Il teorema della permanenza del segno per successioni è un risultato fondamentale sui limiti di successioni reali. Esso afferma che, se una successione converge a un limite reale non nullo, allora i suoi termini hanno definitivamente lo stesso segno del limite.
In altre parole, se una successione \((a_n)\) tende a un numero positivo, allora da un certo indice in poi tutti i suoi termini sono positivi. Se invece tende a un numero negativo, allora da un certo indice in poi tutti i suoi termini sono negativi.
La parola definitivamente è essenziale: il teorema non dice che tutti i termini della successione hanno lo stesso segno del limite, ma soltanto che questa proprietà vale per tutti gli indici sufficientemente grandi.
In generale, dire che una proprietà vale definitivamente per una successione significa che esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che la proprietà vale per ogni \(n\geq N\).
Il caso \(L=0\) deve essere escluso. Infatti, se il limite è nullo, il teorema non permette di concludere nulla sul segno definitivo dei termini della successione.
Indice
- Teorema della permanenza del segno per successioni
- Dimostrazione del teorema
- Interpretazione del teorema
- Perché il caso \(L=0\) è escluso
- Esempi
Teorema della permanenza del segno per successioni
Sia \((a_n)\) una successione reale e sia \(L\in\mathbb{R}\) con \(L\neq0\). Supponiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Allora la successione \((a_n)\) ha definitivamente lo stesso segno di \(L\).
Più precisamente:
- se \(L>0\), allora esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si ha \(a_n>0\);
- se \(L<0\), allora esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si ha \(a_n<0\).
In simboli, se \(L>0\), allora
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n>0. \]
Se invece \(L<0\), allora
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n<0. \]
Il teorema può essere riassunto dicendo che, quando il limite è diverso da zero, il segno del limite si trasferisce definitivamente ai termini della successione.
La condizione \(L\neq0\) è indispensabile. Se il limite fosse uguale a zero, non sarebbe possibile scegliere un intorno di \(0\) contenuto interamente nei numeri positivi oppure interamente nei numeri negativi.
Dimostrazione del teorema
Supponiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
con \(L\neq0\). Per definizione di limite, per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si ha
\[ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Poiché \(L\neq0\), si ha \(|L|>0\). Possiamo quindi scegliere
\[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}. \]
Per la definizione di limite, esiste allora \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\),
\[ |a_n-L|<\frac{|L|}{2}. \]
Questa disuguaglianza equivale a dire che
\[ -\frac{|L|}{2}<a_n-L<\frac{|L|}{2}. \]
Sommando \(L\) a tutti i membri, otteniamo
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2}. \]
A questo punto distinguiamo i due casi possibili.
Caso \(L>0\)
Se \(L>0\), allora \(|L|=L\). La disuguaglianza precedente diventa
\[ L-\frac{L}{2}<a_n<L+\frac{L}{2}. \]
Quindi, per ogni \(n\geq N\),
\[ \frac{L}{2}<a_n<\frac{3L}{2}. \]
In particolare,
\[ a_n>0 \]
per ogni \(n\geq N\). Dunque, se il limite \(L\) è positivo, allora i termini della successione sono definitivamente positivi.
Osserviamo inoltre che abbiamo ottenuto una stima più forte: da un certo indice in poi non solo \(a_n>0\), ma anche \(a_n>\frac{L}{2}\).
Caso \(L<0\)
Se \(L<0\), allora \(|L|=-L\). La disuguaglianza
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2} \]
diventa
\[ L-\frac{-L}{2}<a_n<L+\frac{-L}{2}. \]
Cioè
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2}. \]
Poiché \(L<0\), si ha
\[ \frac{3L}{2}<\frac{L}{2}<0. \]
Dalla disuguaglianza
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2} \]
segue quindi, in particolare, che
\[ a_n<0 \]
per ogni \(n\geq N\).
Dunque, se il limite \(L\) è negativo, allora i termini della successione sono definitivamente negativi.
In entrambi i casi abbiamo dimostrato che, se una successione reale converge a un limite non nullo, allora i suoi termini hanno definitivamente lo stesso segno del limite.
Interpretazione del teorema
Il teorema della permanenza del segno non riguarda necessariamente tutti i termini della successione, ma soltanto i termini da un certo indice in poi.
Dire che \(a_n>0\) definitivamente significa che esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n>0 \]
per ogni \(n\geq N\). I termini con indice minore di \(N\) possono invece avere qualunque segno.
Per esempio, una successione può avere alcuni termini iniziali negativi e poi diventare definitivamente positiva. Se il suo limite è positivo, il teorema garantisce che da un certo punto in poi i termini non possono più essere negativi o nulli.
Allo stesso modo, se il limite è negativo, da un certo indice in poi tutti i termini devono essere negativi.
L'idea geometrica è semplice: se \(L>0\), si può scegliere un intorno di \(L\) completamente contenuto nei numeri positivi. Poiché \(a_n\to L\), da un certo indice in poi tutti i termini \(a_n\) appartengono a quell'intorno, e quindi sono positivi.
Se invece \(L<0\), si può scegliere un intorno di \(L\) completamente contenuto nei numeri negativi. Da un certo indice in poi tutti i termini della successione appartengono a quell'intorno, e quindi sono negativi.
Perché il caso \(L=0\) è escluso
La condizione \(L\neq0\) è essenziale. Se una successione converge a \(0\), il teorema della permanenza del segno non permette di stabilire il segno definitivo dei suoi termini.
Infatti, intorno a \(0\) non esiste alcun intervallo aperto contenuto interamente nei numeri positivi o interamente nei numeri negativi. Ogni intervallo aperto centrato in \(0\) contiene sia numeri positivi sia numeri negativi.
Per questo motivo, se
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=0, \]
non si può concludere, in generale, che \(a_n\) sia definitivamente positivo oppure definitivamente negativo.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge a \(0\) ed è positiva per ogni \(n\geq 1\). Invece la successione
\[ b_n=-\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge anch'essa a \(0\) ed è negativa per ogni \(n\geq 1\).
Inoltre, la successione
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge a \(0\), ma cambia segno infinite volte. Quindi, nel caso di limite nullo, sono possibili comportamenti diversi.
Esempi
Esempio 1. Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{3}{n}-2. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2, \]
e il limite è negativo, il teorema della permanenza del segno garantisce che \(a_n\) è definitivamente negativa.
Verifichiamolo direttamente. Vogliamo trovare un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), si abbia
\[ \frac{3}{n}-2<0. \]
Risolvendo la disuguaglianza,
\[ \frac{3}{n}<2. \]
Poiché \(n>0\), possiamo moltiplicare per \(n\) senza cambiare il verso della disuguaglianza:
\[ 3<2n. \]
Quindi
\[ n>\frac{3}{2}. \]
Pertanto, per ogni \(n\geq2\), si ha
\[ a_n<0. \]
La successione è quindi definitivamente negativa, in accordo con il teorema.
Esempio 2. Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{5}{n}+1. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1, \]
e il limite è positivo, il teorema della permanenza del segno garantisce che \(a_n\) è definitivamente positiva.
In realtà, in questo caso la successione è positiva per ogni \(n\geq 1\), perché
\[ \frac{5}{n}>0 \]
per ogni \(n\geq 1\), e quindi
\[ \frac{5}{n}+1>0. \]
Questo è coerente con il teorema: se una proprietà vale per ogni indice, allora vale certamente anche definitivamente.
Esempio 3. Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}. \]
Questa successione non converge a un limite non nullo. Infatti il termine \((-1)^n\) oscilla tra \(-1\) e \(1\), mentre \(\displaystyle \frac{1}{n}\to0\).
Di conseguenza non possiamo applicare il teorema della permanenza del segno.
Questo esempio mostra che il teorema richiede davvero l'esistenza di un limite reale non nullo. Se il limite non esiste, il teorema non fornisce alcuna informazione sul segno definitivo della successione.
Esempio 4. Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Si ha
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Tuttavia la successione cambia segno infinite volte: è positiva per gli indici pari e negativa per gli indici dispari.
Il teorema della permanenza del segno non è applicabile, perché il limite è uguale a \(0\). Questo esempio mostra perché l'ipotesi \(L\neq0\) è indispensabile.
Una versione analoga vale anche per i limiti infiniti: se \(a_n\to+\infty\), allora \(a_n>0\) definitivamente; se \(a_n\to-\infty\), allora \(a_n<0\) definitivamente.
In conclusione, il teorema della permanenza del segno per successioni afferma che il segno di un limite reale non nullo si conserva definitivamente nei termini della successione. I termini iniziali possono avere comportamento diverso, ma da un certo indice in poi il segno deve coincidere con quello del limite.