Questa raccolta propone 20 esercizi svolti su monomi e polinomi, ordinati secondo una progressione che segue passo dopo passo la teoria. Inizieremo dal riconoscimento dei monomi e dalla loro riduzione in forma normale; studieremo poi il coefficiente, la parte letterale, il grado e le operazioni fondamentali. Passeremo infine alla struttura dei polinomi, alla loro classificazione, alle operazioni e al calcolo del valore numerico.
Ogni esercizio è accompagnato da uno svolgimento completo, nel quale vengono motivate le regole utilizzate e chiarite le condizioni necessarie per applicarle. L'obiettivo non è soltanto ottenere il risultato corretto, ma comprendere la struttura delle espressioni e il significato di ciascun passaggio.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'espressione
\[ 5x^2y^3 \]
è un monomio.
Risultato
Sì, l'espressione è un monomio.
Svolgimento
Un monomio è un'espressione algebrica costituita dal prodotto di un coefficiente numerico e, se presenti, di potenze di variabili con esponenti interi non negativi.
Nell'espressione
\[ 5x^2y^3 \]
il fattore numerico è \(5\), mentre la parte letterale è
\[ x^2y^3. \]
La variabile \(x\) compare con esponente \(2\), mentre la variabile \(y\) compare con esponente \(3\). Entrambi gli esponenti sono numeri interi non negativi.
Inoltre, le variabili non compaiono al denominatore, sotto un radicale o all'esponente di altre potenze. L'espressione possiede quindi esattamente la struttura richiesta dalla definizione di monomio.
Pertanto
\[ 5x^2y^3 \]
è un monomio con coefficiente \(5\) e parte letterale \(x^2y^3\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'espressione
\[ \frac{3}{x} \]
è un monomio.
Risultato
No, l'espressione non è un monomio.
Svolgimento
In un monomio le variabili possono comparire soltanto come basi di potenze aventi esponenti interi non negativi.
Nell'espressione
\[ \frac{3}{x} \]
la variabile \(x\) compare al denominatore. Per \(x\neq0\), l'espressione può essere riscritta utilizzando un esponente negativo:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
L'esponente di \(x\) è quindi \(-1\), che è un numero intero negativo e non appartiene all'insieme
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
La presenza della variabile al denominatore, o equivalentemente di un esponente negativo, impedisce dunque all'espressione di essere un monomio.
Pertanto
\[ \frac{3}{x} \]
non è un monomio.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Ridurre in forma normale il monomio
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
Risultato
\[ -6x^6y^3 \]
Svolgimento
Un monomio è scritto in forma normale quando tutti i fattori numerici sono stati moltiplicati tra loro e ciascuna variabile compare una sola volta, elevata al proprio esponente.
Nell'espressione
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 \]
i fattori numerici sono \(2\) e \(-3\). Il loro prodotto è
\[ 2\cdot(-3)=-6. \]
Passiamo ora alla parte letterale. La variabile \(x\) compare nelle potenze
\[ x^2 \qquad\text{e}\qquad x^4. \]
Applicando la proprietà del prodotto di potenze aventi la stessa base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
otteniamo
\[ x^2x^4=x^{2+4}=x^6. \]
La variabile \(y\) compare una prima volta senza esponente scritto e una seconda volta nella potenza \(y^2\). Poiché
\[ y=y^1, \]
si ha
\[ y\cdot y^2=y^{1+2}=y^3. \]
Riunendo il coefficiente e la parte letterale, otteniamo
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 = -6x^6y^3. \]
Il monomio è ora scritto in forma normale: il coefficiente è \(-6\), mentre ciascuna variabile compare una sola volta.
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Nel monomio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
individuare il coefficiente e la parte letterale.
Risultato
Il coefficiente è
\[ -\frac{5}{2}, \]
mentre la parte letterale è
\[ a^3b^2. \]
Svolgimento
In un monomio non nullo scritto in forma normale si distinguono due componenti: il fattore numerico, comprensivo del segno, prende il nome di coefficiente; il prodotto delle potenze delle variabili costituisce invece la parte letterale.
Consideriamo il monomio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2. \]
Il fattore numerico è
\[ -\frac{5}{2}. \]
Il segno meno appartiene al coefficiente e non deve essere separato da esso. Il coefficiente del monomio è quindi
\[ -\frac{5}{2}. \]
I fattori letterali sono invece
\[ a^3 \qquad\text{e}\qquad b^2. \]
Il loro prodotto forma la parte letterale:
\[ a^3b^2. \]
Pertanto, nel monomio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
il coefficiente è \(\displaystyle -\frac{5}{2}\), mentre la parte letterale è \(a^3b^2\).
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Determinare il grado rispetto a ciascuna variabile e il grado complessivo del monomio
\[ -7x^3y^2z. \]
Risultato
Il grado rispetto a \(x\) è \(3\), il grado rispetto a \(y\) è \(2\), il grado rispetto a \(z\) è \(1\).
Il grado complessivo del monomio è
\[ 6. \]
Svolgimento
Il grado rispetto a una variabile è l'esponente con cui quella variabile compare nella forma normale del monomio.
Consideriamo
\[ -7x^3y^2z. \]
La variabile \(x\) compare nella potenza \(x^3\). Il grado rispetto a \(x\) è quindi
\[ 3. \]
La variabile \(y\) compare nella potenza \(y^2\). Il grado rispetto a \(y\) è pertanto
\[ 2. \]
La variabile \(z\) compare senza esponente scritto. In questo caso l'esponente è implicitamente uguale a \(1\), poiché
\[ z=z^1. \]
Il grado rispetto a \(z\) è dunque
\[ 1. \]
Il grado complessivo di un monomio non nullo si ottiene sommando gli esponenti di tutte le variabili presenti nella sua parte letterale.
Nel nostro caso si ha
\[ 3+2+1=6. \]
Il coefficiente \(-7\) non influisce sul grado, perché il grado dipende esclusivamente dagli esponenti della parte letterale.
Pertanto il monomio
\[ -7x^3y^2z \]
ha grado \(3\) rispetto a \(x\), grado \(2\) rispetto a \(y\), grado \(1\) rispetto a \(z\) e grado complessivo \(6\).
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Considerare i monomi
\[ A=2x^2\cdot 3y,\qquad B=6yx^2,\qquad C=-6x^2y,\qquad D=4xy^2. \]
Stabilire quali monomi sono uguali, quali sono simili e quali sono opposti.
Risultato
I monomi \(A\) e \(B\) sono uguali.
I monomi \(A\), \(B\) e \(C\) sono simili.
I monomi \(A\) e \(C\), così come \(B\) e \(C\), sono opposti.
Il monomio \(D\) non è simile agli altri.
Svolgimento
Per confrontare correttamente dei monomi è necessario scriverli anzitutto in forma normale. In questo modo è possibile riconoscere con immediatezza il coefficiente e la parte letterale di ciascuno.
Il primo monomio è
\[ A=2x^2\cdot 3y. \]
Moltiplicando i coefficienti numerici si ottiene
\[ 2\cdot 3=6, \]
mentre la parte letterale è già costituita dal prodotto \(x^2y\). Pertanto
\[ A=6x^2y. \]
Il secondo monomio è
\[ B=6yx^2. \]
L'ordine dei fattori letterali non modifica il prodotto, perché la moltiplicazione è commutativa. Disponendo le variabili in ordine alfabetico si ottiene
\[ B=6x^2y. \]
I monomi \(A\) e \(B\) hanno quindi lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale. Essi sono pertanto uguali.
Il terzo monomio è
\[ C=-6x^2y. \]
La sua parte letterale è ancora
\[ x^2y, \]
mentre il coefficiente è \(-6\). Poiché \(A\), \(B\) e \(C\) possiedono la stessa parte letterale, essi sono simili.
Due monomi simili sono opposti quando hanno coefficienti opposti. I coefficienti di \(A\) e \(C\) sono rispettivamente \(6\) e \(-6\); lo stesso vale per \(B\) e \(C\). Di conseguenza,
\[ A+C=6x^2y-6x^2y=0 \]
e
\[ B+C=6x^2y-6x^2y=0. \]
Pertanto \(A\) e \(C\) sono opposti, così come \(B\) e \(C\).
Consideriamo infine
\[ D=4xy^2. \]
La sua parte letterale è
\[ xy^2, \]
che è diversa da \(x^2y\). Il monomio \(D\) non è quindi simile ad \(A\), \(B\) o \(C\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Ridurre la seguente somma algebrica di monomi:
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Risultato
\[ 4x^2y+3xy^2 \]
Svolgimento
Nell'addizione e nella sottrazione tra monomi possono essere riuniti direttamente soltanto i termini simili, cioè i monomi che possiedono la stessa parte letterale.
Consideriamo l'espressione
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
I monomi
\[ 7x^2y \qquad\text{e}\qquad -3x^2y \]
sono simili, perché possiedono entrambi la parte letterale
\[ x^2y. \]
Si sommano quindi algebricamente i rispettivi coefficienti:
\[ 7-3=4. \]
Si ottiene pertanto
\[ 7x^2y-3x^2y=4x^2y. \]
Anche i monomi
\[ 5xy^2 \qquad\text{e}\qquad -2xy^2 \]
sono simili, perché hanno entrambi parte letterale
\[ xy^2. \]
Sommando i coefficienti si ha
\[ 5-2=3, \]
e quindi
\[ 5xy^2-2xy^2=3xy^2. \]
Riunendo i risultati ottenuti,
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2 = 4x^2y+3xy^2. \]
I monomi \(4x^2y\) e \(3xy^2\) non sono simili, perché hanno parti letterali diverse. Non possono quindi essere ulteriormente riuniti.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il prodotto
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Risultato
\[ -10x^5y^5 \]
Svolgimento
Il prodotto di due monomi è sempre un monomio. Per calcolarlo si moltiplicano i coefficienti numerici e si sommano gli esponenti delle potenze aventi la stessa base.
Consideriamo
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
I coefficienti numerici sono \(2\) e \(-5\). Il loro prodotto è
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Per la variabile \(x\) si ha
\[ x^3\cdot x^2. \]
Applicando la proprietà del prodotto di potenze aventi la stessa base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
otteniamo
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Per la variabile \(y\) si ha invece
\[ y\cdot y^4. \]
Poiché \(y=y^1\),
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Riunendo il coefficiente e la parte letterale, si ottiene
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) = -10x^5y^5. \]
Il risultato è già scritto in forma normale.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Calcolare la potenza
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
Risultato
\[ -8x^9y^6 \]
Svolgimento
Per elevare un monomio a un esponente intero positivo si eleva il coefficiente a tale esponente e si moltiplica ciascun esponente della parte letterale per l'esponente della potenza.
Consideriamo
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
La potenza riguarda l'intero monomio. Possiamo quindi scrivere
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3\left(x^3\right)^3\left(y^2\right)^3. \]
Calcoliamo anzitutto la potenza del coefficiente:
\[ (-2)^3=-8. \]
Il risultato è negativo perché il coefficiente è negativo e l'esponente \(3\) è dispari.
Per la variabile \(x\) si applica la proprietà della potenza di una potenza:
\[ \left(x^m\right)^n=x^{mn}. \]
Pertanto
\[ \left(x^3\right)^3=x^{3\cdot3}=x^9. \]
Analogamente, per la variabile \(y\) si ha
\[ \left(y^2\right)^3=y^{2\cdot3}=y^6. \]
Riunendo il coefficiente e la parte letterale, otteniamo
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = -8x^9y^6. \]
Il risultato è già scritto in forma normale.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se il monomio
\[ 12x^5y^3 \]
è divisibile per il monomio
\[ 3x^2y \]
e, in caso affermativo, determinare il monomio quoziente.
Risultato
Il monomio \(12x^5y^3\) è divisibile per \(3x^2y\).
Il monomio quoziente è
\[ 4x^3y^2. \]
Svolgimento
Un monomio \(M\) è divisibile per un monomio non nullo \(N\) quando esiste un monomio \(Q\) tale che
\[ M=NQ. \]
Perché il quoziente sia ancora un monomio, l'esponente di ciascuna variabile nel dividendo deve essere maggiore o uguale al corrispondente esponente nel divisore.
Nel nostro caso, il dividendo è
\[ 12x^5y^3, \]
mentre il divisore è
\[ 3x^2y. \]
Confrontiamo anzitutto gli esponenti della variabile \(x\). Nel dividendo l'esponente è \(5\), mentre nel divisore è \(2\). Poiché
\[ 5\geq2, \]
la condizione richiesta è soddisfatta.
Per la variabile \(y\), l'esponente nel dividendo è \(3\), mentre nel divisore è \(1\), perché \(y=y^1\). Anche in questo caso
\[ 3\geq1. \]
Il monomio \(12x^5y^3\) è quindi divisibile per \(3x^2y\).
Per determinare il quoziente si dividono i coefficienti:
\[ \frac{12}{3}=4, \]
e si sottraggono gli esponenti delle potenze aventi la stessa base:
\[ x^{5-2}=x^3 \]
e
\[ y^{3-1}=y^2. \]
Il monomio quoziente è pertanto
\[ Q=4x^3y^2. \]
Verifichiamo il risultato moltiplicando il divisore per il quoziente:
\[ (3x^2y)(4x^3y^2) = 12x^{2+3}y^{1+2} = 12x^5y^3. \]
Il prodotto coincide con il dividendo, quindi la divisione è stata eseguita correttamente.
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'espressione
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
è un polinomio.
Risultato
Sì, l'espressione è un polinomio nelle variabili \(x\) e \(y\).
Svolgimento
Un polinomio è una somma algebrica finita di monomi nelle stesse variabili.
Consideriamo l'espressione
\[ 3x^2y-5xy^3+7. \]
Per stabilire se si tratta di un polinomio, dobbiamo verificare che ciascuno dei suoi termini sia un monomio.
Il primo termine è
\[ 3x^2y. \]
Il suo coefficiente è \(3\), mentre le variabili \(x\) e \(y\) compaiono rispettivamente con esponenti \(2\) e \(1\). Entrambi gli esponenti sono interi non negativi, quindi \(3x^2y\) è un monomio.
Il secondo termine è
\[ -5xy^3. \]
Il coefficiente è \(-5\), mentre \(x\) compare con esponente \(1\) e \(y\) con esponente \(3\). Anche questo termine è quindi un monomio.
Il terzo termine è il numero reale
\[ 7. \]
Ogni numero reale è un monomio costante; di conseguenza, anche \(7\) è un monomio.
L'espressione assegnata è dunque una somma algebrica finita di tre monomi:
\[ 3x^2y,\qquad -5xy^3,\qquad 7. \]
Pertanto
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
è un polinomio nelle variabili \(x\) e \(y\).
Esercizio 12 — livello ★★☆☆☆
Considerare il polinomio
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Individuare i suoi termini, i rispettivi coefficienti e il termine noto.
Risultato
I termini del polinomio sono
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
I rispettivi coefficienti sono
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
Il termine noto è
\[ -7. \]
Svolgimento
I monomi che compongono un polinomio prendono il nome di termini del polinomio.
Consideriamo
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Il polinomio è formato da quattro monomi, separati dai segni \(+\) e \(-\). I suoi termini sono quindi
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Il segno di ciascun termine è compreso nel relativo coefficiente.
Nel termine
\[ 4x^3y \]
il coefficiente è \(4\), mentre la parte letterale è \(x^3y\).
Nel termine
\[ -2xy^2 \]
il coefficiente è \(-2\), mentre la parte letterale è \(xy^2\).
Nel termine
\[ 5x \]
il coefficiente è \(5\), mentre la parte letterale è \(x\).
L'ultimo termine è
\[ -7. \]
Si tratta di un monomio costante: il suo coefficiente è \(-7\) e la sua parte letterale è \(1\).
Il termine di un polinomio che non contiene variabili prende il nome di termine noto. Nel polinomio assegnato, pertanto, il termine noto è
\[ -7. \]
In conclusione, i coefficienti dei quattro termini sono rispettivamente
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7, \]
mentre il termine noto è \(-7\).
Esercizio 13 — livello ★★☆☆☆
Ridurre il polinomio
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Risultato
\[ 5x^2-x+6 \]
Svolgimento
Un polinomio è scritto in forma ridotta quando tutti i suoi termini sono monomi in forma normale e non compaiono due termini simili.
Ridurre un polinomio significa quindi individuare i termini simili e riunirli sommando algebricamente i rispettivi coefficienti.
Consideriamo il polinomio
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
I termini
\[ 3x^2 \qquad\text{e}\qquad 2x^2 \]
sono simili, perché possiedono entrambi la parte letterale \(x^2\). Sommando i coefficienti si ottiene
\[ 3+2=5, \]
e quindi
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
Anche i termini
\[ -5x \qquad\text{e}\qquad 4x \]
sono simili, perché possiedono entrambi la parte letterale \(x\). Sommando algebricamente i coefficienti si ha
\[ -5+4=-1. \]
Pertanto
\[ -5x+4x=-x. \]
Infine, i termini costanti
\[ 7 \qquad\text{e}\qquad -1 \]
sono monomi simili, poiché hanno entrambi parte letterale uguale a \(1\). La loro somma è
\[ 7-1=6. \]
Riunendo i risultati ottenuti, si ha
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 = 5x^2-x+6. \]
Nel polinomio ottenuto non compaiono termini simili e ciascun termine è già scritto in forma normale. Il polinomio è quindi in forma ridotta.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Ridurre il polinomio e determinarne il grado:
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Risultato
La forma ridotta del polinomio è
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
Il grado del polinomio è
\[ 3. \]
Svolgimento
Il grado di un polinomio non nullo è il massimo grado complessivo dei monomi presenti nella sua forma ridotta.
Non è quindi sufficiente osservare l'esponente più elevato nella scrittura iniziale: prima di determinare il grado, occorre ridurre il polinomio riunendo gli eventuali termini simili.
Consideriamo
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
I termini
\[ 3x^4 \qquad\text{e}\qquad -3x^4 \]
sono simili. Sommando i loro coefficienti si ottiene
\[ 3-3=0. \]
Pertanto i due termini di quarto grado si annullano:
\[ 3x^4-3x^4=0. \]
Anche i termini
\[ -2x^3 \qquad\text{e}\qquad 5x^3 \]
sono simili. Sommando algebricamente i coefficienti si ha
\[ -2+5=3, \]
e quindi
\[ -2x^3+5x^3=3x^3. \]
I termini \(x^2\) e \(-4\) non hanno termini simili con cui essere riuniti e rimangono quindi invariati.
La forma ridotta del polinomio è pertanto
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
I termini non nulli della forma ridotta hanno rispettivamente grado
\[ 3,\qquad 2,\qquad 0. \]
Il grado massimo è \(3\). Di conseguenza,
\[ \deg(P)=3. \]
Sebbene nella scrittura iniziale comparissero termini di quarto grado, essi si sono annullati durante la riduzione. Il grado del polinomio è quindi \(3\), non \(4\).
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Ridurre, quando necessario, i seguenti polinomi e classificarli in base al numero dei termini:
\[ A(x)=4x^3, \]
\[ B(x)=x^2-1, \]
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1, \]
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Risultato
\(A(x)\) è un monomio.
\(B(x)\) è un binomio.
\(C(x)\) si riduce a
\[ x^2+x+1 \]
ed è quindi un trinomio.
\(D(x)\) si riduce al polinomio nullo e non viene classificato in base al numero dei termini.
Svolgimento
Per classificare un polinomio in base al numero dei termini è necessario considerare la sua forma ridotta.
Un polinomio non nullo formato da un solo termine è un monomio; se possiede due termini è un binomio; se ne possiede tre è un trinomio.
Consideriamo anzitutto
\[ A(x)=4x^3. \]
Il polinomio è già scritto in forma ridotta ed è formato da un solo termine non nullo:
\[ 4x^3. \]
Pertanto \(A(x)\) è un monomio.
Passiamo ora al polinomio
\[ B(x)=x^2-1. \]
I suoi termini sono
\[ x^2 \qquad\text{e}\qquad -1. \]
I due termini non sono simili e non possono quindi essere riuniti. Il polinomio è già in forma ridotta e possiede due termini.
Pertanto \(B(x)\) è un binomio.
Consideriamo quindi
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1. \]
Prima di classificarlo dobbiamo riunire i termini simili. I termini
\[ 3x \qquad\text{e}\qquad -2x \]
hanno la stessa parte letterale \(x\). Sommando i coefficienti si ottiene
\[ 3-2=1, \]
e quindi
\[ 3x-2x=x. \]
La forma ridotta di \(C(x)\) è pertanto
\[ C(x)=x^2+x+1. \]
I suoi termini sono
\[ x^2,\qquad x,\qquad 1. \]
Poiché il polinomio possiede tre termini, \(C(x)\) è un trinomio.
Infine, consideriamo
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
I due termini sono opposti e la loro somma è uguale a zero:
\[ 5x^2-5x^2=0. \]
Pertanto
\[ D(x)=0. \]
Il risultato è il polinomio nullo. Nella sua forma ridotta esso non possiede termini non nulli e costituisce quindi un caso particolare: non viene classificato come monomio, binomio o trinomio in base al numero dei termini.
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Considerare i polinomi
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5, \]
\[ B(x)=2x^4+3x-1, \]
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Stabilire, per ciascun polinomio, se è ordinato, completo e monico.
Risultato
\(A(x)\) è ordinato secondo le potenze decrescenti di \(x\), completo e monico.
\(B(x)\) è ordinato secondo le potenze decrescenti di \(x\), incompleto e non monico.
\(C(x)\) è ordinato secondo le potenze crescenti di \(x\), incompleto e non monico.
Svolgimento
Un polinomio in una variabile si dice ordinato quando i suoi termini sono disposti secondo le potenze crescenti o decrescenti della variabile.
Un polinomio di grado \(n\) si dice completo quando contiene, con coefficienti non nulli, tutte le potenze della variabile da \(n\) fino a \(0\).
Infine, un polinomio non nullo in una variabile si dice monico quando il suo coefficiente principale è uguale a \(1\).
Consideriamo anzitutto
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5. \]
Gli esponenti di \(x\) compaiono nell'ordine
\[ 4,\qquad 3,\qquad 2,\qquad 1,\qquad 0. \]
Essi sono disposti in ordine decrescente. Il polinomio è quindi ordinato secondo le potenze decrescenti di \(x\).
Il grado di \(A(x)\) è \(4\). Sono presenti tutte le potenze da \(4\) fino a \(0\):
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
Tutti i coefficienti corrispondenti sono diversi da zero. Pertanto \(A(x)\) è completo.
Il termine principale è
\[ x^4, \]
il cui coefficiente è \(1\). Di conseguenza, \(A(x)\) è anche monico.
Consideriamo ora
\[ B(x)=2x^4+3x-1. \]
Gli esponenti delle potenze presenti sono
\[ 4,\qquad 1,\qquad 0. \]
Essi sono disposti in ordine decrescente, quindi il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti di \(x\).
Il grado di \(B(x)\) è \(4\), ma non compaiono termini in \(x^3\) e in \(x^2\). I coefficienti di tali potenze sono implicitamente uguali a zero.
Pertanto \(B(x)\) è incompleto.
Il termine principale è
\[ 2x^4, \]
e il coefficiente principale è \(2\), non \(1\). Di conseguenza, \(B(x)\) non è monico.
Consideriamo infine
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Gli esponenti delle potenze presenti sono
\[ 0,\qquad 1,\qquad 3,\qquad 4. \]
Essi sono disposti in ordine crescente. Pertanto \(C(x)\) è ordinato secondo le potenze crescenti di \(x\).
Il grado del polinomio è \(4\), ma non compare alcun termine in \(x^2\). Il coefficiente di \(x^2\) è quindi implicitamente uguale a \(0\).
Di conseguenza, \(C(x)\) è incompleto.
Per stabilire se il polinomio è monico bisogna individuare il coefficiente del termine di grado più elevato. Il termine principale è
\[ 3x^4, \]
e il coefficiente principale è \(3\). Pertanto \(C(x)\) non è monico.
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Stabilire quali dei seguenti polinomi sono omogenei e, in caso affermativo, determinarne il grado:
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3, \]
\[ B(x,y)=x^2+xy+y, \]
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Risultato
\(A(x,y)\) è un polinomio omogeneo di grado \(3\).
\(B(x,y)\) non è un polinomio omogeneo.
\(C(a,b,c)\) è un polinomio omogeneo di grado \(3\).
Svolgimento
Un polinomio non nullo in più variabili si dice omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado complessivo.
Per stabilire se un polinomio è omogeneo dobbiamo quindi calcolare il grado complessivo di ciascun termine. Il grado complessivo di un monomio si ottiene sommando gli esponenti di tutte le variabili presenti nella sua parte letterale.
Consideriamo anzitutto
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3. \]
Il primo termine è
\[ 3x^3. \]
La variabile \(x\) compare con esponente \(3\), mentre \(y\) non compare e ha quindi esponente \(0\). Il grado complessivo del termine è
\[ 3+0=3. \]
Il secondo termine è
\[ -2x^2y. \]
Gli esponenti di \(x\) e \(y\) sono rispettivamente \(2\) e \(1\). Il grado complessivo è quindi
\[ 2+1=3. \]
Il terzo termine è
\[ 5xy^2. \]
In questo caso gli esponenti sono \(1\) e \(2\), perciò il grado complessivo è
\[ 1+2=3. \]
L'ultimo termine è
\[ -y^3. \]
La variabile \(x\) non compare e ha esponente \(0\), mentre \(y\) ha esponente \(3\). Il grado complessivo è dunque
\[ 0+3=3. \]
Tutti i termini di \(A(x,y)\) hanno grado complessivo \(3\). Pertanto \(A(x,y)\) è un polinomio omogeneo di grado \(3\).
Consideriamo ora
\[ B(x,y)=x^2+xy+y. \]
Il termine \(x^2\) ha grado complessivo
\[ 2. \]
Il termine \(xy\) ha grado complessivo
\[ 1+1=2. \]
Il termine \(y\) ha invece grado complessivo
\[ 1. \]
I termini non hanno tutti lo stesso grado complessivo. Di conseguenza, \(B(x,y)\) non è un polinomio omogeneo.
Consideriamo infine
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Il termine
\[ 2a^2b \]
ha grado complessivo
\[ 2+1+0=3. \]
Il termine
\[ -3abc \]
ha grado complessivo
\[ 1+1+1=3. \]
Il termine
\[ 4b^2c \]
ha grado complessivo
\[ 0+2+1=3. \]
Anche in questo caso tutti i termini hanno lo stesso grado complessivo. Pertanto \(C(a,b,c)\) è un polinomio omogeneo di grado \(3\).
Esercizio 18 — livello ★★★☆☆
Considerare i polinomi
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
e
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
Calcolare
\[ P(x)+Q(x) \]
e
\[ P(x)-Q(x). \]
Risultato
La somma è
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
La differenza è
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
Svolgimento
Per sommare o sottrarre due polinomi si riuniscono i termini simili, cioè i termini che contengono la stessa potenza della variabile.
Consideriamo anzitutto la somma
\[ P(x)+Q(x). \]
Sostituendo le espressioni dei due polinomi, otteniamo
\[ P(x)+Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Le parentesi possono essere eliminate senza modificare i segni dei termini, perché tra i due polinomi compare il segno \(+\):
\[ P(x)+Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1-x^3+4x^2-3x+6. \]
Riuniamo ora i termini simili.
I termini di terzo grado sono
\[ 3x^3 \qquad\text{e}\qquad -x^3. \]
Sommando i coefficienti si ha
\[ 3-1=2, \]
e quindi
\[ 3x^3-x^3=2x^3. \]
I termini di secondo grado sono
\[ -2x^2 \qquad\text{e}\qquad 4x^2. \]
Sommando i coefficienti si ottiene
\[ -2+4=2, \]
perciò
\[ -2x^2+4x^2=2x^2. \]
I termini di primo grado sono
\[ 5x \qquad\text{e}\qquad -3x. \]
La loro somma è
\[ 5x-3x=2x. \]
Infine, i termini noti sono
\[ -1 \qquad\text{e}\qquad 6. \]
Si ha
\[ -1+6=5. \]
Pertanto
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
Calcoliamo ora la differenza
\[ P(x)-Q(x). \]
Sostituendo le espressioni dei due polinomi, otteniamo
\[ P(x)-Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)-(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Sottrarre un polinomio significa sommare il suo opposto. Il segno meno posto davanti alla seconda parentesi modifica quindi il segno di ciascun termine di \(Q(x)\):
\[ -Q(x)=x^3-4x^2+3x-6. \]
Di conseguenza,
\[ P(x)-Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1+x^3-4x^2+3x-6. \]
Riuniamo nuovamente i termini simili.
Per i termini di terzo grado si ha
\[ 3x^3+x^3=4x^3. \]
Per i termini di secondo grado,
\[ -2x^2-4x^2=-6x^2. \]
Per i termini di primo grado,
\[ 5x+3x=8x. \]
Infine, per i termini noti,
\[ -1-6=-7. \]
Pertanto
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
In entrambi i risultati non compaiono termini simili, quindi i polinomi ottenuti sono già scritti in forma ridotta.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Considerare i polinomi
\[ P(x)=2x-3 \]
e
\[ Q(x)=x^2+4x+1. \]
Calcolare
\[ P(x)Q(x) \]
e
\[ P(x)^2. \]
Risultato
Il prodotto dei due polinomi è
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Il quadrato di \(P(x)\) è
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
Svolgimento
Il prodotto di due polinomi si calcola applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: ciascun termine del primo polinomio deve essere moltiplicato per ciascun termine del secondo.
Consideriamo anzitutto
\[ P(x)Q(x)=(2x-3)(x^2+4x+1). \]
Il primo polinomio è formato dai termini \(2x\) e \(-3\). Moltiplichiamo ciascuno di essi per l'intero polinomio \(Q(x)\):
\[ (2x-3)(x^2+4x+1) = 2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1). \]
Sviluppiamo il primo prodotto:
\[ 2x(x^2+4x+1) = 2x\cdot x^2+2x\cdot4x+2x\cdot1. \]
Calcolando ciascun termine, otteniamo
\[ 2x\cdot x^2=2x^3, \]
\[ 2x\cdot4x=8x^2 \]
e
\[ 2x\cdot1=2x. \]
Pertanto
\[ 2x(x^2+4x+1)=2x^3+8x^2+2x. \]
Sviluppiamo ora il secondo prodotto:
\[ -3(x^2+4x+1) = -3\cdot x^2-3\cdot4x-3\cdot1. \]
Si ottiene
\[ -3(x^2+4x+1)=-3x^2-12x-3. \]
Riunendo i due sviluppi, abbiamo
\[ P(x)Q(x) = 2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3. \]
I termini
\[ 8x^2 \qquad\text{e}\qquad -3x^2 \]
sono simili. Sommando i coefficienti si ha
\[ 8-3=5, \]
e quindi
\[ 8x^2-3x^2=5x^2. \]
Anche i termini
\[ 2x \qquad\text{e}\qquad -12x \]
sono simili. La loro somma è
\[ 2x-12x=-10x. \]
Il prodotto ridotto è pertanto
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Calcoliamo ora la seconda potenza di \(P(x)\):
\[ P(x)^2=(2x-3)^2. \]
Elevare un polinomio al quadrato significa moltiplicarlo per se stesso:
\[ P(x)^2=(2x-3)(2x-3). \]
Applichiamo nuovamente la proprietà distributiva:
\[ (2x-3)(2x-3) = 2x(2x-3)-3(2x-3). \]
Sviluppando il primo prodotto si ottiene
\[ 2x(2x-3)=2x\cdot2x-2x\cdot3=4x^2-6x. \]
Sviluppando il secondo prodotto si ha
\[ -3(2x-3)=-6x+9. \]
Riunendo i risultati,
\[ P(x)^2=4x^2-6x-6x+9. \]
I termini \(-6x\) e \(-6x\) sono simili e la loro somma è
\[ -6x-6x=-12x. \]
Pertanto
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
In entrambi i calcoli il risultato è ancora un polinomio, come garantisce la chiusura dell'insieme dei polinomi rispetto alla moltiplicazione.
Esercizio 20 — livello ★★★★☆
Considerare il polinomio
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Calcolarne il valore numerico per
\[ x=2 \qquad\text{e}\qquad y=-1. \]
Risultato
\[ P(2,-1)=-11 \]
Svolgimento
Calcolare il valore numerico di un polinomio significa sostituire a ciascuna variabile il valore assegnato ed eseguire le operazioni indicate.
Il polinomio è
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Dobbiamo sostituire
\[ x=2 \qquad\text{e}\qquad y=-1. \]
La scrittura
\[ P(2,-1) \]
indica quindi il numero ottenuto sostituendo \(2\) a ogni occorrenza di \(x\) e \(-1\) a ogni occorrenza di \(y\).
Eseguendo le sostituzioni, si ottiene
\[ P(2,-1) = 3\cdot 2^2\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot(-1)^2 + 5. \]
Il valore negativo assegnato a \(y\) è stato racchiuso tra parentesi. Questo passaggio è essenziale, soprattutto quando il numero deve essere elevato a potenza.
Calcoliamo anzitutto le potenze:
\[ 2^2=4 \]
e
\[ (-1)^2=1. \]
La seconda potenza è positiva perché il prodotto di due numeri negativi è positivo:
\[ (-1)^2=(-1)(-1)=1. \]
Sostituendo i valori delle potenze, otteniamo
\[ P(2,-1) = 3\cdot4\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot1 + 5. \]
Calcoliamo ora il primo prodotto:
\[ 3\cdot4\cdot(-1)=12\cdot(-1)=-12. \]
Il secondo prodotto è
\[ 2\cdot2\cdot1=4. \]
Pertanto
\[ P(2,-1)=-12-4+5. \]
Eseguendo infine l'addizione algebrica,
\[ -12-4=-16 \]
e
\[ -16+5=-11. \]
Il valore numerico richiesto è dunque
\[ P(2,-1)=-11. \]