Le relazioni fondamentali della goniometria collegano seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante di uno stesso angolo. Permettono di ricavare il valore di una funzione conoscendone unâaltra, semplificare espressioni e verificare identitĂ .
Partiremo dallâidentitĂ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) e ricaveremo le altre relazioni, precisando ogni volta le condizioni di validitĂ . Quando una formula contiene una radice quadrata, il segno sarĂ determinato dalla posizione dellâangolo sulla circonferenza goniometrica.
Indice
- LâidentitĂ fondamentale
- Le relazioni di rapporto
- Le relazioni di reciprocitĂ
- Le identitĂ con tangente e cotangente
- Ricavare seno e coseno da un valore assegnato
- Esempi svolti
- Come verificare unâidentitĂ goniometrica
- Riepilogo
LâidentitĂ fondamentale
Sulla circonferenza goniometrica, il punto associato allâangolo \(\alpha\) ha coordinate:
\[ P=(\cos\alpha,\sin\alpha). \]
PoichĂŠ la circonferenza ha centro nellâorigine e raggio \(1\), le coordinate di ogni suo punto soddisfano lâequazione \(x^2+y^2=1\). Pertanto:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
Questa identitĂ vale per ogni \(\alpha\in\mathbb R\). La notazione \(\sin^2\alpha\) indica \((\sin\alpha)^2\), e analogamente per le altre funzioni.
Isolando uno dei due quadrati, otteniamo:
\[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha. \]
Queste formule determinano il valore assoluto della funzione cercata:
\[ |\sin\alpha|=\sqrt{1-\cos^2\alpha}, \qquad |\cos\alpha|=\sqrt{1-\sin^2\alpha}. \]
Per determinare anche il segno occorre conoscere il quadrante, oppure disporre di unâaltra informazione sullâangolo.
Le relazioni di rapporto
Tangente
La tangente è il rapporto tra seno e coseno:
\[ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cos\alpha\ne0. \]
La condizione sul denominatore equivale a:
\[ \alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Moltiplicando per \(\cos\alpha\), ricaviamo:
\[ \sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha, \qquad \cos\alpha\ne0. \]
Cotangente
La cotangente è il rapporto tra coseno e seno:
\[ \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \qquad \sin\alpha\ne0. \]
In termini dellâangolo:
\[ \alpha\ne k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Moltiplicando per \(\sin\alpha\), otteniamo:
\[ \cos\alpha=\cot\alpha\sin\alpha, \qquad \sin\alpha\ne0. \]
Anche nelle formule ottenute per moltiplicazione restano necessarie le condizioni iniziali: non possiamo utilizzare una tangente o una cotangente in un punto in cui non è definita.
Le relazioni di reciprocitĂ
Secante e coseno
La secante è il reciproco del coseno:
\[ \sec\alpha=\frac1{\cos\alpha}, \qquad \cos\alpha\ne0. \]
Ne seguono:
\[ \cos\alpha\sec\alpha=1, \qquad \cos\alpha=\frac1{\sec\alpha}, \]
sempre negli angoli per i quali \(\cos\alpha\ne0\).
Cosecante e seno
La cosecante è il reciproco del seno:
\[ \csc\alpha=\frac1{\sin\alpha}, \qquad \sin\alpha\ne0. \]
Di conseguenza:
\[ \sin\alpha\csc\alpha=1, \qquad \sin\alpha=\frac1{\csc\alpha}, \]
negli angoli per i quali \(\sin\alpha\ne0\).
Tangente e cotangente
Quando seno e coseno sono entrambi diversi da zero, tangente e cotangente sono entrambe definite e il loro prodotto è:
\[ \tan\alpha\cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =1. \]
Quindi:
\[ \cot\alpha=\frac1{\tan\alpha}, \qquad \tan\alpha=\frac1{\cot\alpha}, \qquad \sin\alpha\cos\alpha\ne0. \]
La condizione equivale a escludere tutti gli angoli sugli assi:
\[ \alpha\ne\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Questa precisazione è essenziale. Per esempio, per \(\alpha=0\) la tangente esiste e vale \(0\), ma la cotangente non è definita; per \(\displaystyle\alpha=\frac{\pi}{2}\) accade il contrario.
Le identitĂ con tangente e cotangente
La relazione \(1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha\)
Supponiamo \(\cos\alpha\ne0\). Dividiamo lâidentitĂ fondamentale per \(\cos^2\alpha\):
\[ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac1{\cos^2\alpha}. \]
Riconoscendo tangente e secante:
\[ 1+\tan^2\alpha = \frac1{\cos^2\alpha} = \sec^2\alpha. \]
Equivalentemente:
\[ \sec^2\alpha-\tan^2\alpha=1. \]
Tutte queste forme valgono per \(\displaystyle\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
La relazione \(1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha\)
Supponiamo invece \(\sin\alpha\ne0\) e dividiamo lâidentitĂ fondamentale per \(\sin^2\alpha\):
\[ \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac1{\sin^2\alpha}. \]
Otteniamo:
\[ 1+\cot^2\alpha = \frac1{\sin^2\alpha} = \csc^2\alpha. \]
Equivalentemente:
\[ \csc^2\alpha-\cot^2\alpha=1. \]
Queste identitĂ valgono per \(\alpha\ne k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
Ricavare seno e coseno da un valore assegnato
Se conosciamo il seno o il coseno
DallâidentitĂ fondamentale:
\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}. \]
Il simbolo \(\pm\) indica che il valore assegnato, da solo, può lasciare due possibilità . Il segno corretto dipende dal quadrante; se la radice vale zero, le due possibilità coincidono.
Se conosciamo la tangente
Dalla relazione \(\displaystyle 1+\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\) ricaviamo:
\[ \cos^2\alpha=\frac1{1+\tan^2\alpha}. \]
Quindi:
\[ \cos\alpha = \pm\frac1{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}. \]
Scelto il segno del coseno, il seno si calcola mediante:
\[ \sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha. \]
Questo procedimento mantiene automaticamente il rapporto corretto tra i segni di seno e coseno.
Se conosciamo la cotangente
Analogamente:
\[ \sin^2\alpha=\frac1{1+\cot^2\alpha}, \] \[ \sin\alpha = \pm\frac1{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}. \]
Dopo aver scelto il segno del seno, calcoliamo:
\[ \cos\alpha=\cot\alpha\sin\alpha. \]
La scelta del segno
| Quadrante | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|
| Primo | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| Secondo | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| Terzo | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Quarto | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
La tabella riguarda gli angoli interni ai quadranti. Sugli assi occorre controllare direttamente i valori e le condizioni di esistenza.
Immagine
Esempi svolti
Esempio 1. Dal seno alle altre funzioni
Supponiamo che:
\[ \sin\alpha=\frac35, \qquad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi. \]
Lâangolo appartiene al secondo quadrante, quindi il coseno è negativo. DallâidentitĂ fondamentale:
\[ \cos^2\alpha = 1-\frac9{25} = \frac{16}{25}. \]
Scegliendo il segno negativo:
\[ \cos\alpha=-\frac45. \]
Possiamo ora calcolare tutte le altre funzioni:
\[ \tan\alpha = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34, \qquad \cot\alpha=-\frac43; \] \[ \sec\alpha=-\frac54, \qquad \csc\alpha=\frac53. \]
Tutte sono definite perchĂŠ seno e coseno sono entrambi diversi da zero.
Esempio 2. Dalla tangente al seno e al coseno
Supponiamo che:
\[ \tan\alpha=2, \qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}. \]
Nel terzo quadrante seno e coseno sono entrambi negativi. Calcoliamo prima il coseno:
\[ \cos\alpha = -\frac1{\sqrt{1+2^2}} = -\frac1{\sqrt5} = -\frac{\sqrt5}{5}. \]
Poi:
\[ \sin\alpha = \tan\alpha\cos\alpha = -\frac{2\sqrt5}{5}. \]
Verifichiamo lâidentitĂ fondamentale:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha = \frac45+\frac15 = 1. \]
Esempio 3. Dalla cotangente al seno e al coseno
Supponiamo che:
\[ \cot\alpha=-\frac34, \qquad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi. \]
Nel quarto quadrante il seno è negativo e il coseno è positivo. Pertanto:
\[ \sin\alpha = -\frac1{\sqrt{1+\frac9{16}}} = -\frac1{\sqrt{\frac{25}{16}}} = -\frac45. \]
Da cui:
\[ \cos\alpha = \cot\alpha\sin\alpha = \left(-\frac34\right)\left(-\frac45\right) = \frac35. \]
Come verificare unâidentitĂ goniometrica
UnâidentitĂ goniometrica è unâuguaglianza valida per tutti gli angoli del dominio considerato. Per verificarla, conviene stabilire prima dove i due membri sono definiti e poi trasformarne uno fino a ottenere lâaltro.
Un procedimento utile consiste nellâesprimere tangente, cotangente, secante e cosecante mediante seno e coseno, ridurre le frazioni e applicare lâidentitĂ fondamentale.
Esempio 4. Semplificare unâespressione
Verifichiamo:
\[ \frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha. \]
Il primo membro richiede \(\sin\alpha\ne0\). In questo dominio:
\[ \frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha. \]
Lâidentità è quindi verificata per \(\alpha\ne k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\). Il secondo membro esiste anche negli angoli esclusi, ma questo non rende definita la frazione iniziale.
Esempio 5. UnâidentitĂ con la tangente
Verifichiamo:
\[ \frac{\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \sin\alpha\cos\alpha. \]
Il primo membro è definito per \(\cos\alpha\ne0\); il suo denominatore è sempre positivo. Utilizzando le relazioni fondamentali:
\[ \frac{\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} {\frac1{\cos^2\alpha}} = \sin\alpha\cos\alpha. \]
LâidentitĂ vale dunque per \(\displaystyle\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
Errori comuni
- Scegliere sempre la radice positiva. Da \(\cos^2\alpha=m\) segue \(\cos\alpha=\pm\sqrt m\): il quadrante determina il segno.
- Dimenticare il valore assoluto. Si ha \(\sqrt{\sin^2\alpha}=|\sin\alpha|\), non sempre \(\sin\alpha\).
- Dividere senza controllare il denominatore. Le divisioni per seno e coseno richiedono che siano diversi da zero.
- Estendere il dominio dopo una semplificazione. Una forma semplificata può esistere in piĂš punti dellâespressione iniziale; lâuguaglianza resta limitata al dominio di partenza.
- Confondere reciproco e funzione inversa. La secante è il reciproco del coseno; lâarcocoseno è una funzione inversa ottenuta restringendo il dominio del coseno. Sono concetti diversi.
Riepilogo
Le principali relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo sono:
| Relazione | Condizione di validitĂ |
|---|---|
| \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) | \(\alpha\in\mathbb R\) |
| \(\displaystyle\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) | \(\cos\alpha\ne0\) |
| \(\displaystyle\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) | \(\sin\alpha\ne0\) |
| \(\displaystyle\sec\alpha=\frac1{\cos\alpha}\) | \(\cos\alpha\ne0\) |
| \(\displaystyle\csc\alpha=\frac1{\sin\alpha}\) | \(\sin\alpha\ne0\) |
| \(\tan\alpha\cot\alpha=1\) | \(\sin\alpha\cos\alpha\ne0\) |
| \(1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha\) | \(\cos\alpha\ne0\) |
| \(1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha\) | \(\sin\alpha\ne0\) |
Per ricavare le funzioni da un valore assegnato, utilizziamo prima le identitĂ per determinare i valori assoluti e poi le informazioni sullâangolo per scegliere i segni. Nelle semplificazioni e nelle verifiche di identitĂ manteniamo sempre le condizioni di esistenza delle espressioni iniziali.