La risoluzione di un triangolo rettangolo consiste nel determinare le misure dei lati e degli angoli a partire da un insieme sufficiente di dati. Le funzioni goniometriche permettono di collegare gli angoli acuti ai rapporti fra i lati e di ricavare le misure incognite mediante seno, coseno e tangente.
Per risolvere completamente un triangolo rettangolo è sufficiente conoscere due lati, oppure un lato e un angolo acuto. Conoscere soltanto gli angoli, invece, determina la forma del triangolo ma non le sue dimensioni: triangoli simili possono avere gli stessi angoli e lati di lunghezze diverse.
In questa pagina usiamo le lettere maiuscole per i vertici, le corrispondenti minuscole per le lunghezze dei lati opposti e gli angoli espressi in gradi. Quando i risultati non sono esatti, li riportiamo con il simbolo \(\approx\), arrotondando soltanto alla fine del calcolo.
Indice
- Notazione e dati necessari
- Seno, coseno e tangente nel triangolo rettangolo
- Ipotenusa e angolo acuto noti
- Cateto e angolo acuto noti
- Due lati noti
- Applicazioni: altezze e distanze
- Scelta delle formule e controllo dei risultati
- Errori comuni e riepilogo
Notazione e dati necessari
Consideriamo un triangolo \(ABC\) rettangolo in \(C\). Indichiamo con:
- \(c=AB\) la lunghezza dell’ipotenusa, opposta all’angolo retto;
- \(a=BC\) e \(b=AC\) le lunghezze dei cateti;
- \(\alpha\) l’angolo in \(A\) e \(\beta\) l’angolo in \(B\).
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è \(180^\circ\), i due angoli acuti sono complementari:
\[ \alpha+\beta=90^\circ. \]
Di conseguenza, noto uno dei due, l’altro si ricava mediante
\[ \beta=90^\circ-\alpha, \qquad \alpha=90^\circ-\beta. \]
I lati soddisfano il teorema di Pitagora:
\[ a^2+b^2=c^2. \]
Per un triangolo rettangolo non degenere valgono inoltre
\[ a>0,\qquad b>0,\qquad c>0, \] \[ 0^\circ<\alpha<90^\circ, \qquad 0^\circ<\beta<90^\circ. \]
Quali dati sono sufficienti?
| Dati noti | Il triangolo è determinato? |
|---|---|
| Ipotenusa e un angolo acuto | Sì, purché l’ipotenusa sia positiva e l’angolo sia compreso fra \(0^\circ\) e \(90^\circ\). |
| Un cateto e un angolo acuto | Sì, con le stesse condizioni di positività e di ampiezza dell’angolo. |
| Due cateti | Sì, purché entrambi siano positivi. |
| Ipotenusa e un cateto | Sì, purché il cateto sia positivo e minore dell’ipotenusa. |
| Soltanto gli angoli | No: le dimensioni dei lati restano indeterminate. |
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Seno, coseno e tangente nel triangolo rettangolo
Rispetto all’angolo \(\alpha\), il cateto \(a\) è opposto e il cateto \(b\) è adiacente. Le definizioni dei rapporti goniometrici danno
\[ \sin\alpha=\frac{a}{c}, \qquad \cos\alpha=\frac{b}{c}, \qquad \tan\alpha=\frac{a}{b}. \]
Rispetto all’angolo \(\beta\), i ruoli dei cateti si scambiano:
\[ \sin\beta=\frac{b}{c}, \qquad \cos\beta=\frac{a}{c}, \qquad \tan\beta=\frac{b}{a}. \]
Le parole opposto e adiacente dipendono quindi dall’angolo scelto. L’ipotenusa, invece, è sempre il lato opposto all’angolo retto.
Formule per ricavare i lati
Dalle definizioni relative ad \(\alpha\) otteniamo
\[ a=c\sin\alpha, \qquad b=c\cos\alpha, \] \[ a=b\tan\alpha, \qquad b=\frac{a}{\tan\alpha}, \] \[ c=\frac{a}{\sin\alpha} =\frac{b}{\cos\alpha}. \]
Analogamente, usando \(\beta\), si ha
\[ b=c\sin\beta, \qquad a=c\cos\beta. \]
La cotangente può essere usata per collegare direttamente i cateti:
\[ \cot\alpha=\frac{b}{a}, \qquad b=a\cot\alpha. \]
Non è necessario usare tutte le formule nello stesso problema: conviene scegliere quella che collega direttamente il dato noto alla misura cercata.
Come impostare la calcolatrice
Poiché in questa pagina gli angoli sono espressi in gradi, la calcolatrice deve essere impostata in modalità DEG. In modalità RAD, lo stesso valore numerico verrebbe interpretato in radianti e il risultato sarebbe diverso.
Ipotenusa e angolo acuto noti
Se sono noti \(c\) e \(\alpha\), entrambi i cateti si ricavano direttamente:
\[ a=c\sin\alpha, \qquad b=c\cos\alpha. \]
L’altro angolo è \(\beta=90^\circ-\alpha\).
Esempio 1. Angolo di \(30^\circ\)
Un triangolo rettangolo ha ipotenusa \(c=10\,\mathrm{cm}\) e angolo \(\alpha=30^\circ\). Determiniamo i cateti e l’altro angolo acuto.
Il cateto opposto ad \(\alpha\) misura
\[ a=10\sin30^\circ =10\cdot\frac12 =5\,\mathrm{cm}. \]
Il cateto adiacente misura
\[ b=10\cos30^\circ =10\cdot\frac{\sqrt3}{2} =5\sqrt3\,\mathrm{cm}. \]
L’altro angolo è
\[ \beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]
Il triangolo è quindi completamente risolto:
\[ a=5\,\mathrm{cm}, \qquad b=5\sqrt3\,\mathrm{cm}, \qquad c=10\,\mathrm{cm}, \] \[ \alpha=30^\circ, \qquad \beta=60^\circ, \qquad \widehat C=90^\circ. \]
Il controllo con Pitagora conferma il risultato:
\[ 5^2+(5\sqrt3)^2=25+75=100=10^2. \]
Esempio 2. Angolo non notevole
Siano \(c=12\,\mathrm{cm}\) e \(\alpha=38^\circ\). Si ottiene
\[ a=12\sin38^\circ\approx7{,}39\,\mathrm{cm}, \] \[ b=12\cos38^\circ\approx9{,}46\,\mathrm{cm}, \] \[ \beta=52^\circ. \]
I valori dei cateti sono approssimati. Per evitare di accumulare errori, è opportuno mantenere nei calcoli i valori non arrotondati e arrotondare soltanto i risultati finali.
Cateto e angolo acuto noti
Quando è noto un cateto, bisogna prima stabilire se è opposto oppure adiacente all’angolo assegnato.
Cateto opposto noto
Se conosciamo \(a\) e \(\alpha\), usiamo
\[ c=\frac{a}{\sin\alpha}, \qquad b=\frac{a}{\tan\alpha}. \]
Esempio 3. Cateto opposto e angolo
Siano \(a=6\,\mathrm{cm}\) e \(\alpha=30^\circ\). L’ipotenusa misura
\[ c=\frac{6}{\sin30^\circ} =\frac{6}{1/2} =12\,\mathrm{cm}. \]
L’altro cateto misura
\[ b=\frac{6}{\tan30^\circ} =\frac{6}{1/\sqrt3} =6\sqrt3\,\mathrm{cm}. \]
Infine, \(\beta=60^\circ\).
Cateto adiacente noto
Se conosciamo \(b\) e \(\alpha\), usiamo
\[ c=\frac{b}{\cos\alpha}, \qquad a=b\tan\alpha. \]
Esempio 4. Cateto adiacente e angolo
Siano \(b=8\,\mathrm{cm}\) e \(\alpha=35^\circ\). Otteniamo
\[ c=\frac{8}{\cos35^\circ} \approx9{,}77\,\mathrm{cm}, \] \[ a=8\tan35^\circ \approx5{,}60\,\mathrm{cm}, \] \[ \beta=55^\circ. \]
Il risultato è coerente con il fatto che l’ipotenusa deve essere maggiore di ciascun cateto.
Due lati noti
Se sono noti due lati, il terzo si ricava con il teorema di Pitagora. Per determinare gli angoli si usano le funzioni goniometriche inverse.
Due cateti noti
Conoscendo \(a\) e \(b\), si ha
\[ c=\sqrt{a^2+b^2}, \] \[ \alpha=\arctan\left(\frac{a}{b}\right), \qquad \beta=90^\circ-\alpha. \]
Poiché \(\displaystyle\frac{a}{b}>0\), l’arcotangente restituisce l’angolo acuto richiesto.
Esempio 5. Cateti di \(6\) e \(8\) centimetri
Siano \(a=6\,\mathrm{cm}\) e \(b=8\,\mathrm{cm}\). L’ipotenusa misura
\[ c=\sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{100} =10\,\mathrm{cm}. \]
Per gli angoli troviamo
\[ \alpha=\arctan\left(\frac68\right) \approx36{,}87^\circ, \] \[ \beta\approx53{,}13^\circ. \]
Ipotenusa e un cateto noti
Se conosciamo \(c\) e \(a\), con \(0<a<c\), otteniamo
\[ b=\sqrt{c^2-a^2}, \] \[ \alpha=\arcsin\left(\frac{a}{c}\right), \qquad \beta=90^\circ-\alpha. \]
Se invece conosciamo \(c\) e \(b\), con \(0<b<c\), possiamo usare
\[ a=\sqrt{c^2-b^2}, \] \[ \alpha=\arccos\left(\frac{b}{c}\right), \qquad \beta=90^\circ-\alpha. \]
Esempio 6. Ipotenusa di \(13\) centimetri e cateto di \(5\) centimetri
Siano \(c=13\,\mathrm{cm}\) e \(a=5\,\mathrm{cm}\). L’altro cateto misura
\[ b=\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{144} =12\,\mathrm{cm}. \]
L’angolo opposto al cateto di \(5\,\mathrm{cm}\) è
\[ \alpha=\arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx22{,}62^\circ. \]
Quindi
\[ \beta\approx67{,}38^\circ. \]
Funzione inversa e reciproco non sono la stessa cosa. \(\arcsin t\) indica un angolo il cui seno è \(t\), mentre \(\displaystyle\frac{1}{\sin\alpha}\) è il reciproco del seno. Sulla calcolatrice la funzione inversa può essere indicata con il tasto \(\sin^{-1}\), ma non va interpretata come una potenza di esponente \(-1\).
Applicazioni: altezze e distanze
Molti problemi pratici si risolvono individuando un triangolo rettangolo nel quale una distanza orizzontale, un’altezza o un segmento obliquo costituiscono i lati.
Esempio 7. Altezza di un edificio
Da un punto del terreno posto a \(20\,\mathrm m\) dalla base di un edificio, un osservatore misura un angolo di elevazione di \(40^\circ\) verso la sommità. Lo strumento si trova a \(1{,}60\,\mathrm m\) dal suolo. Supponiamo che il terreno sia orizzontale e l’edificio verticale.
Indichiamo con \(H\) l’altezza dell’edificio. Il dislivello fra lo strumento e la sommità è \(H-1{,}60\,\mathrm m\). Pertanto
\[ \tan40^\circ =\frac{H-1{,}60\,\mathrm m}{20\,\mathrm m}. \]
Ricavando \(H\), troviamo
\[ H=20\,\mathrm m\cdot\tan40^\circ+1{,}60\,\mathrm m \approx18{,}38\,\mathrm m. \]
L’altezza dello strumento va aggiunta perché il triangolo rettangolo descrive il dislivello rispetto al punto di osservazione, non rispetto al terreno.
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Esempio 8. Scala appoggiata a una parete
Una scala lunga \(5\,\mathrm m\) forma un angolo di \(65^\circ\) con un pavimento orizzontale ed è appoggiata a una parete verticale. Determiniamo l’altezza raggiunta e la distanza del piede della scala dalla parete.
La scala è l’ipotenusa. L’altezza è il cateto opposto all’angolo di \(65^\circ\):
\[ h=5\,\mathrm m\cdot\sin65^\circ \approx4{,}53\,\mathrm m. \]
La distanza orizzontale è il cateto adiacente:
\[ d=5\,\mathrm m\cdot\cos65^\circ \approx2{,}11\,\mathrm m. \]
Le formule cambierebbero se l’angolo assegnato fosse quello formato dalla scala con la parete: bisogna sempre identificare rispetto a quale angolo un cateto è opposto o adiacente.
Scelta delle formule e controllo dei risultati
La tabella seguente riassume le formule relative all’angolo \(\alpha\), opposto al cateto \(a\).
| Dati noti | Lati incogniti | Angoli |
|---|---|---|
| \(c,\alpha\) | \(a=c\sin\alpha\), \(b=c\cos\alpha\) | \(\beta=90^\circ-\alpha\) |
| \(a,\alpha\) | \(\displaystyle c=\frac{a}{\sin\alpha}\), \(\displaystyle b=\frac{a}{\tan\alpha}\) | \(\beta=90^\circ-\alpha\) |
| \(b,\alpha\) | \(\displaystyle c=\frac{b}{\cos\alpha}\), \(a=b\tan\alpha\) | \(\beta=90^\circ-\alpha\) |
| \(a,b\) | \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) | \(\displaystyle\alpha=\arctan\left(\frac{a}{b}\right)\), \(\beta=90^\circ-\alpha\) |
| \(c,a\) | \(b=\sqrt{c^2-a^2}\) | \(\displaystyle\alpha=\arcsin\left(\frac{a}{c}\right)\), \(\beta=90^\circ-\alpha\) |
| \(c,b\) | \(a=\sqrt{c^2-b^2}\) | \(\displaystyle\alpha=\arccos\left(\frac{b}{c}\right)\), \(\beta=90^\circ-\alpha\) |
Controlli di coerenza
- Positività: tutte le lunghezze devono essere positive.
- Ipotenusa: deve essere maggiore di ciascun cateto.
- Angoli: i due angoli acuti devono appartenere a \((0^\circ,90^\circ)\) e avere somma \(90^\circ\).
- Pitagora: deve valere \(a^2+b^2=c^2\), con eventuali piccole differenze numeriche dovute agli arrotondamenti.
- Confronto fra lati e angoli: al maggiore fra i due angoli acuti deve essere opposto il cateto maggiore.
- Unità di misura: le lunghezze devono essere espresse in unità coerenti prima di eseguire somme o applicare Pitagora.
Se si ottiene un cateto maggiore dell’ipotenusa oppure un rapporto seno o coseno maggiore di \(1\), occorre ricontrollare i dati, l’identificazione dei lati e la formula scelta.
Errori comuni e riepilogo
| Errore | Correzione |
|---|---|
| Considerare un cateto sempre opposto o sempre adiacente. | Stabilire il suo ruolo rispetto all’angolo usato nel calcolo. |
| Scambiare un cateto con l’ipotenusa. | Individuare prima l’angolo retto: il lato opposto è l’ipotenusa. |
| Usare la tangente come rapporto fra cateto e ipotenusa. | La tangente è il rapporto fra cateto opposto e cateto adiacente. |
| Calcolare angoli in gradi con la calcolatrice in modalità RAD. | Impostare la modalità DEG quando i dati sono espressi in gradi. |
| Confondere una funzione inversa con il reciproco. | Usare arcoseno, arcocoseno o arcotangente per ricavare un angolo da un rapporto. |
| Arrotondare i risultati intermedi e riutilizzarli nei passaggi successivi. | Mantenere la precisione disponibile e arrotondare soltanto alla fine. |
| Dimenticare l’altezza del punto di osservazione. | Distinguere il dislivello calcolato con la tangente dall’altezza totale cercata. |
| Pensare che gli angoli determinino anche le lunghezze dei lati. | Occorre conoscere almeno una lunghezza per determinare le dimensioni del triangolo. |
Per risolvere un triangolo rettangolo si parte dall’identificazione dell’ipotenusa e dei cateti rispetto all’angolo scelto. I rapporti goniometrici collegano i dati noti alle misure cercate; il teorema di Pitagora e la complementarità degli angoli completano il procedimento e permettono di controllarne la coerenza.