Il teorema del confronto per le successioni è uno strumento fondamentale nello studio dei limiti. Esso permette di dedurre il comportamento di una successione confrontandola con una o più successioni di cui conosciamo già il limite.
L’idea di base è semplice: se, da un certo indice in poi, i termini di una successione sono ordinati rispetto ai termini di un’altra successione, allora anche i loro limiti devono rispettare tale ordine, quando esistono. In una forma particolarmente importante, nota anche come teorema dei carabinieri, una successione viene racchiusa tra due successioni che tendono allo stesso limite: in questo caso anche la successione intermedia deve tendere a quel limite.
In questa pagina studieremo il teorema del confronto nelle sue forme principali: il confronto tra successioni convergenti, il confronto con successioni divergenti a \(+\infty\) o a \(-\infty\), e il teorema dei carabinieri. Presteremo particolare attenzione al significato della parola definitivamente, cioè al fatto che le disuguaglianze richieste non devono necessariamente valere per tutti gli indici, ma solo da un certo indice in poi.
Indice
- Confronto tra successioni e significato di definitivamente
- Teorema del confronto per successioni convergenti
- Dimostrazione del teorema del confronto
- Teorema dei carabinieri per successioni
- Dimostrazione del teorema dei carabinieri
- Confronto con successioni divergenti a infinito
- Esempi svolti sul teorema del confronto
- Errori frequenti nell’applicazione del teorema
Confronto tra successioni e significato di definitivamente
Il teorema del confronto riguarda successioni reali i cui termini possono essere ordinati tra loro, almeno da un certo indice in poi. Per questo motivo, prima di enunciare il teorema, è importante chiarire con precisione che cosa significa confrontare due successioni.
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali. Dire che
\[ a_n \le b_n \]
definitivamente significa che esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\), si abbia
\[ a_n \le b_n. \]
In simboli:
\[ \exists N\in\mathbb{N}\ \text{tale che}\ \forall n\ge N,\quad a_n\le b_n. \]
Dunque la disuguaglianza non deve necessariamente valere per tutti gli indici \(n\), ma solo da un certo punto in poi. I primi termini delle successioni possono anche non rispettare il confronto, perché un numero finito di termini iniziali non modifica il limite.
Ad esempio, se \(a_n\le b_n\) per ogni \(n\ge 5\), allora possiamo dire che \(a_n\le b_n\) definitivamente. Non importa che la disuguaglianza sia falsa per \(n=0,1,2,3,4\), perché il comportamento limite dipende dai termini della successione quando \(n\) diventa arbitrariamente grande.
Questa osservazione è essenziale: i teoremi sui limiti delle successioni non descrivono il comportamento dei primi termini, ma il comportamento della successione all’infinito. Perciò, nelle applicazioni del teorema del confronto, ciò che conta è stabilire un ordine tra le successioni per tutti gli indici sufficientemente grandi.
In modo analogo, scrivere
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
definitivamente significa che esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\), valgano simultaneamente le due disuguaglianze
\[ a_n \le b_n \qquad\text{e}\qquad b_n \le c_n. \]
In questo caso la successione \((b_n)\) è compresa definitivamente tra \((a_n)\) e \((c_n)\). Questa è la situazione tipica del teorema dei carabinieri: se le due successioni esterne tendono allo stesso limite, allora anche la successione intermedia è costretta a tendere a quel limite.
Il confronto tra successioni, quindi, non è un semplice confronto termine per termine preso isolatamente. È un confronto stabile da un certo indice in poi, ed è proprio questa stabilità che permette di trasferire informazioni sul limite da una successione all’altra.
Teorema del confronto per successioni convergenti
La prima forma del teorema del confronto riguarda due successioni reali convergenti. Essa afferma che un ordine valido definitivamente tra i termini delle successioni si conserva passando al limite.
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ a_n \le b_n \]
definitivamente. Se
\[ \lim_{n\to+\infty} a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty} b_n=m, \]
allora
\[ \ell \le m. \]
In altre parole, se da un certo indice in poi ogni termine di \((a_n)\) è minore o uguale del corrispondente termine di \((b_n)\), allora il limite di \((a_n)\) non può essere maggiore del limite di \((b_n)\).
Questo risultato è molto naturale, ma deve essere interpretato con attenzione: il teorema non dice che, conoscendo soltanto \(a_n\le b_n\), possiamo calcolare i due limiti. Dice invece che, se i due limiti esistono, allora essi devono rispettare lo stesso ordine.
È importante osservare anche che una disuguaglianza stretta tra i termini non produce necessariamente una disuguaglianza stretta tra i limiti. Se
\[ a_n < b_n \]
definitivamente e le due successioni convergono rispettivamente a \(\ell\) e \(m\), possiamo concludere solo che
\[ \ell \le m, \]
non necessariamente che \(\ell<m\).
Ad esempio, per ogni \(n\ge 1\) si ha
\[ 0 < \frac{1}{n}. \]
Tuttavia
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Quindi la disuguaglianza stretta tra i termini può diventare un’uguaglianza tra i limiti.
Il teorema del confronto per successioni convergenti esprime dunque una proprietà di compatibilità tra l’ordine dei numeri reali e il passaggio al limite: l’ordine definitivo tra successioni convergenti non può essere invertito nel limite.
Dimostrazione del teorema del confronto
Dimostriamo il teorema nella forma enunciata nella sezione precedente. Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ a_n \le b_n \]
definitivamente, e supponiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=m. \]
Vogliamo dimostrare che
\[ \ell \le m. \]
Ragioniamo per assurdo. Supponiamo quindi che la tesi sia falsa, cioè supponiamo che
\[ \ell>m. \]
Consideriamo il punto medio tra \(\ell\) e \(m\):
\[ \alpha=\frac{\ell+m}{2}. \]
Poiché \(\ell>m\), si ha
\[ m<\alpha<\ell. \]
Dalla convergenza di \((a_n)\) a \(\ell\), e dal fatto che \(\alpha<\ell\), esiste un indice \(N_1\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_1\), si abbia
\[ a_n>\alpha. \]
Infatti, essendo
\[ \varepsilon=\ell-\alpha>0, \]
dalla definizione di limite segue che definitivamente
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon, \]
e quindi
\[ a_n>\ell-\varepsilon=\alpha. \]
Analogamente, dalla convergenza di \((b_n)\) a \(m\), e dal fatto che \(m<\alpha\), esiste un indice \(N_2\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_2\), si abbia
\[ b_n<\alpha. \]
Infatti, essendo
\[ \varepsilon=\alpha-m>0, \]
dalla definizione di limite segue che definitivamente
\[ |b_n-m|<\varepsilon, \]
e quindi
\[ b_n<m+\varepsilon=\alpha. \]
Inoltre, per ipotesi, \(a_n\le b_n\) definitivamente. Esiste quindi un indice \(N_0\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Prendiamo ora un indice \(n\) maggiore o uguale di tutti e tre gli indici \(N_0\), \(N_1\), \(N_2\). Per tale \(n\) valgono simultaneamente le disuguaglianze
\[ \alpha<a_n\le b_n<\alpha. \]
Questo è impossibile, perché una quantità non può essere allo stesso tempo maggiore di \(\alpha\) e minore di \(\alpha\). L’assurdo nasce dall’aver supposto \(\ell>m\).
Pertanto deve valere
\[ \ell\le m. \]
Questo conclude la dimostrazione.
Teorema dei carabinieri per successioni
Una delle forme più importanti del teorema del confronto è il teorema dei carabinieri. Esso permette di calcolare il limite di una successione quando questa è compresa definitivamente tra due successioni che hanno lo stesso limite.
Siano \((a_n)\), \((b_n)\) e \((c_n)\) tre successioni reali tali che
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
definitivamente. Se
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell, \]
allora anche la successione intermedia \((b_n)\) converge a \(\ell\), cioè
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Il significato del teorema è il seguente: se una successione è stretta, da un certo indice in poi, tra due successioni che si avvicinano allo stesso numero reale, allora non ha possibilità di tendere a un limite diverso. Le due successioni esterne obbligano la successione intermedia ad avvicinarsi allo stesso valore.
L’ipotesi fondamentale è che le due successioni esterne abbiano lo stesso limite. Non basta sapere che \((a_n)\) e \((c_n)\) siano convergenti: se i loro limiti sono diversi, la successione intermedia può avere comportamenti differenti.
Ad esempio, dal solo confronto
\[ 0\le b_n\le 1 \]
non possiamo concludere che \((b_n)\) sia convergente. La successione potrebbe oscillare, come accade per
\[ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}, \]
che assume alternativamente i valori \(1\) e \(0\). In questo caso le due successioni esterne sono costanti, ma hanno limiti diversi:
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}1=1. \]
Una forma molto usata del teorema dei carabinieri è la seguente. Se \((r_n)\) è una successione reale tale che
\[ r_n\ge 0 \]
definitivamente,
\[ \lim_{n\to+\infty}r_n=0 \]
e
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
definitivamente, allora
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Infatti la disuguaglianza
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
equivale a dire che
\[ \ell-r_n\le b_n\le \ell+r_n. \]
Poiché entrambe le successioni esterne \((\ell-r_n)\) e \((\ell+r_n)\) tendono a \(\ell\), il teorema dei carabinieri impone a \((b_n)\) di tendere a \(\ell\).
Questa formulazione è particolarmente utile quando non è semplice studiare direttamente \(b_n\), ma è possibile stimare la distanza tra \(b_n\) e il candidato limite \(\ell\) mediante una successione positiva infinitesima.
Dimostrazione del teorema dei carabinieri
Dimostriamo il teorema dei carabinieri. Siano \((a_n)\), \((b_n)\) e \((c_n)\) tre successioni reali tali che
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
definitivamente. Supponiamo inoltre che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell. \]
Vogliamo dimostrare che
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Per definizione di limite, dobbiamo provare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Sia dunque \(\varepsilon>0\). Poiché \(a_n\to \ell\), esiste un indice \(N_1\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_1\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
In particolare, per ogni \(n\ge N_1\),
\[ \ell-\varepsilon<a_n. \]
Poiché \(c_n\to \ell\), esiste un indice \(N_2\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_2\),
\[ |c_n-\ell|<\varepsilon. \]
In particolare, per ogni \(n\ge N_2\),
\[ c_n<\ell+\varepsilon. \]
Inoltre, per ipotesi, \(a_n\le b_n\le c_n\) definitivamente. Esiste quindi un indice \(N_0\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n\le c_n. \]
Consideriamo ora
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Allora, per ogni \(n\ge N\), valgono simultaneamente le disuguaglianze
\[ \ell-\varepsilon<a_n\le b_n\le c_n<\ell+\varepsilon. \]
In particolare,
\[ \ell-\varepsilon<b_n<\ell+\varepsilon. \]
Questa doppia disuguaglianza equivale a
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Abbiamo quindi mostrato che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Per definizione di limite, segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Questo conclude la dimostrazione.
Confronto con successioni divergenti a infinito
Il teorema del confronto ammette anche forme molto utili per successioni che divergono a \(+\infty\) o a \(-\infty\). In questi casi il confronto non serve a stabilire l’ordine tra due limiti finiti, ma a dedurre che una successione diverge quando è dominata nel verso opportuno da un’altra successione divergente.
La prima forma riguarda la divergenza a \(+\infty\). Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ a_n \le b_n \]
definitivamente. Se
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty, \]
allora
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty. \]
Infatti, se \((a_n)\) tende a \(+\infty\), i suoi termini diventano definitivamente maggiori di qualunque numero reale fissato. Poiché, da un certo indice in poi, \(b_n\) è maggiore o uguale di \(a_n\), anche \(b_n\) deve diventare definitivamente maggiore di qualunque numero reale fissato.
Più esplicitamente, sia \(M\in\mathbb{R}\). Poiché \(a_n\to+\infty\), esiste un indice \(N_1\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_1\),
\[ a_n>M. \]
Inoltre, poiché \(a_n\le b_n\) definitivamente, esiste un indice \(N_0\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Dunque, per ogni \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), si ha
\[ b_n\ge a_n>M. \]
Per definizione di divergenza a \(+\infty\), segue che
\[ b_n\to+\infty. \]
La seconda forma riguarda la divergenza a \(-\infty\). Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ a_n \le b_n \]
definitivamente. Se
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=-\infty, \]
allora
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
In questo caso il ragionamento è simmetrico: se \((b_n)\) tende a \(-\infty\), i suoi termini diventano definitivamente minori di qualunque numero reale fissato. Poiché, da un certo indice in poi, \(a_n\) è minore o uguale di \(b_n\), anche \(a_n\) deve tendere a \(-\infty\).
Più esplicitamente, sia \(M\in\mathbb{R}\). Poiché \(b_n\to-\infty\), esiste un indice \(N_1\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_1\),
\[ b_n<M. \]
Inoltre, poiché \(a_n\le b_n\) definitivamente, esiste un indice \(N_0\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Dunque, per ogni \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), si ha
\[ a_n\le b_n<M. \]
Per definizione di divergenza a \(-\infty\), segue che
\[ a_n\to-\infty. \]
È importante notare il verso delle disuguaglianze. Per dimostrare che una successione tende a \(+\infty\), è sufficiente trovare una successione minore o uguale che tenda a \(+\infty\). Analogamente, per dimostrare che una successione tende a \(-\infty\), è sufficiente trovare una successione maggiore o uguale che tenda a \(-\infty\).
In simboli:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
e
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
In altri termini, per \(+\infty\) serve una stima dal basso, mentre per \(-\infty\) serve una stima dall’alto.
Esempi svolti sul teorema del confronto
Vediamo ora alcuni esempi tipici. L’obiettivo non è soltanto calcolare i limiti, ma capire quale forma del teorema del confronto viene usata e perché le ipotesi sono soddisfatte.
Esempio 1. Calcoliamo il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}. \]
Per ogni \(n\ge 1\), sappiamo che
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Dividendo tutti i membri per \(n\), che è positivo per ogni \(n\ge 1\), otteniamo
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Ora
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La successione \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\) è quindi compresa tra due successioni che tendono entrambe a \(0\). Per il teorema dei carabinieri,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Esempio 2. Calcoliamo il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right). \]
La parte oscillante è \((-1)^n\), ma essa è moltiplicata per \(\displaystyle \frac{1}{n}\), che tende a \(0\). Per rendere rigorosa questa osservazione, consideriamo la distanza della successione dal candidato limite \(2\):
\[ \left|2+\frac{(-1)^n}{n}-2\right| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
segue che la distanza tra \(\displaystyle 2+\frac{(-1)^n}{n}\) e \(2\) tende a \(0\). Per la forma del teorema dei carabinieri con il valore assoluto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right)=2. \]
Esempio 3. Studiamo il limite della successione
\[ b_n=n^2+\sin n. \]
Poiché
\[ \sin n\ge -1, \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
Inoltre
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty. \]
Dunque \((b_n)\) è minorata da una successione che tende a \(+\infty\). Per il confronto con successioni divergenti a \(+\infty\), otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2+\sin n)=+\infty. \]
Esempio 4. Studiamo il limite della successione
\[ c_n=-n+\cos n. \]
Poiché
\[ \cos n\le 1, \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
Inoltre
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+1)=-\infty. \]
Dunque \((c_n)\) è maggiorata da una successione che tende a \(-\infty\). Per il confronto con successioni divergenti a \(-\infty\), otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+\cos n)=-\infty. \]
Questi esempi mostrano che il teorema del confronto non serve solo quando una successione è esplicitamente racchiusa tra due successioni. Spesso il punto decisivo è costruire una stima adatta: una stima bilaterale per applicare il teorema dei carabinieri, una stima dal basso per dimostrare la divergenza a \(+\infty\), oppure una stima dall’alto per dimostrare la divergenza a \(-\infty\).
Errori frequenti nell’applicazione del teorema
Il teorema del confronto è molto potente, ma deve essere applicato rispettando con precisione le sue ipotesi. Molti errori nascono dal trascurare il verso delle disuguaglianze, il significato di definitivamente oppure il ruolo dei limiti delle successioni confrontate.
Confondere una disuguaglianza stretta con una disuguaglianza stretta tra i limiti
Se \(a_n<b_n\) definitivamente e le due successioni convergono rispettivamente a \(\ell\) e \(m\), non si può concludere necessariamente che \(\ell<m\). Si può concludere soltanto che
\[ \ell\le m. \]
Infatti una disuguaglianza stretta tra i termini può diventare un’uguaglianza tra i limiti. Ad esempio, per ogni \(n\ge 1\),
\[ 0<\frac{1}{n}, \]
ma entrambe le successioni tendono a \(0\).
Usare il verso sbagliato nel confronto a infinito
Per dimostrare che una successione tende a \(+\infty\), non basta trovarne una maggiorante che tende a \(+\infty\). Serve invece una stima dal basso mediante una successione che tende a \(+\infty\).
Analogamente, per dimostrare che una successione tende a \(-\infty\), non basta trovarne una minorante che tende a \(-\infty\). Serve invece una stima dall’alto mediante una successione che tende a \(-\infty\).
In simboli:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
mentre
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Applicare il teorema dei carabinieri senza lo stesso limite agli estremi
Nel teorema dei carabinieri non basta avere
\[ a_n\le b_n\le c_n \]
definitivamente. È necessario che le due successioni esterne tendano allo stesso limite:
\[ a_n\to \ell \qquad\text{e}\qquad c_n\to \ell. \]
Se invece i limiti delle successioni esterne sono diversi, il confronto può soltanto fornire una zona in cui si trovano i termini di \((b_n)\), ma non determina necessariamente il limite di \((b_n)\).
Dimenticare che il confronto deve valere definitivamente
Le disuguaglianze richieste dal teorema non devono necessariamente valere per tutti gli indici, ma devono valere da un certo indice in poi. Tuttavia non basta verificarle per molti valori di \(n\), o per alcuni esempi numerici: bisogna dimostrare che esiste un indice \(N\in\mathbb{N}\) tale che la disuguaglianza sia vera per ogni \(n\ge N\).
Questo punto è essenziale perché il limite descrive il comportamento della successione per indici arbitrariamente grandi. I primi termini possono essere irrilevanti, ma il confronto deve stabilizzarsi definitivamente.
Usare una stima troppo debole
Una stima è utile solo se contiene abbastanza informazioni per applicare il teorema. Ad esempio, sapere che una successione è limitata non basta per concludere che sia convergente. Allo stesso modo, sapere che una successione è compresa tra due successioni convergenti non basta, se queste non hanno lo stesso limite.
Il teorema del confronto non sostituisce lo studio del limite: fornisce un criterio rigoroso quando il confronto è costruito nel verso corretto e con successioni di comportamento noto.
In conclusione, applicare correttamente il teorema significa individuare tre elementi: una disuguaglianza definitiva, il verso giusto del confronto e il limite delle successioni usate come riferimento.