La risoluzione di un triangolo qualsiasi consiste nel determinare le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli a partire dai dati assegnati. Per affrontare il problema si usano soprattutto il teorema dei seni, il teorema del coseno (o di Carnot) e la relazione fra gli angoli interni.
Il passaggio decisivo è la scelta del teorema appropriato. Non basta contare i dati: bisogna riconoscere quali lati e angoli sono noti e come sono disposti. Due lati e l’angolo compreso determinano un solo triangolo; due lati e un angolo opposto a uno di essi possono invece determinare due triangoli, uno solo oppure nessuno.
Consideriamo triangoli non degeneri e angoli espressi in gradi. Le lunghezze sono positive; i risultati non esatti sono indicati con \(\approx\) e vengono arrotondati soltanto alla fine dei calcoli.
Indice
- Notazione e condizioni di esistenza
- Come scegliere il teorema appropriato
- Due angoli e un lato noti
- Due lati e l’angolo compreso noti
- Tre lati noti
- Due lati e un angolo opposto: il caso ambiguo
- Procedimento generale, controlli e calcolo dell’area
- Errori comuni e riepilogo
Notazione e condizioni di esistenza
In un triangolo \(ABC\) poniamo
\[ a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB, \] \[ \alpha=\widehat A,\qquad \beta=\widehat B,\qquad \gamma=\widehat C. \]
Ogni lato è associato all’angolo opposto: \(a\) ad \(\alpha\), \(b\) a \(\beta\), \(c\) a \(\gamma\).
Gli angoli interni soddisfano
\[ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ, \] \[ 0^\circ<\alpha,\beta,\gamma<180^\circ. \]
Le lunghezze dei lati devono rispettare le disuguaglianze triangolari:
\[ a<b+c,\qquad b<c+a,\qquad c<a+b. \]
Per lunghezze positive, queste condizioni equivalgono a
\[ |b-c|<a<b+c. \]
Quanti dati servono?
Nei casi standard sono sufficienti tre misure opportunamente scelte, fra le quali almeno una lunghezza. Tuttavia il numero dei dati, da solo, non garantisce né l’esistenza né l’unicità del triangolo.
- Tre angoli determinano soltanto la forma: triangoli simili possono avere dimensioni diverse.
- Due angoli e un lato determinano un unico triangolo, se i dati sono ammissibili.
- Due lati e l’angolo compreso determinano un unico triangolo, se i dati sono ammissibili.
- Tre lati determinano un unico triangolo, se soddisfano le disuguaglianze triangolari.
- Due lati e un angolo opposto a uno di essi richiedono la discussione del caso ambiguo.
L’unicità si intende a meno di congruenze: traslazioni, rotazioni o riflessioni non producono un triangolo diverso per lunghezze e ampiezze degli angoli.
Come scegliere il teorema appropriato
La scelta iniziale dipende dalla disposizione dei dati.
| Dati noti | Primo passaggio | Come proseguire |
|---|---|---|
| Due angoli e un lato | Calcolare il terzo angolo usando la somma di \(180^\circ\). | Applicare il teorema dei seni per i lati mancanti. |
| Due lati e l’angolo compreso | Applicare il teorema del coseno per il terzo lato. | Ricavare un altro angolo con Carnot oppure con il teorema dei seni; usare poi la somma degli angoli. |
| Tre lati | Verificare le disuguaglianze triangolari. | Applicare il teorema del coseno per due angoli e ricavare il terzo per differenza. |
| Due lati e un angolo opposto a uno di essi | Applicare il teorema dei seni per trovare il seno di un secondo angolo. | Esaminare i candidati supplementari e conservare soltanto i triangoli ammissibili. |
Quando conviene usare il teorema dei seni?
Il teorema dei seni è particolarmente utile quando è nota una coppia costituita da un lato e dal suo angolo opposto:
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}. \]
Questa coppia fornisce un rapporto noto da confrontare con quello contenente la misura cercata.
Quando conviene usare il teorema del coseno?
Il teorema del coseno è la scelta naturale quando conosciamo due lati e l’angolo compreso, oppure tutti e tre i lati:
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha. \]
Nel primo caso si ricava \(a\); nel secondo si isola il coseno:
\[ \cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. \]
Se il triangolo è rettangolo
Quando è noto un angolo retto, spesso conviene usare direttamente il teorema di Pitagora e i rapporti goniometrici fra cateti e ipotenusa. I teoremi dei seni e del coseno restano validi, ma le formule specifiche dei triangoli rettangoli possono rendere il calcolo più immediato.
Immagine
Due angoli e un lato noti
Supponiamo di conoscere \(a\), \(\alpha\) e \(\beta\). Prima di calcolare i lati, verifichiamo
\[ a>0,\qquad \alpha>0^\circ,\qquad \beta>0^\circ,\qquad \alpha+\beta<180^\circ. \]
Il terzo angolo è
\[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta. \]
Il teorema dei seni dà poi
\[ b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}, \qquad c=\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}. \]
Esempio 1. Risoluzione a partire da due angoli
Siano
\[ a=6\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=30^\circ, \qquad \beta=45^\circ. \]
Si calcola anzitutto
\[ \gamma=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ. \]
Poiché
\[ \frac{a}{\sin\alpha} =\frac{6}{\sin30^\circ} =12\,\mathrm{cm}, \]
i lati mancanti sono
\[ b=12\sin45^\circ =6\sqrt2\,\mathrm{cm} \approx8{,}49\,\mathrm{cm}, \] \[ c=12\sin105^\circ =3(\sqrt6+\sqrt2)\,\mathrm{cm} \approx11{,}59\,\mathrm{cm}. \]
Il triangolo è ottusangolo e il lato maggiore è \(c\), opposto all’angolo di \(105^\circ\).
Perché non iniziare da Carnot? Non conosciamo ancora due lati: il teorema dei seni collega invece direttamente il lato noto agli angoli già determinati.
Due lati e l’angolo compreso noti
Supponiamo di conoscere \(b\), \(c\) e l’angolo compreso \(\alpha\), con
\[ b,c>0, \qquad 0^\circ<\alpha<180^\circ. \]
Il primo passaggio consiste nel calcolare il terzo lato:
\[ a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}. \]
A questo punto sono note tutte le lunghezze. Si può ricavare un secondo angolo con il teorema del coseno e ottenere l’ultimo dalla somma di \(180^\circ\).
Esempio 2. Risoluzione a partire dall’angolo compreso
Siano
\[ b=5\,\mathrm{cm}, \qquad c=8\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=60^\circ. \]
Per Carnot,
\[ a^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos60^\circ =25+64-40 =49. \]
Quindi
\[ a=7\,\mathrm{cm}. \]
Calcoliamo ora \(\beta\):
\[ \cos\beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{49+64-25}{112} =\frac{11}{14}. \]
Pertanto
\[ \beta=\arccos\left(\frac{11}{14}\right) \approx38{,}21^\circ, \] \[ \gamma=180^\circ-60^\circ-\beta \approx81{,}79^\circ. \]
Come proseguire usando il teorema dei seni
Dopo aver trovato \(a\), si potrebbe anche scrivere
\[ \sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}. \]
Fra i due angoli ancora incogniti, \(\beta\) è il minore perché è opposto a \(b=5\,\mathrm{cm}\), mentre \(\gamma\) è opposto a \(c=8\,\mathrm{cm}\). L’angolo \(\beta\) è quindi certamente acuto e si può ricavare direttamente con l’arcoseno.
Questa scelta evita di dover decidere fra un angolo e il suo supplementare. Il triangolo determinato dai dati iniziali resta comunque unico.
Tre lati noti
Se conosciamo \(a,b,c\), verifichiamo prima che siano positivi e soddisfino le disuguaglianze triangolari. Poi usiamo il teorema del coseno per ricavare gli angoli:
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right), \] \[ \beta=\arccos\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right), \] \[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta. \]
È spesso utile calcolare per primo l’angolo opposto al lato maggiore, così da riconoscere subito se il triangolo è acutangolo, rettangolo oppure ottusangolo.
Esempio 3. Risoluzione a partire dai tre lati
Siano
\[ a=7\,\mathrm{cm}, \qquad b=4\,\mathrm{cm}, \qquad c=5\,\mathrm{cm}. \]
Le lunghezze sono ammissibili: in particolare, il lato maggiore soddisfa \(7<4+5\).
Per l’angolo opposto al lato maggiore,
\[ \cos\alpha =\frac{16+25-49}{2\cdot4\cdot5} =-\frac15, \] \[ \alpha\approx101{,}54^\circ. \]
Il triangolo è dunque ottusangolo. Per il secondo angolo,
\[ \cos\beta =\frac{25+49-16}{2\cdot5\cdot7} =\frac{29}{35}, \] \[ \beta\approx34{,}05^\circ. \]
Infine, usando gli angoli non arrotondati,
\[ \gamma\approx44{,}42^\circ. \]
La somma dei valori arrotondati riportati può differire di un centesimo di grado da \(180^\circ\).
Perché non iniziare dal teorema dei seni? Non è nota alcuna coppia lato-angolo opposto. Il teorema del coseno consente invece di ricavare direttamente un angolo dalle tre lunghezze.
Due lati e un angolo opposto: il caso ambiguo
Supponiamo di conoscere \(a\), \(b\) e l’angolo \(\alpha\) opposto ad \(a\). In questo caso il teorema dei seni fornisce
\[ \sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}. \]
Poniamo
\[ q=\frac{b\sin\alpha}{a}. \]
Per dati positivi e un angolo interno ammissibile si ha \(q>0\). Il procedimento è il seguente.
- Se \(q>1\), non esiste alcun triangolo.
- Se \(q=1\), l’unico candidato è \(\beta=90^\circ\), da conservare soltanto se \(\alpha+\beta<180^\circ\).
- Se \(0<q<1\), si considerano \(\beta_1=\arcsin q\) e \(\beta_2=180^\circ-\beta_1\).
- Per ciascun candidato si calcola \(\gamma_i=180^\circ-\alpha-\beta_i\) e si richiede \(\gamma_i>0^\circ\).
- Per ogni triangolo ammissibile si ricava \(\displaystyle c_i=\frac{a\sin\gamma_i}{\sin\alpha}\).
Esempio 4. Due triangoli con gli stessi dati
Siano
\[ a=7\,\mathrm{cm}, \qquad b=10\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=30^\circ. \]
Si ottiene
\[ \sin\beta =\frac{10\sin30^\circ}{7} =\frac57. \]
I candidati sono
\[ \beta_1=\arcsin\left(\frac57\right) \approx45{,}58^\circ, \] \[ \beta_2=180^\circ-\beta_1 \approx134{,}42^\circ. \]
Entrambi producono un terzo angolo positivo:
\[ \gamma_1=180^\circ-30^\circ-\beta_1 \approx104{,}42^\circ, \] \[ \gamma_2=180^\circ-30^\circ-\beta_2 \approx15{,}58^\circ. \]
I lati mancanti sono
\[ c_1=\frac{7\sin\gamma_1}{\sin30^\circ} \approx13{,}56\,\mathrm{cm}, \] \[ c_2=\frac{7\sin\gamma_2}{\sin30^\circ} \approx3{,}76\,\mathrm{cm}. \]
I dati assegnati determinano quindi due triangoli non congruenti.
Controllo geometrico quando l’angolo assegnato è acuto
Se \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), ponendo \(h=b\sin\alpha\), si può prevedere il numero di triangoli:
| Condizione | Numero di triangoli non degeneri |
|---|---|
| \(a<h\) | Nessuno |
| \(a=h\) | Uno |
| \(h<a<b\) | Due |
| \(a\ge b\) | Uno |
Nell’esempio \(h=5\,\mathrm{cm}\), quindi \(5<7<10\): il risultato conferma la presenza di due triangoli.
Se invece \(90^\circ\le\alpha<180^\circ\), esiste un unico triangolo quando \(a>b\), mentre non ne esiste alcuno quando \(a\le b\).
Procedimento generale, controlli e calcolo dell’area
Per affrontare un problema senza confondere i casi, conviene seguire un ordine preciso.
- Disegnare uno schema. Indicare vertici, lati e angoli, senza affidarsi soltanto all’aspetto del disegno per stabilire le misure.
- Organizzare i dati. Scrivere quali elementi sono noti e associare ogni lato al suo angolo opposto.
- Verificare l’ammissibilità. Controllare positività, somma degli angoli e disuguaglianze triangolari quando applicabili.
- Riconoscere la configurazione. Distinguere soprattutto l’angolo compreso da quello opposto a uno dei lati noti.
- Scegliere il primo teorema. Usare la tabella della sezione 2.
- Completare la risoluzione. Determinare tutti i lati e gli angoli; nel caso ambiguo, esaminare ogni triangolo ammissibile.
- Controllare il risultato. Verificare la coerenza geometrica prima di arrotondare i valori finali.
Controlli da eseguire
- La somma degli angoli interni deve essere \(180^\circ\).
- Al lato maggiore deve essere opposto l’angolo maggiore; lati uguali devono avere angoli opposti uguali.
- Ogni lato deve essere minore della somma degli altri due.
- Il seno di un angolo interno deve appartenere a \((0,1]\), mentre il coseno deve appartenere a \((-1,1)\).
- Le lunghezze devono essere espresse in unità coerenti.
Se si conoscono già tutti i lati e gli angoli, un controllo aggiuntivo consiste nel verificare che i rapporti del teorema dei seni coincidano, entro gli errori numerici di arrotondamento:
\[ \frac{a}{\sin\alpha} \approx \frac{b}{\sin\beta} \approx \frac{c}{\sin\gamma}. \]
Si può anche sostituire il risultato in una delle formule di Carnot. Questi controlli aiutano a individuare errori di trascrizione, associazioni scorrette fra lati e angoli o impostazioni sbagliate della calcolatrice.
Calcolare l’area dopo la risoluzione
Una volta noti due lati e l’angolo compreso, l’area \(S\) si ricava mediante
\[ S=\frac12bc\sin\alpha. \]
Per esempio, nel triangolo della sezione 4,
\[ S=\frac12\cdot5\cdot8\sin60^\circ =10\sqrt3\,\mathrm{cm}^2. \]
L’area non è necessaria per completare la risoluzione dei lati e degli angoli, ma può costituire un’ulteriore grandezza richiesta dal problema.
Errori comuni e riepilogo
| Errore | Correzione |
|---|---|
| Scegliere il metodo contando soltanto i dati. | Riconoscere anche la loro disposizione: un angolo compreso e un angolo opposto conducono a casi diversi. |
| Applicare il teorema dei seni associando un lato a un angolo adiacente. | Usare sempre coppie di lati e angoli opposti. |
| Applicare Carnot usando un angolo non compreso fra i lati del doppio prodotto. | Controllare la corrispondenza fra la formula e il disegno. |
| Accettare automaticamente il risultato dell’arcoseno come unica possibilità. | Nel caso ambiguo esaminare anche il supplementare e verificare la positività del terzo angolo. |
| Pensare che il caso ambiguo produca sempre due triangoli. | I triangoli ammissibili possono essere due, uno oppure nessuno. |
| Ricavare un lato senza prendere la radice dopo averne calcolato il quadrato. | Distinguere la lunghezza dal suo quadrato e scegliere la radice positiva. |
| Considerare determinato un triangolo conoscendo soltanto i tre angoli. | Gli angoli determinano la forma, ma serve almeno una lunghezza per fissare le dimensioni. |
| Arrotondare gli angoli prima di calcolare i lati mancanti. | Conservare la precisione nei passaggi intermedi e arrotondare soltanto i risultati finali. |
| Usare la calcolatrice in modalità RAD con dati espressi in gradi. | Impostare la modalità DEG. |
La risoluzione di un triangolo parte dall’analisi dei dati: il teorema dei seni è particolarmente efficace quando è nota una coppia lato-angolo opposto, mentre il teorema del coseno permette di iniziare dai tre lati oppure da due lati e dall’angolo compreso. La verifica dell’esistenza e dell’eventuale ambiguità completa il procedimento.