Abbiamo già calcolato alcune derivate di funzioni elementari mediante limite di rapporto incrementale della funzione \(f(x)\). Adesso vedremo come calcolare - in modo più generico - la derivata della somma \((f + g )(x_0)\), la derivata del prodotto \((f \cdot g )(x_0)\), della funzione inversa \(f ^{ - 1 }(x_0)\) e della funzione composta \((f \circ g)(x_0)\).
Indice
- Derivata della Somma
- Derivata del Prodotto
- Derivata della Funzione Composta
- Derivata della Funzione Inversa
Derivata della Somma
Siano \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) due funzioni e sia \(x_0 \in X\cap Y\). Se \( f \) e \( g \) sono derivabili nel punto \(x_0\), allora \( (f + g )(x) \) è derivabile in \(x_0\) e la sua derivata è data da\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Dimostrazione. Applichiamo la definizione di derivata alla funzione somma:
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x) -g(x_0)}{x - x_0} \end{align}
L'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti. Deduciamo quindi che, poichè le funzioni \(f\) e \(g\) sono derivabili in \(x_0\), la somma è derivabile in \(x_0\):
\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Derivata del Prodotto
Siano \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) due funzioni e sia \(x_0 \in X \cap Y\). Se \( f \) e \( g \) sono derivabili nel punto \( x_0 \), allora il prodotto \( (f \cdot g)(x) \) è derivabile in \(x_0\) e la sua derivata è data da: \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Dimostrazione. Applichiamo la definizione di derivata alla funzione prodotto:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) g(x) - f(x_0) g(x_0)}{x - x_0} \]
Possiamo manipolare algebricamente l'espressione - aggiungendo e sottraendo \( f(x_0)g(x) \) - al numeratore per evidenziare la differenza di due termini:
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Raggruppiamo i termini in modo da poter raccogliere fattori comuni:
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Ora possiamo sostituire questa espressione nel limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Dividiamo questo limite in due parti:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Consideriamo il primo limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x) \right). \]
Poiché \(g\) è derivabile in \(x_0\), è continua in \(x_0\). Quindi
\[ \lim_{x \to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Dunque
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = f'(x_0)g(x_0). \]
Ora consideriamo il secondo limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinando entrambi i risultati, otteniamo:
\[ ( f \cdot g )'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Questa è la regola del prodotto per le derivate, che afferma che la derivata del prodotto di due funzioni è data dalla somma del prodotto della derivata della prima funzione per la seconda funzione, più il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda funzione.
Derivata della Funzione Composta
Siano \(g:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) e \(f:Y\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) due funzioni tali che \(g(X)\subset Y\). Sia \(x_0\in X\) e supponiamo che \(g\) sia derivabile in \(x_0\) e che \(f\) sia derivabile in \(g(x_0)\). Allora la funzione composta
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
è derivabile in \(x_0\) e vale
\[ (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0). \]
Dimostrazione. Poniamo
\[ y_0=g(x_0). \]
Poiché \(f\) è derivabile in \(y_0\), esiste una funzione \(\varepsilon\), infinitesima per \(y\to y_0\), tale che
\[ f(y)-f(y_0)=\bigl(f'(y_0)+\varepsilon(y)\bigr)(y-y_0). \]
Applicando questa identità con \(y=g(x)\), otteniamo
\[ f(g(x))-f(g(x_0)) = \bigl(f'(g(x_0))+\varepsilon(g(x))\bigr) \bigl(g(x)-g(x_0)\bigr). \]
Dividendo per \(x-x_0\), con \(x\neq x_0\), si ha
\[ \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0} = \bigl(f'(g(x_0))+\varepsilon(g(x))\bigr) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}. \]
Poiché \(g\) è derivabile in \(x_0\), è continua in \(x_0\). Quindi, per \(x\to x_0\), si ha \(g(x)\to g(x_0)\), e perciò
\[ \varepsilon(g(x))\to 0. \]
Passando al limite otteniamo
\[ (f\circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0). \]
Questo dimostra la regola di derivazione della funzione composta.
Derivata della Funzione Inversa
Sia \(f:X\subset\mathbb{R}\to Y\subset\mathbb{R}\) una funzione biiettiva e continua su un intervallo aperto \(X\), con inversa \(f^{-1}:Y\to X\). Sia \(x_0\in X\) e poniamo
\[ y_0=f(x_0). \]
Se \(f\) è derivabile in \(x_0\) e \(f'(x_0)\neq 0\), allora \(f^{-1}\) è derivabile in \(y_0\) e vale
\[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}. \]
Dimostrazione. Consideriamo il rapporto incrementale dell'inversa:
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}. \]
Poniamo
\[ x=f^{-1}(y). \]
Allora \(y=f(x)\). Inoltre, poiché \(f^{-1}\) è continua, dalla condizione \(y\to y_0\) segue \(x\to x_0\). Possiamo quindi scrivere
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}. \]
Passando al limite per \(y\to y_0\), cioè per \(x\to x_0\), otteniamo
\[ \lim_{y\to y_0} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}. \]
Poiché \(f'(x_0)\neq 0\), si ha
\[ \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \frac{1}{f'(x_0)}. \]
Dunque
\[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}. \]
Osservazione. Se \(f'(x_0)=0\), la formula precedente non è applicabile. In effetti, se anche \(f^{-1}\) fosse derivabile in \(y_0=f(x_0)\), applicando la regola di derivazione della funzione composta all'identità
\[ (f^{-1}\circ f)(x)=x \]
si otterrebbe
\[ (f^{-1})'(y_0)\cdot f'(x_0)=1, \]
che è impossibile quando \(f'(x_0)=0\).
Esempio. Consideriamo la funzione \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definita da
\[ f(x)=x^3. \]
Essa è biiettiva e ha inversa
\[ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. \]
Tuttavia \(f'(0)=0\). Infatti l'inversa non è derivabile in \(y_0=0\), perché
\[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(0)}{y-0} = \frac{\sqrt[3]{y}}{y} = \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \]
non ammette limite finito per \(y\to 0\).