Gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi sono concetti fondamentali dell'analisi matematica. Essi permettono di descrivere in modo rigoroso la struttura degli insiemi di numeri reali e svolgono un ruolo centrale nello studio di limiti, continuità e convergenza.
Nelle sezioni che seguono introdurremo le definizioni di insieme aperto e insieme chiuso, ne studieremo le proprietà fondamentali e vedremo come tali concetti siano collegati ai punti di accumulazione.
Indice
- Definizione di insieme aperto
- Esempi di insiemi aperti
- Definizione di insieme chiuso
- Esempi di insiemi chiusi
- Relazione tra insiemi aperti e chiusi
- Caratterizzazione mediante i punti di accumulazione
- Proprietà degli insiemi aperti
- Proprietà degli insiemi chiusi
Definizione di insieme aperto
La nozione di insieme aperto si basa sul concetto di intorno. Sia \(A\subseteq\mathbb R\). Diremo che \(A\) è un insieme aperto se per ogni punto \(x_0\in A\) esiste un numero reale \(r>0\) tale che
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
In altre parole, un insieme è aperto se ogni suo punto possiede almeno un intorno completamente contenuto nell'insieme.
È importante osservare che il raggio \(r\) può dipendere dal punto scelto. Non è quindi necessario che esista un unico valore di \(r\) valido per tutti i punti dell'insieme; ciò che conta è che, fissato arbitrariamente un punto \(x_0\in A\), esista almeno un intorno centrato in \(x_0\) contenuto in \(A\).
La definizione può essere espressa anche mediante quantificatori:
\[ A \text{ aperto} \iff \forall x_0\in A\ \exists r>0 \text{ tale che } (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Vediamo due esempi immediati.
Consideriamo l'intervallo aperto
\[ A=(0,1). \]
Sia \(x_0\in(0,1)\). Poiché \(x_0\) è strettamente compreso tra \(0\) e \(1\), le quantità
\[ x_0 \qquad\text{e}\qquad 1-x_0 \]
sono entrambe positive. Possiamo quindi scegliere
\[ r=\frac12\min\{x_0,1-x_0\}. \]
Con tale scelta risulta
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(0,1). \]
Poiché il punto \(x_0\) era arbitrario, l'intervallo \((0,1)\) è un insieme aperto.
Consideriamo ora l'insieme
\[ B=[0,1]. \]
Questo insieme non è aperto. Infatti il punto \(0\) appartiene a \(B\), ma nessun intorno di \(0\) è contenuto in \(B\).
In effetti, per ogni \(r>0\), l'intorno
\[ (-r,r) \]
contiene numeri negativi, che non appartengono a \(B\). Di conseguenza non esiste alcun raggio \(r>0\) tale che
\[ (-r,r)\subseteq[0,1]. \]
Pertanto l'insieme \([0,1]\) non è aperto.
Esempi di insiemi aperti
La definizione di insieme aperto può essere applicata a numerosi insiemi della retta reale. In questa sezione analizzeremo alcuni degli esempi più importanti.
Intervalli aperti
Consideriamo un intervallo aperto
\[ A=(a,b), \qquad a<b. \]
Vogliamo mostrare che \(A\) è un insieme aperto. Sia \(x_0\in(a,b)\). Poiché \(x_0\) è strettamente compreso tra \(a\) e \(b\), le quantità
\[ x_0-a \qquad\text{e}\qquad b-x_0 \]
sono entrambe positive. Poniamo
\[ r=\frac12\min\{x_0-a,\; b-x_0\}. \]
Allora \(r>0\) e l'intorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
rimane interamente contenuto nell'intervallo \((a,b)\). Pertanto ogni punto dell'intervallo possiede un intorno contenuto nell'insieme e quindi \((a,b)\) è un insieme aperto.
Semirette aperte
Consideriamo ora la semiretta
\[ A=(a,+\infty). \]
Sia \(x_0\in A\). Allora \(x_0>a\), per cui la distanza tra \(x_0\) e il punto \(a\) è positiva. Scegliendo
\[ r=\frac{x_0-a}{2}, \]
si ha \(r>0\) e
\[ x_0-r = \frac{x_0+a}{2} > a. \]
Ne segue che
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(a,+\infty). \]
Pertanto anche \((a,+\infty)\) è un insieme aperto.
Con un ragionamento del tutto analogo si dimostra che anche la semiretta
\[ (-\infty,b) \]
è un insieme aperto.
L'insieme \(\mathbb R\)
L'intera retta reale è anch'essa un insieme aperto. Infatti, fissato arbitrariamente un punto \(x_0\in\mathbb R\), ogni intorno della forma
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0, \]
è contenuto in \(\mathbb R\). Di conseguenza \(\mathbb R\) soddisfa la definizione di insieme aperto.
L'insieme vuoto
Anche l'insieme vuoto
\[ \varnothing \]
è considerato un insieme aperto. Infatti la definizione richiede che ogni punto dell'insieme possieda un intorno contenuto nell'insieme. Poiché l'insieme vuoto non contiene alcun punto, tale condizione risulta automaticamente soddisfatta.
Per questo motivo \(\varnothing\) e \(\mathbb R\) sono sempre insiemi aperti.
Definizione di insieme chiuso
La nozione di insieme chiuso è strettamente collegata a quella di insieme aperto. Sia \(A\subseteq\mathbb R\). Diremo che \(A\) è un insieme chiuso se il suo complementare
\[ \mathbb R\setminus A \]
è un insieme aperto.
In simboli:
\[ A \text{ chiuso} \iff \mathbb R\setminus A \text{ aperto}. \]
Per verificare che un insieme sia chiuso non è quindi necessario lavorare direttamente sull'insieme stesso; spesso risulta più semplice studiare il suo complementare e verificare che sia aperto.
Consideriamo, ad esempio, l'intervallo
\[ [0,1]. \]
Il suo complementare è
\[ \mathbb R\setminus[0,1] = (-\infty,0)\cup(1,+\infty). \]
Entrambe le semirette sono aperte e, come vedremo più avanti, l'unione di due insiemi aperti è ancora un insieme aperto. Di conseguenza \(\mathbb R\setminus[0,1]\) è aperto e pertanto \([0,1]\) è un insieme chiuso.
Consideriamo ora l'intervallo
\[ (0,1). \]
Il suo complementare è
\[ \mathbb R\setminus(0,1) = (-\infty,0]\cup[1,+\infty). \]
Tale insieme non è aperto, poiché né il punto \(0\) né il punto \(1\) possiedono un intorno completamente contenuto nel complementare.
Pertanto \((0,1)\) non è un insieme chiuso.
Nelle sezioni successive vedremo una caratterizzazione particolarmente importante degli insiemi chiusi basata sui punti di accumulazione.
Esempi di insiemi chiusi
Analogamente a quanto fatto per gli insiemi aperti, analizziamo ora alcuni esempi significativi di insiemi chiusi.
Intervalli chiusi
Consideriamo l'intervallo
\[ A=[a,b], \qquad a<b. \]
Per stabilire che \(A\) è chiuso è sufficiente studiare il suo complementare:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,a)\cup(b,+\infty). \]
Le due semirette \((-\infty,a)\) e \((b,+\infty)\) sono aperte. Inoltre, come vedremo più avanti, l'unione di insiemi aperti è ancora un insieme aperto.
Pertanto \(\mathbb R\setminus A\) è aperto e quindi \([a,b]\) è un insieme chiuso.
Semirette chiuse
Consideriamo la semiretta
\[ [a,+\infty). \]
Il suo complementare è
\[ \mathbb R\setminus[a,+\infty) = (-\infty,a), \]
che è un insieme aperto.
Di conseguenza \([a,+\infty)\) è un insieme chiuso.
Con lo stesso ragionamento si dimostra che anche la semiretta
\[ (-\infty,b] \]
è un insieme chiuso.
Insiemi costituiti da un numero finito di punti
Consideriamo un insieme formato da un solo punto:
\[ A=\{a\}. \]
Il suo complementare è
\[ \mathbb R\setminus\{a\} = (-\infty,a)\cup(a,+\infty). \]
Essendo unione di due insiemi aperti, esso è aperto. Pertanto \(\{a\}\) è un insieme chiuso.
Lo stesso ragionamento mostra che ogni insieme formato da un numero finito di punti è un insieme chiuso.
L'insieme \(\mathbb R\)
L'intera retta reale è un insieme chiuso.
Infatti il suo complementare è l'insieme vuoto:
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R = \varnothing. \]
Poiché \(\varnothing\) è un insieme aperto, segue che \(\mathbb R\) è chiuso.
L'insieme vuoto
Anche l'insieme vuoto è un insieme chiuso.
Infatti
\[ \mathbb R\setminus\varnothing = \mathbb R. \]
Poiché \(\mathbb R\) è un insieme aperto, segue che \(\varnothing\) è chiuso.
Abbiamo quindi ottenuto un risultato interessante: sia \(\mathbb R\) sia \(\varnothing\) sono contemporaneamente aperti e chiusi.
Relazione tra insiemi aperti e chiusi
Gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi sono definiti in termini l'uno dell'altro: un insieme è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto. Non bisogna però pensare che le parole "aperto" e "chiuso" siano necessariamente opposte nel linguaggio comune.
Infatti un insieme aperto può non essere chiuso, un insieme chiuso può non essere aperto, ma esistono anche insiemi che sono contemporaneamente aperti e chiusi.
Insiemi aperti ma non chiusi
L'intervallo
\[ (0,1) \]
è un insieme aperto, come abbiamo già dimostrato.
Tuttavia non è chiuso, poiché il suo complementare
\[ (-\infty,0]\cup[1,+\infty) \]
non è aperto.
Pertanto \((0,1)\) è aperto ma non chiuso.
Insiemi chiusi ma non aperti
Consideriamo l'intervallo
\[ [0,1]. \]
Abbiamo visto che esso è chiuso perché il suo complementare
\[ (-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
è aperto.
D'altra parte \([0,1]\) non è aperto, poiché né il punto \(0\) né il punto \(1\) possiedono un intorno completamente contenuto nell'insieme.
Pertanto \([0,1]\) è chiuso ma non aperto.
Insiemi contemporaneamente aperti e chiusi
Abbiamo già osservato che l'insieme vuoto \(\varnothing\) è aperto e che il suo complementare \(\mathbb R\) è aperto. Di conseguenza \(\varnothing\) è anche chiuso.
Analogamente, \(\mathbb R\) è aperto e il suo complementare \(\varnothing\) è aperto; pertanto \(\mathbb R\) è anche chiuso.
Gli insiemi
\[ \varnothing \qquad\text{e}\qquad \mathbb R \]
sono quindi contemporaneamente aperti e chiusi.
Insiemi né aperti né chiusi
Esistono infine insiemi che non sono né aperti né chiusi.
Un esempio è l'intervallo
\[ (0,1]. \]
Esso non è aperto, poiché il punto \(1\) non possiede alcun intorno completamente contenuto nell'insieme.
Inoltre non è chiuso, poiché il suo complementare
\[ (-\infty,0]\cup(1,+\infty) \]
non è aperto.
Pertanto \((0,1]\) non è né aperto né chiuso.
In conclusione, le proprietà di essere aperto e di essere chiuso sono indipendenti: un insieme può possedere una sola delle due proprietà, entrambe oppure nessuna.
Caratterizzazione mediante i punti di accumulazione
Una delle caratterizzazioni più importanti degli insiemi chiusi coinvolge il concetto di punto di accumulazione. Essa permette di riconoscere se un insieme è chiuso osservando esclusivamente la posizione dei suoi punti di accumulazione.
Ricordiamo che un punto \(x_0\in\mathbb R\) si dice punto di accumulazione di un insieme \(A\subseteq\mathbb R\) se ogni intorno puntato di \(x_0\) contiene almeno un punto di \(A\).
Vale allora il seguente teorema fondamentale.
Teorema. Un insieme \(A\subseteq\mathbb R\) è chiuso se e solo se contiene tutti i propri punti di accumulazione.
In simboli:
\[ A \text{ chiuso} \iff A'\subseteq A, \]
dove \(A'\) denota l'insieme derivato di \(A\), cioè l'insieme di tutti i punti di accumulazione di \(A\).
Dimostrazione. Supponiamo innanzitutto che \(A\) sia chiuso e sia \(x_0\in A'\). Vogliamo dimostrare che \(x_0\in A\).
Procediamo per assurdo e supponiamo che \(x_0\notin A\).
Poiché \(A\) è chiuso, il complementare \(\mathbb R\setminus A\) è aperto. Essendo \(x_0\in\mathbb R\setminus A\), esiste un intorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq \mathbb R\setminus A. \]
Tale intorno non contiene alcun punto di \(A\), in contraddizione con il fatto che \(x_0\) è un punto di accumulazione di \(A\).
Pertanto deve essere \(x_0\in A\), e quindi
\[ A'\subseteq A. \]
Dimostriamo ora il viceversa. Supponiamo che
\[ A'\subseteq A \]
e consideriamo un punto
\[ x_0\in\mathbb R\setminus A. \]
Poiché \(x_0\notin A\) e tutti i punti di accumulazione appartengono ad \(A\), il punto \(x_0\) non può essere un punto di accumulazione di \(A\).
Per definizione di punto di accumulazione, esiste allora un raggio \(r>0\) tale che l'intorno puntato
\[ (x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\} \]
non contiene punti di \(A\).
Poiché inoltre \(x_0\notin A\), segue che l'intero intervallo
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
è contenuto nel complementare \(\mathbb R\setminus A\).
Abbiamo quindi mostrato che ogni punto di \(\mathbb R\setminus A\) possiede un intorno contenuto nel complementare. Di conseguenza \(\mathbb R\setminus A\) è aperto.
Pertanto \(A\) è chiuso.
Interpretazione geometrica
Il teorema afferma che un insieme è chiuso quando non "lascia fuori" alcun proprio punto di accumulazione.
Ad esempio, l'intervallo
\[ [0,1] \]
contiene tutti i propri punti di accumulazione e quindi è chiuso.
Al contrario, l'intervallo
\[ (0,1) \]
non contiene i punti di accumulazione \(0\) e \(1\). Di conseguenza non è chiuso.
Questa caratterizzazione è spesso il metodo più semplice per stabilire se un insieme sia chiuso.
Proprietà degli insiemi aperti
Gli insiemi aperti godono di importanti proprietà di chiusura che consentono di costruire nuovi insiemi aperti a partire da insiemi aperti già noti.
In particolare, l'unione arbitraria di insiemi aperti è ancora un insieme aperto, mentre l'intersezione di un numero finito di insiemi aperti è ancora un insieme aperto.
Unione di insiemi aperti
Sia \(\{A_i\}_{i\in I}\) una famiglia di insiemi aperti. Allora
\[ \bigcup_{i\in I}A_i \]
è un insieme aperto.
Dimostrazione. Poniamo
\[ A=\bigcup_{i\in I}A_i \]
e sia \(x_0\in A\).
Per definizione di unione, esiste almeno un indice \(j\in I\) tale che
\[ x_0\in A_j. \]
Poiché \(A_j\) è aperto, esiste un raggio \(r>0\) tale che
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A_j. \]
Essendo \(A_j\subseteq A\), segue che
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Abbiamo quindi mostrato che ogni punto di \(A\) possiede un intorno contenuto in \(A\). Pertanto \(A\) è aperto.
Intersezione finita di insiemi aperti
Siano \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) insiemi aperti. Allora
\[ A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
è un insieme aperto.
Dimostrazione. Poniamo
\[ A=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
e sia \(x_0\in A\).
Allora
\[ x_0\in A_1,\quad x_0\in A_2,\quad \ldots,\quad x_0\in A_n. \]
Poiché ciascun insieme è aperto, esistono raggi positivi
\[ r_1,r_2,\ldots,r_n \]
tali che
\[ (x_0-r_k,x_0+r_k)\subseteq A_k, \qquad k=1,\ldots,n. \]
Poniamo
\[ r=\min\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}. \]
Allora \(r>0\) e
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n. \]
Pertanto \(A\) è aperto.
Perché l'intersezione infinita può non essere aperta?
La proprietà precedente non può essere estesa a intersezioni infinite.
Consideriamo infatti la famiglia di intervalli aperti
\[ A_n= \left( -\frac1n, \frac1n \right), \qquad n\in\mathbb N. \]
Ogni \(A_n\) è aperto.
Tuttavia
\[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{0\}. \]
L'insieme \(\{0\}\) non è aperto, poiché nessun intorno di \(0\) è contenuto in \(\{0\}\).
Questo esempio mostra che l'intersezione di una famiglia infinita di insiemi aperti può non essere aperta.
Riassumendo:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{L'unione arbitraria di insiemi aperti è aperta;}\\[4pt] &\text{l'intersezione finita di insiemi aperti è aperta.} \end{aligned} } \]
Proprietà degli insiemi chiusi
Le proprietà degli insiemi chiusi sono duali rispetto a quelle degli insiemi aperti. In particolare, l'intersezione arbitraria di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso, mentre l'unione di un numero finito di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso.
Intersezione arbitraria di insiemi chiusi
Sia \(\{A_i\}_{i\in I}\) una famiglia di insiemi chiusi. Allora
\[ \bigcap_{i\in I}A_i \]
è un insieme chiuso.
Dimostrazione. Poniamo
\[ A=\bigcap_{i\in I}A_i. \]
Utilizzando le leggi di De Morgan otteniamo
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( \bigcap_{i\in I}A_i \right) = \bigcup_{i\in I} \left( \mathbb R\setminus A_i \right). \]
Poiché ciascun insieme \(A_i\) è chiuso, il complementare \(\mathbb R\setminus A_i\) è aperto.
Inoltre l'unione arbitraria di insiemi aperti è aperta.
Pertanto \(\mathbb R\setminus A\) è aperto e quindi \(A\) è chiuso.
Unione finita di insiemi chiusi
Siano \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) insiemi chiusi. Allora
\[ A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \]
è un insieme chiuso.
Dimostrazione. Poniamo
\[ A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n. \]
Applicando nuovamente le leggi di De Morgan otteniamo
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \right) = (\mathbb R\setminus A_1) \cap (\mathbb R\setminus A_2) \cap \cdots \cap (\mathbb R\setminus A_n). \]
Poiché ciascun complementare \(\mathbb R\setminus A_k\) è aperto e l'intersezione finita di insiemi aperti è aperta, segue che \(\mathbb R\setminus A\) è aperto.
Pertanto \(A\) è chiuso.
Perché l'unione infinita può non essere chiusa?
La proprietà precedente non può essere estesa a unioni infinite.
Consideriamo infatti gli insiemi
\[ A_n= \left[ \frac1n, 1 \right], \qquad n\in\mathbb N. \]
Ogni \(A_n\) è un intervallo chiuso.
La loro unione è
\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac1n, 1 \right] = (0,1]. \]
L'insieme \((0,1]\) non è chiuso, poiché il punto \(0\) è un punto di accumulazione che non appartiene all'insieme.
Questo esempio mostra che l'unione di una famiglia infinita di insiemi chiusi può non essere chiusa.
Riassumendo:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{L'intersezione arbitraria di insiemi chiusi è chiusa;}\\[4pt] &\text{l'unione finita di insiemi chiusi è chiusa.} \end{aligned} } \]