In questa pagina proponiamo 20 esercizi svolti passo passo sul teorema della permanenza del segno per successioni. L'obiettivo è imparare a riconoscere quando una successione è definitivamente positiva o definitivamente negativa a partire dal comportamento del suo limite.
Gli esercizi sono pensati per chiarire il significato preciso del termine definitivamente, il ruolo fondamentale dell'ipotesi \(L\neq0\) e i casi in cui il teorema non può essere applicato, come le successioni con limite nullo oppure prive di limite.
In alcuni esercizi useremo direttamente il teorema della permanenza del segno; in altri determineremo anche un possibile indice \(N\) a partire dal quale il segno della successione diventa stabile. In questo modo il risultato teorico viene collegato concretamente allo studio del segno dei termini di una successione.
Ricordiamo che, se \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) con \(L>0\), allora esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si ha \(a_n>0\). Se invece \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) con \(L<0\), allora esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si ha \(a_n<0\).
In simboli:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L>0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n>0, \]
mentre
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L<0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n<0. \]
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \]
è definitivamente positiva, giustificando la risposta con il teorema della permanenza del segno.
Risultato
La successione è definitivamente positiva.
Svolgimento
Calcoliamo il limite della successione:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
Il limite esiste, è reale ed è diverso da zero. Inoltre è positivo, perché
\[ 2>0. \]
Per il teorema della permanenza del segno, se una successione converge a un limite positivo, allora i suoi termini sono definitivamente positivi.
Dunque esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si ha
\[ a_n>0. \]
In questo caso, inoltre, si vede direttamente che
\[ 2+\frac{1}{n}>0 \]
per ogni \(n\geq1\). Quindi la successione non è soltanto definitivamente positiva: è positiva per ogni indice del suo dominio.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{3}{n}-5 \]
è definitivamente negativa.
Risultato
La successione è definitivamente negativa.
Svolgimento
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-5\right)=-5. \]
Il limite è un numero reale negativo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, una successione che converge a un limite negativo è definitivamente negativa.
Quindi esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
Possiamo anche verificare direttamente da quale indice ciò accade. Risolviamo:
\[ \frac{3}{n}-5<0. \]
Portando \(5\) al secondo membro otteniamo
\[ \frac{3}{n}<5. \]
Poiché \(n>0\), possiamo moltiplicare per \(n\) senza cambiare verso:
\[ 3<5n. \]
Quindi
\[ n>\frac{3}{5}. \]
Per ogni \(n\geq1\) questa disuguaglianza è verificata. Dunque la successione è negativa per ogni \(n\geq1\), e quindi certamente definitivamente negativa.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=-1+\frac{4}{n} \]
è definitivamente negativa e trovare un possibile indice \(N\).
Risultato
La successione è definitivamente negativa. Un possibile indice è \(N=5\).
Svolgimento
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-1+\frac{4}{n}\right)=-1. \]
Il limite è negativo e diverso da zero. Quindi, per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente negativa.
Per trovare esplicitamente un indice \(N\), risolviamo la disuguaglianza
\[ -1+\frac{4}{n}<0. \]
Portando \(-1\) al secondo membro:
\[ \frac{4}{n}<1. \]
Poiché \(n>0\), moltiplichiamo per \(n\):
\[ 4<n. \]
Quindi la disuguaglianza è verificata per ogni \(n>4\), cioè per ogni \(n\geq5\).
Pertanto, scegliendo \(N=5\), si ha
\[ a_n<0 \]
per ogni \(n\geq5\).
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=7-\frac{10}{n} \]
è definitivamente positiva e trovare un possibile indice \(N\).
Risultato
La successione è definitivamente positiva. Un possibile indice è \(N=2\).
Svolgimento
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(7-\frac{10}{n}\right)=7. \]
Il limite è positivo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente positiva.
Troviamo ora un indice esplicito. Dobbiamo risolvere:
\[ 7-\frac{10}{n}>0. \]
Portando la frazione al secondo membro:
\[ 7>\frac{10}{n}. \]
Poiché \(n>0\), moltiplichiamo per \(n\):
\[ 7n>10. \]
Quindi
\[ n>\frac{10}{7}. \]
Il più piccolo intero \(n\geq1\) che soddisfa questa condizione è \(n=2\).
Dunque, scegliendo \(N=2\), si ha
\[ a_n>0 \]
per ogni \(n\geq2\).
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+3} \]
è definitivamente positiva.
Risultato
La successione è definitivamente positiva.
Svolgimento
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n\):
\[ a_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}. \]
Passando al limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2. \]
Il limite è positivo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente positiva.
In realtà, anche senza il teorema possiamo osservare che, per ogni \(n\geq1\),
\[ 2n+1>0 \qquad \text{e} \qquad n+3>0. \]
Quindi
\[ \frac{2n+1}{n+3}>0 \]
per ogni \(n\geq1\).
Questo conferma quanto previsto dal teorema: la successione è certamente definitivamente positiva.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{1-3n}{2n+5} \]
è definitivamente negativa.
Risultato
La successione è definitivamente negativa.
Svolgimento
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n\):
\[ a_n=\frac{\frac{1}{n}-3}{2+\frac{5}{n}}. \]
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{n}-3}{2+\frac{5}{n}}=\frac{0-3}{2+0}=-\frac{3}{2}. \]
Il limite è negativo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente negativa.
Possiamo anche verificare direttamente il segno. Per \(n\geq1\), il denominatore \(2n+5\) è positivo. Il segno della frazione dipende quindi dal numeratore:
\[ 1-3n<0. \]
Questa disuguaglianza equivale a
\[ 1<3n, \]
cioè
\[ n>\frac{1}{3}. \]
Essa è vera per ogni \(n\geq1\). Quindi la successione è negativa per ogni \(n\geq1\), e dunque definitivamente negativa.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n^2-4n+1}{n^2+1} \]
è definitivamente positiva.
Risultato
La successione è definitivamente positiva.
Svolgimento
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ a_n=\frac{1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{1-0+0}{1+0}=1. \]
Il limite è positivo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente positiva.
Osserviamo che il teorema non dice necessariamente che la successione sia positiva per ogni \(n\). Dice soltanto che esiste un indice \(N\) a partire dal quale tutti i termini sono positivi.
Infatti il numeratore
\[ n^2-4n+1 \]
può assumere valori negativi per alcuni indici iniziali, ma questo non contraddice il teorema.
Poiché il limite è \(1>0\), da un certo indice in poi si ha sicuramente
\[ a_n>0. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{-2n^2+n+4}{n^2+3} \]
è definitivamente negativa.
Risultato
La successione è definitivamente negativa.
Svolgimento
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ a_n=\frac{-2+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}{1+\frac{3}{n^2}}. \]
Passando al limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-2+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}{1+\frac{3}{n^2}}=\frac{-2+0+0}{1+0}=-2. \]
Il limite è negativo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente negativa.
Dunque esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
Anche se i termini iniziali andassero controllati separatamente, questo non avrebbe importanza ai fini del teorema, perché il teorema riguarda il comportamento definitivo della successione.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se il teorema della permanenza del segno è applicabile alla successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Stabilire inoltre se la successione è definitivamente positiva oppure definitivamente negativa.
Risultato
Il teorema non è applicabile, perché il limite è \(0\). La successione non è né definitivamente positiva né definitivamente negativa.
Svolgimento
Calcoliamo il limite della successione:
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Poiché
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
dividendo per \(n>0\) otteniamo
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
per il teorema del confronto segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Il limite esiste, ma è nullo.
Il teorema della permanenza del segno richiede che il limite sia reale e diverso da zero. In questo caso l'ipotesi \(L\neq0\) non è soddisfatta, quindi il teorema non è applicabile.
Studiamo ora direttamente il segno della successione. Se \(n\) è pari, allora \((-1)^n=1\), quindi
\[ a_n=\frac{1}{n}>0. \]
Se invece \(n\) è dispari, allora \((-1)^n=-1\), quindi
\[ a_n=-\frac{1}{n}<0. \]
Dunque la successione cambia segno infinite volte.
Ricordiamo che dire che una successione è definitivamente positiva significa che esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n>0 \]
per ogni \(n\geq N\). Ma questo non accade, perché dopo qualunque indice si trovano ancora infiniti indici dispari, per i quali \(a_n<0\).
Allo stesso modo, la successione non è definitivamente negativa, perché dopo qualunque indice si trovano ancora infiniti indici pari, per i quali \(a_n>0\).
Quindi il teorema non è applicabile e la successione non è né definitivamente positiva né definitivamente negativa.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se il teorema della permanenza del segno è applicabile alla successione
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Stabilire inoltre se la successione è definitivamente positiva.
Risultato
Il teorema non è applicabile, perché la successione non ammette limite. Tuttavia la successione è positiva per ogni \(n\), quindi è definitivamente positiva.
Svolgimento
Osserviamo il comportamento della successione:
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Se \(n\) è pari, allora \((-1)^n=1\), quindi
\[ a_n=1+2=3. \]
Se \(n\) è dispari, allora \((-1)^n=-1\), quindi
\[ a_n=-1+2=1. \]
La successione assume quindi alternativamente i valori \(3\) e \(1\). In particolare, la sottosuccessione dei termini di indice pari tende a \(3\), mentre la sottosuccessione dei termini di indice dispari tende a \(1\).
Poiché questi due valori sono diversi, la successione non converge a un unico limite reale.
Il teorema della permanenza del segno richiede che esista un limite reale non nullo. In questo caso il limite non esiste, quindi il teorema non è applicabile.
Tuttavia possiamo studiare il segno direttamente. Abbiamo visto che, per ogni \(n\), la successione assume soltanto i valori \(1\) e \(3\). Quindi
\[ a_n>0 \]
per ogni \(n\).
Ne segue che la successione è definitivamente positiva. Infatti possiamo scegliere, ad esempio, \(N=1\), e per ogni \(n\geq1\) si ha \(a_n>0\).
Questo esercizio mostra che una successione può essere definitivamente positiva anche quando il teorema della permanenza del segno non è applicabile. In tal caso, però, la positività definitiva deve essere dimostrata direttamente, e non dedotta dal teorema.
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n-5}{n+2} \]
è definitivamente positiva e trovare un possibile indice \(N\).
Risultato
La successione è definitivamente positiva. Un possibile indice è \(N=6\).
Svolgimento
Calcoliamo il limite della successione:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n-5}{n+2}=1. \]
Infatti numeratore e denominatore hanno lo stesso grado e il rapporto tra i coefficienti principali è
\[ \frac{1}{1}=1. \]
Il limite è positivo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente positiva.
Troviamo ora esplicitamente un indice \(N\). Dobbiamo risolvere:
\[ \frac{n-5}{n+2}>0. \]
Per \(n\geq1\), il denominatore è positivo, perché
\[ n+2>0. \]
Quindi il segno della frazione dipende dal numeratore:
\[ n-5>0. \]
Otteniamo
\[ n>5. \]
Dunque, per ogni \(n\geq6\), si ha
\[ a_n>0. \]
Quindi possiamo scegliere \(N=6\).
Esercizio 12 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{4-2n}{n+1} \]
è definitivamente negativa e trovare un possibile indice \(N\).
Risultato
La successione è definitivamente negativa. Un possibile indice è \(N=3\).
Svolgimento
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-2n}{n+1}=-2. \]
Il limite è negativo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente negativa.
Troviamo ora un indice esplicito. Dobbiamo risolvere:
\[ \frac{4-2n}{n+1}<0. \]
Per \(n\geq1\), il denominatore è positivo:
\[ n+1>0. \]
Quindi la frazione è negativa quando il numeratore è negativo:
\[ 4-2n<0. \]
Portando \(2n\) al secondo membro:
\[ 4<2n. \]
Dividendo per \(2\), otteniamo
\[ 2<n. \]
Quindi
\[ n>2. \]
Per ogni \(n\geq3\), la successione è negativa. Possiamo dunque scegliere \(N=3\).
Esercizio 13 — livello ★★☆☆☆
Dimostrare che la successione
\[ a_n=3-\frac{2}{n} \]
è definitivamente maggiore di \(1\).
Risultato
La successione è definitivamente maggiore di \(1\). Un possibile indice è \(N=2\).
Svolgimento
Il teorema della permanenza del segno riguarda il segno di una successione. Per studiare la disuguaglianza
\[ a_n>1, \]
portiamo tutto al primo membro e consideriamo la successione ausiliaria
\[ b_n=a_n-1. \]
Poiché
\[ a_n=3-\frac{2}{n}, \]
abbiamo
\[ b_n=3-\frac{2}{n}-1=2-\frac{2}{n}. \]
Calcoliamo il limite di \(b_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac{2}{n}\right)=2. \]
Il limite è positivo e diverso da zero. Quindi, per il teorema della permanenza del segno,
\[ b_n>0 \]
definitivamente.
Ma \(b_n>0\) significa esattamente
\[ a_n-1>0, \]
cioè
\[ a_n>1. \]
Quindi \(a_n\) è definitivamente maggiore di \(1\).
Troviamo anche un indice esplicito:
\[ 3-\frac{2}{n}>1. \]
Portando \(1\) al primo membro:
\[ 2-\frac{2}{n}>0. \]
Quindi
\[ 2>\frac{2}{n}. \]
Poiché \(n>0\), moltiplichiamo per \(n\):
\[ 2n>2. \]
Dividendo per \(2\), otteniamo
\[ n>1. \]
Pertanto, per ogni \(n\geq2\), si ha
\[ a_n>1. \]
Esercizio 14 — livello ★★☆☆☆
Dimostrare che la successione
\[ a_n=-3+\frac{5}{n} \]
è definitivamente minore di \(-1\).
Risultato
La successione è definitivamente minore di \(-1\). Un possibile indice è \(N=3\).
Svolgimento
Vogliamo dimostrare che
\[ a_n<-1 \]
definitivamente.
Portiamo tutto al primo membro:
\[ a_n+1<0. \]
Consideriamo quindi la successione ausiliaria
\[ b_n=a_n+1. \]
Poiché
\[ a_n=-3+\frac{5}{n}, \]
otteniamo
\[ b_n=-3+\frac{5}{n}+1=-2+\frac{5}{n}. \]
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-2+\frac{5}{n}\right)=-2. \]
Il limite è negativo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, si ha
\[ b_n<0 \]
definitivamente.
Ma \(b_n<0\) significa
\[ a_n+1<0, \]
cioè
\[ a_n<-1. \]
Dunque \(a_n\) è definitivamente minore di \(-1\).
Troviamo ora un indice esplicito:
\[ -3+\frac{5}{n}<-1. \]
Sommiamo \(3\) a entrambi i membri:
\[ \frac{5}{n}<2. \]
Poiché \(n>0\), moltiplichiamo per \(n\):
\[ 5<2n. \]
Quindi
\[ n>\frac{5}{2}. \]
Il più piccolo intero \(n\geq1\) che soddisfa questa condizione è \(n=3\).
Pertanto possiamo scegliere \(N=3\).
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Dimostrare che la successione
\[ a_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1} \]
è definitivamente maggiore di \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
Risultato
La successione è definitivamente maggiore di \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
Svolgimento
Vogliamo dimostrare che
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
definitivamente.
Per usare il teorema della permanenza del segno, consideriamo la differenza
\[ b_n=a_n-\frac{1}{2}. \]
Se dimostriamo che \(b_n>0\) definitivamente, allora avremo dimostrato che
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
definitivamente.
Calcoliamo il limite di \(a_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}=1. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}\left(a_n-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \]
Il limite di \(b_n\) è positivo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione \(b_n\) è definitivamente positiva.
Dunque
\[ a_n-\frac{1}{2}>0 \]
definitivamente, cioè
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
definitivamente.
Possiamo anche verificare direttamente:
\[ \frac{n^2+2n}{n^2+n+1}>\frac{1}{2}. \]
Poiché \(n^2+n+1>0\) per ogni \(n\), possiamo moltiplicare per \(2(n^2+n+1)\), che è positivo:
\[ 2(n^2+2n)>n^2+n+1. \]
Sviluppando:
\[ 2n^2+4n>n^2+n+1. \]
Portando tutto al primo membro:
\[ n^2+3n-1>0. \]
Per \(n\geq1\), si ha
\[ n^2+3n-1\geq 1+3-1=3>0. \]
Quindi, in realtà,
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
per ogni \(n\geq1\).
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Dimostrare che la successione
\[ a_n=\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4} \]
è definitivamente minore di \(-2\).
Risultato
La successione è definitivamente minore di \(-2\).
Svolgimento
Vogliamo dimostrare che
\[ a_n<-2 \]
definitivamente.
Portiamo tutto al primo membro:
\[ a_n+2<0. \]
Consideriamo quindi la successione ausiliaria
\[ b_n=a_n+2. \]
Se \(b_n<0\) definitivamente, allora \(a_n<-2\) definitivamente.
Calcoliamo il limite di \(a_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}=-3. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}(a_n+2)=-3+2=-1. \]
Il limite di \(b_n\) è negativo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, \(b_n\) è definitivamente negativa.
Dunque
\[ a_n+2<0 \]
definitivamente, cioè
\[ a_n<-2 \]
definitivamente.
Verifichiamo anche direttamente:
\[ \frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}<-2. \]
Poiché \(n^2+4>0\), possiamo moltiplicare senza cambiare verso:
\[ -3n^2+n+1<-2(n^2+4). \]
Sviluppando il secondo membro:
\[ -3n^2+n+1<-2n^2-8. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ -n^2+n+9<0. \]
Moltiplicando per \(-1\), cambiando verso della disuguaglianza:
\[ n^2-n-9>0. \]
Questa disuguaglianza è certamente vera per \(n\) sufficientemente grande. Ad esempio, per \(n\geq4\) si ha
\[ n^2-n-9\geq 16-4-9=3>0. \]
Quindi un possibile indice è \(N=4\).
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4 \]
è definitivamente positiva.
Risultato
La successione è definitivamente positiva.
Svolgimento
La successione contiene il termine oscillante \((-1)^n\), ma questo non impedisce necessariamente l’esistenza del limite.
Infatti
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Dividendo per \(n>0\), otteniamo
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
per il teorema del confronto si ha
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}+4\right)=4. \]
Il limite è positivo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente positiva.
In realtà, in questo caso possiamo osservare anche direttamente che
\[ \frac{(-1)^n}{n}\geq -\frac{1}{n}\geq -1 \]
per ogni \(n\geq1\). Dunque
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4\geq -1+4=3>0. \]
Quindi la successione è positiva per ogni \(n\geq1\), e perciò anche definitivamente positiva.
Esercizio 18 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2 \]
è definitivamente negativa.
Risultato
La successione è definitivamente negativa.
Svolgimento
Studiamo prima il limite. Poiché
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
dividendo per \(n>0\) otteniamo
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Entrambi gli estremi tendono a \(0\), quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}-2\right)=-2. \]
Il limite è negativo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente negativa.
Anche direttamente, poiché
\[ \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}\leq 1 \]
per ogni \(n\geq1\), segue che
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2\leq 1-2=-1<0. \]
Quindi la successione è negativa per ogni \(n\geq1\), e quindi certamente definitivamente negativa.
Esercizio 19 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n+(-1)^n}{n} \]
è definitivamente positiva.
Risultato
La successione è definitivamente positiva. Un possibile indice è \(N=2\).
Svolgimento
Riscriviamo la successione separando i due termini:
\[ a_n=\frac{n}{n}+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Quindi
\[ a_n=1+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0, \]
otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=1+0=1. \]
Il limite è positivo e diverso da zero.
Per il teorema della permanenza del segno, la successione è definitivamente positiva.
Questo significa che esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si ha
\[ a_n>0. \]
Attenzione però: il teorema garantisce l'esistenza di un tale indice \(N\), ma non dice che si possa scegliere necessariamente \(N=1\).
Infatti, per \(n=1\), abbiamo
\[ a_1=\frac{1+(-1)^1}{1}=\frac{1-1}{1}=0. \]
Quindi la successione non è positiva per ogni indice del suo dominio, perché il primo termine è nullo.
Tuttavia questo non contraddice il teorema, perché il teorema riguarda il comportamento definitivo della successione, cioè ciò che accade da un certo indice in poi.
Per trovare un indice esplicito, osserviamo che, per ogni \(n\),
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Quindi
\[ n+(-1)^n\geq n-1. \]
Se \(n\geq2\), allora
\[ n-1>0. \]
Inoltre \(n>0\). Pertanto, per ogni \(n\geq2\),
\[ \frac{n+(-1)^n}{n}>0. \]
Dunque possiamo scegliere \(N=2\).
Questo esempio mostra bene che “definitivamente positiva” non significa “positiva fin dal primo indice”, ma “positiva da un certo indice in poi”.
Esercizio 20 — livello ★★★★☆
Stabilire se il teorema della permanenza del segno è applicabile alla successione
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Stabilire inoltre se la successione è definitivamente positiva oppure definitivamente negativa.
Risultato
Il teorema non è applicabile, perché il limite è \(0\). La successione non è né definitivamente positiva né definitivamente negativa.
Svolgimento
Studiamo prima il limite della successione:
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Per ogni \(n\), sappiamo che
\[ -1\leq \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\leq 1. \]
Poiché \(n>0\), dividendo per \(n\) otteniamo
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
per il teorema del confronto segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}=0. \]
Il limite esiste, ma è uguale a \(0\). Quindi il teorema della permanenza del segno non è applicabile, perché richiede un limite reale diverso da zero.
Ora studiamo il segno della successione. I valori di
\[ \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \]
si ripetono ciclicamente:
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\dots \]
Infatti:
- se \(n=4k+1\), allora \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1\);
- se \(n=4k+2\), allora \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\);
- se \(n=4k+3\), allora \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=-1\);
- se \(n=4k\), allora \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\).
Poiché il denominatore \(n\) è sempre positivo, il segno di \(a_n\) dipende dal numeratore.
Quindi la successione assume infinite volte valori positivi, infinite volte valori negativi e infinite volte il valore \(0\).
Non può essere definitivamente positiva, perché dopo qualunque indice si trovano ancora termini nulli e termini negativi.
Non può essere definitivamente negativa, perché dopo qualunque indice si trovano ancora termini nulli e termini positivi.
Pertanto la successione non è né definitivamente positiva né definitivamente negativa.
Questo esercizio riassume bene il ruolo dell'ipotesi \(L\neq0\): quando il limite è \(0\), il teorema non permette di concludere nulla sul segno definitivo, e il segno deve essere studiato direttamente.