Combinando numeri e variabili secondo regole ben definite si ottengono espressioni algebriche dotate di una struttura precisa. Tra le forme più semplici e importanti troviamo i monomi, costituiti dal prodotto di un coefficiente numerico e, se presenti, di potenze di variabili con esponenti interi non negativi.
Dalla somma algebrica di un numero finito di monomi nascono i polinomi. La loro struttura conserva le proprietà fondamentali dei monomi, ma permette di rappresentare espressioni più articolate e di sviluppare gran parte del calcolo algebrico.
Per comprendere correttamente monomi e polinomi non è sufficiente applicare regole operative: occorre riconoscerne la forma, distinguerne gli elementi, determinarne il grado e stabilire in quali condizioni le operazioni producono ancora espressioni dello stesso tipo. Partendo dalle definizioni, costruiremo quindi in modo progressivo l'intera teoria fondamentale.
Indice
- Definizione di Monomio
- Forma Normale, Coefficiente e Parte Letterale
- Grado di un Monomio
- Monomi Uguali, Simili e Opposti
- Operazioni tra Monomi
- Definizione di Polinomio
- Termini, Coefficienti e Forma Ridotta
- Grado e Classificazione dei Polinomi
- Operazioni tra Polinomi
- Valore Numerico di un Polinomio
Definizione di Monomio
Un monomio nelle variabili \(x_1,x_2,\dots,x_n\) è un'espressione algebrica costituita dal prodotto di un coefficiente numerico e, se presenti, di potenze delle variabili con esponenti interi non negativi.
Una volta ridotto in forma normale, un monomio può essere scritto come
\[ a x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
dove \(a\) è un numero reale, detto coefficiente, \(x_1,x_2,\dots,x_n\) sono le variabili e gli esponenti \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) sono numeri interi non negativi, cioè elementi dell'insieme
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
Sono monomi, per esempio,
\[ 5x^2y^3,\qquad -\frac{3}{4}ab^2,\qquad x^4,\qquad -7. \]
Nel monomio \(x^4\) il coefficiente \(1\) non viene scritto; analogamente, nel monomio \(-x^4\) il coefficiente è \(-1\).
Un monomio può non essere inizialmente scritto in forma normale. Consideriamo, per esempio,
\[ 2x\cdot 3xy^2. \]
Moltiplicando i fattori numerici e riunendo le potenze della stessa variabile si ottiene
\[ 2x\cdot 3xy^2=6x^2y^2. \]
L'espressione assegnata rappresenta quindi un monomio, perché è costituita esclusivamente da prodotti tra fattori numerici e potenze di variabili con esponenti interi non negativi.
Anche ogni numero reale è un monomio. Un numero reale diverso da zero è detto monomio costante, poiché non contiene variabili, mentre il numero \(0\) prende il nome di monomio nullo.
La condizione imposta agli esponenti è essenziale. Non sono monomi, per esempio,
\[ \frac{1}{x},\qquad x^{-2},\qquad \sqrt{x},\qquad x^{\frac{3}{2}},\qquad 2^x. \]
Infatti, nelle prime due espressioni la variabile compare con esponente negativo; nelle due successive compare con esponente non intero; nell'ultima compare come esponente anziché come base di una potenza.
In particolare, nella forma di un monomio una variabile non può comparire al denominatore, sotto un radicale o all'esponente. Un denominatore puramente numerico è invece ammesso, perché può essere incorporato nel coefficiente. Per esempio,
\[ \frac{x^2y}{3}=\frac{1}{3}x^2y \]
è un monomio.
Non tutte le espressioni algebriche sono monomi. L'espressione
\[ 3x^2y+1 \]
è una somma di due monomi non simili e non può quindi essere ridotta a un unico monomio. Essa è invece un polinomio, come vedremo nelle sezioni successive.
Forma Normale, Coefficiente e Parte Letterale
Un monomio è scritto in forma normale quando tutti i suoi fattori numerici sono stati moltiplicati tra loro e ciascuna variabile compare una sola volta, elevata al proprio esponente.
Per ottenere la forma normale si utilizzano la proprietà commutativa e la proprietà associativa della moltiplicazione, insieme alla regola del prodotto di potenze aventi la stessa base:
\[ x^m x^n=x^{m+n}. \]
Consideriamo il monomio
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
Moltiplicando i fattori numerici e sommando gli esponenti delle potenze con la stessa base, otteniamo
\[ 2\cdot(-3)\cdot x^{2+4}y^{1+2}=-6x^6y^3. \]
La forma normale del monomio assegnato è pertanto
\[ -6x^6y^3. \]
L'ordine dei fattori letterali non modifica il monomio, poiché la moltiplicazione è commutativa. Le espressioni
\[ 3x^2y,\qquad 3yx^2,\qquad 3xyx \]
rappresentano quindi lo stesso monomio. Le prime due sono già scritte in forma normale, mentre la terza non lo è, perché la variabile \(x\) compare in due fattori distinti. Per rendere uniforme la scrittura, le variabili vengono generalmente disposte in ordine alfabetico.
In un monomio non nullo scritto in forma normale, il fattore numerico, comprensivo del segno, prende il nome di coefficiente; il prodotto delle potenze delle variabili costituisce invece la parte letterale.
Nel monomio
\[ -6x^6y^3 \]
il coefficiente è \(-6\), mentre la parte letterale è
\[ x^6y^3. \]
Quando il coefficiente è \(1\), esso viene omesso; quando è \(-1\), si scrive soltanto il segno meno:
\[ x^2y=1\cdot x^2y, \qquad -x^2y=-1\cdot x^2y. \]
Un monomio costante non nullo ha come coefficiente il numero stesso e come parte letterale il fattore \(1\). Nel monomio
\[ -7, \]
per esempio, il coefficiente è \(-7\) e la parte letterale è \(1\).
Le variabili con esponente \(0\) non vengono riportate nella forma normale, poiché corrispondono al fattore moltiplicativo \(1\). Nella parte letterale compaiono pertanto soltanto le variabili aventi esponente positivo.
Consideriamo, infine,
\[ -\frac{2}{3}x\cdot 9xy^2. \]
La riduzione in forma normale conduce a
\[ -\frac{2}{3}\cdot 9\cdot x^2y^2=-6x^2y^2. \]
Fissato un ordine per le variabili, ogni monomio non nullo possiede un'unica forma normale. Questa unicità permette di confrontare immediatamente due monomi e sarà fondamentale per definire i monomi uguali, simili e opposti.
Il monomio nullo costituisce un caso particolare. Qualunque prodotto avente coefficiente \(0\) rappresenta infatti la stessa espressione nulla:
\[ 0x^2y=0a^5b^3=0. \]
Per questo motivo esso viene scritto semplicemente come \(0\) e non gli si attribuisce una parte letterale determinata.
Grado di un Monomio
Gli esponenti presenti nella parte letterale di un monomio ne descrivono il grado. Questa nozione permette di misurare quante volte, complessivamente o rispetto a una particolare variabile, i fattori letterali intervengono nel prodotto.
Consideriamo il monomio non nullo
\[ -5x^2y^3z. \]
Il grado rispetto a una variabile è l'esponente con cui quella variabile compare nella forma normale del monomio. Pertanto, il monomio precedente ha grado \(2\) rispetto a \(x\), grado \(3\) rispetto a \(y\) e grado \(1\) rispetto a \(z\).
Se una variabile non compare nella parte letterale, il suo esponente è considerato uguale a \(0\). Lo stesso monomio ha quindi grado \(0\), per esempio, rispetto alla variabile \(t\).
Il grado complessivo, o semplicemente grado, di un monomio non nullo è la somma degli esponenti di tutte le variabili presenti nella sua forma normale.
Nel nostro esempio si ha
\[ 2+3+1=6. \]
Il monomio
\[ -5x^2y^3z \]
è dunque un monomio di grado complessivo \(6\).
Il coefficiente non influisce sul grado. I monomi
\[ 4x^2y^3,\qquad -7x^2y^3,\qquad \frac{1}{2}x^2y^3 \]
hanno tutti grado complessivo \(5\), perché possiedono la stessa parte letterale.
Anche l'ordine con cui vengono scritte le variabili è irrilevante. Per esempio,
\[ 3a^2bc^4 \]
ha grado \(2\) rispetto ad \(a\), grado \(1\) rispetto a \(b\), grado \(4\) rispetto a \(c\) e grado complessivo
\[ 2+1+4=7. \]
Un monomio costante non nullo ha parte letterale uguale a \(1\) e non contiene variabili con esponente positivo. Il suo grado è pertanto \(0\). Per esempio,
\[ \deg(-8)=0. \]
Il monomio nullo rappresenta invece un caso particolare. Poiché può essere scritto formalmente attribuendogli qualunque parte letterale,
\[ 0=0x=0x^2y^5=0a^{10}b, \]
non è possibile associargli un grado determinato. Per questo motivo, nell'algebra elementare il grado del monomio nullo viene lasciato non definito.
La distinzione tra grado rispetto a una variabile e grado complessivo diventa particolarmente importante quando sono presenti più variabili. Nel monomio
\[ 2x^4y^2, \]
il grado rispetto a \(x\) è \(4\), il grado rispetto a \(y\) è \(2\), mentre il grado complessivo è \(6\). Le tre informazioni non devono quindi essere confuse.
Monomi Uguali, Simili e Opposti
Per confrontare correttamente due monomi è necessario scriverli prima in forma normale. Soltanto in questo modo è possibile riconoscere con immediatezza il coefficiente e la parte letterale di ciascuno.
Due monomi non nulli si dicono uguali quando, una volta ridotti in forma normale, possiedono lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale.
Consideriamo, per esempio,
\[ 2x^2\cdot 3y \qquad\text{e}\qquad 6yx^2. \]
Riducendo entrambi i monomi in forma normale, si ottiene
\[ 2x^2\cdot 3y=6x^2y, \qquad 6yx^2=6x^2y. \]
I due monomi sono quindi uguali, anche se inizialmente erano scritti in modo diverso.
Due monomi non nulli si dicono invece simili quando possiedono la stessa parte letterale, indipendentemente dai rispettivi coefficienti.
I monomi
\[ 3x^2y,\qquad -7x^2y,\qquad \frac{1}{2}x^2y \]
sono simili, perché hanno tutti parte letterale
\[ x^2y. \]
Non sono invece simili i monomi
\[ 3x^2y \qquad\text{e}\qquad 3xy^2, \]
poiché le variabili \(x\) e \(y\) compaiono con esponenti diversi.
Due monomi uguali sono necessariamente simili, ma due monomi simili non sono necessariamente uguali. Per essere uguali, infatti, devono coincidere sia la parte letterale sia il coefficiente.
Due monomi non nulli si dicono opposti quando hanno la stessa parte letterale e coefficienti opposti.
Per esempio,
\[ 5a^2b^3 \qquad\text{e}\qquad -5a^2b^3 \]
sono monomi opposti. La loro somma è uguale al monomio nullo:
\[ 5a^2b^3-5a^2b^3=0. \]
Più in generale, se
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
il monomio opposto di \(M\) è
\[ -M=-ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]
Il monomio nullo costituisce ancora una volta un caso particolare. Esso è uguale soltanto a se stesso ed è anche l'opposto di se stesso, poiché
\[ -0=0. \]
Non gli si attribuisce invece una parte letterale determinata; per questo motivo, quando si parla di monomi simili, si considerano ordinariamente monomi non nulli.
La similitudine tra monomi è fondamentale nelle operazioni algebriche: all'interno di una somma algebrica, soltanto i monomi simili possono essere riuniti direttamente in un unico termine. Per esempio,
\[ 3x^2y-7x^2y=-4x^2y, \]
mentre nell'espressione
\[ 3x^2y-7xy^2 \]
i due termini rimangono distinti, perché non sono simili.
Operazioni tra Monomi
Le operazioni tra monomi si fondano sulle proprietà dei numeri reali, della moltiplicazione e delle potenze. Prima di eseguire qualunque calcolo è opportuno ridurre i monomi in forma normale, così da riconoscerne immediatamente il coefficiente e la parte letterale.
Addizione e Sottrazione
Nell'addizione e nella sottrazione, i monomi simili possono essere riuniti in un unico monomio, perché possiedono la stessa parte letterale.
In tal caso si sommano algebricamente i coefficienti e si conserva invariata la parte letterale:
\[ ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} + bx_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} = (a+b)x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]
Per esempio,
\[ 7x^2y-3x^2y=(7-3)x^2y=4x^2y. \]
Analogamente,
\[ -5a^3b+2a^3b=(-5+2)a^3b=-3a^3b. \]
Se la somma dei coefficienti è nulla, il risultato è il monomio nullo:
\[ 4x^2y-4x^2y=0. \]
Quando due monomi non nulli non sono simili, la loro somma è comunque un'espressione algebrica perfettamente definita, ma i due termini non possono essere riuniti in un unico monomio. Per esempio,
\[ 3x^2y+5xy^2 \]
non è un monomio, perché le parti letterali \(x^2y\) e \(xy^2\) sono diverse.
Moltiplicazione
Il prodotto di due monomi è sempre un monomio. Per calcolarlo si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle potenze aventi la stessa base.
Se
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \qquad\text{e}\qquad N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \]
allora
\[ MN = abx_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n+\beta_n}. \]
Consideriamo, per esempio,
\[ (2x^2y)(-3xy^4). \]
Moltiplicando i coefficienti e applicando la regola del prodotto di potenze con la stessa base, otteniamo
\[ (2x^2y)(-3xy^4) = -6x^{2+1}y^{1+4} = -6x^3y^5. \]
Se i due monomi sono non nulli, il grado del prodotto è uguale alla somma dei loro gradi:
\[ \deg(MN)=\deg(M)+\deg(N). \]
Nell'esempio precedente, i due fattori hanno rispettivamente grado \(3\) e grado \(5\), mentre il prodotto ha grado
\[ 3+5=8. \]
Potenza
Per elevare un monomio a un esponente intero positivo si eleva il coefficiente a tale esponente e si moltiplica ciascun esponente della parte letterale per l'esponente della potenza.
Se
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
e \(m\) è un intero positivo, allora
\[ M^m = a^m x_1^{m\alpha_1}\cdots x_n^{m\alpha_n}. \]
Per esempio,
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3x^{3\cdot3}y^{2\cdot3} = -8x^9y^6. \]
Il segno del risultato dipende dal segno del coefficiente e dalla parità dell'esponente. Se il coefficiente è diverso da zero, una potenza di esponente pari ha coefficiente positivo, mentre una potenza di esponente dispari conserva il segno del coefficiente originario. Se il monomio è nullo, ogni sua potenza di esponente intero positivo è ancora uguale a \(0\).
Se il monomio è non nullo, il grado della sua potenza è uguale al prodotto tra il grado del monomio e l'esponente:
\[ \deg(M^m)=m\deg(M). \]
Per ogni monomio non nullo si pone inoltre
\[ M^0=1. \]
Il caso \(0^0\) non viene invece definito.
Divisione
La divisione tra monomi non produce sempre un monomio. Dati due monomi non nulli
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
e
\[ N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \qquad b\neq0, \]
si dice che \(M\) è divisibile per \(N\) quando esiste un monomio \(Q\) tale che
\[ M=NQ. \]
Affinché tale monomio esista, l'esponente di ogni variabile nel dividendo deve essere maggiore o uguale al corrispondente esponente nel divisore. Deve quindi valere
\[ \alpha_1\geq\beta_1,\qquad \alpha_2\geq\beta_2,\qquad \dots,\qquad \alpha_n\geq\beta_n. \]
Quando queste condizioni sono soddisfatte, il monomio quoziente è
\[ Q=\frac{a}{b}x_1^{\alpha_1-\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n-\beta_n}. \]
Per esempio, il monomio \(12x^5y^3\) è divisibile per \(3x^2y\), perché il monomio quoziente è
\[ 4x^{5-2}y^{3-1}=4x^3y^2, \]
e infatti
\[ (3x^2y)(4x^3y^2)=12x^5y^3. \]
Il monomio \(6x^2y\) non è invece divisibile per \(3x^4\), perché il calcolo degli esponenti richiederebbe
\[ x^{2-4}=x^{-2}, \]
che non può comparire nella parte letterale di un monomio.
Il monomio nullo è divisibile per ogni monomio non nullo e ha come quoziente il monomio nullo. La divisione per il monomio nullo non è mai definita.
Se \(M\) e \(N\) sono monomi non nulli e \(M\) è divisibile per \(N\), il grado del quoziente è dato dalla differenza dei loro gradi:
\[ \deg(Q)=\deg(M)-\deg(N). \]
Addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza e divisione non si comportano dunque allo stesso modo. Nell'addizione e nella sottrazione possono essere riuniti direttamente soltanto i monomi simili; il prodotto e ogni potenza di esponente intero positivo sono ancora monomi; la potenza di esponente \(0\) è definita soltanto per i monomi non nulli; infine, un monomio non nullo è divisibile per un altro monomio non nullo soltanto quando tutti gli esponenti del dividendo sono maggiori o uguali ai corrispondenti esponenti del divisore.
Definizione di Polinomio
Un polinomio nelle variabili \(x_1,x_2,\dots,x_n\) è una somma algebrica finita di monomi nelle stesse variabili.
In forma generale, un polinomio può quindi essere scritto come
\[ P(x_1,x_2,\dots,x_n)=M_1+M_2+\cdots+M_k, \]
dove \(M_1,M_2,\dots,M_k\) sono monomi e \(k\) è un numero intero positivo.
Sono polinomi, per esempio,
\[ 3x^2y-5xy^3+7, \qquad a^4-2a^2b+b^2, \qquad 4x^3-x+1. \]
Ciascuna delle espressioni precedenti è formata da un numero finito di monomi collegati dai segni \(+\) e \(-\). La sottrazione non richiede una definizione distinta, poiché sottrarre un monomio equivale ad aggiungere il suo opposto:
\[ 3x^2-5x=3x^2+(-5x). \]
Ogni monomio non nullo è quindi anche un polinomio formato da un solo termine. In particolare,
\[ 6x^3y^2\qquad\text{e}\qquad -4 \]
sono polinomi. Anche il monomio nullo rappresenta un polinomio, detto polinomio nullo; nella sua forma ridotta esso non possiede alcun termine non nullo.
Nel caso di una sola variabile \(x\), un polinomio può essere scritto nella forma
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
dove \(a_0,a_1,\dots,a_n\) sono numeri reali e gli esponenti di \(x\) sono interi non negativi.
Non è necessario che tutti i coefficienti siano diversi da zero. Per esempio,
\[ P(x)=2x^5-3x^2+1 \]
può essere scritto anche come
\[ P(x)=1+0x-3x^2+0x^3+0x^4+2x^5. \]
I termini aventi coefficiente nullo vengono normalmente omessi, perché non contribuiscono al valore dell'espressione.
La parola finita è essenziale. Un'espressione contenente una somma infinita di potenze, come
\[ 1+x+x^2+x^3+\cdots, \]
non è un polinomio, poiché possiede un numero infinito di termini.
Anche le condizioni già incontrate per i monomi continuano a valere. Non sono polinomi, per esempio,
\[ \frac{1}{x}+2, \qquad \sqrt{x}+x, \qquad x^{\frac{3}{2}}-1, \qquad 2^x+x. \]
In queste espressioni la variabile compare rispettivamente con esponente negativo, sotto un radicale, con esponente non intero oppure all'esponente di una potenza.
È importante osservare che un polinomio può essere presentato in forme apparentemente diverse. Per esempio,
\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]
è un polinomio, ma contiene termini che possono essere riuniti. Dopo aver sommato i monomi simili, esso diventa
\[ x^2-2x+4. \]
Le due espressioni rappresentano lo stesso polinomio. La seconda è scritta in forma ridotta, nozione che approfondiremo nella sezione successiva.
Termini, Coefficienti e Forma Ridotta
I monomi che compongono un polinomio prendono il nome di termini del polinomio. Consideriamo, per esempio,
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
I suoi termini sono
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Il segno di ciascun termine è compreso nel relativo coefficiente. Nel polinomio precedente, quindi, i coefficienti sono rispettivamente
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
Il termine privo di variabili prende il nome di termine noto. Nell'esempio considerato, il termine noto è \(-7\). Se un polinomio non contiene alcun termine costante, il suo termine noto è uguale a \(0\).
Un polinomio può contenere termini simili, cioè monomi aventi la stessa parte letterale. In tal caso tali termini possono essere riuniti sommando algebricamente i rispettivi coefficienti.
Consideriamo il polinomio
\[ 3x^2y-5xy^2+4x^2y+2xy^2-7. \]
I termini \(3x^2y\) e \(4x^2y\) sono simili, così come i termini \(-5xy^2\) e \(2xy^2\). Riunendoli si ottiene
\[ (3+4)x^2y+(-5+2)xy^2-7, \]
e quindi
\[ 7x^2y-3xy^2-7. \]
Un polinomio si dice scritto in forma ridotta quando tutti i suoi termini sono monomi in forma normale e non compaiono due termini simili.
Ridurre un polinomio significa dunque ridurre anzitutto ogni suo termine in forma normale e, successivamente, riunire i termini simili. I termini il cui coefficiente risulta uguale a \(0\) vengono eliminati.
Per esempio,
\[ 2x\cdot 3xy-4x^2y+x^2y+5 \]
diventa dapprima
\[ 6x^2y-4x^2y+x^2y+5, \]
e quindi
\[ (6-4+1)x^2y+5=3x^2y+5. \]
La forma ridotta consente di riconoscere immediatamente la struttura effettiva di un polinomio. Due espressioni apparentemente diverse rappresentano infatti lo stesso polinomio quando, dopo essere state ridotte, presentano gli stessi termini con gli stessi coefficienti.
Per esempio,
\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]
e
\[ x^2-2x+4 \]
rappresentano lo stesso polinomio, poiché la prima espressione si riduce alla seconda.
Nel caso di un polinomio in una sola variabile,
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
il numero \(a_k\) è il coefficiente di \(x^k\). Se \(a_k\neq0\), il monomio \(a_kx^k\) è un termine del polinomio e ha grado \(k\); se invece \(a_k=0\), il termine corrispondente viene omesso dalla scrittura.
Per esempio, nel polinomio
\[ P(x)=3x^4-2x+1, \]
i coefficienti di \(x^3\) e \(x^2\) sono entrambi nulli. Il polinomio può infatti essere scritto anche nella forma
\[ P(x)=3x^4+0x^3+0x^2-2x+1. \]
I termini con coefficiente nullo vengono normalmente omessi, ma considerarli implicitamente presenti permette di confrontare con maggiore facilità polinomi diversi e di eseguire ordinatamente le operazioni tra essi.
Grado e Classificazione dei Polinomi
Grado di un Polinomio
Il grado di un polinomio non nullo è il massimo grado complessivo dei monomi che compaiono nella sua forma ridotta.
È quindi necessario ridurre il polinomio prima di determinarne il grado, perché la somma di termini simili può modificare o eliminare i termini di grado più elevato.
Consideriamo, per esempio,
\[ P(x)=x^3-x^3+2x+1. \]
I due termini di terzo grado si annullano e il polinomio si riduce a
\[ P(x)=2x+1. \]
Il suo grado è dunque \(1\), non \(3\).
Nel caso di un polinomio in una sola variabile scritto nella forma ridotta
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0, \]
il grado è l'esponente più grande con cui compare la variabile \(x\):
\[ \deg(P)=n. \]
Il coefficiente \(a_n\) prende il nome di coefficiente principale, mentre il termine \(a_nx^n\) è detto termine principale.
Per esempio, nel polinomio
\[ P(x)=-3x^5+2x^2-x+4, \]
il grado è \(5\), il coefficiente principale è \(-3\) e il termine principale è \(-3x^5\).
Un polinomio costante non nullo ha grado \(0\). Per esempio,
\[ \deg(7)=0. \]
Il polinomio nullo costituisce invece un caso particolare. Poiché può essere scritto attribuendogli termini di qualunque grado,
\[ 0=0x=0x^2=0x^{10}, \]
nell'algebra elementare il suo grado viene lasciato non definito.
Per un polinomio in più variabili si può considerare anche il grado rispetto a una determinata variabile, definito come il massimo esponente con cui quella variabile compare nei termini non nulli della forma ridotta.
Consideriamo il polinomio
\[ P(x,y)=3x^2y-5xy^3+7. \]
I tre termini hanno rispettivamente grado complessivo \(3\), \(4\) e \(0\). Il grado complessivo del polinomio è quindi
\[ \deg(P)=4. \]
Il grado rispetto a \(x\) è invece \(2\), mentre il grado rispetto a \(y\) è \(3\).
Classificazione in Base al Numero dei Termini
Dopo aver ridotto un polinomio non nullo, lo si può classificare in base al numero dei suoi termini.
Un polinomio formato da un solo termine non nullo è un monomio; un polinomio formato da due termini è un binomio; un polinomio formato da tre termini è un trinomio.
Per esempio,
\[ 4x^3,\qquad x^2-1,\qquad x^2+3x+2 \]
sono rispettivamente un monomio, un binomio e un trinomio.
Il polinomio nullo costituisce un caso particolare: coincide con il monomio nullo, ma nella sua forma ridotta non possiede termini non nulli e non viene classificato in base al numero dei termini.
Anche questa classificazione deve essere effettuata dopo la riduzione. L'espressione
\[ x^2+3x-2x+1 \]
contiene inizialmente quattro termini, ma si riduce a
\[ x^2+x+1, \]
ed è quindi un trinomio.
Polinomi Ordinati e Completi
Un polinomio in una variabile si dice ordinato quando i suoi termini sono disposti secondo le potenze crescenti o decrescenti della variabile.
Il polinomio
\[ 3x^4-2x^3+x-5 \]
è ordinato secondo le potenze decrescenti di \(x\), mentre
\[ -5+x-2x^3+3x^4 \]
è ordinato secondo le potenze crescenti.
Un polinomio di grado \(n\) si dice completo rispetto alla variabile \(x\) quando contiene, con coefficienti non nulli, tutte le potenze di \(x\) da \(n\) fino a \(0\).
Per esempio,
\[ 2x^4-x^3+3x^2+x-5 \]
è un polinomio completo di quarto grado, perché contiene le potenze
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
Il polinomio
\[ 2x^4+3x-5 \]
è invece incompleto, poiché non contiene termini in \(x^3\) e in \(x^2\). I coefficienti corrispondenti a tali potenze sono implicitamente uguali a \(0\).
Polinomi Omogenei
Un polinomio non nullo in più variabili si dice omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado complessivo.
Per esempio,
\[ P(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3 \]
è omogeneo di grado \(3\), perché ciascun termine ha grado complessivo \(3\).
Il polinomio
\[ Q(x,y)=x^2+xy+y \]
non è invece omogeneo: i primi due termini hanno grado \(2\), mentre il termine \(y\) ha grado \(1\).
Polinomi Monici
Un polinomio non nullo in una variabile si dice monico quando il suo coefficiente principale è uguale a \(1\).
Il polinomio
\[ x^4-3x^2+2x-1 \]
è monico, mentre
\[ 2x^4-3x^2+2x-1 \]
non lo è, perché il suo coefficiente principale è \(2\).
Grado, numero dei termini, ordine, completezza e omogeneità descrivono aspetti diversi della struttura di un polinomio. Un medesimo polinomio può quindi appartenere contemporaneamente a più categorie: per esempio, può essere un trinomio, ordinato, incompleto e monico.
Operazioni tra Polinomi
La somma, la differenza e il prodotto di due polinomi sono ancora polinomi. Di conseguenza, anche ogni potenza di un polinomio con esponente intero positivo è un polinomio. Si dice pertanto che l'insieme dei polinomi è chiuso rispetto all'addizione, alla sottrazione e alla moltiplicazione.
Prima di eseguire i calcoli è opportuno ridurre ogni polinomio e, nel caso di polinomi in una sola variabile, ordinarne i termini secondo le potenze crescenti o decrescenti della variabile.
Addizione
Per sommare due polinomi si riuniscono i termini simili, sommando algebricamente i rispettivi coefficienti.
Consideriamo
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
e
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
Disponendo i termini simili nello stesso ordine, otteniamo
\[ \begin{aligned} P(x)+Q(x) &=(3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6)\\ &=(3-1)x^3+(-2+4)x^2+(5-3)x+(-1+6)\\ &=2x^3+2x^2+2x+5. \end{aligned} \]
La somma può essere eseguita anche disponendo verticalmente i polinomi, avendo cura di collocare nella stessa colonna i termini con la medesima parte letterale.
Per due polinomi non nulli \(P\) e \(Q\), il grado della somma soddisfa
\[ \deg(P+Q)\leq\max\{\deg(P),\deg(Q)\}, \]
purché \(P+Q\) non sia il polinomio nullo.
Il grado della somma può essere minore del massimo dei gradi dei due addendi quando i termini di grado più elevato si annullano. Per esempio,
\[ (2x^3+x)+(-2x^3+4)=x+4. \]
I due polinomi hanno grado \(3\), mentre la loro somma ha grado \(1\).
Sottrazione
Sottrarre un polinomio significa sommare il suo opposto. L'opposto di un polinomio si ottiene cambiando il segno di tutti i suoi termini.
Se
\[ Q(x)=x^2-3x+5, \]
allora
\[ -Q(x)=-x^2+3x-5. \]
Consideriamo ora
\[ P(x)=4x^2+x-2. \]
La differenza \(P(x)-Q(x)\) è
\[ \begin{aligned} P(x)-Q(x) &=(4x^2+x-2)-(x^2-3x+5)\\ &=4x^2+x-2-x^2+3x-5\\ &=3x^2+4x-7. \end{aligned} \]
Le parentesi sono essenziali: il segno meno posto davanti a un polinomio modifica il segno di ciascun termine contenuto al suo interno.
Moltiplicazione
Il prodotto di due polinomi si calcola applicando ripetutamente la proprietà distributiva: ogni termine del primo polinomio deve essere moltiplicato per ogni termine del secondo.
Consideriamo
\[ P(x)=2x-3 \qquad\text{e}\qquad Q(x)=x^2+4x+1. \]
Si ha
\[ \begin{aligned} P(x)Q(x) &=(2x-3)(x^2+4x+1)\\ &=2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1)\\ &=2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3\\ &=2x^3+5x^2-10x-3. \end{aligned} \]
Dopo aver applicato la proprietà distributiva, il risultato deve essere ridotto riunendo gli eventuali termini simili.
Il prodotto di due polinomi non nulli non è mai il polinomio nullo. Inoltre, il suo grado è uguale alla somma dei gradi dei fattori:
\[ \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q). \]
Nell'esempio precedente,
\[ \deg(P)=1, \qquad \deg(Q)=2, \]
e infatti
\[ \deg(PQ)=1+2=3. \]
Questa proprietà deriva dal fatto che il termine principale del prodotto si ottiene moltiplicando i termini principali dei due fattori. Se
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots \qquad\text{e}\qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots, \]
con \(a_n\neq0\) e \(b_m\neq0\), il termine principale del prodotto è
\[ a_nb_mx^{n+m}. \]
Poiché il prodotto \(a_nb_m\) di due numeri reali non nulli è ancora diverso da zero, il grado del prodotto è \(n+m\).
Potenza
Elevare un polinomio a un esponente intero positivo significa moltiplicarlo per se stesso tante volte quante sono indicate dall'esponente.
Per esempio,
\[ P(x)^3=P(x)\cdot P(x)\cdot P(x). \]
Consideriamo il polinomio
\[ P(x)=x+2. \]
La sua seconda potenza è
\[ \begin{aligned} P(x)^2 &=(x+2)(x+2)\\ &=x^2+2x+2x+4\\ &=x^2+4x+4. \end{aligned} \]
Il calcolo è stato eseguito applicando la proprietà distributiva. Le formule note come prodotti notevoli permettono di abbreviare alcuni sviluppi ricorrenti, ma derivano sempre da questa stessa proprietà.
Se \(P\) è un polinomio non nullo e \(m\) è un intero positivo, allora
\[ \deg(P^m)=m\deg(P). \]
Infatti, \(P^m\) è il prodotto di \(m\) fattori tutti uguali a \(P\), e il grado del prodotto è la somma dei gradi dei singoli fattori.
Per ogni polinomio non nullo si pone inoltre
\[ P(x)^0=1. \]
Il caso in cui il polinomio sia nullo e l'esponente sia \(0\) non viene definito.
Le operazioni appena studiate mostrano che l'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione producono sempre polinomi; lo stesso vale per le potenze con esponente intero positivo. Per ogni polinomio non nullo è definita anche la potenza di esponente \(0\), mentre la divisione richiede condizioni ulteriori e sarà trattata separatamente.
Valore Numerico di un Polinomio
Il valore numerico di un polinomio si ottiene sostituendo alle sue variabili determinati valori numerici ed eseguendo le operazioni indicate.
Consideriamo, per esempio, il polinomio
\[ P(x)=2x^3-5x+1. \]
Assegnando alla variabile \(x\) il valore \(2\), si ottiene
\[ P(2)=2\cdot 2^3-5\cdot 2+1. \]
Eseguendo i calcoli,
\[ P(2)=2\cdot 8-10+1=16-10+1=7. \]
Si dice pertanto che il valore numerico di \(P(x)\) per \(x=2\) è \(7\).
La scrittura \(P(2)\) indica il numero ottenuto sostituendo \(2\) a ogni occorrenza della variabile \(x\). Più in generale, se
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \]
allora, assegnato un numero reale \(c\), si ha
\[ P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1c+a_0. \]
Quando il valore assegnato alla variabile è negativo, è importante racchiuderlo tra parentesi prima di elevarlo a potenza. Consideriamo, per esempio,
\[ Q(x)=x^3-2x^2+4. \]
Per \(x=-2\) si ottiene
\[ Q(-2)=(-2)^3-2(-2)^2+4. \]
Pertanto,
\[ Q(-2)=-8-2\cdot 4+4=-8-8+4=-12. \]
Le parentesi permettono di distinguere correttamente la potenza del numero negativo dall'opposto di una potenza. Infatti,
\[ (-2)^2=4, \qquad -2^2=-4. \]
Il valore numerico può essere calcolato anche per polinomi in più variabili. Consideriamo
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Per \(x=2\) e \(y=-1\), si ha
\[ P(2,-1)=3\cdot 2^2\cdot(-1)-2\cdot 2\cdot(-1)^2+5. \]
Svolgendo i calcoli,
\[ P(2,-1)=3\cdot 4\cdot(-1)-4+5=-12-4+5=-11. \]
In generale, se \(P(x_1,x_2,\dots,x_n)\) è un polinomio in \(n\) variabili, il suo valore numerico in corrispondenza dei numeri reali \(c_1,c_2,\dots,c_n\) si indica con
\[ P(c_1,c_2,\dots,c_n) \]
e si ottiene sostituendo \(c_i\) alla variabile \(x_i\) per ogni \(i=1,2,\dots,n\).
Poiché un polinomio contiene soltanto somme, differenze, prodotti e potenze con esponente intero non negativo, il suo valore numerico è definito per ogni scelta reale delle variabili.
A ogni polinomio in una variabile può quindi essere associata una funzione che a ciascun numero reale \(x\) assegna il corrispondente valore \(P(x)\):
\[ x\longmapsto P(x). \]
Il polinomio e la funzione a esso associata sono concetti strettamente legati, ma non devono essere confusi: il primo è un'espressione algebrica, mentre la seconda descrive la corrispondenza tra i valori assegnati alla variabile e i valori numerici ottenuti.