Esercizio del 12/03/2026 - 3:30
\[ \frac{(x^2 - 9)(x^2 + 6x + 9) - (x+3)^2(x-3)^2}{x^2 - 3x} \]
Risultato
\[ \frac{6(x+3)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
La frazione esiste solo quando il denominatore è diverso da zero. Fattorizziamo subito: \[ x^2 - 3x = x(x-3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 3 \).
Idea risolutiva
Sia il numeratore che il denominatore contengono prodotti notevoli: l'obiettivo è fattorizzare tutto, raccogliere i fattori comuni e semplificare la frazione.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3), \quad x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \] Il numeratore diventa quindi:
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni nel numeratore: \[ (x-3)(x+3)^3 - (x-3)^2(x+3)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-3)\) e \((x+3)^2\): li raccogliamo fuori: \[ (x-3)(x+3)^2\,[(x+3)-(x-3)] \]
Semplificazione della parentesi
La differenza tra i due binomi si riduce a una costante: \[ (x+3)-(x-3) = x+3-x+3 = 6 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2 - 3x = x(x-3) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{6(x+3)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-3)(x+3)^3 - (x-3)^2(x+3)^2}{x^2-3x} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)^2\,[(x+3)-(x-3)]}{x(x-3)} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)^2 \cdot 6}{x(x-3)} \] \[ = \frac{6(x+3)^2}{x} \]
Esercizio del 12/03/2026 - 3:45
\[ \frac{(x^2-1)(x^2-4)-(x-1)(x+1)(x-2)^2}{x^2-3x+2} \]
Risultato
\[ 4(x+1) \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore per trovare i valori esclusi: \[ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 1 \) e \( x \neq 2 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di due prodotti che condividono fattori comuni. Fattorizzando con i prodotti notevoli, possiamo raccogliere quei fattori e semplificare tutto con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)(x-2)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-1)\), \((x+1)\) e \((x-2)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-1)(x+1)(x-2)\,[(x+2)-(x-2)] \]
Calcolo della parentesi
La differenza tra i binomi si annulla lasciando solo una costante: \[ (x+2)-(x-2) = x+2-x+2 = 4 \]
Denominatore fattorizzato
Troviamo due numeri il cui prodotto è \(2\) e la cui somma è \(-3\): sono \(-1\) e \(-2\): \[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]
Risultato
Semplificando \((x-1)\) e \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{4(x+1)} \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)(x-2)^2}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)\,[(x+2)-(x-2)]}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-2) \cdot 4}{(x-1)(x-2)} \] \[ = 4(x+1) \]
Esercizio del 12/03/2026 - 6:35
\[ \frac{(x^2-4)^2-(x^2-1)^2}{x(x^2-4)} \]
Risultato
\[ \frac{-3(2x^2-5)}{x(x-2)(x+2)} \quad x \neq 0,\; x \neq 2,\; x \neq -2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x(x^2-4) = x(x-2)(x+2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \), \( x \neq 2 \) e \( x \neq -2 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di quadrati in cui i "quadrati" non sono semplici variabili, ma interi polinomi. Poniamo \(A = x^2-4\) e \(B = x^2-1\) e applichiamo la formula: \[ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \]
Applicazione della formula
Sostituendo \(A\) e \(B\): \[ [x^2-4-(x^2-1)][x^2-4+(x^2-1)] \]
Calcolo dei due fattori
Nel primo fattore i termini in \(x^2\) si cancellano; nel secondo si sommano: \[ [(x^2-4)-(x^2-1)] = -3 \] \[ [x^2-4+(x^2-1)] = 2x^2-5 \]
Numeratore semplificato
Il numeratore diventa quindi il prodotto dei due fattori appena calcolati: \[ -3(2x^2-5) \]
Denominatore fattorizzato
Applichiamo la differenza di quadrati anche a \(x^2 - 4\): \[ x(x^2-4) = x(x-2)(x+2) \]
Risultato
Non ci sono fattori comuni tra numeratore e denominatore, quindi la forma finale è: \[ \boxed{\frac{-3(2x^2-5)}{x(x-2)(x+2)}} \quad x \neq 0,\; x \neq 2,\; x \neq -2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4)^2-(x^2-1)^2}{x(x^2-4)} \] \[ = \frac{\bigl(x^2-4-(x^2-1)\bigr)\bigl(x^2-4+(x^2-1)\bigr)}{x(x^2-4)} \] \[ = \frac{(-3)(2x^2-5)}{x(x^2-4)} \] \[ = \frac{-3(2x^2-5)}{x(x-2)(x+2)} \]
Esercizio del 13/03/2026 - 5:34
\[ \frac{(x^2-4x+4)(x^2-1)-(x-2)^2(x-1)^2}{x^2-3x+2} \]
Risultato
\[ 2(x-2) \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 1 \) e \( x \neq 2 \).
Idea risolutiva
Prima di tutto riconosciamo i prodotti notevoli nascosti nel numeratore, così da poter raccogliere i fattori comuni e semplificare con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo il quadrato di binomio e la differenza di quadrati: \[ x^2-4x+4 = (x-2)^2, \quad x^2-1 = (x-1)(x+1) \] Il numeratore diventa: \[ (x-2)^2(x-1)(x+1)-(x-2)^2(x-1)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-2)^2\) e \((x-1)\): \[ (x-2)^2(x-1)\,[(x+1)-(x-1)] \]
Calcolo della parentesi
La differenza tra i binomi lascia solo una costante: \[ (x+1)-(x-1) = x+1-x+1 = 2 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(2\) e somma \(-3\) sono \(-1\) e \(-2\): \[ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \]
Risultato
Semplificando \((x-1)\) e \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{2(x-2)} \quad x \neq 1,\; x \neq 2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4x+4)(x^2-1)-(x-2)^2(x-1)^2}{x^2-3x+2} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x-1)(x+1)-(x-2)^2(x-1)^2}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x-1)\,[(x+1)-(x-1)]}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)^2(x-1) \cdot 2}{(x-1)(x-2)} \] \[ = 2(x-2) \]
Esercizio del 13/03/2026 - 6:05
\[ \frac{(x^2-9)(x^2-4x+4)-(x-3)^2(x-2)^2}{x^2-5x+6} \]
Risultato
\[ 6(x-2) \quad x \neq 2,\; x \neq 3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 2 \) e \( x \neq 3 \).
Idea risolutiva
Come negli esercizi analoghi, si tratta di fattorizzare il numeratore usando i prodotti notevoli, raccogliere il fattore comune e poi semplificare con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-9 = (x-3)(x+3), \quad x^2-4x+4 = (x-2)^2 \] Il numeratore diventa: \[ (x-3)(x+3)(x-2)^2-(x-3)^2(x-2)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-3)\) e \((x-2)^2\): \[ (x-3)(x-2)^2\,[(x+3)-(x-3)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e rimane solo la somma delle costanti: \[ (x+3)-(x-3) = x+3-x+3 = 6 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(6\) e somma \(-5\) sono \(-2\) e \(-3\): \[ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) e \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{6(x-2)} \quad x \neq 2,\; x \neq 3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-9)(x^2-4x+4)-(x-3)^2(x-2)^2}{x^2-5x+6} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-2)^2-(x-3)^2(x-2)^2}{(x-2)(x-3)} \] \[ = \frac{(x-3)(x-2)^2\,[(x+3)-(x-3)]}{(x-2)(x-3)} \] \[ = \frac{(x-3)(x-2)^2 \cdot 6}{(x-2)(x-3)} \] \[ = 6(x-2) \]
Esercizio del 20/03/2026 - 3:46
\[ \frac{(x^2-4)(x^2+4x+4)-(x-2)^2(x+2)^2}{x^2-2x} \]
Risultato
\[ \frac{4(x+2)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 2 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-2x = x(x-2) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 2 \).
Idea risolutiva
La struttura è analoga al primo esercizio: si riconoscono i prodotti notevoli, si raccoglie il fattore comune nel numeratore e si semplifica con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-4 = (x-2)(x+2), \quad x^2+4x+4 = (x+2)^2 \] Il numeratore diventa: \[ (x-2)(x+2)^3-(x-2)^2(x+2)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-2)\) e \((x+2)^2\): \[ (x-2)(x+2)^2\,[(x+2)-(x-2)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si eliminano e restano solo le costanti: \[ (x+2)-(x-2) = x+2-x+2 = 4 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2-2x = x(x-2) \]
Risultato
Semplificando \((x-2)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{4(x+2)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 2 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4)(x^2+4x+4)-(x-2)^2(x+2)^2}{x^2-2x} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)^3-(x-2)^2(x+2)^2}{x(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)^2\,[(x+2)-(x-2)]}{x(x-2)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)^2 \cdot 4}{x(x-2)} \] \[ = \frac{4(x+2)^2}{x} \]
Esercizio del 21/03/2026 - 4:00
\[ \frac{(x^2-16)(x^2+8x+16)-(x-4)^2(x+4)^2}{x^2-4x} \]
Risultato
\[ \frac{8(x+4)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
La frazione esiste solo quando il denominatore è diverso da zero. Fattorizziamo subito: \[ x^2-4x = x(x-4) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 4 \).
Idea risolutiva
Numeratore e denominatore contengono prodotti notevoli. L'obiettivo è fattorizzare tutto, raccogliere i fattori comuni nel numeratore e semplificare la frazione.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-16 = (x-4)(x+4), \quad x^2+8x+16 = (x+4)^2 \] Il numeratore diventa quindi:
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni nel numeratore: \[ (x-4)(x+4)^3-(x-4)^2(x+4)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-4)\) e \((x+4)^2\): li raccogliamo fuori: \[ (x-4)(x+4)^2\,[(x+4)-(x-4)] \]
Semplificazione della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+4)-(x-4) = x+4-x+4 = 8 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2-4x = x(x-4) \]
Risultato
Semplificando \((x-4)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{8(x+4)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 4 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-16)(x^2+8x+16)-(x-4)^2(x+4)^2}{x^2-4x} \] \[ = \frac{(x-4)(x+4)^3-(x-4)^2(x+4)^2}{x(x-4)} \] \[ = \frac{(x-4)(x+4)^2\,[(x+4)-(x-4)]}{x(x-4)} \] \[ = \frac{(x-4)(x+4)^2 \cdot 8}{x(x-4)} \] \[ = \frac{8(x+4)^2}{x} \]
Esercizio del 21/03/2026 - 4:20
\[ \frac{(x^2-25)(x^2+10x+25)-(x+5)^2(x-5)^2}{x^2-5x} \]
Risultato
\[ \frac{10(x+5)^2}{x} \quad x \neq 0,\; x \neq 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-5x = x(x-5) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \) e \( x \neq 5 \).
Idea risolutiva
La struttura è analoga agli esercizi precedenti: fattorizzare con i prodotti notevoli, raccogliere i fattori comuni e semplificare.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo la differenza di quadrati e il quadrato di binomio: \[ x^2-25 = (x-5)(x+5), \quad x^2+10x+25 = (x+5)^2 \] Il numeratore diventa quindi:
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-5)(x+5)^3-(x-5)^2(x+5)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-5)\) e \((x+5)^2\): \[ (x-5)(x+5)^2\,[(x+5)-(x-5)] \]
Semplificazione della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+5)-(x-5) = x+5-x+5 = 10 \]
Denominatore fattorizzato
Raccogliamo \(x\) a fattore comune: \[ x^2-5x = x(x-5) \]
Risultato
Semplificando \((x-5)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{\frac{10(x+5)^2}{x}} \quad x \neq 0,\; x \neq 5 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-25)(x^2+10x+25)-(x+5)^2(x-5)^2}{x^2-5x} \] \[ = \frac{(x-5)(x+5)^3-(x-5)^2(x+5)^2}{x(x-5)} \] \[ = \frac{(x-5)(x+5)^2\,[(x+5)-(x-5)]}{x(x-5)} \] \[ = \frac{(x-5)(x+5)^2 \cdot 10}{x(x-5)} \] \[ = \frac{10(x+5)^2}{x} \]
Esercizio del 21/03/2026 - 4:45
\[ \frac{(x^2-9)(x^2-16)-(x-3)(x+3)(x-4)^2}{x^2-7x+12} \]
Risultato
\[ 8(x+3) \quad x \neq 3,\; x \neq 4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 3 \) e \( x \neq 4 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di due prodotti che condividono fattori comuni. Fattorizzando con le differenze di quadrati, possiamo raccogliere e semplificare con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-9=(x-3)(x+3), \quad x^2-16=(x-4)(x+4) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-3)(x+3)(x-4)(x+4)-(x-3)(x+3)(x-4)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-3)\), \((x+3)\) e \((x-4)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-3)(x+3)(x-4)\,[(x+4)-(x-4)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+4)-(x-4) = x+4-x+4 = 8 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(12\) e somma \(-7\) sono \(-3\) e \(-4\): \[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) e \((x-4)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{8(x+3)} \quad x \neq 3,\; x \neq 4 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-9)(x^2-16)-(x-3)(x+3)(x-4)^2}{x^2-7x+12} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)-(x-3)(x+3)(x-4)^2}{(x-3)(x-4)} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-4)\,[(x+4)-(x-4)]}{(x-3)(x-4)} \] \[ = \frac{(x-3)(x+3)(x-4) \cdot 8}{(x-3)(x-4)} \] \[ = 8(x+3) \]
Esercizio del 21/03/2026 - 5:10
\[ \frac{(x^2-4)(x^2-25)-(x-2)(x+2)(x-5)^2}{x^2-7x+10} \]
Risultato
\[ 10(x+2) \quad x \neq 2,\; x \neq 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-7x+10 = (x-2)(x-5) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 2 \) e \( x \neq 5 \).
Idea risolutiva
Come nell'esercizio precedente, si fattorizzano entrambe le differenze di quadrati nel numeratore, si raccoglie il fattore comune e si semplifica con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-4=(x-2)(x+2), \quad x^2-25=(x-5)(x+5) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-2)(x+2)(x-5)(x+5)-(x-2)(x+2)(x-5)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-2)\), \((x+2)\) e \((x-5)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-2)(x+2)(x-5)\,[(x+5)-(x-5)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+5)-(x-5) = x+5-x+5 = 10 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(10\) e somma \(-7\) sono \(-2\) e \(-5\): \[ x^2-7x+10 = (x-2)(x-5) \]
Risultato
Semplificando \((x-2)\) e \((x-5)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{10(x+2)} \quad x \neq 2,\; x \neq 5 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-4)(x^2-25)-(x-2)(x+2)(x-5)^2}{x^2-7x+10} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-5)(x+5)-(x-2)(x+2)(x-5)^2}{(x-2)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-5)\,[(x+5)-(x-5)]}{(x-2)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-2)(x+2)(x-5) \cdot 10}{(x-2)(x-5)} \] \[ = 10(x+2) \]
Esercizio del 22/03/2026 - 3:30
\[ \frac{(x^2-9)^2-(x^2-4)^2}{x(x^2-9)} \]
Risultato
\[ \frac{-5(2x^2-13)}{x(x-3)(x+3)} \quad x \neq 0,\; x \neq 3,\; x \neq -3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \), \( x \neq 3 \) e \( x \neq -3 \).
Idea risolutiva
Il numeratore è una differenza di quadrati in cui i "quadrati" sono interi polinomi. Poniamo \(A = x^2-9\) e \(B = x^2-4\) e applichiamo la formula: \[ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \]
Applicazione della formula
Sostituendo \(A\) e \(B\): \[ \bigl[x^2-9-(x^2-4)\bigr]\bigl[x^2-9+(x^2-4)\bigr] \]
Calcolo dei due fattori
Nel primo fattore i termini in \(x^2\) si cancellano; nel secondo si sommano: \[ (x^2-9-(x^2-4)) = -5 \] \[ (x^2-9+(x^2-4)) = 2x^2-13 \]
Numeratore semplificato
Il numeratore diventa il prodotto dei due fattori appena calcolati: \[ -5(2x^2-13) \]
Denominatore fattorizzato
Applichiamo la differenza di quadrati a \(x^2-9\): \[ x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) \]
Risultato
Non ci sono fattori comuni tra numeratore e denominatore, quindi la forma finale è: \[ \boxed{\frac{-5(2x^2-13)}{x(x-3)(x+3)}} \quad x \neq 0,\; x \neq 3,\; x \neq -3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-9)^2-(x^2-4)^2}{x(x^2-9)} \] \[ = \frac{\bigl(x^2-9-(x^2-4)\bigr)\bigl(x^2-9+(x^2-4)\bigr)}{x(x^2-9)} \] \[ = \frac{(-5)(2x^2-13)}{x(x^2-9)} \] \[ = \frac{-5(2x^2-13)}{x(x-3)(x+3)} \]
Esercizio del 22/03/2026 - 3:55
\[ \frac{(x^2-16)^2-(x^2-9)^2}{x(x^2-16)} \]
Risultato
\[ \frac{-7(2x^2-25)}{x(x-4)(x+4)} \quad x \neq 0,\; x \neq 4,\; x \neq -4 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x(x^2-16) = x(x-4)(x+4) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 0 \), \( x \neq 4 \) e \( x \neq -4 \).
Idea risolutiva
Come nell'esercizio precedente, il numeratore è una differenza di quadrati tra due polinomi. Poniamo \(A = x^2-16\) e \(B = x^2-9\) e applichiamo: \[ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \]
Applicazione della formula
Sostituendo \(A\) e \(B\): \[ \bigl(x^2-16-(x^2-9)\bigr)\bigl(x^2-16+(x^2-9)\bigr) \]
Calcolo dei due fattori
Nel primo fattore i termini in \(x^2\) si cancellano; nel secondo si sommano: \[ (x^2-16-(x^2-9)) = -7 \] \[ (x^2-16+(x^2-9)) = 2x^2-25 \]
Numeratore semplificato
Il numeratore diventa il prodotto dei due fattori appena calcolati: \[ -7(2x^2-25) \]
Denominatore fattorizzato
Applichiamo la differenza di quadrati a \(x^2-16\): \[ x(x^2-16) = x(x-4)(x+4) \]
Risultato
Non ci sono fattori comuni tra numeratore e denominatore, quindi la forma finale è: \[ \boxed{\frac{-7(2x^2-25)}{x(x-4)(x+4)}} \quad x \neq 0,\; x \neq 4,\; x \neq -4 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-16)^2-(x^2-9)^2}{x(x^2-16)} \] \[ = \frac{\bigl(x^2-16-(x^2-9)\bigr)\bigl(x^2-16+(x^2-9)\bigr)}{x(x^2-16)} \] \[ = \frac{(-7)(2x^2-25)}{x(x^2-16)} \] \[ = \frac{-7(2x^2-25)}{x(x-4)(x+4)} \]
Esercizio del 22/03/2026 - 4:20
\[ \frac{(x^2-6x+9)(x^2-25)-(x-3)^2(x-5)^2}{x^2-8x+15} \]
Risultato
\[ 10(x-3) \quad x \neq 3,\; x \neq 5 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2-8x+15 = (x-3)(x-5) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 3 \) e \( x \neq 5 \).
Idea risolutiva
Riconosciamo i prodotti notevoli nel numeratore, raccogliamo i fattori comuni e semplifichiamo con il denominatore.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Riconosciamo il quadrato di binomio e la differenza di quadrati: \[ x^2-6x+9 = (x-3)^2, \quad x^2-25 = (x-5)(x+5) \] Il numeratore diventa: \[ (x-3)^2(x-5)(x+5)-(x-3)^2(x-5)^2 \]
Raccolta del fattore comune
Entrambi i termini contengono \((x-3)^2\) e \((x-5)\): \[ (x-3)^2(x-5)\,[(x+5)-(x-5)] \]
Calcolo della parentesi
Le \(x\) si cancellano e restano solo le costanti: \[ (x+5)-(x-5) = x+5-x+5 = 10 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(15\) e somma \(-8\) sono \(-3\) e \(-5\): \[ x^2-8x+15 = (x-3)(x-5) \]
Risultato
Semplificando \((x-3)\) e \((x-5)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{10(x-3)} \quad x \neq 3,\; x \neq 5 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x^2-6x+9)(x^2-25)-(x-3)^2(x-5)^2}{x^2-8x+15} \] \[ = \frac{(x-3)^2(x-5)(x+5)-(x-3)^2(x-5)^2}{(x-3)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-3)^2(x-5)\,[(x+5)-(x-5)]}{(x-3)(x-5)} \] \[ = \frac{(x-3)^2(x-5) \cdot 10}{(x-3)(x-5)} \] \[ = 10(x-3) \]
Esercizio del 22/03/2026 - 4:50
\[ \frac{(x^2-1)(x^2-9)-(x+1)(x-1)(x+3)^2}{x^2+2x-3} \]
Risultato
\[ -6(x+1) \quad x \neq 1,\; x \neq -3 \]
Svolgimento
Condizioni di esistenza
Fattorizziamo il denominatore: \[ x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) \neq 0 \] Quindi: \( x \neq 1 \) e \( x \neq -3 \).
Idea risolutiva
Il numeratore contiene una differenza di due prodotti con fattori in comune. Attenzione: la raccolta produrrà una differenza di binomi con segno negativo, quindi il risultato finale sarà negativo.
Scomposizione dei prodotti notevoli
Entrambi i fattori del primo termine sono differenze di quadrati: \[ x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Numeratore fattorizzato
Sostituendo le scomposizioni: \[ (x-1)(x+1)(x-3)(x+3)-(x-1)(x+1)(x+3)^2 \]
Raccolta del fattore comune
I tre fattori \((x-1)\), \((x+1)\) e \((x+3)\) compaiono in entrambi i termini: \[ (x-1)(x+1)(x+3)\,[(x-3)-(x+3)] \]
Calcolo della parentesi
Sottraendo i binomi, le \(x\) si annullano e resta un valore negativo: \[ (x-3)-(x+3) = x-3-x-3 = -6 \]
Denominatore fattorizzato
Due numeri con prodotto \(-3\) e somma \(2\) sono \(-1\) e \(3\): \[ x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) \]
Risultato
Semplificando \((x-1)\) e \((x+3)\) tra numeratore e denominatore: \[ \boxed{-6(x+1)} \quad x \neq 1,\; x \neq -3 \]
Soluzione sintetica (tutti i passaggi)
\[ = \frac{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)-(x-1)(x+1)(x+3)^2}{(x-1)(x+3)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x+3)\,[(x-3)-(x+3)]}{(x-1)(x+3)} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)(x+3) \cdot (-6)}{(x-1)(x+3)} \] \[ = -6(x+1) \]