In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sul teorema del confronto per le successioni. L’obiettivo non è soltanto calcolare i limiti, ma imparare a riconoscere quale forma del teorema usare: il confronto tra successioni convergenti, il teorema dei carabinieri oppure il confronto con successioni divergenti a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
In ogni esercizio presteremo attenzione al verso delle disuguaglianze e al fatto che esse devono valere definitivamente, cioè da un certo indice in poi. Questo punto è fondamentale: per applicare correttamente un teorema sui limiti non è necessario che una disuguaglianza valga per tutti gli indici, ma è necessario dimostrare che essa vale per tutti gli indici sufficientemente grandi.
Gli esercizi sono ordinati in difficoltà crescente. Nei primi casi useremo stime immediate, come \(-1\le \sin n\le 1\) oppure \(-1\le \cos n\le 1\). Nei successivi, invece, sarà necessario costruire stime più raffinate e scegliere con cura le successioni da confrontare.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Svolgimento
La difficoltà dell’esercizio sta nel fatto che la successione \(\sin n\) non ammette limite. Infatti i valori di \(\sin n\) oscillano e non si avvicinano a un unico numero reale. Tuttavia sappiamo che il seno è sempre compreso tra \(-1\) e \(1\). Quindi, per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Poiché vogliamo studiare \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\), dividiamo tutti i membri per \(n\). Per \(n\ge 1\), il numero \(n\) è positivo, quindi il verso delle disuguaglianze non cambia:
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Ora studiamo le due successioni esterne. Si ha
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Dunque la successione \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\) è compresa, per ogni \(n\ge 1\), tra due successioni che tendono entrambe a \(0\). Per il teorema dei carabinieri segue che anche la successione intermedia tende a \(0\). Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{(-1)^n}{n}\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{(-1)^n}{n}\right)=4. \]
Svolgimento
La successione \(((-1)^n)\) oscilla tra \(1\) e \(-1\). Infatti, per ogni \(n\), si ha
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]
Per \(n\ge 1\), dividiamo tutti i membri della disuguaglianza per \(n\). Poiché \(n\) è positivo, il verso delle disuguaglianze non cambia:
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Aggiungiamo ora \(4\) a tutti i membri. L’aggiunta dello stesso numero non modifica il verso delle disuguaglianze, quindi otteniamo
\[ 4-\frac{1}{n}\le 4+\frac{(-1)^n}{n}\le 4+\frac{1}{n}. \]
Studiamo i limiti delle due successioni esterne:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4-\frac{1}{n}\right)=4 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{1}{n}\right)=4. \]
La successione data è quindi compresa, per ogni \(n\ge 1\), tra due successioni che tendono entrambe a \(4\). Per il teorema dei carabinieri, anche la successione intermedia tende a \(4\). Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{(-1)^n}{n}\right)=4. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n+1}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n+1}=0. \]
Svolgimento
Anche in questo caso la successione \(\cos n\) non ha limite, perché oscilla. Tuttavia è sempre limitata tra \(-1\) e \(1\). Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), infatti,
\[ -1\le \cos n\le 1. \]
Dobbiamo dividere per \(n+1\). Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha \(n+1>0\). Quindi possiamo dividere tutti i membri della disuguaglianza per \(n+1\) senza cambiare il verso delle disuguaglianze:
\[ -\frac{1}{n+1}\le \frac{\cos n}{n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Le successioni esterne hanno entrambe limite \(0\), infatti
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n+1}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0. \]
La successione \(\displaystyle \frac{\cos n}{n+1}\) è quindi compresa tra due successioni che tendono allo stesso limite. Per il teorema dei carabinieri si conclude che
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n+1}=0. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\sin n}{n}\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\sin n}{n}\right)=1. \]
Svolgimento
La successione data è formata da una parte costante, uguale a \(1\), e da una parte oscillante, uguale a \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\). Per capire il limite, dobbiamo mostrare che la parte oscillante tende a \(0\).
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), sappiamo che
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Per \(n\ge 1\), dividendo tutti i membri per \(n\), otteniamo
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Aggiungiamo ora \(1\) a tutti i membri della disuguaglianza. L’aggiunta dello stesso numero a tutti i membri non cambia il verso delle disuguaglianze:
\[ 1-\frac{1}{n}\le 1+\frac{\sin n}{n}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Studiamo i limiti delle due successioni esterne:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1. \]
La successione data è quindi compresa definitivamente tra due successioni che tendono entrambe a \(1\). Per il teorema dei carabinieri,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\sin n}{n}\right)=1. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}=1. \]
Svolgimento
Osserviamo anzitutto che, per \(n\ge 1\), il denominatore \(n\) è positivo. Possiamo quindi riscrivere la successione portando \(n^2\) fuori dalla radice:
\[ \frac{\sqrt{n^2+n}}{n} = \frac{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}}{n}. \]
Poiché \(n\ge 1\), si ha \(\sqrt{n^2}=n\). Dunque
\[ \frac{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}}{n} = \frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{n} = \sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
Dobbiamo quindi studiare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
Per applicare il teorema dei carabinieri, costruiamo una doppia stima. Poiché \(\displaystyle \frac{1}{n}\ge 0\), si ha
\[ 1\le 1+\frac{1}{n}. \]
La funzione radice quadrata è crescente sui numeri reali non negativi, quindi
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
Inoltre, per ogni \(x\ge 0\), vale la disuguaglianza
\[ \sqrt{1+x}\le 1+x. \]
Infatti entrambi i membri sono non negativi e, elevando al quadrato, la disuguaglianza diventa
\[ 1+x\le (1+x)^2. \]
Questa è vera per \(x\ge 0\), perché
\[ (1+x)^2-(1+x)=x+x^2\ge 0. \]
Applicando questa disuguaglianza con \(\displaystyle x=\frac{1}{n}\), otteniamo
\[ \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Abbiamo quindi la doppia stima
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Ora le due successioni esterne tendono entrambe a \(1\):
\[ \lim_{n\to+\infty}1=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1. \]
Per il teorema dei carabinieri segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1. \]
Poiché la successione iniziale coincide con \(\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n}}\) per \(n\ge 1\), otteniamo infine
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}=1. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\cos n}{n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\cos n}{n}=1. \]
Svolgimento
La successione contiene il termine oscillante \(\cos n\). Da solo, \(\cos n\) non ammette limite, ma è sempre compreso tra \(-1\) e \(1\). Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), infatti,
\[ -1\le \cos n\le 1. \]
Aggiungiamo \(n\) a tutti i membri della disuguaglianza. Otteniamo
\[ n-1\le n+\cos n\le n+1. \]
Ora dividiamo tutti i membri per \(n\). Per \(n\ge 1\), il numero \(n\) è positivo, quindi il verso delle disuguaglianze non cambia:
\[ \frac{n-1}{n}\le \frac{n+\cos n}{n}\le \frac{n+1}{n}. \]
Semplifichiamo le due successioni esterne:
\[ \frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}, \qquad \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}. \]
Quindi, per ogni \(n\ge 1\), abbiamo
\[ 1-\frac{1}{n}\le \frac{n+\cos n}{n}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Le due successioni esterne tendono entrambe a \(1\), infatti
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1. \]
Per il teorema dei carabinieri, anche la successione intermedia tende a \(1\). Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\cos n}{n}=1. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}=0. \]
Svolgimento
Il numeratore contiene due termini oscillanti: \((-1)^n\) e \(\sin n\). Nessuno dei due ammette limite, ma entrambi sono limitati. Infatti, per ogni \(n\),
\[ |(-1)^n|=1 \]
e
\[ |\sin n|\le 1. \]
Usiamo ora la disuguaglianza triangolare:
\[ |(-1)^n+\sin n|\le |(-1)^n|+|\sin n|. \]
Poiché \(|(-1)^n|=1\) e \(|\sin n|\le 1\), otteniamo
\[ |(-1)^n+\sin n|\le 2. \]
Dividendo per \(\sqrt{n}\), che è positivo per ogni \(n\ge 1\), segue che
\[ \left|\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}\right| = \frac{|(-1)^n+\sin n|}{\sqrt{n}} \le \frac{2}{\sqrt{n}}. \]
Inoltre, un valore assoluto è sempre non negativo, quindi
\[ 0\le \left|\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{2}{\sqrt{n}}. \]
Ora le due successioni esterne tendono a \(0\):
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{n}}=0. \]
Per il teorema dei carabinieri,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}\right| =0. \]
Se il valore assoluto di una successione tende a \(0\), allora anche la successione tende a \(0\). Infatti la distanza della successione da \(0\) tende a \(0\). Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}=0. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Studiare il limite della successione
\[ a_n=n^2+\sin n. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+\sin n\right)=+\infty. \]
Svolgimento
La successione \(n^2+\sin n\) è la somma di un termine che tende a \(+\infty\), cioè \(n^2\), e di un termine oscillante, cioè \(\sin n\). Poiché \(\sin n\) rimane sempre compreso tra \(-1\) e \(1\), esso non può compensare la crescita di \(n^2\).
Per rendere rigoroso questo ragionamento, usiamo la stima
\[ \sin n\ge -1. \]
Aggiungendo \(n^2\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
Ora osserviamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty. \]
Abbiamo quindi trovato una successione, \(n^2-1\), che tende a \(+\infty\) ed è minore o uguale della successione data:
\[ n^2-1\le n^2+\sin n. \]
Per il confronto con successioni divergenti a \(+\infty\), se una successione è minorata definitivamente da una successione che tende a \(+\infty\), allora anch’essa tende a \(+\infty\).
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+\sin n\right)=+\infty. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Studiare il limite della successione
\[ b_n=-n+\cos n. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n+\cos n\right)=-\infty. \]
Svolgimento
La successione \(-n+\cos n\) contiene il termine \(-n\), che tende a \(-\infty\), e il termine \(\cos n\), che invece oscilla rimanendo sempre limitato tra \(-1\) e \(1\). Intuitivamente, l’oscillazione di \(\cos n\) non può impedire alla successione di scendere verso \(-\infty\).
Per dimostrarlo in modo rigoroso, usiamo la stima superiore
\[ \cos n\le 1. \]
Aggiungendo \(-n\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
Ora osserviamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+1)=-\infty. \]
Dunque la successione data è maggiorata da una successione che tende a \(-\infty\):
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
Nel confronto con successioni divergenti a \(-\infty\), il verso è fondamentale: per concludere che una successione tende a \(-\infty\), occorre maggiorarla con una successione che tende a \(-\infty\). Ed è proprio ciò che abbiamo fatto.
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n+\cos n\right)=-\infty. \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n}=1. \]
Svolgimento
La presenza di \(\sin n\) dentro la radice può rendere il limite meno immediato. Tuttavia \(\sin n\) è un termine limitato, mentre \(n^2\) cresce indefinitamente. Ci aspettiamo quindi che il comportamento principale della radice sia quello di \(\sqrt{n^2}=n\), e dunque che il rapporto tenda a \(1\).
Per rendere rigoroso il ragionamento, partiamo dalla stima fondamentale
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Aggiungendo \(n^2\) a tutti i membri, otteniamo
\[ n^2-1\le n^2+\sin n\le n^2+1. \]
Per \(n\ge 1\), i termini coinvolti sono non negativi. Poiché la funzione radice quadrata è crescente sui numeri reali non negativi, possiamo applicare la radice quadrata a tutti i membri:
\[ \sqrt{n^2-1}\le \sqrt{n^2+\sin n}\le \sqrt{n^2+1}. \]
Dividiamo ora per \(n\). Per \(n\ge 1\), il numero \(n\) è positivo, quindi il verso delle disuguaglianze non cambia:
\[ \frac{\sqrt{n^2-1}}{n} \le \frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n} \le \frac{\sqrt{n^2+1}}{n}. \]
Riscriviamo le due successioni esterne. Poiché \(n\ge 1\), si ha \(\sqrt{n^2}=n\), quindi
\[ \frac{\sqrt{n^2-1}}{n} = \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} = \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}, \]
e
\[ \frac{\sqrt{n^2+1}}{n} = \sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Dunque abbiamo ottenuto la stima
\[ \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \le \frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n} \le \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Ora
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1. \]
Poiché la radice quadrata è continua nei punti positivi, segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1. \]
La successione data è quindi compresa definitivamente tra due successioni che tendono entrambe a \(1\). Per il teorema dei carabinieri,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n}=1. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sin n}{n+\cos n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sin n}{n+\cos n}=1. \]
Svolgimento
La successione contiene due termini oscillanti, \(\sin n\) e \(\cos n\). Tuttavia entrambi sono limitati, mentre il termine \(n\) cresce indefinitamente. Per questo ci aspettiamo che il rapporto si comporti come
\[ \frac{n}{n}=1. \]
Per dimostrarlo rigorosamente, studiamo la distanza della successione dal candidato limite \(1\):
\[ \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right|. \]
Portiamo a denominatore comune:
\[ \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right| = \left|\frac{n+\sin n-(n+\cos n)}{n+\cos n}\right|. \]
Semplificando il numeratore, otteniamo
\[ \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right| = \left|\frac{\sin n-\cos n}{n+\cos n}\right|. \]
Ora dobbiamo stimare separatamente numeratore e denominatore. Per il numeratore, usando la disuguaglianza triangolare, si ha
\[ |\sin n-\cos n|\le |\sin n|+|\cos n|\le 2. \]
Per il denominatore, poiché \(\cos n\ge -1\), si ha
\[ n+\cos n\ge n-1. \]
In particolare, per \(n\ge 2\), il denominatore è positivo e
\[ |n+\cos n|=n+\cos n\ge n-1. \]
Quindi, per ogni \(n\ge 2\),
\[ 0\le \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right| \le \frac{2}{n-1}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n-1}=0, \]
per il teorema dei carabinieri otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right|=0. \]
Questo significa che la distanza tra la successione data e \(1\) tende a \(0\). Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sin n}{n+\cos n}=1. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}=\frac{2}{3}. \]
Svolgimento
Il termine dominante al numeratore è \(2n\), mentre il termine dominante al denominatore è \(3n\). I termini \((-1)^n\) e \(\sin n\) sono invece limitati. Per questo il candidato limite è
\[ \frac{2n}{3n}=\frac{2}{3}. \]
Per dimostrarlo con il teorema del confronto, consideriamo la distanza della successione dal candidato limite:
\[ \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right|. \]
Portiamo a denominatore comune:
\[ \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{3(2n+(-1)^n)-2(3n+\sin n)}{3(3n+\sin n)}\right|. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ 3(2n+(-1)^n)-2(3n+\sin n) = 6n+3(-1)^n-6n-2\sin n. \]
Quindi
\[ 3(2n+(-1)^n)-2(3n+\sin n) = 3(-1)^n-2\sin n. \]
Otteniamo dunque
\[ \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right| = \frac{|3(-1)^n-2\sin n|}{3|3n+\sin n|}. \]
Stimiamo il numeratore. Per la disuguaglianza triangolare,
\[ |3(-1)^n-2\sin n| \le 3|(-1)^n|+2|\sin n|. \]
Poiché \(|(-1)^n|=1\) e \(|\sin n|\le 1\), segue che
\[ |3(-1)^n-2\sin n|\le 5. \]
Stimiamo ora il denominatore. Poiché \(\sin n\ge -1\), si ha
\[ 3n+\sin n\ge 3n-1. \]
Per ogni \(n\ge 1\), il numero \(3n-1\) è positivo, quindi anche \(3n+\sin n\) è positivo. Di conseguenza
\[ |3n+\sin n|=3n+\sin n\ge 3n-1. \]
Pertanto, per ogni \(n\ge 1\),
\[ 0\le \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right| \le \frac{5}{3(3n-1)}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{5}{3(3n-1)}=0, \]
per il teorema dei carabinieri si ha
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right|=0. \]
Questo significa che la successione data tende a \(\displaystyle \frac{2}{3}\). Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}=\frac{2}{3}. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Studiare il limite della successione
\[ a_n=n+(-1)^n\sqrt{n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n+(-1)^n\sqrt{n}\right)=+\infty. \]
Svolgimento
La successione contiene un termine principale, \(n\), che tende a \(+\infty\), e un termine oscillante, \((-1)^n\sqrt{n}\), che può essere positivo o negativo. Non possiamo quindi dire semplicemente che tutti i termini sono maggiori di \(n\), perché quando \((-1)^n=-1\) il secondo termine sottrae \(\sqrt{n}\).
Per dimostrare che la successione tende comunque a \(+\infty\), dobbiamo trovare una stima dal basso che tenda a \(+\infty\).
Poiché \((-1)^n\ge -1\), moltiplicando per \(\sqrt{n}\ge 0\) otteniamo
\[ (-1)^n\sqrt{n}\ge -\sqrt{n}. \]
Aggiungendo \(n\) a entrambi i membri, segue che
\[ n+(-1)^n\sqrt{n}\ge n-\sqrt{n}. \]
Ora dobbiamo mostrare che \(n-\sqrt{n}\to+\infty\). Per \(n\ge 4\), si ha
\[ \sqrt{n}\le \frac{n}{2}. \]
Infatti, poiché entrambi i membri sono non negativi, possiamo elevare al quadrato e ottenere una disuguaglianza equivalente:
\[ n\le \frac{n^2}{4}. \]
Per \(n>0\), questa equivale a
\[ 4\le n, \]
che è vera per \(n\ge 4\).
Dunque, per \(n\ge 4\),
\[ n-\sqrt{n}\ge n-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{2}=+\infty, \]
anche \(n-\sqrt{n}\to+\infty\). Inoltre abbiamo dimostrato che definitivamente
\[ n+(-1)^n\sqrt{n}\ge n-\sqrt{n}. \]
Per il confronto con successioni divergenti a \(+\infty\), la successione data tende a \(+\infty\). Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n+(-1)^n\sqrt{n}\right)=+\infty. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Studiare il limite della successione
\[ b_n=-n^2+n\sin n. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n^2+n\sin n\right)=-\infty. \]
Svolgimento
La successione contiene il termine \(-n^2\), che tende a \(-\infty\), e il termine \(n\sin n\), che può essere positivo o negativo. Anche se \(n\sin n\) non è limitato, cresce al più come \(n\), mentre \(n^2\) cresce molto più rapidamente.
Per dimostrare rigorosamente che la successione tende a \(-\infty\), dobbiamo trovare una stima dall’alto che tenda a \(-\infty\).
Poiché \(\sin n\le 1\), moltiplicando per \(n\ge 0\) otteniamo
\[ n\sin n\le n. \]
Aggiungendo \(-n^2\) a entrambi i membri, segue che
\[ -n^2+n\sin n\le -n^2+n. \]
Ora mostriamo che la successione maggiorante tende a \(-\infty\). Si ha
\[ -n^2+n=-n(n-1). \]
Per \(n\ge 2\), vale \(n-1\ge \frac{n}{2}\). Infatti
\[ n-1\ge \frac{n}{2} \]
equivale a
\[ \frac{n}{2}\ge 1, \]
cioè \(n\ge 2\). Quindi, per \(n\ge 2\),
\[ n(n-1)\ge \frac{n^2}{2}. \]
Moltiplicando per \(-1\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -n(n-1)\le -\frac{n^2}{2}. \]
Pertanto, per \(n\ge 2\),
\[ -n^2+n\le -\frac{n^2}{2}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{n^2}{2}\right)=-\infty, \]
anche
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n^2+n)=-\infty. \]
Abbiamo quindi trovato una successione che tende a \(-\infty\) e che maggiora definitivamente la successione data:
\[ -n^2+n\sin n\le -n^2+n. \]
Per il confronto con successioni divergenti a \(-\infty\), segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n^2+n\sin n\right)=-\infty. \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right)=0. \]
Svolgimento
L’espressione contiene una differenza tra due quantità entrambe grandi: \(\sqrt{n^2+\sin n}\) e \(n\). A prima vista non è immediato capire il comportamento della differenza. Per questo conviene razionalizzare.
Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato:
\[ \sqrt{n^2+\sin n}-n = \frac{\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+\sin n}+n\right)} {\sqrt{n^2+\sin n}+n}. \]
Al numeratore usiamo la formula
\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2. \]
Con
\[ A=\sqrt{n^2+\sin n} \qquad\text{e}\qquad B=n, \]
otteniamo
\[ \left(\sqrt{n^2+\sin n}\right)^2-n^2 = n^2+\sin n-n^2 = \sin n. \]
Quindi
\[ \sqrt{n^2+\sin n}-n = \frac{\sin n}{\sqrt{n^2+\sin n}+n}. \]
Ora stimiamo il valore assoluto:
\[ \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right| = \left|\frac{\sin n}{\sqrt{n^2+\sin n}+n}\right|. \]
Poiché \(|\sin n|\le 1\), abbiamo
\[ \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right| \le \frac{1}{\sqrt{n^2+\sin n}+n}. \]
Dobbiamo ora minorare il denominatore. Poiché \(\sin n\ge -1\), si ha
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
Per \(n\ge 1\), i due membri sono non negativi, quindi, applicando la radice quadrata,
\[ \sqrt{n^2+\sin n}\ge \sqrt{n^2-1}. \]
Pertanto
\[ \sqrt{n^2+\sin n}+n \ge \sqrt{n^2-1}+n. \]
In particolare, poiché \(\sqrt{n^2-1}\ge 0\), per \(n\ge 1\) si ha
\[ \sqrt{n^2+\sin n}+n\ge n. \]
Quindi
\[ 0\le \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right| \le \frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
per il teorema dei carabinieri segue che
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right|=0. \]
Se la distanza della successione da \(0\) tende a \(0\), allora la successione stessa tende a \(0\). Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right)=0. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)=\frac{1}{2}. \]
Svolgimento
L’espressione contiene una differenza tra due quantità che tendono entrambe a \(1\):
\[ \sqrt{1+\frac{1}{n}} \qquad\text{e}\qquad 1. \]
Per evitare una forma poco leggibile, razionalizziamo la differenza. Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato:
\[ n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right) = n\cdot \frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)} {\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}. \]
Al numeratore usiamo la formula
\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2. \]
Con
\[ A=\sqrt{1+\frac{1}{n}} \qquad\text{e}\qquad B=1, \]
otteniamo
\[ \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)^2-1 = 1+\frac{1}{n}-1 = \frac{1}{n}. \]
Quindi
\[ n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right) = n\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}. \]
Semplificando \(n\) con \(\displaystyle \frac{1}{n}\), si ottiene
\[ n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right) = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}. \]
Ora costruiamo una stima. Poiché \(\displaystyle \frac{1}{n}\ge 0\), si ha
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
Inoltre, per ogni \(x\ge 0\), vale
\[ \sqrt{1+x}\le 1+x. \]
Applicando questa disuguaglianza con \(\displaystyle x=\frac{1}{n}\), otteniamo
\[ \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Dunque
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Aggiungendo \(1\) a tutti i membri,
\[ 2\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\le 2+\frac{1}{n}. \]
Tutti i membri sono positivi. Passando ai reciproci, il verso delle disuguaglianze si inverte:
\[ \frac{1}{2+\frac{1}{n}} \le \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \le \frac{1}{2}. \]
Le due successioni esterne tendono entrambe a \(\displaystyle \frac{1}{2}\), infatti
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2} \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \]
Per il teorema dei carabinieri,
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}. \]
Poiché la successione iniziale coincide con questa espressione, concludiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)=\frac{1}{2}. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^3+(-1)^n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^3+(-1)^n}=0. \]
Svolgimento
Il denominatore contiene il termine dominante \(n^3\) e il termine oscillante \((-1)^n\). Poiché \((-1)^n\) assume solo i valori \(1\) e \(-1\), il suo effetto è trascurabile rispetto a \(n^3\).
Per applicare il teorema del confronto, dobbiamo stimare la successione in valore assoluto. Per ogni \(n\), si ha
\[ (-1)^n\ge -1. \]
Quindi
\[ n^3+(-1)^n\ge n^3-1. \]
Per \(n\ge 2\), abbiamo
\[ n^3-1\ge \frac{n^3}{2}. \]
Infatti questa disuguaglianza equivale a
\[ \frac{n^3}{2}\ge 1, \]
che è vera per \(n\ge 2\). Dunque, per \(n\ge 2\),
\[ n^3+(-1)^n\ge \frac{n^3}{2}. \]
In particolare il denominatore è positivo definitivamente. Pertanto, per \(n\ge 2\),
\[ 0\le \frac{n^2}{n^3+(-1)^n} \le \frac{n^2}{\frac{n^3}{2}}. \]
Semplificando il termine a destra,
\[ \frac{n^2}{\frac{n^3}{2}} = \frac{2n^2}{n^3} = \frac{2}{n}. \]
Abbiamo quindi
\[ 0\le \frac{n^2}{n^3+(-1)^n}\le \frac{2}{n} \]
definitivamente. Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n}=0, \]
per il teorema dei carabinieri segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^3+(-1)^n}=0. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Studiare il limite della successione
\[ a_n=n^2+n(-1)^n. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+n(-1)^n\right)=+\infty. \]
Svolgimento
La successione contiene un termine principale \(n^2\), che tende a \(+\infty\), e un termine oscillante \(n(-1)^n\), che può essere uguale a \(n\) oppure a \(-n\). Il caso più sfavorevole, per dimostrare la divergenza a \(+\infty\), si ha quando il termine oscillante è negativo.
Poiché
\[ (-1)^n\ge -1, \]
moltiplicando per \(n\ge 0\) otteniamo
\[ n(-1)^n\ge -n. \]
Aggiungendo \(n^2\) a entrambi i membri,
\[ n^2+n(-1)^n\ge n^2-n. \]
Ora mostriamo che la successione \(n^2-n\) tende a \(+\infty\). Si ha
\[ n^2-n=n(n-1). \]
Per \(n\ge 2\), vale
\[ n-1\ge \frac{n}{2}. \]
Quindi, per \(n\ge 2\),
\[ n(n-1)\ge \frac{n^2}{2}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{2}=+\infty, \]
anche \(n^2-n\to+\infty\). Abbiamo quindi trovato una stima dal basso:
\[ n^2+n(-1)^n\ge n^2-n, \]
dove la successione a destra tende a \(+\infty\).
Per il confronto con successioni divergenti a \(+\infty\), concludiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+n(-1)^n\right)=+\infty. \]
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Calcolare il limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2}=1. \]
Svolgimento
Il termine principale dentro la radice è \(n^4\), mentre \(n^2\sin n\) è un termine oscillante di ordine inferiore. Ci aspettiamo quindi che la radice si comporti come
\[ \sqrt{n^4}=n^2. \]
Per dimostrarlo rigorosamente, partiamo dalla stima
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Moltiplicando tutti i membri per \(n^2\), che è non negativo, otteniamo
\[ -n^2\le n^2\sin n\le n^2. \]
Aggiungendo \(n^4\) a tutti i membri,
\[ n^4-n^2\le n^4+n^2\sin n\le n^4+n^2. \]
Per \(n\ge 1\), i tre membri sono non negativi. Poiché la funzione radice quadrata è crescente sui numeri reali non negativi, possiamo applicare la radice quadrata a tutti i membri:
\[ \sqrt{n^4-n^2} \le \sqrt{n^4+n^2\sin n} \le \sqrt{n^4+n^2}. \]
Dividiamo ora per \(n^2\), che è positivo per \(n\ge 1\):
\[ \frac{\sqrt{n^4-n^2}}{n^2} \le \frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2} \le \frac{\sqrt{n^4+n^2}}{n^2}. \]
Riscriviamo le successioni esterne:
\[ \frac{\sqrt{n^4-n^2}}{n^2} = \sqrt{\frac{n^4-n^2}{n^4}} = \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}, \]
e
\[ \frac{\sqrt{n^4+n^2}}{n^2} = \sqrt{\frac{n^4+n^2}{n^4}} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Dunque
\[ \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \le \frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2} \le \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Le due successioni esterne tendono entrambe a \(1\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1. \]
Per il teorema dei carabinieri, anche la successione intermedia tende a \(1\). Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2}=1. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Stabilire se dal solo fatto che una successione \((b_n)\) soddisfi definitivamente
\[ 0\le b_n\le 1 \]
si possa concludere che \((b_n)\) sia convergente.
Risultato
No. Dal solo fatto che \(0\le b_n\le 1\) definitivamente non si può concludere che \((b_n)\) sia convergente.
Svolgimento
Il teorema dei carabinieri permette di concludere la convergenza di una successione intermedia quando essa è compresa definitivamente tra due successioni che tendono allo stesso limite. Qui, invece, sappiamo soltanto che
\[ 0\le b_n\le 1 \]
definitivamente. Le due successioni esterne sono le successioni costanti \(0\) e \(1\), che hanno limiti diversi:
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}1=1. \]
Poiché i due limiti esterni non coincidono, il teorema dei carabinieri non è applicabile. La disuguaglianza dice soltanto che i termini di \((b_n)\) restano nell’intervallo \([0,1]\), ma questo non basta per garantire l’esistenza del limite.
Per mostrare che non si può concludere la convergenza, basta fornire un controesempio. Consideriamo la successione
\[ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Se \(n\) è pari, allora \((-1)^n=1\), quindi
\[ b_n=\frac{1+1}{2}=1. \]
Se \(n\) è dispari, allora \((-1)^n=-1\), quindi
\[ b_n=\frac{1-1}{2}=0. \]
Dunque la successione assume alternativamente i valori \(1\) e \(0\). In particolare, per ogni \(n\),
\[ 0\le b_n\le 1. \]
Tuttavia \((b_n)\) non converge. Infatti una sottosuccessione dei suoi termini vale sempre \(1\), mentre un’altra sottosuccessione dei suoi termini vale sempre \(0\). Più precisamente,
\[ b_{2k}=1 \qquad\text{e}\qquad b_{2k+1}=0. \]
La sottosuccessione \((b_{2k})\) tende a \(1\), mentre la sottosuccessione \((b_{2k+1})\) tende a \(0\). Poiché una successione convergente non può avere due sottosuccessioni con limiti diversi, \((b_n)\) non è convergente.
Quindi dal solo fatto che una successione sia compresa definitivamente tra \(0\) e \(1\) non si può concludere che essa sia convergente. Per applicare il teorema dei carabinieri è indispensabile che le due successioni esterne tendano allo stesso limite.