Grafici delle Funzioni Arcotangente e Arcocotangente

Dalla tangente e dalla cotangente alle funzioni inverse

Nei grafici della tangente e della cotangente, i rami si ripetono ogni \(\pi\). Per esempio, \(\tan 0=\tan\pi=0\). Dato il valore della tangente o della cotangente, quindi, per risalire a un unico angolo occorre scegliere il ramo da invertire.

• Per l’arcotangente si sceglie il ramo della tangente su \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\). Su questo intervallo la tangente è strettamente crescente e assume una sola volta ciascun valore reale.
• Per l’arcocotangente si sceglie il ramo della cotangente su \((0,\pi)\). Su questo intervallo la cotangente è strettamente decrescente e assume una sola volta ciascun valore reale.

Come per arcoseno e arcocoseno, il passaggio all’inversa scambia ascissa e ordinata. Se \((t,x)\) è un punto del ramo scelto, \((x,t)\) è un punto del grafico dell’inversa. I due punti sono simmetrici rispetto alla retta \(y=x\).

Grafico della funzione arcotangente

Dominio, immagine e punti di riferimento

Per ogni \(x\in\mathbb{R}\), l’arcotangente di \(x\) è l’unica misura angolare \(t\) nell’intervallo \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) la cui tangente vale \(x\). In formule,

\[ t=\arctan x \quad\Longleftrightarrow\quad \tan t=x \quad\text{e}\quad -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}. \]

Il dominio dell’arcotangente è \(\mathbb{R}\) e la sua immagine è \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\). La funzione è strettamente crescente, perché sul ramo scelto a valori più grandi della tangente corrispondono angoli più grandi.

Scambiando le coordinate dei punti di riferimento della tangente, otteniamo

\[ \arctan(-1)=-\frac{\pi}{4},\qquad \arctan 0=0,\qquad \arctan 1=\frac{\pi}{4}. \]

Il grafico passa per l’origine, che è il suo unico punto di intersezione con l’asse delle ascisse.

Asintoti orizzontali

Sul ramo scelto, la tangente tende a \(-\infty\) quando l’angolo si avvicina a \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) da destra e a \(+\infty\) quando si avvicina a \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) da sinistra. Scambiando il ruolo dell’angolo e del valore della tangente, otteniamo

\[ \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}. \]

Le rette \(y=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) e \(y=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) sono quindi gli asintoti orizzontali dell’arcotangente. Il grafico si avvicina al primo dall’alto e al secondo dal basso.

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Grafico della funzione arcocotangente

Dominio, immagine e punti di riferimento

Per ogni \(x\in\mathbb{R}\), l’arcocotangente di \(x\) è l’unica misura angolare \(t\) nell’intervallo \((0,\pi)\) la cui cotangente vale \(x\). In formule,

\[ t=\operatorname{arccot}x \quad\Longleftrightarrow\quad \cot t=x \quad\text{e}\quad 0<t<\pi. \]

Il dominio dell’arcocotangente è \(\mathbb{R}\) e la sua immagine è \((0,\pi)\). La funzione è strettamente decrescente, perché sul ramo scelto a valori più grandi della cotangente corrispondono angoli più piccoli.

Scambiando le coordinate dei punti di riferimento della cotangente, otteniamo

\[ \operatorname{arccot}(-1)=\frac{3\pi}{4},\qquad \operatorname{arccot}0=\frac{\pi}{2},\qquad \operatorname{arccot}1=\frac{\pi}{4}. \]

Il grafico interseca l’asse delle ordinate in \(\left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\). Poiché tutti i valori della funzione sono positivi, l’arcocotangente non ha zeri.

Asintoti orizzontali

Sul ramo scelto, la cotangente tende a \(+\infty\) quando l’angolo si avvicina a \(0\) da destra e a \(-\infty\) quando si avvicina a \(\pi\) da sinistra. Per la funzione inversa si ottiene quindi

\[ \lim_{x\to-\infty}\operatorname{arccot}x=\pi, \qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{arccot}x=0. \]

Le rette \(y=\pi\) e \(y=0\) sono gli asintoti orizzontali dell’arcocotangente. Il grafico si avvicina a \(y=\pi\) dal basso verso sinistra e all’asse delle ascisse dall’alto verso destra.

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Simmetrie dei due grafici

Arcotangente e simmetria rispetto all’origine

Se \(t=\arctan x\), allora \(\tan t=x\). Per la disparità della tangente si ha \(\tan(-t)=-x\). Poiché anche \(-t\) appartiene all’intervallo scelto, per ogni \(x\in\mathbb{R}\) vale

\[ \arctan(-x)=-\arctan x. \]

L’arcotangente è dunque dispari. I punti del grafico con ascisse opposte hanno ordinate opposte e sono simmetrici rispetto all’origine.

Arcocotangente e simmetria centrale

Se \(t=\operatorname{arccot}x\), allora \(\cot t=x\). L’angolo \(\pi-t\) appartiene ancora a \((0,\pi)\). Poiché \(\sin(\pi-t)=\sin t\) e \(\cos(\pi-t)=-\cos t\), si ha \(\cot(\pi-t)=-x\). Di conseguenza,

\[ \operatorname{arccot}(-x)=\pi-\operatorname{arccot}x. \]

I punti del grafico con ascisse opposte hanno ordinate la cui somma è \(\pi\). Il loro punto medio è sempre \(\left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\), il centro di simmetria del grafico.

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Relazione tra arcotangente e arcocotangente

Sia \(t=\arctan x\). Poiché \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<t<\displaystyle\frac{\pi}{2}\), l’angolo \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\) appartiene a \((0,\pi)\). Inoltre,

\[ \cot\left(\frac{\pi}{2}-t\right) =\frac{\sin t}{\cos t} =\tan t=x. \]

Per definizione, \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-t=\operatorname{arccot}x\). Si ottiene quindi, per ogni \(x\in\mathbb{R}\),

\[ \arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}. \]

A ogni ascissa, la media delle ordinate dei due grafici è \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Il grafico dell’arcocotangente si ottiene quindi riflettendo quello dell’arcotangente rispetto alla retta \(y=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

I due grafici si incontrano quando entrambe le ordinate valgono \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Poiché \(\tan\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\), il loro unico punto comune è \(\left(1,\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

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Esempi svolti

1. Calcolare un valore dell’arcotangente

L’angolo \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) appartiene all’intervallo scelto e ha tangente \(\sqrt{3}\). Per disparità,

\[ \arctan(-\sqrt{3})=-\arctan(\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}. \]

2. Calcolare un valore dell’arcocotangente

Per calcolare \(\operatorname{arccot}(-1)\), cerchiamo l’angolo in \((0,\pi)\) la cui cotangente vale \(-1\). Poiché \(\operatorname{arccot}1=\displaystyle\frac{\pi}{4}\), dalla simmetria del grafico segue

\[ \operatorname{arccot}(-1) =\pi-\operatorname{arccot}1 =\pi-\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi}{4}. \]

3. Comporre l’arcotangente con la tangente

Calcoliamo \(\arctan\left(\tan\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right)\). L’angolo \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\) è fuori dall’immagine dell’arcotangente. Sottraendo \(\pi\) si ottiene \(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\), che appartiene all’intervallo scelto e ha la stessa tangente.

\[ \arctan\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right) =\arctan(-1) =-\frac{\pi}{4}. \]

La composizione \(\arctan(\tan t)\) restituisce \(t\) esattamente quando \(t\) appartiene a \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\). Allo stesso modo, \(\operatorname{arccot}(\cot t)\) restituisce \(t\) esattamente quando \(t\in(0,\pi)\). Nell’ordine opposto, \(\tan(\arctan x)=x\) e \(\cot(\operatorname{arccot}x)=x\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).

Riepilogo