k^2-4)x^2 \leq 0\), quindi:
\[ (k^2-4)x^2 - 1 < 0 \]
per ogni \(x \in \mathbb{R}\). Dunque \(S = \mathbb{R}\).
Caso \(k = \pm 2\)
Se \(k = \pm 2\), la disequazione diventa \(-1 < 0\), sempre vera. Pertanto \(S = \mathbb{R}\).
Esercizio 12 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ (k-2)x^2 + (k+1)x + 1 \geq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x_1 \leq x \leq x_2, & k < 2, \\[6pt] x \geq -\dfrac{1}{3}, & k = 2, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{oppure}\ x \geq x_2, & k > 2, \end{cases} \]
dove \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici ordinate del trinomio, con \(x_1 < x_2\).
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k-2\).
Caso \(k = 2\)
Se \(k = 2\), la disequazione diventa \(3x + 1 \geq 0\), da cui:
\[ x \geq -\frac{1}{3}. \]
Caso \(k \neq 2\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-2) = k^2 + 2k + 1 - 4k + 8 = k^2 - 2k + 9 = (k-1)^2 + 8. \]
Poiché \((k-1)^2 + 8 > 0\) per ogni \(k \in \mathbb{R}\), il trinomio ha sempre due radici reali distinte quando \(k \neq 2\). Resta da discutere solo la concavità, cioè il segno di \(k-2\).
Caso \(k < 2\)
Parabola verso il basso, trinomio positivo tra le radici. Per \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k > 2\)
Parabola verso l'alto, trinomio positivo all'esterno delle radici. Per \(P(x) \geq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{oppure} \quad x \geq x_2. \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ (k+1)x^2 - 2(k-1)x + k \leq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{1}{4}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -1 < k < \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x = x_0, & k = \dfrac{1}{3}, \\[8pt] S = \emptyset, & k > \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{oppure}\ x \geq x_2, & k < -1. \end{cases} \]
Nei casi con due radici reali distinte, \(x_1\) e \(x_2\) indicano le radici ordinate, con \(x_1 < x_2\). Nel caso \(k = \dfrac{1}{3}\), \(x_0\) è la radice doppia.
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k+1\). Il primo valore da discutere è \(k = -1\).
Caso \(k = -1\)
Sostituendo \(k = -1\), la disequazione diventa \(4x - 1 \leq 0\), da cui:
\[ x \leq \frac{1}{4}. \]
Caso \(k \neq -1\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = 4(k-1)^2 - 4k(k+1) = 4\bigl[(k-1)^2 - k(k+1)\bigr] = 4(1-3k). \]
Studiamo il segno:
\[ \Delta > 0 \iff k < \tfrac{1}{3}, \quad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{1}{3}, \quad \Delta < 0 \iff k > \tfrac{1}{3}. \]
La concavità dipende dal segno di \(k+1\).
Caso \(k < -1\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio negativo all'esterno delle radici. Per \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{oppure} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(-1 < k < \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio negativo tra le radici. Per \(P(x) \leq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k = \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) e \(k+1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre \(\geq 0\), si annulla solo nella radice doppia. Quindi:
\[ x = x_0. \]
Caso \(k > \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) e \(k+1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre positivo. Pertanto \(S = \emptyset\).
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + k < 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}, & k > -1, \\[8pt] S = \emptyset, & k \leq -1. \end{cases} \]
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(a = 1 > 0\): la parabola è sempre rivolta verso l'alto. Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4(k^2+k) = 4\bigl[(k+1)^2 - (k^2+k)\bigr] = 4(k+1). \]
Studiamo il segno:
\[ \Delta > 0 \iff k > -1, \quad \Delta = 0 \iff k = -1, \quad \Delta < 0 \iff k < -1. \]
Caso \(k > -1\)
Due radici reali distinte. Poiché \(\sqrt{4(k+1)} = 2\sqrt{k+1}\):
\[ x_{1,2} = \frac{2(k+1) \pm 2\sqrt{k+1}}{2} = k+1 \mp \sqrt{k+1}. \]
La parabola è verso l'alto, quindi il trinomio è negativo tra le due radici:
\[ k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}. \]
Caso \(k = -1\)
\(\Delta = 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre \(\geq 0\). La disequazione richiede \(P(x) < 0\), quindi \(S = \emptyset\).
Caso \(k < -1\)
\(\Delta < 0\): trinomio sempre positivo. Pertanto \(S = \emptyset\).
Esercizio 15 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ (k-3)x^2 + (2k-1)x + k > 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{8} < k < 3, \\[8pt] x > -\dfrac{3}{5}, & k = 3, \\[8pt] x < x_1 \ \text{oppure}\ x > x_2, & k > 3. \end{cases} \]
Nei casi con due radici reali distinte, \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici ordinate, con \(x_1 < x_2\).
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k-3\). Il primo caso da trattare è \(k = 3\).
Caso \(k = 3\)
Se \(k = 3\), la disequazione diventa \(5x + 3 > 0\), da cui:
\[ x > -\frac{3}{5}. \]
Caso \(k \neq 3\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = (2k-1)^2 - 4(k-3)k = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 12k = 8k + 1. \]
Studiamo il segno:
\[ \Delta > 0 \iff k > -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{8}. \]
Caso \(k < -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 3 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre negativo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 3 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre \(\leq 0\). La disequazione è stretta, quindi \(S = \emptyset\).
Caso \(-\dfrac{1}{8} < k < 3\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 3 < 0\): parabola verso il basso, trinomio positivo tra le radici:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > 3\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 3 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio positivo all'esterno delle radici:
\[ x < x_1 \quad \text{oppure} \quad x > x_2. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ (k^2-1)x^2 + 2kx + 1 \geq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x \leq x_1 \ \text{oppure}\ x \geq x_2, & |k| > 1, \\[8pt] x \geq -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x \leq \dfrac{1}{2}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & |k| < 1. \end{cases} \]
Nei casi quadratici, \(x_1\) e \(x_2\) sono le due radici ordinate, con \(x_1 < x_2\).
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k^2 - 1 = (k-1)(k+1)\). I casi degeneri si hanno per \(k = \pm 1\).
Caso \(k = 1\)
La disequazione diventa \(2x + 1 \geq 0\), da cui \(x \geq -\dfrac{1}{2}\).
Caso \(k = -1\)
La disequazione diventa \(-2x + 1 \geq 0\), da cui \(x \leq \dfrac{1}{2}\).
Caso \(k \neq \pm 1\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = (2k)^2 - 4(k^2-1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4. \]
Il discriminante è sempre positivo: il trinomio ha sempre due radici reali distinte. Resta da studiare la concavità:
\[ k^2 - 1 > 0 \iff |k| > 1, \qquad k^2 - 1 < 0 \iff |k| < 1. \]
Caso \(|k| > 1\)
Parabola verso l'alto, \(P(x) \geq 0\) all'esterno delle radici:
\[ x \leq x_1 \quad \text{oppure} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(|k| < 1\)
Parabola verso il basso, trinomio positivo tra le radici. Per \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ (k-2)x^2 - 4x + k < 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k < 1-\sqrt{5}, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = 1-\sqrt{5}, \\[6pt] x < x_1 \ \text{oppure}\ x > x_2, & 1-\sqrt{5} < k < 2, \\[8pt] x > \dfrac{1}{2}, & k = 2, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & 2 < k < 1+\sqrt{5}, \\[6pt] S = \emptyset, & k \geq 1+\sqrt{5}. \end{cases} \]
Nei casi con due radici reali distinte, \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici ordinate, con \(x_1 < x_2\). Nel caso \(k = 1-\sqrt{5}\), \(x_0\) è la radice doppia.
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k-2\).
Caso \(k = 2\)
Se \(k = 2\), la disequazione diventa \(-4x + 2 < 0\), da cui:
\[ x > \frac{1}{2}. \]
Caso \(k \neq 2\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = 16 - 4(k-2)k = 16 - 4k^2 + 8k = -4(k^2 - 2k - 4). \]
Gli zeri di \(k^2 - 2k - 4 = 0\) sono \(k = 1 \pm \sqrt{5}\). Poiché \(\Delta = -4(k^2 - 2k - 4)\):
\[ \Delta > 0 \iff 1-\sqrt{5} < k < 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta = 0 \iff k = 1-\sqrt{5} \ \text{o}\ k = 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta < 0 \iff k < 1-\sqrt{5} \ \text{o}\ k > 1+\sqrt{5}. \]
Caso \(k < 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 2 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre negativo. La disequazione \(P(x) < 0\) è soddisfatta per ogni \(x\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 2 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre \(\leq 0\), si annulla nella radice doppia \(x_0\). Poiché la disequazione è stretta:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Caso \(1-\sqrt{5} < k < 2\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 2 < 0\): parabola verso il basso, trinomio negativo all'esterno delle radici:
\[ x < x_1 \quad \text{oppure} \quad x > x_2. \]
Caso \(2 < k < 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 2 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio negativo tra le radici:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 2 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre \(\geq 0\). La disequazione \(P(x) < 0\) non ha soluzioni:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(k > 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 2 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre positivo. Pertanto \(S = \emptyset\).
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ (k+1)x^2 + (k-1)x - 2 > 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < -1,\ k \neq -3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = -3, \\[6pt] x < -1, & k = -1, \\[6pt] x < x_1 \ \text{oppure}\ x > x_2, & k > -1. \end{cases} \]
Nei casi con due radici reali distinte, \(x_1\) e \(x_2\) indicano le radici ordinate del trinomio, con \(x_1 < x_2\).
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k+1\).
Caso \(k = -1\)
Se \(k = -1\), la disequazione diventa \(-2x - 2 > 0\), da cui \(x < -1\).
Caso \(k \neq -1\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = (k-1)^2 + 8(k+1) = k^2 - 2k + 1 + 8k + 8 = k^2 + 6k + 9 = (k+3)^2. \]
Il discriminante è sempre \(\geq 0\):
\[ \Delta = 0 \iff k = -3, \qquad \Delta > 0 \iff k \neq -3. \]
La concavità dipende dal segno di \(k+1\).
Caso \(k < -3\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio positivo tra le radici:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = -3\)
\(\Delta = 0\) e \(k+1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre \(\leq 0\). La disequazione è stretta, quindi \(S = \emptyset\).
Caso \(-3 < k < -1\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio positivo tra le radici:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > -1\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio positivo all'esterno delle radici:
\[ x < x_1 \quad \text{oppure} \quad x > x_2. \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ (k-1)x^2 + (k-1)x + k > 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq -\dfrac{1}{3}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{3} < k < 1, \\[8pt] S = \mathbb{R}, & k \geq 1. \end{cases} \]
Nel caso \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\), \(x_1\) e \(x_2\) sono le due radici ordinate, con \(x_1 < x_2\).
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k-1\). Il primo caso da considerare è \(k = 1\).
Caso \(k = 1\)
Se \(k = 1\), la disequazione diventa \(1 > 0\), sempre vera. Pertanto \(S = \mathbb{R}\).
Caso \(k \neq 1\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = (k-1)^2 - 4(k-1)k = (k-1)\bigl[(k-1) - 4k\bigr] = (k-1)(-3k-1). \]
I valori critici sono \(k = 1\) e \(k = -\dfrac{1}{3}\). Si ottiene:
\[ \Delta > 0 \iff -\tfrac{1}{3} < k < 1, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{3} \ \text{o}\ k = 1, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{3} \ \text{o}\ k > 1. \]
Caso \(k < -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre negativo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio sempre \(\leq 0\). La disequazione è stretta, quindi \(S = \emptyset\).
Caso \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 1 < 0\): parabola verso il basso, trinomio positivo tra le radici:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > 1\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre positivo. Pertanto \(S = \mathbb{R}\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ (k^2-9)x^2 + 6x + 1 \leq 0 \]
Risultato
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = -3\sqrt{2}, \\[6pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -3\sqrt{2} < k < -3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = -3, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{oppure}\ x \geq x_2, & -3 < k < 3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = 3, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & 3 < k < 3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = 3\sqrt{2}, \\[6pt] S = \emptyset, & k > 3\sqrt{2}. \end{cases} \]
Nei casi con due radici reali distinte, \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici ordinate, con \(x_1 < x_2\). Nei casi \(k = \pm 3\sqrt{2}\), \(x_0\) è la radice doppia.
Svolgimento
Il coefficiente del termine quadratico è \(k^2 - 9 = (k-3)(k+3)\). I casi degeneri si hanno per \(k = \pm 3\).
Caso \(k = -3\) oppure \(k = 3\)
Se \(k = \pm 3\), il termine quadratico si annulla e la disequazione diventa \(6x + 1 \leq 0\), da cui:
\[ x \leq -\frac{1}{6}. \]
Caso \(k \neq \pm 3\)
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta = 36 - 4(k^2-9) = 36 - 4k^2 + 36 = 72 - 4k^2 = 4(18 - k^2). \]
Poiché \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\):
\[ \Delta > 0 \iff -3\sqrt{2} < k < 3\sqrt{2}, \quad \Delta = 0 \iff k = \pm 3\sqrt{2}, \quad \Delta < 0 \iff |k| > 3\sqrt{2}. \]
La concavità dipende dal segno di \(k^2 - 9\):
\[ k^2 - 9 > 0 \iff |k| > 3, \qquad k^2 - 9 < 0 \iff |k| < 3. \]
Caso \(k < -3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre positivo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre \(\geq 0\). Poiché la disequazione è non stretta, l'unica soluzione è la radice doppia:
\[ x = x_0. \]
Caso \(-3\sqrt{2} < k < -3\)
\(\Delta > 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio negativo tra le radici:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(-3 < k < 3\)
\(k^2 - 9 < 0\) (e certamente \(\Delta > 0\)): parabola verso il basso, trinomio negativo all'esterno delle radici. Per \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{oppure} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(3 < k < 3\sqrt{2}\)
\(\Delta > 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio negativo tra le radici:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k = 3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio si annulla solo nella radice doppia:
\[ x = x_0. \]
Caso \(k > 3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parabola verso l'alto, trinomio sempre positivo. Pertanto \(S = \emptyset\).