I monomi e i polinomi costituiscono una delle strutture fondamentali dell'algebra elementare. Attraverso di essi si descrivono relazioni numeriche, formule geometriche, equazioni e modelli che compaiono in praticamente ogni settore della matematica. Comprenderne con precisione la struttura non significa soltanto imparare tecniche di calcolo: significa capire come vengono costruite le espressioni algebriche e quali regole ne governano le trasformazioni.
Dal punto di vista matematico, i polinomi rappresentano combinazioni finite di potenze intere non negative di variabili, mentre i monomi costituiscono i "mattoni elementari" da cui tali combinazioni sono costruite. Le operazioni tra monomi e polinomi discendono direttamente dalle proprietà delle potenze e dalla distributività del prodotto rispetto alla somma.
Una trattazione rigorosa richiede particolare attenzione alle definizioni: non tutte le espressioni letterali sono monomi o polinomi, e molte regole operative valgono soltanto sotto precise ipotesi sugli esponenti e sulle variabili coinvolte.
Indice
- Definizione di Monomio
- Coefficienti, Parte Letterale e Grado
- Monomi Simili
- Operazioni tra Monomi
- Definizione di Polinomio
- Grado di un Polinomio
- Operazioni tra Polinomi
- Prodotti Notevoli e Struttura Algebrica
- Valore Numerico di un Polinomio
- Zeri di un Polinomio
- Regola di Ruffini
- Interpretazione Grafica
Definizione di Monomio
Un monomio è un'espressione della forma:
\[ a x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
dove:
- \( a \in \mathbb{R} \) è un numero reale detto coefficiente;
- \( x_1, x_2, \dots, x_n \) sono variabili;
- \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in \mathbb{N} \) sono esponenti interi non negativi.
La richiesta che gli esponenti appartengano a \( \mathbb{N} \) è essenziale. Espressioni come:
\[ x^{-1}, \qquad \sqrt{x}, \qquad x^{1/2} \]
non sono monomi, poiché contengono esponenti negativi o frazionari.
Anche un numero reale privo di variabili è un monomio: ad esempio
\[ 7 = 7x^0. \]
Il monomio con coefficiente nullo è detto monomio nullo. Poiché:
\[ 0 \cdot x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}=0, \]
tutti i monomi con coefficiente zero rappresentano la stessa espressione nulla.
Coefficiente, Parte Letterale e Grado
Nel monomio:
\[ -5x^2y^3, \]
il numero \( -5 \) è il coefficiente, mentre:
\[ x^2y^3 \]
costituisce la parte letterale.
Il grado rispetto a una variabile coincide con l'esponente con cui tale variabile compare. Nell'esempio precedente:
- il grado rispetto a \( x \) è \( 2 \);
- il grado rispetto a \( y \) è \( 3 \).
Il grado complessivo di un monomio non nullo è la somma di tutti gli esponenti:
\[ 2+3=5. \]
Pertanto:
\[ -5x^2y^3 \]
è un monomio di grado \( 5 \).
Il grado del monomio nullo viene generalmente lasciato non definito, poiché il monomio nullo può essere scritto formalmente con qualunque insieme di esponenti.
Monomi Simili
Due monomi si dicono simili se possiedono la stessa parte letterale, cioè se le variabili compaiono con gli stessi esponenti.
Ad esempio:
\[ 3x^2y \qquad \text{e} \qquad -7x^2y \]
sono monomi simili, mentre:
\[ 3x^2y \qquad \text{e} \qquad 3xy^2 \]
non lo sono.
La nozione di similarità è fondamentale perché soltanto i monomi simili possono essere sommati direttamente:
\[ 3x^2y-7x^2y=(3-7)x^2y=-4x^2y. \]
Se i monomi non sono simili, la somma non può essere ulteriormente ridotta:
\[ x^2+x \]
non è un monomio.
Operazioni tra Monomi
Le operazioni tra monomi derivano direttamente dalle proprietà delle potenze.
Siano:
\[ ax^\alpha y^\beta \qquad \text{e} \qquad bx^\gamma y^\delta. \]
Il loro prodotto è:
\[ (ax^\alpha y^\beta)(bx^\gamma y^\delta) = ab\,x^{\alpha+\gamma}y^{\beta+\delta}. \]
La regola deriva dall'identità:
\[ x^\alpha x^\gamma=x^{\alpha+\gamma}. \]
Ad esempio:
\[ (2x^2y)(-3xy^4) = -6x^3y^5. \]
Per il quoziente:
\[ \frac{ax^\alpha}{bx^\beta} = \frac{a}{b}x^{\alpha-\beta}, \qquad b\neq0. \]
Tuttavia, affinché il risultato rimanga un monomio, occorre che:
\[ \alpha-\beta \ge 0. \]
Infatti:
\[ \frac{x^2}{x^5}=x^{-3} \]
non è un monomio.
Definizione di Polinomio
Un polinomio è una somma finita di monomi.
In una variabile, un polinomio ha forma:
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
dove:
- \( a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb{R} \);
- \( n \in \mathbb{N} \);
- \( a_n\neq0 \).
Il numero \( a_n \) è detto coefficiente direttivo, mentre \( a_0 \) è il termine noto.
Ad esempio:
\[ P(x)=2x^3-5x+1 \]
è un polinomio di terzo grado.
Non sono invece polinomi:
\[ \frac{1}{x}, \qquad \sqrt{x}, \qquad x^\pi, \qquad 2^x, \]
poiché compaiono esponenti negativi, frazionari, irrazionali oppure variabili all'esponente.
Grado di un Polinomio
Il grado di un polinomio non nullo è il massimo grado dei monomi che lo compongono dopo aver ridotto eventuali termini simili.
Ad esempio:
\[ P(x)=4x^5-2x^3+x-7 \]
ha grado \( 5 \).
Il polinomio:
\[ x^3-2x^3+x \]
si riduce a:
\[ -x^3+x, \]
e possiede quindi ancora grado \( 3 \).
Il polinomio nullo è il polinomio i cui coefficienti sono tutti nulli:
\[ 0. \]
Il suo grado viene generalmente lasciato non definito; in alcune trattazioni avanzate si pone convenzionalmente:
\[ \deg(0)=-\infty. \]
Operazioni tra Polinomi
La somma di due polinomi si ottiene sommando i monomi simili.
Ad esempio:
\[ (2x^2+3x-1)+(x^2-5x+4) \]
diventa:
\[ 3x^2-2x+3. \]
Il prodotto si basa invece sulla proprietà distributiva:
\[ a(b+c)=ab+ac. \]
Ad esempio:
\[ (x+2)(x+5) \]
si sviluppa come:
\[ x(x+5)+2(x+5), \]
cioè:
\[ x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10. \]
Il prodotto di due polinomi è ancora un polinomio, poiché la somma e il prodotto di monomi con esponenti interi non negativi producono ancora monomi dello stesso tipo.
Prodotti Notevoli e Struttura Algebrica
Alcuni prodotti di polinomi compaiono così frequentemente da assumere forme canoniche dette prodotti notevoli.
Ad esempio:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \]
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Tali identità non sono formule arbitrarie: discendono direttamente dalla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Ad esempio:
\[ (a+b)^2=(a+b)(a+b) \]
produce:
\[ a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2. \]
Valore Numerico di un Polinomio
Ogni polinomio definisce naturalmente una funzione.
Ad esempio:
\[ P(x)=x^2-3x+2 \]
associa a ogni numero reale \( x \) il valore:
\[ x^2-3x+2. \]
Calcolare il valore numerico di un polinomio significa sostituire alla variabile un numero reale.
Per esempio:
\[ P(4)=4^2-3\cdot4+2=16-12+2=6. \]
Poiché i polinomi coinvolgono soltanto somme e prodotti, essi risultano definiti per ogni numero reale.
Zeri di un Polinomio
Uno zero di un polinomio \( P(x) \) è un numero reale \( x_0 \) tale che:
\[ P(x_0)=0. \]
Determinare gli zeri di un polinomio equivale a risolvere un'equazione polinomiale.
Ad esempio:
\[ x^2-5x+6=0 \]
si fattorizza come:
\[ (x-2)(x-3)=0, \]
e quindi possiede gli zeri:
\[ x=2 \qquad \text{e} \qquad x=3. \]
Per un polinomio a coefficienti interi con coefficiente direttivo \( 1 \) (polinomio monico), gli eventuali zeri interi sono da ricercarsi esclusivamente tra i divisori del termine noto \( a_0 \). Questo criterio riduce la ricerca a un numero finito di candidati, che possono essere testati per sostituzione diretta.
Gli zeri di un polinomio corrispondono geometricamente ai punti di intersezione del grafico con l'asse \( x \).
Regola di Ruffini
La regola di Ruffini è un algoritmo che consente di dividere un polinomio \( P(x) \) per un binomio della forma \( (x - r) \) in modo rapido e sistematico, sfruttando esclusivamente i coefficienti di \( P(x) \).
Il fondamento teorico è il teorema del resto: dividendo \( P(x) \) per \( (x-r) \) si ottiene
\[ P(x) = (x-r)\,Q(x) + R, \]
dove \( Q(x) \) è il quoziente e \( R \) è un resto costante. Sostituendo \( x = r \) si ricava immediatamente:
\[ P(r) = R. \]
Ne segue il teorema di Ruffini: \( (x-r) \) divide \( P(x) \) senza resto se e solo se \( r \) è uno zero di \( P(x) \), cioè \( P(r) = 0 \).
Schema operativo. Dato il polinomio
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \]
si dispongono i coefficienti in una riga e si esegue il calcolo nel modo seguente:
\[ \begin{array}{c|cccc} r & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_0 \\ & & r\,b_n & \cdots & r\,b_1 \\ \hline & b_n & b_{n-1} & \cdots & R \end{array} \]
dove \( b_n = a_n \) e, per \( k = n-1, \dots, 0 \):
\[ b_k = a_k + r\,b_{k+1}. \]
I valori \( b_n, b_{n-1}, \dots, b_1 \) sono i coefficienti del polinomio quoziente \( Q(x) \) di grado \( n-1 \); l'ultimo valore \( R \) è il resto, che coincide con \( P(r) \).
Esempio. Si vuole dividere
\[ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \]
per \( (x-1) \), verificando quindi se \( r = 1 \) è uno zero.
\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Il resto è \( 0 \), dunque \( x = 1 \) è effettivamente uno zero e si ha:
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2-5x+6). \]
Il polinomio quoziente \( x^2 - 5x + 6 \) può essere ulteriormente fattorizzato come \( (x-2)(x-3) \), ottenendo infine:
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3). \]
La regola di Ruffini è quindi particolarmente efficace in combinazione con il criterio dei divisori del termine noto: si individuano i candidati tra i divisori di \( a_0 \), si testano per sostituzione, e per ciascuno zero trovato si abbassa il grado del polinomio tramite Ruffini, fino alla completa fattorizzazione.
Interpretazione Grafica
I monomi e i polinomi possono essere interpretati come funzioni reali di variabile reale, e il loro studio grafico permette di comprendere molte proprietà qualitative.
Il grafico del monomio:
\[ y=x^2 \]
è una parabola con asse verticale:
mentre:
\[ y=x^3 \]
produce una curva con simmetria centrale rispetto all'origine:
Il comportamento globale di un polinomio dipende soprattutto:
- dal suo grado;
- dal segno del coefficiente direttivo.
Ad esempio, un polinomio di grado pari con coefficiente direttivo positivo tende a \(+\infty\) sia per \(x\to +\infty\) sia per \(x\to -\infty\).
I polinomi costituiscono inoltre una classe particolarmente importante di funzioni perché sono definite e continue su tutto \( \mathbb{R} \), e non presentano discontinuità né singolarità.