Il teorema della corda collega la lunghezza di una corda di una circonferenza al raggio e al seno di un angolo alla circonferenza che la sottende. Permette di calcolare una corda conoscendo il raggio e l’angolo, oppure di ricavare il raggio e le possibili ampiezze dell’angolo a partire dagli altri dati.
Se \(AB\) è una corda di una circonferenza di raggio \(R\) e \(\alpha\) è un angolo alla circonferenza che la sottende, allora \(\displaystyle AB=2R\sin\alpha\). La formula vale sia per un angolo acuto sia per un angolo retto oppure ottuso.
In questa pagina consideriamo una corda con estremi distinti, quindi di lunghezza positiva, e angoli espressi in gradi. Indichiamo con \(\ell\) la lunghezza della corda e con \(R>0\) il raggio della circonferenza.
Indice
- Corda e angolo alla circonferenza
- Enunciato del teorema della corda
- Dimostrazione mediante un triangolo rettangolo
- Calcolare la lunghezza di una corda
- Ricavare il raggio e l’angolo
- Relazione con l’angolo al centro
- Collegamento con il teorema dei seni
- Errori comuni e riepilogo
Corda e angolo alla circonferenza
Una corda è un segmento che congiunge due punti di una circonferenza. Se il segmento passa per il centro, la corda è un diametro.
Siano \(A\) e \(B\) gli estremi della corda e \(P\) un punto della circonferenza distinto da entrambi. L’angolo
\[ \alpha=\widehat{APB} \]
è un angolo alla circonferenza che sottende la corda \(AB\): il suo vertice è sulla circonferenza e i suoi lati passano per gli estremi della corda.
I punti \(A\) e \(B\) dividono la circonferenza in due archi. L’angolo \(\widehat{APB}\) intercetta l’arco \(AB\) che non contiene il vertice \(P\).
È importante distinguere due situazioni:
- se il vertice si muove su uno stesso arco aperto di estremi \(A\) e \(B\), l’angolo che sottende \(AB\) mantiene la stessa ampiezza;
- se si scelgono due vertici su archi opposti, i corrispondenti angoli che sottendono \(AB\) sono supplementari.
In particolare, una stessa corda può essere sottesa da un angolo acuto e da uno ottuso. Questo è compatibile con il teorema della corda perché angoli supplementari hanno lo stesso seno.
Enunciato del teorema della corda
Teorema della corda. La lunghezza di una corda di una circonferenza è uguale al prodotto del diametro per il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che la sottende.
Indicando con \(\ell=AB\) la lunghezza della corda, con \(R\) il raggio e con \(\alpha=\widehat{APB}\) l’angolo alla circonferenza, si ha
\[ \ell=2R\sin\alpha. \]
Poiché il diametro è \(d=2R\), la stessa relazione si può scrivere
\[ \ell=d\sin\alpha. \]
Per una corda con estremi distinti valgono
\[ 0^\circ<\alpha<180^\circ, \qquad 0<\ell\le2R. \]
La corda non può quindi superare il diametro. L’uguaglianza \(\ell=2R\) si verifica esattamente quando la corda è un diametro e l’angolo che la sottende è retto.
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Dimostrazione mediante un triangolo rettangolo
Supponiamo inizialmente che \(AB\) non sia un diametro. Indichiamo con \(D\) il punto diametralmente opposto ad \(A\). Il segmento \(AD\) è un diametro e misura \(2R\).
Il triangolo \(ABD\) è rettangolo in \(B\), perché l’angolo \(\widehat{ABD}\) sottende il diametro \(AD\). Poniamo
\[ \delta=\widehat{ADB}. \]
Nel triangolo rettangolo \(ABD\), il lato opposto a \(\delta\) è \(AB\) e l’ipotenusa è \(AD\). Pertanto
\[ \sin\delta=\frac{AB}{AD} =\frac{\ell}{2R}. \]
Da cui
\[ \ell=2R\sin\delta. \]
Confrontiamo ora \(\delta\) con l’angolo assegnato \(\alpha=\widehat{APB}\).
- Se \(P\) e \(D\) appartengono allo stesso arco aperto di estremi \(A\) e \(B\), allora \(\alpha=\delta\).
- Se appartengono ad archi opposti, allora \(\alpha+\delta=180^\circ\), quindi \(\sin\alpha=\sin\delta\).
- Se \(P=D\), i due angoli coincidono direttamente.
In tutti i casi \(\sin\alpha=\sin\delta\), perciò
\[ \ell=2R\sin\alpha. \]
Il caso del diametro
Se \(AB\) è un diametro, ogni angolo alla circonferenza che lo sottende è retto. Quindi
\[ 2R\sin90^\circ=2R=AB, \]
e la formula vale anche in questo caso.
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Calcolare la lunghezza di una corda
Esempio 1. Angolo di trenta gradi
Una circonferenza ha raggio \(R=8\,\mathrm{cm}\). Calcoliamo la lunghezza di una corda sottesa da un angolo alla circonferenza di \(30^\circ\).
Applicando il teorema, otteniamo
\[ \ell=2\cdot8\cdot\sin30^\circ =16\cdot\frac12 =8\,\mathrm{cm}. \]
In questo caso la corda ha la stessa lunghezza del raggio.
Esempio 2. Angolo di sessanta gradi
Con lo stesso raggio \(R=8\,\mathrm{cm}\), se l’angolo alla circonferenza è \(60^\circ\), si ha
\[ \ell=2\cdot8\cdot\sin60^\circ =16\cdot\frac{\sqrt3}{2} =8\sqrt3\,\mathrm{cm}. \]
In forma approssimata,
\[ \ell\approx13{,}86\,\mathrm{cm}. \]
Esempio 3. Angolo ottuso
Una circonferenza ha raggio \(R=5\,\mathrm{cm}\) e una corda è sottesa da un angolo alla circonferenza di \(120^\circ\). Poiché \(\sin120^\circ=\sin60^\circ\), otteniamo
\[ \ell=2\cdot5\cdot\sin120^\circ =10\cdot\frac{\sqrt3}{2} =5\sqrt3\,\mathrm{cm}. \]
Non bisogna dimezzare l’angolo assegnato: il teorema utilizza direttamente l’angolo alla circonferenza.
Esempio 4. Angolo non notevole
Se \(R=12\,\mathrm m\) e \(\alpha=42^\circ\), allora
\[ \ell=24\sin42^\circ\,\mathrm m \approx16{,}06\,\mathrm m. \]
La calcolatrice va impostata in modalità DEG perché l’angolo è espresso in gradi. L’arrotondamento si esegue sul risultato finale.
Ricavare il raggio e l’angolo
Ricavare il raggio
Conoscendo la corda \(\ell\) e un angolo alla circonferenza \(\alpha\) che la sottende, si ricava
\[ R=\frac{\ell}{2\sin\alpha}. \]
La divisione è ammessa perché \(\sin\alpha>0\) per \(0^\circ<\alpha<180^\circ\).
Esempio 5. Raggio incognito
Una corda lunga \(6\sqrt2\,\mathrm{cm}\) è sottesa da un angolo alla circonferenza di \(45^\circ\). Il raggio misura
\[ R=\frac{6\sqrt2}{2\sin45^\circ} =\frac{6\sqrt2}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}} =6\,\mathrm{cm}. \]
Ricavare l’angolo alla circonferenza
Se sono noti \(\ell\) e \(R\), il teorema dà
\[ \sin\alpha=\frac{\ell}{2R}. \]
Occorre anzitutto verificare che
\[ 0<\ell\le2R. \]
- Se \(\ell>2R\), i dati sono incompatibili: una corda non può essere più lunga del diametro.
- Se \(\ell=2R\), la corda è un diametro e \(\alpha=90^\circ\).
- Se \(0<\ell<2R\), sono possibili due ampiezze supplementari, una acuta e una ottusa.
Nell’ultimo caso, posto
\[ \theta=\arcsin\left(\frac{\ell}{2R}\right), \qquad 0^\circ<\theta<90^\circ, \]
si ha
\[ \alpha=\theta \quad\text{oppure}\quad \alpha=180^\circ-\theta. \]
La posizione del vertice rispetto alla corda permette di distinguere le due possibilità: per una corda non diametrale, un vertice sull’arco maggiore dà l’angolo acuto; un vertice sull’arco minore dà quello ottuso.
Esempio 6. Due ampiezze possibili
Una circonferenza ha raggio \(R=10\,\mathrm{cm}\) e una corda misura \(\ell=10\,\mathrm{cm}\). Allora
\[ \sin\alpha=\frac{10}{20}=\frac12. \]
Le possibili ampiezze dell’angolo alla circonferenza sono
\[ \alpha=30^\circ \quad\text{oppure}\quad \alpha=150^\circ. \]
Il solo valore restituito dall’arcoseno non descrive quindi tutte le possibilità geometriche.
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Relazione con l’angolo al centro
Il teorema della corda può essere espresso anche usando un angolo al centro. Occorre però precisare quale arco viene considerato.
Sia \(\varphi\), con \(0^\circ<\varphi\le180^\circ\), l’angolo al centro corrispondente all’arco minore \(AB\), oppure a una semicirconferenza se \(AB\) è un diametro. La corda misura
\[ \ell=2R\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right). \]
Questa relazione si ottiene dividendo a metà il triangolo isoscele \(A\mathcal OB\): la perpendicolare dal centro alla corda dimezza sia la corda sia l’angolo \(\varphi\). Nel triangolo rettangolo risultante,
\[ \frac{\ell}{2}=R\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right). \]
Se l’angolo alla circonferenza \(\alpha\) è acuto o retto e intercetta lo stesso arco, allora \(\varphi=2\alpha\). Se invece \(\alpha\) è ottuso, intercetta l’arco maggiore e l’angolo al centro relativo all’arco minore è
\[ \varphi=360^\circ-2\alpha. \]
Anche in questo caso
\[ \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) =\sin(180^\circ-\alpha) =\sin\alpha. \]
Esempio 7. Angolo al centro assegnato
Una circonferenza ha raggio \(R=6\,\mathrm{cm}\). Una corda corrisponde a un angolo al centro di \(80^\circ\). La sua lunghezza è
\[ \ell=2\cdot6\cdot\sin40^\circ \approx7{,}71\,\mathrm{cm}. \]
Usare \(\sin80^\circ\) sarebbe scorretto: quando il dato è l’angolo al centro, nella formula entra la sua metà.
Collegamento con il teorema dei seni
Ogni triangolo non degenere è inscritto in una circonferenza, detta circonferenza circoscritta. Indichiamo con \(R\) il suo raggio.
Nel triangolo \(ABC\), poniamo
\[ a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB, \]
e indichiamo con \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gli angoli opposti ai rispettivi lati. Applicando il teorema della corda a ciascun lato, otteniamo
\[ a=2R\sin\alpha, \qquad b=2R\sin\beta, \qquad c=2R\sin\gamma. \]
Dividendo per i seni, tutti positivi, segue
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R. \]
Questa è la forma estesa del teorema dei seni: il rapporto fra un lato e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta.
Esempio 8. Raggio della circonferenza circoscritta
Un triangolo ha un lato di \(9\,\mathrm{cm}\) opposto a un angolo di \(30^\circ\). Il raggio della circonferenza circoscritta è
\[ R=\frac{9}{2\sin30^\circ} =\frac{9}{1} =9\,\mathrm{cm}. \]
Non è necessario conoscere gli altri lati per determinare il raggio.
Errori comuni e riepilogo
| Errore | Correzione |
|---|---|
| Scrivere \(\ell=R\sin\alpha\). | La formula usa il diametro: \(\ell=2R\sin\alpha\). |
| Confondere l’angolo alla circonferenza con l’angolo al centro. | Usare \(\ell=2R\sin\alpha\) per l’angolo alla circonferenza e \(\displaystyle\ell=2R\sin(\varphi/2)\) per l’angolo al centro. |
| Dimezzare un angolo che è già alla circonferenza. | Inserirlo direttamente nella formula del teorema della corda. |
| Pensare che tutti gli angoli che sottendono una corda abbiano la stessa ampiezza. | Gli angoli con vertici sullo stesso arco sono uguali; quelli con vertici su archi opposti sono supplementari. |
| Escludere gli angoli ottusi. | Il teorema vale anche per angoli ottusi, il cui seno è positivo. |
| Accettare una corda più lunga del diametro. | Verificare sempre \(0<\ell\le2R\). |
| Ricavare soltanto l’angolo acuto tramite l’arcoseno. | Per una corda non diametrale considerare anche l’angolo supplementare, se la posizione del vertice non è assegnata. |
| Scrivere l’uguaglianza \(\varphi=2\alpha\) senza specificare l’arco. | La relazione fra angolo al centro e angolo alla circonferenza richiede che entrambi intercettino lo stesso arco. |
| Usare la modalità RAD con angoli espressi in gradi. | Impostare la calcolatrice in modalità DEG. |
Il teorema della corda permette di passare dalla misura di un angolo alla circonferenza alla lunghezza del segmento che esso sottende. Per applicarlo correttamente bisogna distinguere raggio e diametro, riconoscere il tipo di angolo assegnato e, nei problemi inversi, considerare le possibili ampiezze supplementari.