Esercizio del 25/03/2026 - 09:00 — livello ★★☆☆☆
\[ 3x^2 + 6x \]
Risultato
\[ 3x(x + 2) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si cerca il massimo fattore comune (MFC) tra tutti i termini del polinomio. In questo caso il MFC è \(3x\).
Identificazione del MFC
I coefficienti \(3\) e \(6\) hanno MCD \(3\). La variabile \(x\) compare in entrambi i termini con esponente almeno \(1\). Quindi MFC \(= 3x\).
Raccoglimento
\[ 3x^2 + 6x = 3x \cdot x + 3x \cdot 2 = 3x(x + 2) \]
Verifica
\[ 3x(x+2) = 3x^2 + 6x \]
Risultato
\[ \boxed{3x(x+2)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 09:15 — livello ★★☆☆☆
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Risultato
\[ 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Svolgimento
Identificazione del MFC
I coefficienti \(4, 8, 12\) hanno MCD \(4\). La variabile \(x\) compare in tutti i termini con esponente almeno \(1\). Quindi MFC \(= 4x\).
Raccoglimento
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x = 4x\cdot x^2 - 4x\cdot 2x + 4x\cdot 3 = 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Verifica
\[ 4x(x^2-2x+3) = 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Risultato
\[ \boxed{4x(x^2 - 2x + 3)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 09:30 — livello ★★☆☆☆
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Risultato
\[ 3xy(2x - 3y + 1) \]
Svolgimento
Identificazione del MFC
I coefficienti \(6, 9, 3\) hanno MCD \(3\). La variabile \(x\) compare con esponente almeno \(1\), la variabile \(y\) anche. Quindi MFC \(= 3xy\).
Raccoglimento
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy = 3xy\cdot2x - 3xy\cdot3y + 3xy\cdot1 = 3xy(2x - 3y + 1) \]
Verifica
\[ 3xy(2x-3y+1) = 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Risultato
\[ \boxed{3xy(2x - 3y + 1)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 09:45 — livello ★★☆☆☆
\[ x^2 - 16 \]
Risultato
\[ (x-4)(x+4) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si riconosce la differenza di quadrati: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) con \(a = x\) e \(b = 4\).
Applicazione della formula
\[ x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4) \]
Verifica
\[ (x-4)(x+4) = x^2+4x-4x-16 = x^2-16 \]
Risultato
\[ \boxed{(x-4)(x+4)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 10:00 — livello ★★☆☆☆
\[ 9x^2 - 25 \]
Risultato
\[ (3x-5)(3x+5) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si riconosce la differenza di quadrati con \(a = 3x\) e \(b = 5\).
Applicazione della formula
\[ 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5) \]
Verifica
\[ (3x-5)(3x+5) = 9x^2+15x-15x-25 = 9x^2-25 \]
Risultato
\[ \boxed{(3x-5)(3x+5)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 10:15 — livello ★★☆☆☆
\[ x^2 + 6x + 9 \]
Risultato
\[ (x+3)^2 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si riconosce il quadrato di binomio: \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) con \(a=x\) e \(b=3\).
Verifica della struttura
Primo termine: \(x^2 = x^2\) \checkmark
Termine centrale: \(6x = 2\cdot x\cdot3\) \checkmark
Ultimo termine: \(9 = 3^2\) \checkmark
Risultato
\[ \boxed{(x+3)^2} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 10:30 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + 5x + 6 \]
Risultato
\[ (x+2)(x+3) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Un trinomio della forma \(x^2+bx+c\) si fattorizza come \((x+p)(x+q)\) dove \(p+q=b\) e \(p\cdot q=c\).
Ricerca di \(p\) e \(q\)
Occorre trovare due numeri il cui prodotto è \(6\) e la cui somma è \(5\):
\[ p\cdot q = 6 \qquad p + q = 5 \implies p = 2,\; q = 3 \]
Fattorizzazione
\[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) \]
Verifica
\[ (x+2)(x+3) = x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6 \]
Risultato
\[ \boxed{(x+2)(x+3)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 10:45 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 \]
Risultato
\[ (x-3)(x-4) \]
Svolgimento
Ricerca di \(p\) e \(q\)
Occorre trovare due numeri il cui prodotto è \(12\) e la cui somma è \(-7\):
\[ p\cdot q = 12 \qquad p+q = -7 \implies p=-3,\; q=-4 \]
Fattorizzazione
\[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \]
Verifica
\[ (x-3)(x-4) = x^2-4x-3x+12 = x^2-7x+12 \]
Risultato
\[ \boxed{(x-3)(x-4)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 11:00 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \]
Risultato
\[ (x+3)(x-2) \]
Svolgimento
Ricerca di \(p\) e \(q\)
Occorre trovare due numeri il cui prodotto è \(-6\) e la cui somma è \(1\):
\[ p\cdot q = -6 \qquad p+q=1 \implies p=3,\; q=-2 \]
Fattorizzazione
\[ x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \]
Verifica
\[ (x+3)(x-2) = x^2-2x+3x-6 = x^2+x-6 \]
Risultato
\[ \boxed{(x+3)(x-2)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 11:15 — livello ★★★☆☆
\[ 2x^2 + 7x + 3 \]
Risultato
\[ (2x+1)(x+3) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Per un trinomio \(ax^2+bx+c\) con \(a\neq1\) si usa il metodo del prodotto \(a\cdot c\): si cercano due numeri il cui prodotto è \(ac = 6\) e la cui somma è \(b = 7\).
Prodotto \(ac\) e ricerca dei fattori
\[ a\cdot c = 2\cdot3 = 6 \qquad p+q=7 \implies p=1,\; q=6 \]
Scomposizione del termine centrale
\[ 2x^2+7x+3 = 2x^2+x+6x+3 \]
Raccoglimento per gruppi
\[ = x(2x+1)+3(2x+1) = (2x+1)(x+3) \]
Verifica
\[ (2x+1)(x+3) = 2x^2+6x+x+3 = 2x^2+7x+3 \]
Risultato
\[ \boxed{(2x+1)(x+3)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 11:30 — livello ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 10x + 3 \]
Risultato
\[ (3x-1)(x-3) \]
Svolgimento
Prodotto \(ac\) e ricerca dei fattori
\[ a\cdot c = 3\cdot3 = 9 \qquad p+q=-10 \implies p=-1,\; q=-9 \]
Scomposizione del termine centrale
\[ 3x^2-10x+3 = 3x^2-x-9x+3 \]
Raccoglimento per gruppi
\[ = x(3x-1)-3(3x-1) = (3x-1)(x-3) \]
Verifica
\[ (3x-1)(x-3) = 3x^2-9x-x+3 = 3x^2-10x+3 \]
Risultato
\[ \boxed{(3x-1)(x-3)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 11:45 — livello ★★★☆☆
\[ 6x^2 + x - 2 \]
Risultato
\[ (3x+2)(2x-1) \]
Svolgimento
Prodotto \(ac\) e ricerca dei fattori
\[ a\cdot c = 6\cdot(-2) = -12 \qquad p+q=1 \implies p=4,\; q=-3 \]
Scomposizione del termine centrale
\[ 6x^2+x-2 = 6x^2+4x-3x-2 \]
Raccoglimento per gruppi
\[ = 2x(3x+2)-(3x+2) = (3x+2)(2x-1) \]
Verifica
\[ (3x+2)(2x-1) = 6x^2-3x+4x-2 = 6x^2+x-2 \]
Risultato
\[ \boxed{(3x+2)(2x-1)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 12:00 — livello ★★★★☆
\[ x^3 - x \]
Risultato
\[ x(x-1)(x+1) \]
Svolgimento
Primo passo: raccoglimento di \(x\)
\[ x^3 - x = x(x^2 - 1) \]
Secondo passo: differenza di quadrati
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Risultato
\[ x^3-x = x(x-1)(x+1) \]
Verifica
\[ x(x-1)(x+1) = x(x^2-1) = x^3-x \]
Risultato
\[ \boxed{x(x-1)(x+1)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 12:15 — livello ★★★★☆
\[ x^3 + 8 \]
Risultato
\[ (x+2)(x^2 - 2x + 4) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si riconosce la somma di cubi: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) con \(a=x\) e \(b=2\).
Applicazione della formula
\[ x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4) \]
Verifica
\[ (x+2)(x^2-2x+4) = x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8 = x^3+8 \]
Risultato
\[ \boxed{(x+2)(x^2-2x+4)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 12:30 — livello ★★★★☆
\[ x^3 - 27 \]
Risultato
\[ (x-3)(x^2+3x+9) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si riconosce la differenza di cubi: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) con \(a=x\) e \(b=3\).
Applicazione della formula
\[ x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9) \]
Verifica
\[ (x-3)(x^2+3x+9) = x^3+3x^2+9x-3x^2-9x-27 = x^3-27 \]
Risultato
\[ \boxed{(x-3)(x^2+3x+9)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 12:45 — livello ★★★★☆
\[ x^3 - x^2 - x + 1 \]
Risultato
\[ (x-1)^2(x+1) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si applica il raccoglimento parziale raggruppando i termini a due a due.
Raggruppamento
\[ (x^3-x^2)+(-x+1) = x^2(x-1)-(x-1) \]
Raccoglimento del fattore comune \((x-1)\)
\[ (x-1)(x^2-1) \]
Ulteriore fattorizzazione: differenza di quadrati
\[ (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1) \]
Verifica
\[ (x-1)^2(x+1) = (x^2-2x+1)(x+1) = x^3+x^2-2x^2-2x+x+1 = x^3-x^2-x+1 \]
Risultato
\[ \boxed{(x-1)^2(x+1)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 13:00 — livello ★★★★☆
\[ 2x^3 + x^2 - 2x - 1 \]
Risultato
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Svolgimento
Raccoglimento parziale
\[ (2x^3+x^2)+(-2x-1) = x^2(2x+1)-(2x+1) \]
Raccoglimento del fattore comune \((2x+1)\)
\[ (2x+1)(x^2-1) \]
Differenza di quadrati
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Verifica
\[ (2x+1)(x^2-1) = 2x^3-2x+x^2-1 = 2x^3+x^2-2x-1 \]
Risultato
\[ \boxed{(2x+1)(x-1)(x+1)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 13:15 — livello ★★★★★
\[ x^4 - 1 \]
Risultato
\[ (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Svolgimento
Primo passo: differenza di quadrati
\[ x^4-1 = (x^2)^2-1^2 = (x^2-1)(x^2+1) \]
Secondo passo: nuova differenza di quadrati
\[ x^2-1 = (x-1)(x+1) \]
Il fattore \(x^2+1\) non si fattorizza ulteriormente nei reali (discriminante \(-4 < 0\)).
Fattorizzazione completa
\[ x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Verifica
\[ (x^2-1)(x^2+1) = x^4+x^2-x^2-1 = x^4-1 \]
Risultato
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x^2+1)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 13:30 — livello ★★★★★
\[ x^4 - 5x^2 + 4 \]
Risultato
\[ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si tratta di un trinomio biquadratico. Si pone \(t = x^2\) per ricondursi a un trinomio di secondo grado in \(t\).
Sostituzione \(t = x^2\)
\[ t^2-5t+4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0 \implies t=1 \text{ oppure } t=4 \]
Ritorno alla variabile \(x\)
\[ t=1 \implies x^2-1=(x-1)(x+1) \]
\[ t=4 \implies x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Fattorizzazione completa
\[ x^4-5x^2+4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Verifica
\[ (x^2-1)(x^2-4) = x^4-4x^2-x^2+4 = x^4-5x^2+4 \]
Risultato
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} \]
Esercizio del 25/03/2026 - 13:45 — livello ★★★★★
\[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \]
Risultato
\[ (x+3)(x-2)(x+2) \]
Svolgimento
Raccoglimento parziale
\[ (x^3+3x^2)+(-4x-12) = x^2(x+3)-4(x+3) \]
Raccoglimento del fattore comune \((x+3)\)
\[ (x+3)(x^2-4) \]
Differenza di quadrati
\[ x^2-4 = (x-2)(x+2) \]
Fattorizzazione completa
\[ x^3+3x^2-4x-12 = (x+3)(x-2)(x+2) \]
Verifica
\[ (x+3)(x^2-4) = x^3-4x+3x^2-12 = x^3+3x^2-4x-12 \]
Risultato
\[ \boxed{(x+3)(x-2)(x+2)} \]