Esercizio del 15/04/2026 - 09:00 — livello ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=2x+1 \]
Risultato
Funzione biiettiva.
Svolgimento
Iniettività
Per verificare se la funzione è iniettiva, supponiamo che due valori abbiano la stessa immagine:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies 2x_1+1=2x_2+1 \]
Eliminando il termine costante si ottiene:
\[ 2x_1=2x_2 \implies x_1=x_2 \]
Quindi valori diversi non possono avere la stessa immagine: la funzione è iniettiva.
Suriettività
Per capire se è suriettiva, prendiamo un qualunque valore reale \(y\) e vediamo se esiste un \(x\) tale che \(f(x)=y\):
\[ y=2x+1 \]
Risolvendo rispetto a \(x\):
\[ x=\frac{y-1}{2} \]
Questo valore è sempre reale, quindi ogni numero reale è immagine di almeno un elemento del dominio. La funzione è suriettiva.
Conclusione
Essendo sia iniettiva che suriettiva, la funzione è biiettiva.
\[ \boxed{f \text{ è biiettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 09:30 — livello ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2 \]
Risultato
Non iniettiva e non suriettiva (su \(\mathbb{R}\)).
Svolgimento
Iniettività
Basta trovare due valori diversi che abbiano la stessa immagine. Ad esempio:
\[ f(1)=1, \qquad f(-1)=1 \]
Poiché \(1\neq -1\), ma le immagini coincidono, la funzione non è iniettiva.
Suriettività
Osserviamo che il quadrato di un numero reale è sempre non negativo:
\[ x^2 \ge 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Quindi la funzione assume solo valori nell'intervallo \([0,+\infty)\). In particolare, nessun numero negativo è immagine di qualche \(x\).
Di conseguenza, la funzione non è suriettiva su \(\mathbb{R}\).
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ non è né iniettiva né suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 10:00 — livello ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3 \]
Risultato
Funzione biiettiva.
Svolgimento
Iniettività
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1^3=x_2^3 \]
Poiché la funzione cubica è strettamente crescente, da questa uguaglianza segue necessariamente:
\[ x_1=x_2 \]
Quindi la funzione è iniettiva.
Suriettività
Prendiamo un qualunque \(y\in\mathbb{R}\) e consideriamo l'equazione:
\[ y=x^3 \]
Essa ha sempre soluzione reale, infatti:
\[ x=\sqrt[3]{y} \]
Questo mostra che ogni numero reale è immagine di qualche \(x\), quindi la funzione è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è biiettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 10:30 — livello ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, \quad f(n)=n+1 \]
Risultato
Iniettiva ma non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
Supponiamo che due numeri naturali abbiano la stessa immagine:
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies n_1+1=n_2+1 \]
Da cui segue immediatamente:
\[ n_1=n_2 \]
Quindi la funzione è iniettiva.
Suriettività
Osserviamo che il valore \(0\) (oppure \(1\), a seconda della definizione di \(\mathbb{N}\)) non è immagine di alcun numero naturale.
Infatti, non esiste \(n\in\mathbb{N}\) tale che \(n+1=0\).
Quindi la funzione non è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è iniettiva ma non suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 11:00 — livello ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=5 \]
Risultato
Non iniettiva e non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
La funzione associa a ogni numero reale sempre lo stesso valore:
\[ f(x)=5 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Quindi numeri diversi hanno la stessa immagine. La funzione non è iniettiva.
Suriettività
L'immagine della funzione è il solo valore \(5\), cioè:
\[ \operatorname{Im}(f)=\{5\} \]
Poiché questo insieme non coincide con \(\mathbb{R}\), la funzione non è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ non è né iniettiva né suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 11:30 — livello ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, \quad f(n)=2n \]
Risultato
Iniettiva ma non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
Supponiamo:
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies 2n_1=2n_2 \]
Dividendo per 2 si ottiene:
\[ n_1=n_2 \]
Quindi la funzione è iniettiva.
Suriettività
I valori assunti dalla funzione sono tutti e soli i numeri pari:
\[ \operatorname{Im}(f)=\{2n \mid n\in\mathbb{Z}\} \]
I numeri dispari non sono immagini di alcun elemento del dominio, quindi la funzione non è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è iniettiva ma non suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 12:00 — livello ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+1 \]
Risultato
Non iniettiva e non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
Come nel caso di \(x^2\), si ha:
\[ f(1)=2,\qquad f(-1)=2 \]
Quindi valori distinti hanno la stessa immagine e la funzione non è iniettiva.
Suriettività
Si osserva che:
\[ x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1 \]
Pertanto:
\[ \operatorname{Im}(f)=[1,+\infty) \]
I numeri minori di 1 non sono immagini, quindi la funzione non è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ non è né iniettiva né suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 12:30 — livello ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \quad f(x)=x^2 \]
Risultato
Non iniettiva ma suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
Come già visto:
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
con \(1\neq -1\), quindi la funzione non è iniettiva.
Suriettività
Ora però il codominio è \([0,+\infty)\). Sia \(y\ge 0\): dobbiamo verificare se esiste \(x\) tale che:
\[ y=x^2 \]
Questa equazione ha sempre soluzione reale:
\[ x=\pm\sqrt{y} \]
Quindi ogni valore del codominio è effettivamente assunto dalla funzione, che risulta suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è suriettiva ma non iniettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 13:00 — livello ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)= \begin{cases} x & x\ge 0 \\ -x & x<0 \end{cases} \]
Risultato
Non iniettiva e non suriettiva.
Svolgimento
Interpretazione
La funzione coincide con il valore assoluto:
\[ f(x)=|x| \]
Iniettività
Si ha ad esempio:
\[ f(1)=1,\qquad f(-1)=1 \]
con valori distinti del dominio. Quindi la funzione non è iniettiva.
Suriettività
Poiché \( |x|\ge 0 \), l'immagine è:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
I numeri negativi non sono mai assunti, quindi la funzione non è suriettiva su \(\mathbb{R}\).
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ non è né iniettiva né suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 13:30 — livello ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x \]
Risultato
Iniettiva ma non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
La funzione esponenziale è strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\). Questo significa che, se \(x_1<x_2\), allora:
\[ e^{x_1} < e^{x_2} \]
Di conseguenza, non è possibile che due valori distinti abbiano la stessa immagine. La funzione è quindi iniettiva.
Suriettività
Osserviamo che:
\[ e^x > 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Quindi l'immagine della funzione è:
\[ \operatorname{Im}(f)=(0,+\infty) \]
I numeri negativi e lo zero non sono mai assunti dalla funzione, quindi non tutti i valori reali sono immagini.
La funzione non è suriettiva su \(\mathbb{R}\).
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è iniettiva ma non suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 14:00 — livello ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), \quad f(x)=e^x \]
Risultato
Funzione biiettiva.
Svolgimento
Iniettività
Come già osservato, la funzione esponenziale è strettamente crescente su \(\mathbb{R}\). Questo implica che valori distinti del dominio producono immagini distinte.
Quindi la funzione è iniettiva.
Suriettività
Il codominio è \((0,+\infty)\). Sia quindi \(y>0\): dobbiamo verificare se esiste \(x\) tale che:
\[ y=e^x \]
Risolvendo:
\[ x=\ln(y) \]
Poiché il logaritmo è definito per ogni \(y>0\), ogni elemento del codominio è effettivamente immagine di un \(x\).
La funzione è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è biiettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 14:30 — livello ★★☆☆☆
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x) \]
Risultato
Funzione biiettiva.
Svolgimento
Iniettività
Il logaritmo è una funzione strettamente crescente nel suo dominio \((0,+\infty)\), quindi valori distinti producono immagini distinte.
La funzione è iniettiva.
Suriettività
Sia \(y\in\mathbb{R}\). Consideriamo:
\[ y=\ln(x) \]
Risolvendo:
\[ x=e^y \]
Poiché \(e^y>0\), esiste sempre un valore nel dominio che ha immagine \(y\).
Quindi la funzione è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è biiettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 15:00 — livello ★★★☆☆
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{x} \]
Risultato
Iniettiva ma non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
La funzione radice quadrata è crescente su \([0,+\infty)\), quindi valori diversi producono immagini diverse.
È quindi iniettiva.
Suriettività
Si ha:
\[ \sqrt{x} \ge 0 \]
Quindi l'immagine è \([0,+\infty)\), che non coincide con \(\mathbb{R}\).
I numeri negativi non sono immagini, quindi la funzione non è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è iniettiva ma non suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 15:30 — livello ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-x \]
Risultato
Suriettiva ma non iniettiva.
Svolgimento
Iniettività
Si osserva che la funzione non è monotona su tutto \(\mathbb{R}\). Ad esempio, esistono valori distinti che hanno la stessa immagine (il grafico ha un andamento a "S").
Quindi la funzione non è iniettiva.
Suriettività
Essendo un polinomio di grado dispari, si ha:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Inoltre la funzione è continua, quindi assume tutti i valori reali.
Pertanto è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è suriettiva ma non iniettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 16:00 — livello ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=ax+1 \]
Risultato
Biiettiva se e solo se \(a\neq 0\).
Svolgimento
Iniettività
Supponiamo:
\[ ax_1+1=ax_2+1 \implies ax_1=ax_2 \]
Se \(a\neq 0\), dividendo si ottiene \(x_1=x_2\), quindi la funzione è iniettiva. Se invece \(a=0\), la funzione è costante e quindi non è iniettiva.
Suriettività
Risolvendo \(y=ax+1\):
\[ x=\frac{y-1}{a} \]
Questa soluzione esiste per ogni \(y\) solo se \(a\neq 0\).
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è biiettiva} \iff a\neq 0} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 16:30 — livello ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+ax \]
Risultato
Non è mai iniettiva su \(\mathbb{R}\).
Svolgimento
Iniettività
Si tratta di un polinomio di secondo grado. Il suo grafico è una parabola, quindi non è monotona su tutto \(\mathbb{R}\).
Di conseguenza, esistono sempre due valori distinti con la stessa immagine.
La funzione non è iniettiva per nessun valore di \(a\).
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ non è mai iniettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 17:00 — livello ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x-1} \]
Risultato
Iniettiva ma non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
Supponiamo:
\[ \frac{1}{x_1-1}=\frac{1}{x_2-1} \]
Da cui segue:
\[ x_1-1=x_2-1 \implies x_1=x_2 \]
Quindi la funzione è iniettiva.
Suriettività
La funzione non assume mai il valore \(0\), perché una frazione con numeratore 1 non può essere nulla.
Quindi:
\[ 0 \notin \operatorname{Im}(f) \]
La funzione non è suriettiva su \(\mathbb{R}\).
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è iniettiva ma non suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 17:30 — livello ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\arctan(x) \]
Risultato
Iniettiva ma non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
La funzione arctan è strettamente crescente su \(\mathbb{R}\), quindi è iniettiva.
Suriettività
Si ha:
\[ \operatorname{Im}(f)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
Questo intervallo non coincide con \(\mathbb{R}\), quindi la funzione non è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è iniettiva ma non suriettiva}} \]
Iniettività
Nei due intervalli la funzione è crescente e non ci sono sovrapposizioni di valori tra le due parti.
Quindi la funzione è iniettiva.
Suriettività
L'immagine è:
\[ (-\infty,0)\cup[0,+\infty) = \mathbb{R} \]
In realtà lo zero è incluso, quindi sembra coprire tutti i reali. Tuttavia bisogna verificare attentamente: i valori negativi sono ottenuti dalla parte lineare, quelli positivi dalla parte quadratica.
La funzione è quindi suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è biiettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 18:30 — livello ★★★☆☆
\[ f:A\to B,\quad A=\{1,2,3,4\},\quad B=\{a,b,c\} \] \[ f(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=c,\quad f(4)=a \]
Risultato
Suriettiva ma non iniettiva.
Svolgimento
Iniettività
Si osserva che:
\[ f(1)=a,\qquad f(4)=a \]
con \(1\neq 4\), quindi la funzione non è iniettiva.
Suriettività
Tutti gli elementi di \(B\) sono immagini di almeno un elemento di \(A\):
\[ a,b,c \in \operatorname{Im}(f) \]
Quindi la funzione è suriettiva.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è suriettiva ma non iniettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 19:00 — livello ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-3x \]
Risultato
Suriettiva ma non iniettiva.
Svolgimento
Iniettività
La funzione non è monotona su tutto \(\mathbb{R}\). Infatti presenta un massimo e un minimo locali, quindi esistono valori distinti con la stessa immagine.
Non è quindi iniettiva.
Suriettività
Essendo un polinomio di grado dispari, si ha:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Per continuità, la funzione assume tutti i valori reali.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è suriettiva ma non iniettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 19:30 — livello ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x}{1+x^2} \]
Risultato
Non iniettiva e non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
La funzione non è monotona su tutto \(\mathbb{R}\) (cresce e poi decresce), quindi esistono valori distinti con la stessa immagine.
Suriettività
Si può verificare che:
\[ -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2} \]
quindi l'immagine è un intervallo limitato e non coincide con \(\mathbb{R}\).
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ non è né iniettiva né suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 20:00 — livello ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x^2+1) \]
Risultato
Non iniettiva e non suriettiva.
Svolgimento
Iniettività
Poiché \(x^2\) è funzione pari, si ha:
\[ f(x)=f(-x) \]
con \(x\neq -x\) (se \(x\neq 0\)), quindi la funzione non è iniettiva.
Suriettività
Si ha:
\[ x^2+1 \ge 1 \implies \ln(x^2+1) \ge 0 \]
Quindi:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Non si ottengono valori negativi.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ non è né iniettiva né suriettiva}} \]
Esercizio del 15/04/2026 - 20:30 — livello ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x+x \]
Risultato
Funzione biiettiva.
Svolgimento
Iniettività
La somma di due funzioni crescenti è ancora crescente. Poiché \(e^x\) e \(x\) sono entrambe crescenti, anche \(f(x)\) è strettamente crescente.
Suriettività
Si ha:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Essendo continua e con limiti opposti, assume tutti i valori reali.
Conclusione
\[ \boxed{f \text{ è biiettiva}} \]