Le disequazioni con parametro sono disequazioni nelle quali, oltre all’incognita, compare una lettera che rappresenta un numero reale fissato ma non specificato. La difficoltà principale non consiste soltanto nel risolvere la disequazione rispetto all’incognita, ma nel capire come l’insieme delle soluzioni cambi al variare del parametro.
Per questo motivo una disequazione con parametro non produce, in generale, una sola risposta: richiede una discussione per casi, nella quale si distinguono i valori del parametro che modificano il segno, il grado della disequazione oppure il numero delle soluzioni.
Indice
- Incognita e parametro
- Perché è necessaria la discussione per casi
- Disequazioni lineari con parametro
- Disequazioni di secondo grado con parametro
- Discriminante e numero di radici reali
- Concavità e segno del trinomio
- Casi degeneri
- Esempio lineare guidato
- Esempio quadratico completo
- Schema riassuntivo
- Errori più comuni
- Procedura generale
Incognita e parametro
In una disequazione con parametro bisogna distinguere con precisione il ruolo delle lettere presenti.
L’incognita è la variabile rispetto alla quale si risolve la disequazione. Il parametro, invece, viene trattato come un numero reale fissato, ma non noto.
Per esempio:
\[ (k-1)x+2>0 \]
è una disequazione nell’incognita \(x\), mentre \(k\) è il parametro.
Durante la risoluzione \(k\) si comporta come una costante; tuttavia il risultato finale deve tener conto di tutti i possibili valori reali di \(k\).
Questo significa che l’insieme soluzione non sarà scritto soltanto in funzione di \(x\), ma sarà descritto distinguendo i casi del parametro.
Perché è necessaria la discussione per casi
La discussione per casi nasce dal fatto che alcune operazioni algebriche dipendono dal segno di espressioni contenenti il parametro.
Consideriamo la disequazione:
\[ (k-1)x>2 \]
Per isolare \(x\), dovremmo dividere entrambi i membri per \(k-1\). Tuttavia il segno di \(k-1\) non è noto a priori.
Se:
\[ k-1>0 \]
cioè se \(k>1\), possiamo dividere senza cambiare verso:
\[ x>\frac{2}{k-1} \]
Se invece:
\[ k-1<0 \]
cioè se \(k<1\), dividendo per una quantità negativa dobbiamo invertire il verso della disequazione:
\[ x<\frac{2}{k-1} \]
Resta infine il caso:
\[ k-1=0 \]
cioè:
\[ k=1 \]
In questo caso la disequazione diventa:
\[ 0\cdot x>2 \]
ossia:
\[ 0>2 \]
che è una proposizione falsa. Pertanto, per \(k=1\), la disequazione non ha soluzioni.
La soluzione completa è quindi:
\[ \begin{cases} x>\dfrac{2}{k-1}, & k>1,\\[6pt] x<\dfrac{2}{k-1}, & k<1,\\[6pt] S=\emptyset, & k=1. \end{cases} \]
Questo semplice esempio mostra il principio fondamentale: quando si opera con quantità dipendenti dal parametro, bisogna sapere se esse sono positive, negative oppure nulle.
Disequazioni lineari con parametro
Una disequazione lineare con parametro ha generalmente la forma:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
dove \(a(k)\) e \(b(k)\) sono espressioni dipendenti dal parametro.
Il punto essenziale è il coefficiente dell’incognita:
\[ a(k) \]
Se \(a(k)>0\), si può dividere per \(a(k)\) senza cambiare verso. Se \(a(k)<0\), il verso deve essere invertito. Se invece \(a(k)=0\), la disequazione perde l’incognita e diventa una disequazione numerica.
In forma generale:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
equivale, quando \(a(k)\neq0\), a:
\[ a(k)x>-b(k) \]
Perciò:
\[ \begin{cases} x>-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)>0,\\[8pt] x<-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)<0. \end{cases} \]
Il caso \(a(k)=0\) va invece discusso separatamente, perché la disequazione diventa:
\[ b(k)>0 \]
Se questa proposizione è vera, ogni valore reale di \(x\) è soluzione; se è falsa, non esiste alcuna soluzione.
Disequazioni di secondo grado con parametro
Una disequazione di secondo grado con parametro ha forma:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)>0 \]
oppure, più in generale:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)\gtrless 0 \]
In questo caso la discussione è più articolata, perché il parametro può influire su tre aspetti distinti:
- il grado della disequazione;
- il numero di radici reali;
- la concavità della parabola.
Prima di applicare la teoria delle disequazioni di secondo grado bisogna quindi verificare se:
\[ a(k)=0 \]
perché, in tal caso, il termine quadratico scompare e la disequazione non è più di secondo grado.
Solo quando:
\[ a(k)\neq0 \]
ha senso studiare il discriminante del trinomio.
Discriminante e numero di radici reali
Quando la disequazione è effettivamente di secondo grado, il discriminante è:
\[ \Delta(k)=b(k)^2-4a(k)c(k) \]
Il discriminante stabilisce quante radici reali possiede il trinomio.
Caso \(\Delta(k)<0\)
Il trinomio non ha radici reali. La parabola non interseca l’asse delle ascisse.
In questo caso il trinomio mantiene sempre lo stesso segno su tutta la retta reale. Tale segno coincide con il segno del coefficiente del termine quadratico.
Dunque:
- se \(a(k)>0\), il trinomio è sempre positivo;
- se \(a(k)<0\), il trinomio è sempre negativo.
Caso \(\Delta(k)=0\)
Il trinomio ha una radice reale doppia:
\[ x_0=-\frac{b(k)}{2a(k)} \]
La parabola tocca l’asse delle ascisse senza attraversarlo.
In questo caso il trinomio ha lo stesso segno di \(a(k)\) per ogni \(x\neq x_0\), mentre si annulla in \(x=x_0\).
Per questo motivo, nelle disequazioni strette, la radice doppia viene esclusa; nelle disequazioni non strette, viene inclusa se compatibile con il verso della disequazione.
Caso \(\Delta(k)>0\)
Il trinomio ha due radici reali distinte:
\[ x_1=\frac{-b(k)-\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)}, \qquad x_2=\frac{-b(k)+\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)} \]
Dopo averle ordinate in modo che:
\[ x_1<x_2 \]
il segno del trinomio si studia osservando la concavità della parabola.
Concavità e segno del trinomio
Il segno di \(a(k)\) determina la concavità della parabola.
Se:
\[ a(k)>0 \]
la parabola è rivolta verso l’alto. Quando esistono due radici reali distinte, il trinomio è positivo all’esterno delle radici e negativo tra le radici:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
e:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
Se invece:
\[ a(k)<0 \]
la parabola è rivolta verso il basso. Il comportamento si inverte: il trinomio è positivo tra le radici e negativo all’esterno.
Dunque:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
e:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
Questo mostra perché il discriminante non basta: sapere quante radici esistono non è sufficiente. Occorre anche sapere se la parabola è rivolta verso l’alto oppure verso il basso.
Casi degeneri
Un caso degenere si verifica quando il coefficiente del termine di grado massimo si annulla.
Per esempio, nella disequazione:
\[ (k-2)x^2+x+1>0 \]
il coefficiente del termine quadratico è:
\[ k-2 \]
Se:
\[ k=2 \]
la disequazione diventa:
\[ x+1>0 \]
cioè una disequazione lineare.
Se invece:
\[ k\neq2 \]
la disequazione resta di secondo grado e può essere studiata mediante discriminante e concavità .
I casi degeneri devono essere trattati prima dello studio del discriminante, perché il discriminante riguarda soltanto i trinomi effettivamente quadratici.
Esempio lineare guidato
Consideriamo la disequazione:
\[ (k+2)x-1\leq0 \]
L’incognita è \(x\), mentre \(k\) è il parametro.
Portiamo il termine noto al secondo membro:
\[ (k+2)x\leq1 \]
A questo punto il comportamento dipende dal segno di \(k+2\).
Caso \(k+2>0\)
Se:
\[ k>-2 \]
possiamo dividere senza cambiare verso:
\[ x\leq\frac{1}{k+2} \]
Caso \(k+2<0\)
Se:
\[ k<-2 \]
dividendo per una quantità negativa dobbiamo invertire il verso:
\[ x\geq\frac{1}{k+2} \]
Caso \(k+2=0\)
Se:
\[ k=-2 \]
la disequazione diventa:
\[ 0\cdot x-1\leq0 \]
cioè:
\[ -1\leq0 \]
che è vera per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
La soluzione completa è quindi:
\[ \begin{cases} x\leq\dfrac{1}{k+2}, & k>-2,\\[8pt] x\geq\dfrac{1}{k+2}, & k<-2,\\[8pt] S=\mathbb{R}, & k=-2. \end{cases} \]
Esempio quadratico completo
Consideriamo la disequazione:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
In questo esempio il parametro compare nel coefficiente del termine quadratico. Dobbiamo quindi controllare anzitutto se la disequazione resta effettivamente di secondo grado.
Caso degenere: \(k=1\)
Se:
\[ k=1 \]
il termine quadratico si annulla e la disequazione diventa:
\[ 2x+1\geq0 \]
Risolvendo:
\[ 2x\geq-1 \]
quindi:
\[ x\geq-\frac12 \]
Perciò, nel caso \(k=1\), si ha:
\[ S=\left[-\frac12,+\infty\right) \]
Caso quadratico: \(k\neq1\)
Se \(k\neq1\), la disequazione è di secondo grado. Il coefficiente del termine quadratico è:
\[ a=k-1 \]
Il discriminante è:
\[ \Delta=2^2-4(k-1)\cdot1 \]
cioè:
\[ \Delta=4-4k+4=8-4k \]
Studiamo il segno del discriminante:
\[ \Delta>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 8-4k>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<2 \]
\[ \Delta=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k=2 \]
\[ \Delta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>2 \]
Inoltre, la concavità dipende dal segno di \(k-1\):
\[ k-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>1 \]
e:
\[ k-1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<1 \]
I valori critici del parametro sono quindi:
\[ k=1,\qquad k=2 \]
Dobbiamo distinguere i casi:
\[ k<1,\qquad k=1,\qquad 1<k<2,\qquad k=2,\qquad k>2 \]
Caso \(k<1\)
In questo caso:
\[ k-1<0 \]
quindi la parabola è rivolta verso il basso.
Inoltre, poiché \(k<1<2\), si ha:
\[ \Delta>0 \]
Il trinomio ha due radici reali distinte. Poiché la concavità è verso il basso, il trinomio è positivo tra le radici e negativo all’esterno.
Siccome la disequazione è:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
la soluzione è:
\[ S=[x_1,x_2] \]
Caso \(1<k<2\)
In questo caso:
\[ k-1>0 \]
quindi la parabola è rivolta verso l’alto.
Inoltre:
\[ \Delta>0 \]
perché \(k<2\). Il trinomio ha dunque due radici reali distinte.
Con concavità verso l’alto, il trinomio è positivo all’esterno delle radici e negativo tra le radici. Poiché la disequazione è non stretta, le radici devono essere incluse.
Pertanto:
\[ S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty) \]
Caso \(k=2\)
Per \(k=2\), il discriminante è nullo:
\[ \Delta=0 \]
Inoltre:
\[ k-1=1>0 \]
quindi la parabola è rivolta verso l’alto.
Il trinomio ha una radice doppia. Poiché la parabola è rivolta verso l’alto, il trinomio è sempre maggiore o uguale a zero.
Dato che la disequazione richiede:
\[ \geq0 \]
la soluzione è tutta la retta reale:
\[ S=\mathbb{R} \]
Caso \(k>2\)
In questo caso:
\[ \Delta<0 \]
e:
\[ k-1>0 \]
La parabola è rivolta verso l’alto e non interseca l’asse delle ascisse.
Dunque il trinomio è sempre positivo:
\[ (k-1)x^2+2x+1>0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
A maggior ragione soddisfa la disequazione non stretta:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
Perciò:
\[ S=\mathbb{R} \]
Risultato finale
Riassumendo:
\[ \begin{cases} S=[x_1,x_2], & k<1,\\[6pt] S=\left[-\dfrac12,+\infty\right), & k=1,\\[8pt] S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty), & 1<k<2,\\[6pt] S=\mathbb{R}, & k=2,\\[6pt] S=\mathbb{R}, & k>2. \end{cases} \]
Nei casi in cui esistono due radici distinte, \(x_1\) e \(x_2\) indicano le radici del trinomio ordinate in modo che:
\[ x_1<x_2 \]
Schema riassuntivo
Per le disequazioni quadratiche con parametro, una volta esclusi gli eventuali casi degeneri, il comportamento del trinomio si riassume nel seguente schema.
| Condizione | Conseguenza |
|---|---|
| \(\Delta<0,\ a>0\) | Il trinomio è sempre positivo |
| \(\Delta<0,\ a<0\) | Il trinomio è sempre negativo |
| \(\Delta=0\) | Esiste una radice doppia |
| \(\Delta>0,\ a>0\) | Positivo esternamente alle radici, negativo internamente |
| \(\Delta>0,\ a<0\) | Positivo internamente alle radici, negativo esternamente |
Errori più comuni
Dividere per un’espressione contenente il parametro senza studiarne il segno
Se si divide per una quantità che può essere positiva, negativa oppure nulla, bisogna distinguere tutti i casi. In caso contrario si rischia di non invertire il verso quando necessario oppure di dividere per zero.
Dimenticare i casi degeneri
Quando il coefficiente del termine di grado massimo si annulla, la disequazione cambia natura. Una disequazione quadratica può diventare lineare, e una disequazione lineare può diventare numerica.
Studiare soltanto il discriminante
Il discriminante stabilisce il numero delle radici reali, ma non determina da solo il segno del trinomio. Occorre sempre considerare anche la concavità .
Confondere disequazioni strette e non strette
Nelle disequazioni con \(>\) oppure \(<\), gli zeri non si includono. Nelle disequazioni con \(\geq\) oppure \(\leq\), gli zeri si includono, salvo eventuali valori non ammessi.
Non ordinare correttamente i casi del parametro
Quando compaiono più valori critici del parametro, bisogna disporli sulla retta reale e discutere gli intervalli nell’ordine corretto. Questo evita sovrapposizioni, omissioni e casi duplicati.
Procedura generale
Per risolvere una disequazione con parametro conviene seguire una procedura ordinata.
- Si identifica l’incognita e si distingue il parametro.
- Si individuano i valori del parametro che annullano coefficienti importanti.
- Si trattano separatamente gli eventuali casi degeneri.
- Se la disequazione è lineare, si discute il segno del coefficiente dell’incognita.
- Se la disequazione è quadratica, si studia il discriminante come funzione del parametro.
- Si analizza la concavità della parabola mediante il segno del coefficiente del termine quadratico.
- Si determina il segno dell’espressione nei vari casi.
- Si scrive l’insieme soluzione distinguendo tutti i valori o intervalli del parametro.
Le disequazioni con parametro richiedono ordine e attenzione, perché ogni valore particolare del parametro può modificare la natura stessa del problema.
Una buona discussione non consiste nel moltiplicare i calcoli, ma nel riconoscere quali valori del parametro cambiano il grado della disequazione, il verso delle operazioni, il numero delle radici reali o la concavità della parabola.
In questo senso, le disequazioni con parametro rappresentano un passaggio importante: insegnano a non risolvere meccanicamente, ma a controllare l’intera struttura del problema.