In questa pagina studieremo le sottosuccessioni, cioè successioni ottenute estraendo alcuni termini da una successione data, senza alterare l'ordine con cui essi compaiono.
Il concetto di sottosuccessione è fondamentale nello studio delle successioni numeriche, perché permette di analizzare il comportamento di una successione osservandone solo una parte dei termini. In particolare, le sottosuccessioni sono molto utili per studiare la convergenza, la divergenza e le oscillazioni di una successione.
In tutto l'articolo considereremo successioni reali, cioè successioni del tipo
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
e indicheremo i loro termini con \(a_n\), al variare di \(n\in\mathbb{N}\).
In tutto il testo assumiamo che \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Indice
- Definizione di sottosuccessione
- Interpretazione intuitiva
- Esempi di sottosuccessioni
- Come riconoscere una sottosuccessione
- Ogni sottosuccessione di una successione convergente converge allo stesso limite
- Sottosuccessioni e non convergenza
- Sottosuccessioni di successioni divergenti
Definizione di sottosuccessione
Sia \((a_n)\) una successione reale. Una sottosuccessione di \((a_n)\) è una successione ottenuta scegliendo una successione strettamente crescente di indici naturali
\[ k_0<k_1<k_2<\dots \]
e considerando i termini corrispondenti della successione iniziale:
\[ a_{k_0},a_{k_1},a_{k_2},\dots \]
In simboli, una sottosuccessione di \((a_n)\) si indica spesso con
\[ (a_{k_n}), \]
dove \((k_n)\) è una successione di numeri naturali tale che
\[ k_n<k_{n+1} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
La condizione \(k_n<k_{n+1}\) è essenziale: significa che gli indici scelti devono crescere strettamente. In questo modo i termini vengono estratti dalla successione originaria rispettando il loro ordine naturale.
Definizione equivalente
Una sottosuccessione di \((a_n)\) può essere definita anche tramite una funzione
\[ \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \]
strettamente crescente. In questo caso la sottosuccessione è
\[ (a_{\varphi(n)}). \]
Le due definizioni sono equivalenti: basta porre
\[ k_n=\varphi(n). \]
In entrambi i casi, il punto fondamentale è che gli indici devono aumentare strettamente.
Attenzione. Una sottosuccessione non è una successione formata scegliendo termini a caso. È necessario che i termini scelti rispettino l'ordine con cui compaiono nella successione di partenza.
Ad esempio, se consideriamo i termini
\[ a_5,a_2,a_8, \]
questi non possono formare l'inizio di una sottosuccessione, perché gli indici non sono in ordine crescente.
Invece i termini
\[ a_2,a_5,a_8 \]
possono formare l'inizio di una sottosuccessione, perché gli indici \(2,5,8\) sono strettamente crescenti.
Interpretazione intuitiva
Una sottosuccessione si ottiene eliminando alcuni termini della successione originaria e conservando quelli rimanenti nello stesso ordine.
Per esempio, data una successione
\[ a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots, \]
possiamo scegliere soltanto i termini di indice pari:
\[ a_0,a_2,a_4,a_6,\dots \]
Questa è una sottosuccessione della successione iniziale.
Possiamo anche scegliere soltanto i termini di indice dispari:
\[ a_1,a_3,a_5,a_7,\dots \]
Anche questa è una sottosuccessione.
In generale, una sottosuccessione osserva la successione di partenza lungo una successione crescente di indici.
Proprietà degli indici di una sottosuccessione
Se \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di numeri naturali, allora
\[ k_n\ge n \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dimostrazione. Poiché \(k_0\in\mathbb{N}\), si ha
\[ k_0\ge 0. \]
Inoltre, poiché \((k_n)\) è strettamente crescente e assume valori naturali, da \(k_n<k_{n+1}\) segue
\[ k_{n+1}\ge k_n+1. \]
Dimostriamo per induzione che \(k_n\ge n\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Per \(n=0\), abbiamo già osservato che \(k_0\ge 0\). Supponiamo ora che \(k_n\ge n\). Allora
\[ k_{n+1}\ge k_n+1\ge n+1. \]
Quindi, per il principio di induzione,
\[ k_n\ge n \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Questa proprietà mostra che gli indici di una sottosuccessione tendono necessariamente all'infinito.
Esempi di sottosuccessioni
Vediamo alcuni esempi fondamentali.
Esempio 1. Consideriamo la successione
\[ a_n=n. \]
Se scegliamo gli indici pari, cioè
\[ k_n=2n, \]
otteniamo la sottosuccessione
\[ a_{k_n}=a_{2n}=2n. \]
Quindi
\[ (a_{2n})=(0,2,4,6,\dots). \]
Questa è una sottosuccessione di \((a_n)\), perché gli indici
\[ 0,2,4,6,\dots \]
sono strettamente crescenti.
Esempio 2. Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
Se scegliamo gli indici pari \(k_n=2n\), otteniamo
\[ a_{k_n}=a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Dunque la sottosuccessione dei termini di indice pari è
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Se invece scegliamo gli indici dispari \(k_n=2n+1\), otteniamo
\[ a_{k_n}=a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Dunque la sottosuccessione dei termini di indice dispari è
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Questo esempio è molto importante: la successione \(((-1)^n)\) non converge, ma possiede sottosuccessioni convergenti.
Esempio 3. Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Se scegliamo gli indici
\[ k_n=n^2, \]
otteniamo
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Quindi \(\left(\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\right)\) è una sottosuccessione di \(\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\).
Gli indici scelti sono
\[ 0,1,4,9,16,\dots \]
e formano una successione strettamente crescente. Infatti
\[ 0<1<4<9<16<\dots. \]
Dunque la successione \((a_{n^2})\) è effettivamente una sottosuccessione di \((a_n)\).
Come riconoscere una sottosuccessione
Per stabilire se una successione \((b_n)\) è una sottosuccessione di una successione \((a_n)\), bisogna verificare se esiste una successione strettamente crescente di indici naturali \((k_n)\) tale che
\[ b_n=a_{k_n} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Esempio. Consideriamo la successione
\[ a_n=n^2. \]
La successione
\[ b_n=(n+1)^2 \]
è una sottosuccessione di \((a_n)\). Infatti basta scegliere
\[ k_n=n+1. \]
Allora
\[ a_{k_n}=a_{n+1}=(n+1)^2=b_n. \]
Poiché \(k_n=n+1\) è strettamente crescente, \((b_n)\) è una sottosuccessione di \((a_n)\).
Controesempio. Consideriamo ancora la successione
\[ a_n=n. \]
La successione
\[ b_n=-n \]
non è una sottosuccessione di \((a_n)\), perché tutti i termini di \((a_n)\) sono numeri naturali, mentre \(b_n\) assume valori negativi per \(n\ge 1\).
Dunque non può esistere una successione di indici naturali \((k_n)\) tale che
\[ b_n=a_{k_n} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Attenzione. Non basta che i termini di \((b_n)\) appartengano all'insieme dei valori assunti da \((a_n)\). È necessario che compaiano nell'ordine corretto e che possano essere associati a una successione strettamente crescente di indici.
Per esempio, consideriamo
\[ a_n=(-1)^n. \]
La successione costante \(b_n=1\) è una sottosuccessione di \((a_n)\), perché si ottiene scegliendo gli indici pari.
Invece la successione
\[ 1,-1,1,-1,\dots \]
è la successione stessa, cioè la sottosuccessione banale ottenuta scegliendo \(k_n=n\).
Ogni sottosuccessione di una successione convergente converge allo stesso limite
Il risultato più importante sulle sottosuccessioni è il seguente.
Teorema. Se una successione reale \((a_n)\) converge a un numero reale \(\ell\), allora ogni sua sottosuccessione \((a_{k_n})\) converge allo stesso limite \(\ell\).
Dimostrazione. Supponiamo che
\[ a_n\to \ell. \]
Sia \((a_{k_n})\) una sottosuccessione di \((a_n)\), con \((k_n)\) strettamente crescente.
Per definizione di limite, per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Poiché \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di numeri naturali, si ha
\[ k_n\ge n \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dunque, se \(n\ge N\), allora
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Applicando la definizione di limite all'indice \(k_n\), otteniamo
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Questo vale per ogni \(n\ge N\). Quindi
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Abbiamo così dimostrato che ogni sottosuccessione di una successione convergente converge allo stesso limite della successione originaria.
Conseguenza
Se una successione possiede due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi, allora la successione di partenza non converge.
Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che \((a_n)\) converga a un numero reale \(\ell\).
Allora, per il teorema appena dimostrato, ogni sottosuccessione di \((a_n)\) dovrebbe convergere a \(\ell\).
Se però esistono due sottosuccessioni che convergono a due limiti diversi, otteniamo una contraddizione.
Dunque la successione \((a_n)\) non può convergere.
Sottosuccessioni e non convergenza
Le sottosuccessioni forniscono un metodo molto efficace per dimostrare che una successione non converge.
L'idea è semplice: se riusciamo a trovare due sottosuccessioni della stessa successione che convergono a limiti diversi, allora la successione originaria non può avere limite.
Esempio fondamentale
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
La sottosuccessione degli indici pari è
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Quindi
\[ a_{2n}\to 1. \]
La sottosuccessione degli indici dispari è
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Quindi
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Abbiamo trovato due sottosuccessioni della stessa successione che convergono a due limiti diversi:
\[ 1\ne -1. \]
Pertanto la successione \(((-1)^n)\) non converge.
Altro esempio
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Per gli indici pari si ha
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}=\frac{1+1}{2}=1. \]
Per gli indici dispari si ha
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}=\frac{1-1}{2}=0. \]
Quindi
\[ a_{2n}\to 1 \]
mentre
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Poiché le due sottosuccessioni convergono a limiti diversi, la successione \((a_n)\) non converge.
Attenzione. Trovare una sottosuccessione convergente non basta per concludere che la successione di partenza converge.
Ad esempio, la successione \(((-1)^n)\) possiede la sottosuccessione costante
\[ a_{2n}=1, \]
che converge a \(1\). Tuttavia la successione \(((-1)^n)\) non converge.
Per dimostrare la convergenza della successione originaria non basta controllare una sola sottosuccessione: occorre controllare il comportamento di tutti i termini, eventualmente attraverso criteri adeguati.
Sottosuccessioni di successioni divergenti
Anche per le successioni divergenti all'infinito esiste un importante legame con le sottosuccessioni.
Teorema. Se \(a_n\to+\infty\), allora ogni sottosuccessione \((a_{k_n})\) diverge a \(+\infty\).
Dimostrazione. Supponiamo che \(a_n\to+\infty\).
Per definizione, per ogni \(M\in\mathbb{R}\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ a_n>M. \]
Sia \((a_{k_n})\) una sottosuccessione di \((a_n)\). Poiché \(k_n\ge n\), se \(n\ge N\), allora
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Dunque
\[ a_{k_n}>M. \]
Questo vale per ogni \(n\ge N\). Quindi
\[ a_{k_n}\to +\infty. \]
Caso \(a_n\to -\infty\)
In modo analogo, se
\[ a_n\to -\infty, \]
allora ogni sottosuccessione \((a_{k_n})\) diverge a \(-\infty\).
Infatti, per ogni \(m\in\mathbb{R}\), da \(a_n\to -\infty\) segue che esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ a_n<m. \]
Se \(n\ge N\), allora \(k_n\ge n\ge N\), e quindi
\[ a_{k_n}<m. \]
Pertanto
\[ a_{k_n}\to -\infty. \]
Conclusione
Le sottosuccessioni sono uno strumento fondamentale per studiare il comportamento asintotico di una successione, perché permettono di isolare parti significative della successione senza alterare l'ordine dei termini.
Riassumendo, una sottosuccessione di \((a_n)\) è una successione del tipo
\[ (a_{k_n}), \]
dove \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di numeri naturali.
Se una successione converge a un limite reale \(\ell\), allora ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite \(\ell\). Di conseguenza, se una successione possiede due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi, allora la successione non converge.
Viceversa, l’esistenza di una sottosuccessione convergente non implica che la successione di partenza converga, come mostra l’esempio della successione \(((-1)^n)\).
Le sottosuccessioni sono quindi fondamentali sia per riconoscere il comportamento locale di una successione, sia per dimostrare in modo rigoroso la mancata convergenza.