Grafici delle Funzioni Tangente e Cotangente

Dalla circonferenza goniometrica ai grafici

Sia \(P=(\cos x,\sin x)\) il punto della circonferenza goniometrica associato all’angolo \(x\). Come abbiamo visto nella pagina sulla tangente e cotangente di un angolo, la retta passante per l’origine \(\mathcal{O}\) e per \(P\) permette di rappresentare entrambi i valori.

• Se \(\cos x\ne 0\), la retta \(\mathcal{O}P\) incontra la retta \(x=1\), tangente alla circonferenza, nel punto \(T=(1,\tan x)\). La tangente è l’ordinata di \(T\).
• Se \(\sin x\ne 0\), la retta \(\mathcal{O}P\) incontra la retta \(y=1\), tangente alla circonferenza, nel punto \(C=(\cot x,1)\). La cotangente è l’ascissa di \(C\).

Nelle equazioni \(x=1\) e \(y=1\), le lettere indicano le coordinate del piano della circonferenza. Nei grafici delle funzioni, invece, sull’asse orizzontale riportiamo la misura dell’angolo. Il valore della funzione si legge sempre sull’asse verticale, anche quando proviene dall’ascissa di \(C\).

Grafico della funzione tangente

Dominio, zeri e punti di riferimento

La tangente è definita da \(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) quando \(\cos x\ne 0\). Il suo dominio è

\[ \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\}. \]

La tangente si annulla quando \(\sin x=0\). In corrispondenza di questi angoli il coseno vale \(1\) oppure \(-1\), quindi gli zeri della tangente sono \(x=k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\).

Per costruire il ramo compreso tra \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) e \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), partiamo da tre punti di riferimento.

\[ \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\qquad \tan 0=0,\qquad \tan\frac{\pi}{4}=1. \]

Andamento del ramo e asintoti verticali

Quando \(x\) cresce da \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) a \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), la semiretta \(\mathcal{O}P\) ruota in senso antiorario nel semipiano destro. Il punto \(T\) sale lungo la retta \(x=1\). La sua ordinata cresce strettamente e assume tutti i valori reali.

In prossimità dei due estremi del ramo, il coseno tende a \(0\) restando positivo. Il seno tende a \(-1\) all’estremo sinistro e a \(1\) all’estremo destro. Di conseguenza,

\[ \lim_{x\to(-\pi/2)^+}\tan x=-\infty,\qquad \lim_{x\to(\pi/2)^-}\tan x=+\infty. \]

Le rette verticali \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) e \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) sono gli asintoti verticali ai lati di questo ramo. Il grafico si avvicina a queste rette mentre i valori della funzione diventano arbitrariamente grandi in valore assoluto.

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Grafico della funzione cotangente

Dominio, zeri e punti di riferimento

La cotangente è definita da \(\cot x=\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}\) quando \(\sin x\ne 0\). Il suo dominio è

\[ \mathbb{R}\setminus\{k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\}. \]

La cotangente si annulla quando \(\cos x=0\). In corrispondenza di questi angoli il seno vale \(1\) oppure \(-1\), quindi gli zeri della cotangente sono \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\).

Per costruire il ramo compreso tra \(0\) e \(\pi\), partiamo da tre punti di riferimento.

\[ \cot\frac{\pi}{4}=1,\qquad \cot\frac{\pi}{2}=0,\qquad \cot\frac{3\pi}{4}=-1. \]

Andamento del ramo e asintoti verticali

Quando \(x\) cresce da \(0\) a \(\pi\), la semiretta \(\mathcal{O}P\) ruota in senso antiorario nel semipiano superiore. Il punto \(C\) si sposta da destra verso sinistra lungo la retta \(y=1\). La sua ascissa decresce strettamente e assume tutti i valori reali.

In prossimità dei due estremi del ramo, il seno tende a \(0\) restando positivo. Il coseno tende a \(1\) all’estremo sinistro e a \(-1\) all’estremo destro. Di conseguenza,

\[ \lim_{x\to 0^+}\cot x=+\infty,\qquad \lim_{x\to\pi^-}\cot x=-\infty. \]

Le rette \(x=0\) e \(x=\pi\) sono gli asintoti verticali ai lati di questo ramo. In particolare, \(x=0\) coincide con l’asse delle ordinate.

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Periodicità e simmetrie

Periodo fondamentale

I punti della circonferenza associati a \(x\) e \(x+\pi\) sono opposti e appartengono alla stessa retta passante per l’origine. Le intersezioni di questa retta con le rette tangenti rimangono le stesse. Si ottengono quindi, nei rispettivi domini, le identità

\[ \tan(x+\pi)=\tan x,\qquad \cot(x+\pi)=\cot x. \]

Per verificare che \(\pi\) sia il periodo fondamentale, ossia il più piccolo periodo positivo, consideriamo gli zeri. Se \(p>0\) è un periodo della tangente, da \(\tan 0=0\) segue \(\tan p=0\). Poiché gli zeri della tangente sono \(k\pi\), si ha \(p=k\pi\) per qualche intero \(k\geq 1\).

Se \(p>0\) è un periodo della cotangente, da \(\cot\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\) segue \(\cot\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+p\right)=0\). Poiché gli zeri della cotangente sono \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), si ottiene ancora \(p=k\pi\) per qualche intero \(k\geq 1\).

Ogni periodo positivo di ciascuna delle due funzioni è quindi un multiplo intero di \(\pi\). Poiché \(\pi\) è un periodo di entrambe, è il loro periodo fondamentale.

Ripetendo ciascun ramo verso destra e verso sinistra con traslazioni di \(k\pi\), si ottengono i grafici completi. Gli asintoti verticali della tangente sono le rette \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), mentre quelli della cotangente sono le rette \(x=k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\).

Simmetria rispetto all’origine

Il seno cambia segno quando si sostituisce \(x\) con \(-x\), mentre il coseno conserva lo stesso valore. Applicando queste proprietà ai due quozienti, otteniamo

\[ \tan(-x)=-\tan x,\qquad \cot(-x)=-\cot x, \]

nei rispettivi domini. Entrambe le funzioni sono dispari. Sul grafico, al punto di ascissa \(x\) corrisponde un punto di ascissa \(-x\) e ordinata opposta. Entrambi i grafici sono quindi simmetrici rispetto all’origine. Nel caso della cotangente, l’origine è il centro della simmetria e si trova sull’asintoto \(x=0\).

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Come passare dal grafico della tangente a quello della cotangente

Una rotazione di un quarto di giro in senso orario trasforma il punto \(P=(\cos x,\sin x)\) nel punto \((\sin x,-\cos x)\), associato all’angolo \(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Per ogni \(x\) con \(\sin x\ne 0\), si ha quindi

\[ \tan\left(x-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{-\cos x}{\sin x} =-\cot x. \]

Il grafico della cotangente si ottiene dunque traslando verso destra di \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) il grafico della tangente e poi riflettendolo rispetto all’asse delle ascisse. Il ramo crescente della tangente tra \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) e \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) diventa così il ramo decrescente della cotangente tra \(0\) e \(\pi\).

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Esempi svolti

1. Leggere un valore della tangente oltre il primo giro

Per ricondurre l’argomento al ramo compreso tra \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) e \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), sottraiamo \(2\pi\), cioè due periodi. Poiché \(\displaystyle\frac{9\pi}{4}-2\pi=\displaystyle\frac{\pi}{4}\), otteniamo

\[ \tan\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1. \]

2. Individuare il segno della cotangente dal grafico

L’angolo \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) appartiene all’intervallo \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2},\pi\right)\). In questo tratto il ramo della cotangente è sotto l’asse delle ascisse, perché decresce a partire dallo zero in \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Pertanto

\[ \cot\frac{2\pi}{3}<0. \]

3. Distinguere uno zero da un asintoto verticale

In \(x=\pi\), il seno vale \(0\) e il coseno vale \(-1\). La tangente è definita e vale \(\tan\pi=\displaystyle\frac{0}{-1}=0\). La cotangente ha invece denominatore nullo, e la retta \(x=\pi\) è uno dei suoi asintoti verticali.

Riepilogo

Nella tabella \(k\) indica un intero arbitrario.