Le potenze sono uno strumento fondamentale dell'algebra: permettono di scrivere in forma compatta prodotti ripetuti e sono alla base di molte trasformazioni algebriche.
In questa pagina studiamo le principali proprietà delle potenze, partendo dal caso più semplice degli esponenti naturali positivi e arrivando poi agli esponenti zero, negativi e razionali, cioè esponenti del tipo \(\displaystyle \frac{p}{q}\).
Sia \(a\in\mathbb{R}\) e sia \(n\in\mathbb{N}^*\), dove
\[ \mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}. \]
La potenza \(n\)-esima di \(a\), indicata con il simbolo \(a^n\), è definita come il prodotto di \(a\) per se stesso \(n\) volte:
\[ a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}}. \]
Il numero \(a\) è detto base della potenza, mentre il numero \(n\) è detto esponente della potenza.
Per esempio,
\[ a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a. \]
Indice
- Proprietà delle Potenze con Esponente Naturale
- Potenza con Esponente Zero
- Potenze con Esponente Intero Negativo
- Potenze con Esponente Razionale
- Esempi sulle Proprietà delle Potenze
Proprietà delle Potenze con Esponente Naturale
In questa sezione consideriamo potenze con esponente naturale positivo. Siano \(a,b\in\mathbb{R}\) e siano \(m,n\in\mathbb{N}^*\). Le proprietà delle potenze permettono di trasformare prodotti, quozienti e potenze composte in forme più semplici.
Ogni proprietà va applicata rispettando le condizioni di esistenza delle espressioni coinvolte. In particolare, quando compaiono quozienti, i denominatori devono essere diversi da zero.
Prodotto di potenze con la stessa base
Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Infatti, per definizione di potenza,
\[ a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ volte}}, \qquad a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}}. \]
Moltiplicando le due potenze si ottiene un prodotto formato da \(m+n\) fattori tutti uguali ad \(a\):
\[ a^m\cdot a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ volte}} = a^{m+n}. \]
Quoziente di potenze con la stessa base
Se \(a\neq 0\) e \(m\geq n\), il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
La condizione \(a\neq 0\) è necessaria perché \(a^n\) compare al denominatore.
Per giustificare la formula, scriviamo le due potenze come prodotti ripetuti:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ volte}}} {\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}}}. \]
Poiché \(a\neq 0\), possiamo semplificare \(n\) fattori uguali al numeratore e al denominatore. Rimangono \(m-n\) fattori uguali ad \(a\), quindi
\[ \frac{a^m}{a^n} = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m-n \text{ volte}} = a^{m-n}. \]
Il caso \(m<n\) richiede l'introduzione degli esponenti negativi e verrà interpretato correttamente nella sezione dedicata.
Potenza di una potenza
La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti:
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
Infatti, elevare \(a^m\) alla potenza \(n\) significa moltiplicare \(a^m\) per se stesso \(n\) volte:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m\cdot a^m\cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ volte}}. \]
Ogni fattore \(a^m\) contiene \(m\) fattori uguali ad \(a\). Ripetendo questo blocco \(n\) volte, otteniamo in tutto \(mn\) fattori uguali ad \(a\):
\[ (a^m)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{mn \text{ volte}} = a^{mn}. \]
Potenza di un prodotto
La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze dei singoli fattori:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Infatti,
\[ (ab)^n = \underbrace{(ab)\cdot(ab)\cdot \ldots \cdot(ab)}_{n \text{ volte}}. \]
Usando la proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione tra numeri reali, possiamo raccogliere tra loro tutti i fattori uguali ad \(a\) e tutti i fattori uguali a \(b\):
\[ (ab)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ volte}} = a^n b^n. \]
Potenza di un quoziente
Se \(b\neq 0\), la potenza di un quoziente è il quoziente delle potenze del numeratore e del denominatore:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \]
Infatti,
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot \ldots \cdot\frac{a}{b}}_{n \text{ volte}}. \]
Moltiplicando tra loro i numeratori e tra loro i denominatori, otteniamo
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}}} {\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ volte}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Anche in questo caso la condizione \(b\neq 0\) è essenziale, perché il quoziente \(\displaystyle \frac{a}{b}\) deve essere definito.
Potenza con Esponente Zero
Dopo aver definito le potenze con esponente naturale positivo, è naturale chiedersi se sia possibile attribuire un significato anche a una potenza con esponente zero.
La definizione di \(a^0\) non viene scelta in modo arbitrario: deve essere compatibile con le proprietà delle potenze già stabilite per gli esponenti naturali positivi.
Sia \(a\neq 0\). Per ogni \(n\in\mathbb{N}^*\), il quoziente
\[ \frac{a^n}{a^n} \]
è uguale a \(1\), perché numeratore e denominatore sono uguali e diversi da zero:
\[ \frac{a^n}{a^n}=1. \]
D'altra parte, se vogliamo conservare la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base, dobbiamo avere
\[ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0. \]
Le due uguaglianze mostrano quindi che, per coerenza, deve essere
\[ a^0=1 \qquad \text{per ogni } a\neq 0. \]
La condizione \(a\neq 0\) è essenziale. Infatti, se \(a=0\), il quoziente \(\displaystyle \frac{a^n}{a^n}\) diventa \(\displaystyle \frac{0}{0}\), che non è definito.
Per questo motivo, nel contesto delle proprietà algebriche delle potenze, l'espressione \(0^0\) non viene definita.
La definizione \(a^0=1\) permette alle proprietà delle potenze di continuare a funzionare anche quando compare l'esponente zero. Per esempio, se \(a\neq 0\) e \(m\in\mathbb{N}^*\), allora
\[ a^m\cdot a^0=a^m\cdot 1=a^m=a^{m+0}. \]
Potenze con Esponente Intero Negativo
Dopo aver introdotto l'esponente zero, possiamo estendere ulteriormente la definizione di potenza agli esponenti interi negativi.
Anche in questo caso la definizione non è arbitraria: viene scelta in modo che le proprietà delle potenze continuino a valere anche quando gli esponenti non sono più soltanto naturali.
Sia \(a\neq 0\) e sia \(n\in\mathbb{N}^*\). La potenza di base \(a\) ed esponente \(-n\) si definisce ponendo
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
In altre parole, elevare un numero non nullo a un esponente negativo significa prendere il reciproco della potenza con esponente positivo corrispondente.
La condizione \(a\neq 0\) è indispensabile, perché il reciproco di \(a^n\) è definito solo se \(a^n\neq 0\).
La ragione di questa definizione è la seguente. Se vogliamo che la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base continui a valere, dobbiamo avere
\[ a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0. \]
Poiché \(a^0=1\), deve quindi risultare
\[ a^n\cdot a^{-n}=1. \]
Questo significa precisamente che \(a^{-n}\) deve essere il reciproco di \(a^n\), cioè
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Questa definizione permette anche di interpretare correttamente il quoziente di potenze con la stessa base nel caso in cui l'esponente del numeratore sia minore di quello del denominatore.
Infatti, se \(a\neq 0\) e \(m,n\) sono interi non negativi con \(m<n\), allora \(n-m>0\) e
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}. \]
Per definizione di esponente negativo,
\[ \frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}. \]
Poiché
\[ -(n-m)=m-n, \]
otteniamo
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
In questo modo la proprietà
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
rimane valida anche quando \(m<n\), purché \(a\neq 0\).
Più in generale, se \(a\neq 0\), le proprietà delle potenze si estendono agli esponenti interi. Per esempio, per \(h,k\in\mathbb{Z}\) si ha
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}. \]
Potenze con Esponente Razionale
Dopo aver definito le potenze con esponente intero, possiamo estendere la nozione di potenza anche agli esponenti razionali.
In questa sezione consideriamo principalmente il caso \(a>0\), che è il contesto naturale in cui le potenze con esponente razionale si comportano in modo regolare e conservano tutte le proprietà fondamentali delle potenze.
Sia \(a>0\) e sia \(q\in\mathbb{N}^*\). La potenza con esponente \(\displaystyle \frac{1}{q}\) si definisce ponendo
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Questa definizione è coerente con la proprietà della potenza di una potenza. Infatti, se vogliamo che continui a valere
\[ \left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q=a^{\frac{1}{q}\cdot q}=a, \]
allora \(a^{\frac{1}{q}}\) deve essere il numero positivo che, elevato alla \(q\)-esima potenza, restituisce \(a\). Per definizione, questo numero è la radice aritmetica \(q\)-esima di \(a\).
Più in generale, se \(p\in\mathbb{Z}\) e \(q\in\mathbb{N}^*\), definiamo
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
Poiché \(a>0\), anche \(\sqrt[q]{a}>0\), quindi l'espressione è definita anche quando \(p\) è negativo.
Nel caso \(a>0\), la stessa quantità può essere scritta anche nella forma
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. \]
Infatti, per basi positive, le potenze intere e le radici aritmetiche considerate sono sempre definite, e le due scritture
\[ \left(\sqrt[q]{a}\right)^p \qquad \text{e} \qquad \sqrt[q]{a^p} \]
rappresentano lo stesso numero.
Per esempio,
\[ 16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8. \]
Se l'esponente razionale è negativo, si usa anche la definizione di potenza con esponente intero negativo:
\[ a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, \qquad a>0. \]
Per esempio,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \]
Con questa definizione, le proprietà delle potenze si estendono agli esponenti razionali. La verifica si ottiene riconducendo gli esponenti razionali a frazioni con denominatore comune e applicando le proprietà già stabilite per le potenze e per le radici.
In particolare, per \(a>0\) e per \(r,s\in\mathbb{Q}\), valgono le formule
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}, \qquad \left(a^r\right)^s=a^{rs}. \]
La restrizione \(a>0\) permette di evitare ambiguità e casi particolari legati alle basi nulle o negative. Per esempio, se \(a=0\), le potenze con esponente razionale positivo possono essere definite in molti casi, mentre quelle con esponente negativo non sono definite. Se invece \(a<0\), la situazione richiede ulteriori distinzioni e non tutte le proprietà restano valide senza condizioni aggiuntive.
L'estensione delle potenze agli esponenti reali richiede strumenti più avanzati legati al concetto di limite e viene trattata in un contesto successivo. In questa pagina ci limitiamo agli esponenti naturali, interi e razionali.
Esempi sulle Proprietà delle Potenze
Vediamo alcuni esempi di applicazione delle proprietà delle potenze. Gli esempi servono a mostrare come usare le regole in modo ordinato, distinguendo le potenze con la stessa base, le potenze di prodotti, le potenze di quozienti e le potenze con esponente negativo o razionale.
Esempio 1. Semplifichiamo l'espressione
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4. \]
Raggruppiamo le potenze con la stessa base e sommiamo gli esponenti:
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4 = a^{5+3}\cdot b^{2+4} = a^8b^6. \]
Quindi
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4=a^8b^6. \]
Esempio 2. Semplifichiamo l'espressione
\[ (a^3b^2)^4. \]
Applichiamo prima la proprietà della potenza di un prodotto e poi la proprietà della potenza di una potenza:
\[ (a^3b^2)^4 = (a^3)^4(b^2)^4 = a^{3\cdot 4}b^{2\cdot 4} = a^{12}b^8. \]
Dunque
\[ (a^3b^2)^4=a^{12}b^8. \]
Esempio 3. Semplifichiamo l'espressione
\[ a^5\cdot a^0, \]
supponendo \(a\neq 0\). Poiché \(a^0=1\), otteniamo
\[ a^5\cdot a^0=a^5\cdot 1=a^5. \]
Esempio 4. Semplifichiamo l'espressione
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}, \]
supponendo \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\). Separiamo le potenze con la stessa base:
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3} = \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3}. \]
Ora sottraiamo gli esponenti:
\[ \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3} = a^{6-2}b^{8-3} = a^4b^5. \]
Quindi
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}=a^4b^5. \]
Esempio 5. Semplifichiamo l'espressione
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2, \]
con \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\). Prima semplifichiamo il quoziente dentro le parentesi:
\[ \frac{a^3b^5}{ab^2} = a^{3-1}b^{5-2} = a^2b^3. \]
A questo punto eleviamo al quadrato:
\[ \left(a^2b^3\right)^2 = (a^2)^2(b^3)^2 = a^4b^6. \]
Pertanto
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2=a^4b^6. \]
Esempio 6. Semplifichiamo l'espressione
\[ 8^{-\frac{2}{3}}. \]
L'esponente è razionale negativo. Per prima cosa trasformiamo la potenza nel reciproco della potenza con esponente positivo:
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}. \]
Ora usiamo la definizione di potenza con esponente razionale:
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
Quindi
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}. \]