Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot, collega le lunghezze dei tre lati di un triangolo al coseno di uno dei suoi angoli. Generalizza il teorema di Pitagora e permette di risolvere triangoli non necessariamente rettangoli.
Si applica soprattutto quando sono noti due lati e l’angolo compreso, per calcolare il terzo lato, oppure quando sono note le lunghezze dei tre lati, per determinare gli angoli. Diversamente dal caso ambiguo del teorema dei seni, due lati e l’angolo compreso determinano un solo triangolo a meno di congruenze, purché i dati siano ammissibili.
Consideriamo triangoli non degeneri, con lati di lunghezza positiva e angoli interni compresi fra \(0^\circ\) e \(180^\circ\). Usiamo angoli espressi in gradi e indichiamo con \(a,b,c\) i lati opposti rispettivamente agli angoli \(\alpha,\beta,\gamma\).
Indice
- Enunciato e corrispondenza fra lati e angoli
- Dimostrazione mediante le coordinate cartesiane
- Relazione con il teorema di Pitagora
- Due lati e l’angolo compreso noti
- Tre lati noti: calcolare gli angoli
- Applicazioni a distanze e diagonali
- Scelta del metodo e controllo dei risultati
- Errori comuni e riepilogo
Enunciato e corrispondenza fra lati e angoli
Consideriamo un triangolo \(ABC\) e poniamo
\[ a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB, \] \[ \alpha=\widehat A,\qquad \beta=\widehat B,\qquad \gamma=\widehat C. \]
Teorema del coseno. Il quadrato della lunghezza di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di queste lunghezze per il coseno dell’angolo compreso.
Le tre forme del teorema sono
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha, \] \[ b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta, \] \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. \]
In ciascuna formula, l’angolo utilizzato è opposto al lato che compare da solo al primo membro e, contemporaneamente, è compreso fra gli altri due lati.
Per esempio, nella prima relazione \(\alpha\) è opposto ad \(a=BC\) ed è compreso fra \(b=CA\) e \(c=AB\).
Immagine
Dimostrazione mediante le coordinate cartesiane
Disponiamo il triangolo in un sistema di riferimento cartesiano, scegliendo
\[ A=(0,0), \qquad B=(c,0), \]
e collocando \(C\) nel semipiano superiore. Poiché \(AC=b\) e il segmento \(AC\) forma l’angolo \(\alpha\) con la semiretta positiva delle ascisse, le coordinate di \(C\) sono
\[ C=(b\cos\alpha,\ b\sin\alpha). \]
Indichiamo con \(H\) la proiezione ortogonale di \(C\) sulla retta \(AB\). Si ha quindi
\[ H=(b\cos\alpha,0). \]
Il valore \(b\cos\alpha\) è l’ascissa di \(H\), quindi può essere negativo. La lunghezza del segmento \(AH\) è invece
\[ AH=|b\cos\alpha|. \]
Se \(\alpha\) è acuto, \(AH=b\cos\alpha\); se è ottuso, \(AH=-b\cos\alpha\). In entrambi i casi la lunghezza è positiva; per \(\alpha=90^\circ\), invece, \(H=A\) e \(AH=0\).
L’altezza \(CH\) misura \(b\sin\alpha\), mentre la distanza orizzontale fra \(B\) e \(H\) è
\[ BH=\left|c-b\cos\alpha\right|. \]
La formula della distanza fra due punti, conseguenza del teorema di Pitagora, dà quindi
\[ a^2=(c-b\cos\alpha)^2+(b\sin\alpha)^2. \]
Sviluppando il quadrato, segue
\[ a^2 =c^2-2bc\cos\alpha+b^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha. \]
Raccogliendo \(b^2\) e usando l’identità fondamentale,
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \]
troviamo
\[ a^2 =c^2-2bc\cos\alpha+b^2, \]
ossia
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha. \]
Immagine
Perché la dimostrazione vale anche per un angolo ottuso?
Se \(\alpha\) è ottuso, \(\cos\alpha<0\): il punto \(H\) si trova sul prolungamento della base oltre \(A\), dalla parte opposta rispetto a \(B\). La coordinata \(b\cos\alpha\) è negativa, ma il calcolo delle distanze rimane valido.
Immagine
Se \(\alpha\) è acuto, \(H\) può trovarsi fra \(A\) e \(B\) oppure oltre \(B\). Nel primo caso \(BH=c-b\cos\alpha\); nel secondo \(BH=b\cos\alpha-c\). Il valore assoluto nella formula generale di \(BH\) comprende entrambe le situazioni.
La formula comprende anche il caso \(H=B\), nel quale la differenza orizzontale è nulla.
Relazione con il teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora si ottiene come caso particolare del teorema del coseno. Se \(\alpha=90^\circ\), allora \(\cos\alpha=0\), quindi
\[ a^2=b^2+c^2. \]
Il lato \(a\), opposto all’angolo retto, è l’ipotenusa.
Il termine \(-2bc\cos\alpha\) permette inoltre di distinguere i tre tipi di angolo:
| Angolo \(\alpha\) | Segno del coseno | Confronto fra i lati |
|---|---|---|
| Acuto | \(\cos\alpha>0\) | \(a^2<b^2+c^2\) |
| Retto | \(\cos\alpha=0\) | \(a^2=b^2+c^2\) |
| Ottuso | \(\cos\alpha<0\) | \(a^2>b^2+c^2\) |
Classificare un triangolo conoscendo i lati
Per stabilire se l’intero triangolo è acutangolo, rettangolo oppure ottusangolo, si considera il lato maggiore. Se \(a\) è il maggiore dei tre lati, allora
- il triangolo è acutangolo se \(a^2<b^2+c^2\);
- è rettangolo se \(a^2=b^2+c^2\);
- è ottusangolo se \(a^2>b^2+c^2\).
Il confronto va effettuato dopo aver verificato che le tre lunghezze possano costituire i lati di un triangolo.
Esempio 1. Classificazione mediante i lati
Consideriamo le lunghezze \(4\,\mathrm{cm}\), \(5\,\mathrm{cm}\) e \(7\,\mathrm{cm}\). Esse formano un triangolo perché \(4+5>7\), e le altre disuguaglianze triangolari sono anch’esse soddisfatte.
Il lato maggiore misura \(7\,\mathrm{cm}\). Poiché
\[ 7^2=49>4^2+5^2=41, \]
il triangolo è ottusangolo. L’angolo ottuso è quello opposto al lato di \(7\,\mathrm{cm}\).
Due lati e l’angolo compreso noti
Se sono noti \(b\), \(c\) e l’angolo compreso \(\alpha\), il lato opposto si ricava mediante
\[ a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}. \]
Si prende la radice positiva perché \(a\) è una lunghezza.
Per \(b,c>0\) e \(0^\circ<\alpha<180^\circ\), i dati determinano un triangolo non degenere. In particolare, il lato calcolato soddisfa
\[ |b-c|<a<b+c. \]
Esempio 2. Angolo compreso di sessanta gradi
Siano
\[ b=5\,\mathrm{cm}, \qquad c=8\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=60^\circ. \]
Applicando il teorema,
\[ a^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos60^\circ. \]
Poiché \(\displaystyle\cos60^\circ=\frac12\), otteniamo
\[ a^2=25+64-40=49, \]
quindi
\[ a=7\,\mathrm{cm}. \]
Per completare la risoluzione, calcoliamo \(\beta\) con il teorema del coseno:
\[ \cos\beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{49+64-25}{2\cdot7\cdot8} =\frac{11}{14}. \]
Da cui
\[ \beta=\arccos\left(\frac{11}{14}\right) \approx38{,}21^\circ. \]
Infine,
\[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta \approx81{,}79^\circ. \]
Il lato maggiore è \(c=8\,\mathrm{cm}\) e l’angolo maggiore è \(\gamma\), coerentemente con la geometria del triangolo.
Esempio 3. Angolo compreso ottuso
Con gli stessi lati \(b=5\,\mathrm{cm}\), \(c=8\,\mathrm{cm}\), ma angolo \(\alpha=120^\circ\), troviamo
\[ a^2=25+64-80\cos120^\circ. \]
Poiché \(\displaystyle\cos120^\circ=-\frac12\), segue
\[ a^2=25+64+40=129, \] \[ a=\sqrt{129}\,\mathrm{cm} \approx11{,}36\,\mathrm{cm}. \]
Il termine contenente il coseno viene aggiunto perché si sottrae un numero negativo. Il lato opposto all’angolo ottuso è il maggiore dei tre.
Tre lati noti: calcolare gli angoli
Se sono note le lunghezze dei tre lati, bisogna prima verificare le disuguaglianze triangolari:
\[ a<b+c, \qquad b<c+a, \qquad c<a+b. \]
Per lunghezze positive, queste condizioni equivalgono a
\[ |b-c|<a<b+c. \]
Se una disuguaglianza non è soddisfatta, non esiste un triangolo non degenere con quelle lunghezze.
Isolando i coseni nelle formule di Carnot, otteniamo
\[ \cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \] \[ \cos\beta=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}, \] \[ \cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}. \]
Quindi, per esempio,
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right). \]
Il coseno è strettamente decrescente fra \(0^\circ\) e \(180^\circ\): per ogni valore ammissibile determina un unico angolo interno. Non compare quindi l’ambiguità fra angoli supplementari presente quando si conosce soltanto il seno.
Esempio 4. Triangolo con lati \(4\), \(5\) e \(7\) centimetri
Poniamo
\[ a=7\,\mathrm{cm}, \qquad b=4\,\mathrm{cm}, \qquad c=5\,\mathrm{cm}. \]
Gli angoli si ricavano da
\[ \cos\alpha =\frac{16+25-49}{2\cdot4\cdot5} =-\frac15, \] \[ \alpha=\arccos\left(-\frac15\right) \approx101{,}54^\circ, \]
e
\[ \cos\beta =\frac{25+49-16}{2\cdot5\cdot7} =\frac{29}{35}, \] \[ \beta=\arccos\left(\frac{29}{35}\right) \approx34{,}05^\circ. \]
Infine,
\[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta \approx44{,}42^\circ. \]
Gli angoli sono stati arrotondati indipendentemente: la somma dei valori riportati può differire di un centesimo di grado da \(180^\circ\). Nei calcoli si usano i valori non arrotondati.
Applicazioni a distanze e diagonali
Esempio 5. Distanza fra due punti osservati da una stessa posizione
Da un punto \(A\) si osservano due punti \(B\) e \(C\), distanti rispettivamente \(80\,\mathrm m\) e \(60\,\mathrm m\) da \(A\). Le due direzioni formano un angolo di \(45^\circ\). Calcoliamo la distanza \(BC\).
I dati sono
\[ AB=80\,\mathrm m, \qquad AC=60\,\mathrm m, \qquad \widehat{BAC}=45^\circ. \]
Il teorema del coseno dà
\[ BC^2 =80^2+60^2-2\cdot80\cdot60\cos45^\circ. \]
Quindi
\[ BC =\sqrt{10000-4800\sqrt2}\,\mathrm m \approx56{,}67\,\mathrm m. \]
L’angolo utilizzato è quello compreso fra le due distanze note, non uno degli angoli nei punti da raggiungere.
Immagine
Esempio 6. Diagonali di un parallelogramma
Un parallelogramma ha lati di lunghezze \(p\) e \(q\), con angolo compreso \(\theta\). La diagonale che unisce gli estremi dei due lati uscenti da quel vertice misura
\[ d_1=\sqrt{p^2+q^2-2pq\cos\theta}. \]
L’altra diagonale si ottiene usando l’angolo supplementare \(180^\circ-\theta\). Poiché
\[ \cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta, \]
si ha
\[ d_2=\sqrt{p^2+q^2+2pq\cos\theta}. \]
Per \(p=5\,\mathrm{cm}\), \(q=8\,\mathrm{cm}\) e \(\theta=60^\circ\), troviamo
\[ d_1=7\,\mathrm{cm}, \qquad d_2=\sqrt{129}\,\mathrm{cm} \approx11{,}36\,\mathrm{cm}. \]
Sommando i quadrati delle due diagonali si ottiene inoltre
\[ d_1^2+d_2^2=2(p^2+q^2). \]
Nel caso del rettangolo, \(\theta=90^\circ\), entrambe le formule si riducono a Pitagora e le diagonali hanno la stessa lunghezza.
Scelta del metodo e controllo dei risultati
| Dati disponibili | Metodo iniziale consigliato |
|---|---|
| Due lati e l’angolo compreso | Teorema del coseno per calcolare il terzo lato. |
| Tre lati | Verifica delle disuguaglianze triangolari, poi teorema del coseno per gli angoli. |
| Due angoli e un lato | Somma degli angoli interni e teorema dei seni. |
| Due lati e un angolo opposto a uno di essi | Teorema dei seni, con discussione del caso ambiguo. |
Dopo aver calcolato il terzo lato con Carnot, si può proseguire con il teorema del coseno oppure con quello dei seni. Se si sceglie il teorema dei seni, conviene calcolare per primo il minore dei due angoli ancora incogniti, individuandolo attraverso il confronto dei lati opposti. Questo angolo è certamente acuto: i due angoli ancora da determinare hanno infatti somma minore di \(180^\circ\). Il valore restituito dall’arcoseno è quindi quello corretto, senza dover considerare il supplementare. L’ultimo angolo si determina sottraendo da \(180^\circ\) gli altri due.
Controlli di coerenza
- Disuguaglianza triangolare: ogni lato deve essere minore della somma degli altri due.
- Confronto fra lati e angoli: al lato maggiore deve essere opposto l’angolo maggiore.
- Somma degli angoli: deve essere \(180^\circ\), salvo differenze dovute all’arrotondamento dei valori riportati.
- Valore del coseno: per un triangolo non degenere il risultato deve appartenere a \((-1,1)\).
- Unità di misura: le lunghezze devono essere espresse nella stessa unità prima di eseguire i calcoli.
Un valore del coseno esterno a \([-1,1]\), se ottenuto da dati esatti con calcoli corretti, indica dati incompatibili. Valori esattamente uguali a \(1\) oppure a \(-1\) corrispondono invece ad angoli di \(0^\circ\) oppure \(180^\circ\), quindi a configurazioni degeneri.
Errori comuni e riepilogo
| Errore | Correzione |
|---|---|
| Usare un angolo non compreso fra i due lati del doppio prodotto. | Associare \(2bc\) a \(\cos\alpha\), \(2ca\) a \(\cos\beta\), \(2ab\) a \(\cos\gamma\). |
| Dimenticare il termine con il coseno. | La relazione pitagorica senza quel termine vale soltanto se l’angolo considerato è retto. |
| Sottrarre un valore positivo anche quando l’angolo è ottuso. | Per un angolo ottuso il coseno è negativo: il termine \(-2bc\cos\alpha\) è positivo. |
| Confondere il lato con il suo quadrato. | Dopo aver calcolato \(a^2\), ricavare \(a\) prendendo la radice quadrata positiva. |
| Applicare le formule inverse a tre lunghezze qualsiasi. | Verificare prima le disuguaglianze triangolari. |
| Classificare il triangolo confrontando il quadrato di un lato qualsiasi con la somma degli altri due quadrati. | Per classificare l’intero triangolo, effettuare il confronto sul lato maggiore. |
| Usare l’arcoseno al posto dell’arcocoseno nelle formule inverse di Carnot. | Ricavare l’angolo mediante l’arcocoseno del rapporto calcolato. |
| Arrotondare ripetutamente nei passaggi intermedi. | Mantenere la precisione disponibile e arrotondare soltanto i risultati finali. |
| Usare la modalità RAD con angoli espressi in gradi. | Impostare la calcolatrice in modalità DEG. |
Il teorema del coseno estende Pitagora a qualsiasi triangolo e permette di passare dai lati agli angoli o dagli angoli ai lati. La scelta dell’angolo compreso, il segno del coseno e la verifica delle disuguaglianze triangolari sono i passaggi fondamentali per applicarlo correttamente.