Il teorema dei seni collega le lunghezze dei lati di un triangolo ai seni degli angoli opposti. Permette di risolvere triangoli non necessariamente rettangoli ed esprime un legame diretto con la circonferenza circoscritta: il rapporto fra ciascun lato e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro di questa circonferenza.
Il teorema è particolarmente utile quando sono noti due angoli e un lato, oppure due lati e un angolo opposto a uno di essi. Quest’ultima configurazione richiede attenzione: gli stessi dati possono determinare due triangoli diversi, uno solo oppure nessuno. Si parla per questo di caso ambiguo.
Consideriamo triangoli non degeneri e usiamo angoli espressi in gradi. Indichiamo con \(a,b,c\) le lunghezze dei lati opposti rispettivamente agli angoli \(\alpha,\beta,\gamma\), e con \(R\) il raggio della circonferenza circoscritta.
Indice
- Enunciato e corrispondenza fra lati e angoli
- Dimostrazione mediante il teorema della corda
- Circonferenza circoscritta e significato di \(2R\)
- Due angoli e un lato noti
- Due lati e un angolo opposto: il caso ambiguo
- Classificazione geometrica del caso ambiguo
- Esempio completo con due triangoli
- Scelta del metodo ed errori comuni
Enunciato e corrispondenza fra lati e angoli
Consideriamo un triangolo \(ABC\), indichiamo con \(\mathcal O\) il centro della sua circonferenza circoscritta e poniamo
\[ a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB, \] \[ \alpha=\widehat A,\qquad \beta=\widehat B,\qquad \gamma=\widehat C. \]
Poiché il triangolo è non degenere, valgono
\[ a,b,c>0, \] \[ 0^\circ<\alpha,\beta,\gamma<180^\circ, \qquad \alpha+\beta+\gamma=180^\circ. \]
Teorema dei seni. In ogni triangolo, il rapporto fra la lunghezza di un lato e il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R. \]
Il teorema si può anche scrivere nella forma reciproca
\[ \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c} = \frac{1}{2R}. \]
La corrispondenza fra lato e angolo è essenziale: \(a\) va associato ad \(\alpha\), \(b\) a \(\beta\), \(c\) a \(\gamma\). Si usano sempre lati e angoli opposti.
Confrontando due rapporti, per esempio, si ottiene
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}, \]
da cui
\[ a\sin\beta=b\sin\alpha. \]
Questa relazione permette di ricavare un lato oppure il seno di un angolo, a seconda dei dati disponibili.
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Dimostrazione mediante il teorema della corda
Ogni triangolo non degenere possiede un’unica circonferenza passante per i suoi tre vertici, detta circonferenza circoscritta.
Il lato \(BC=a\) è una corda di questa circonferenza ed è sotteso dall’angolo alla circonferenza \(\alpha=\widehat{BAC}\). Per il teorema della corda,
\[ a=2R\sin\alpha. \]
Applicando lo stesso ragionamento agli altri due lati, otteniamo
\[ b=2R\sin\beta, \qquad c=2R\sin\gamma. \]
I seni degli angoli interni sono positivi. Possiamo quindi dividere ciascuna uguaglianza per il seno corrispondente:
\[ \frac{a}{\sin\alpha}=2R, \qquad \frac{b}{\sin\beta}=2R, \qquad \frac{c}{\sin\gamma}=2R. \]
Ne segue
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R. \]
La dimostrazione vale per triangoli acutangoli, rettangoli e ottusangoli, perché il teorema della corda vale per qualsiasi angolo alla circonferenza che sottende una corda.
Circonferenza circoscritta e significato di \(2R\)
Il valore comune dei rapporti non dipende dal lato scelto: è il diametro della circonferenza circoscritta. Pertanto, conoscendo un lato e l’angolo opposto, si può calcolare direttamente il raggio:
\[ R=\frac{a}{2\sin\alpha} =\frac{b}{2\sin\beta} =\frac{c}{2\sin\gamma}. \]
Il centro della circonferenza circoscritta, chiamato circocentro, è l’intersezione degli assi dei lati. La sua posizione dipende dal triangolo:
- è interno se il triangolo è acutangolo;
- è il punto medio dell’ipotenusa se il triangolo è rettangolo;
- è esterno se il triangolo è ottusangolo.
Queste diverse posizioni non modificano il teorema dei seni.
Esempio 1. Calcolo del raggio
Un triangolo ha un lato \(a=9\,\mathrm{cm}\) opposto a un angolo \(\alpha=30^\circ\). Il raggio della circonferenza circoscritta è
\[ R=\frac{9}{2\sin30^\circ} =\frac{9}{2\cdot\frac12} =9\,\mathrm{cm}. \]
Il diametro misura quindi \(18\,\mathrm{cm}\).
Il caso del triangolo rettangolo
Se \(\gamma=90^\circ\), il lato \(c\) è l’ipotenusa. Dal teorema segue
\[ \frac{c}{\sin90^\circ}=2R, \]
quindi
\[ c=2R. \]
L’ipotenusa è dunque un diametro della circonferenza circoscritta, in accordo con la proprietà secondo cui ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.
Due angoli e un lato noti
Se sono noti due angoli, il terzo si ricava dalla somma degli angoli interni. Conoscendo anche un lato, il teorema dei seni determina gli altri due.
Per esempio, se sono assegnati \(a\), \(\alpha\) e \(\beta\), bisogna verificare
\[ \alpha>0^\circ,\qquad \beta>0^\circ,\qquad \alpha+\beta<180^\circ. \]
Si calcola poi
\[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta, \]
e si usano le formule
\[ b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}, \qquad c=\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}. \]
Se i dati sono ammissibili e \(a>0\), il triangolo è determinato univocamente a meno di congruenze.
Esempio 2. Un lato e due angoli
Siano
\[ a=6\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=30^\circ, \qquad \beta=45^\circ. \]
Il terzo angolo misura
\[ \gamma=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ. \]
Il rapporto comune vale
\[ \frac{a}{\sin\alpha} =\frac{6}{1/2} =12\,\mathrm{cm}. \]
Pertanto
\[ b=12\sin45^\circ =6\sqrt2\,\mathrm{cm}, \] \[ c=12\sin105^\circ =3(\sqrt6+\sqrt2)\,\mathrm{cm}. \]
Il raggio della circonferenza circoscritta è
\[ R=6\,\mathrm{cm}. \]
Il lato \(c\), opposto all’angolo ottuso di \(105^\circ\), è il maggiore dei tre, come deve essere.
Due lati e un angolo opposto: il caso ambiguo
Supponiamo di conoscere \(a\), \(b\) e l’angolo \(\alpha\) opposto al lato \(a\). L’angolo assegnato non è quello compreso fra i due lati noti.
Dal teorema dei seni si ricava
\[ \sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}. \]
Poniamo
\[ q=\frac{b\sin\alpha}{a}. \]
Poiché \(a,b>0\) e \(0^\circ<\alpha<180^\circ\), si ha \(q>0\). Si distinguono i seguenti casi.
Se \(q>1\)
Non esiste alcun angolo reale con seno maggiore di \(1\). I dati non determinano alcun triangolo.
Se \(q=1\)
L’unica possibilità è \(\beta=90^\circ\). Bisogna comunque verificare che
\[ \alpha+90^\circ<180^\circ. \]
Esiste quindi un triangolo soltanto se \(\alpha\) è acuto.
Se \(0<q<1\)
Posto
\[ \beta_1=\arcsin q, \qquad 0^\circ<\beta_1<90^\circ, \]
l’equazione \(\sin\beta=q\), per un angolo interno, ammette due candidati:
\[ \beta_1 \quad\text{e}\quad \beta_2=180^\circ-\beta_1. \]
Non tutti i candidati determinano necessariamente un triangolo. Per ciascuno bisogna calcolare
\[ \gamma_i=180^\circ-\alpha-\beta_i \]
e conservare soltanto i casi in cui \(\gamma_i>0^\circ\).
Infine, per ogni triangolo ammissibile, si ricava
\[ c_i=\frac{a\sin\gamma_i}{\sin\alpha}. \]
Il caso ambiguo nasce dal fatto che un angolo acuto e il suo supplementare hanno lo stesso seno. L’arcoseno restituisce soltanto il candidato acuto: la seconda possibilità va esaminata separatamente.
Classificazione geometrica del caso ambiguo
La presenza di zero, uno o due triangoli può essere interpretata geometricamente. Fissiamo l’angolo \(\alpha\) nel vertice \(A\) e il segmento \(AC=b\). Il vertice \(B\) deve appartenere alla semiretta che forma l’angolo \(\alpha\) con \(AC\) e deve distare \(a\) da \(C\).
Si cercano quindi le intersezioni fra questa semiretta e la circonferenza di centro \(C\) e raggio \(a\), escludendo l’eventuale punto \(A\), che darebbe un triangolo degenere. Quando esistono due intersezioni ammissibili, le indichiamo con \(B_1\) e \(B_2\): esse determinano i due triangoli \(AB_1C\) e \(AB_2C\).
Angolo assegnato acuto
Supponiamo \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) e poniamo
\[ h=b\sin\alpha. \]
Indichiamo con \(H\) il piede della perpendicolare condotta da \(C\) alla retta contenente la semiretta sulla quale cerchiamo \(B\). Il segmento \(CH\) ha lunghezza \(h=b\sin\alpha\) e rappresenta l’altezza relativa alla base di ciascun triangolo ammissibile.
| Condizione | Numero di triangoli | Interpretazione |
|---|---|---|
| \(a<h\) | Nessuno | La circonferenza di centro \(C\) e raggio \(a\) non raggiunge la retta. |
| \(a=h\) | Uno | La circonferenza è tangente alla retta; l’angolo \(\beta\) è retto. |
| \(h<a<b\) | Due | Entrambe le intersezioni appartengono alla semiretta e sono distinte da \(A\). |
| \(a\ge b\) | Uno | Una sola intersezione della semiretta dà un triangolo non degenere. |
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Quando \(a=b\), una delle intersezioni è \(A\) e va esclusa. L’altra determina un triangolo isoscele con \(\beta=\alpha\).
Angolo assegnato retto oppure ottuso
Se \(90^\circ\le\alpha<180^\circ\), il lato \(a\), opposto all’angolo assegnato, deve essere strettamente maggiore del lato \(b\). In questo caso:
- se \(a>b\), esiste un solo triangolo;
- se \(a\le b\), non esiste alcun triangolo non degenere.
Nel caso \(\alpha=90^\circ\), questa condizione esprime semplicemente che l’ipotenusa deve essere maggiore di ciascun cateto.
Esempio completo con due triangoli
Risolviamo i triangoli aventi
\[ a=7\,\mathrm{cm}, \qquad b=10\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=30^\circ. \]
Verifica preliminare
Poiché \(\alpha\) è acuto, calcoliamo
\[ h=b\sin\alpha =10\cdot\frac12 =5\,\mathrm{cm}. \]
Si ha
\[ h<a<b, \]
cioè \(5<7<10\). Esistono quindi due triangoli.
Calcolo dei due angoli \(\beta\)
Dal teorema dei seni,
\[ \sin\beta =\frac{b\sin\alpha}{a} =\frac{10\cdot\frac12}{7} =\frac57. \]
Il primo candidato è
\[ \beta_1=\arcsin\left(\frac57\right) \approx45{,}58^\circ. \]
Il secondo è il suo supplementare:
\[ \beta_2=180^\circ-\beta_1 \approx134{,}42^\circ. \]
Entrambi sono ammissibili perché, sommati ad \(\alpha=30^\circ\), danno un valore minore di \(180^\circ\).
Primo triangolo
Usando il candidato acuto, otteniamo
\[ \gamma_1=180^\circ-30^\circ-\beta_1 \approx104{,}42^\circ. \]
Il terzo lato misura
\[ c_1=\frac{7\sin\gamma_1}{\sin30^\circ} =14\sin\gamma_1 \approx13{,}56\,\mathrm{cm}. \]
Secondo triangolo
Usando il candidato ottuso, otteniamo
\[ \gamma_2=180^\circ-30^\circ-\beta_2 \approx15{,}58^\circ. \]
Il terzo lato misura
\[ c_2=\frac{7\sin\gamma_2}{\sin30^\circ} =14\sin\gamma_2 \approx3{,}76\,\mathrm{cm}. \]
I calcoli dei lati vanno eseguiti usando i valori degli angoli non arrotondati.
| Grandezza | Primo triangolo | Secondo triangolo |
|---|---|---|
| \(a\) | \(7\,\mathrm{cm}\) | \(7\,\mathrm{cm}\) |
| \(b\) | \(10\,\mathrm{cm}\) | \(10\,\mathrm{cm}\) |
| \(c\) | \(\approx13{,}56\,\mathrm{cm}\) | \(\approx3{,}76\,\mathrm{cm}\) |
| \(\alpha\) | \(30^\circ\) | \(30^\circ\) |
| \(\beta\) | \(\approx45{,}58^\circ\) | \(\approx134{,}42^\circ\) |
| \(\gamma\) | \(\approx104{,}42^\circ\) | \(\approx15{,}58^\circ\) |
Raggio della circonferenza circoscritta
I due triangoli hanno lo stesso lato \(a\) e lo stesso angolo opposto \(\alpha\). Quindi hanno anche lo stesso raggio della circonferenza circoscritta:
\[ R=\frac{7}{2\sin30^\circ} =7\,\mathrm{cm}. \]
Avere lo stesso raggio circoscritto non significa però che i due triangoli siano congruenti: il terzo lato e gli altri angoli sono diversi.
Scelta del metodo ed errori comuni
Il teorema dei seni è particolarmente efficace quando è disponibile almeno una coppia costituita da un lato e dal suo angolo opposto.
| Dati disponibili | Procedimento |
|---|---|
| Due angoli e un lato | Calcolare il terzo angolo e applicare il teorema dei seni per ricavare i lati mancanti. |
| Due lati e un angolo opposto a uno di essi | Calcolare il seno dell’altro angolo e discutere il caso ambiguo. |
| Due lati e l’angolo compreso | In genere conviene iniziare con il teorema del coseno per determinare il terzo lato. |
| Tre lati | In genere si usa il teorema del coseno per determinare un primo angolo. |
Errori da evitare
| Errore | Correzione |
|---|---|
| Associare un lato a un angolo adiacente. | Ogni rapporto deve contenere un lato e il seno dell’angolo opposto. |
| Confondere il rapporto comune con il raggio. | Il rapporto comune è \(2R\), cioè il diametro. |
| Accettare un valore del seno maggiore di \(1\). | Un valore del genere indica che i dati non determinano un triangolo. |
| Conservare soltanto il valore restituito dall’arcoseno. | Esaminare anche l’angolo supplementare quando si affronta il caso ambiguo. |
| Accettare automaticamente entrambi gli angoli candidati. | Verificare per ciascuno che il terzo angolo sia strettamente positivo. |
| Considerare valido un triangolo con un angolo nullo. | La somma dei due angoli già determinati deve essere minore di \(180^\circ\), non uguale. |
| Usare la classificazione con \(h=b\sin\alpha\) senza distinguere l’ampiezza di \(\alpha\). | Applicare la tabella dei quattro casi soltanto quando \(\alpha\) è acuto. |
| Arrotondare subito gli angoli e riutilizzarli nei calcoli. | Mantenere la precisione disponibile e arrotondare soltanto i risultati finali. |
| Calcolare angoli in gradi con la calcolatrice in modalità RAD. | Impostare la modalità DEG. |
Il teorema dei seni unisce la risoluzione dei triangoli alla geometria della circonferenza circoscritta. Nei problemi con due lati e un angolo opposto, il controllo degli angoli supplementari e della somma degli angoli interni è parte essenziale della soluzione.