Le operazioni sui limiti di successioni permettono di calcolare il limite di una successione ottenuta combinando due successioni più semplici mediante somma, differenza, prodotto o rapporto.
L'idea fondamentale è la seguente: se due successioni \((a_n)\) e \((b_n)\) hanno limite finito, allora, sotto opportune ipotesi, anche le successioni ottenute mediante le operazioni algebriche tra \(a_n\) e \(b_n\) hanno limite, e tale limite si calcola operando sui limiti.
In questo articolo consideriamo il caso in cui
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Studieremo quindi le operazioni sui limiti finiti di successioni reali convergenti.
È importante precisare fin dall'inizio che le regole algebriche sui limiti non possono essere applicate automaticamente in presenza di forme indeterminate, come \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\). In questi casi è necessario uno studio specifico.
Indice
- Operazioni sui limiti di successioni
- Limite della somma
- Limite della differenza
- Limite del prodotto
- Limite del rapporto
- Osservazioni sulle forme indeterminate
- Esempi sulle operazioni con i limiti
Operazioni sui limiti di successioni
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali convergenti, cioè tali che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\).
In queste ipotesi valgono le seguenti regole:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Inoltre, se \(B\neq0\), allora \(b_n\neq0\) definitivamente e vale anche
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
La condizione \(B\neq0\) nel limite del rapporto è essenziale. Infatti, se il limite del denominatore fosse \(0\), non si potrebbe concludere in generale che il rapporto abbia limite finito.
Le sezioni successive dimostrano rigorosamente queste proprietà usando la definizione di limite di successione.
Limite della somma
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Allora
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), risulti
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Osserviamo che
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
Applicando la disuguaglianza triangolare, otteniamo
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Poiché \(a_n\to A\), per \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) esiste \(N_1\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Poiché \(b_n\to B\), per \(\displaystyle\frac{ \varepsilon}{2}>0\) esiste \(N_2\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Poniamo
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Allora, per ogni \(n\geq N\), valgono entrambe le disuguaglianze precedenti. Di conseguenza
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Per definizione di limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Limite della differenza
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Allora
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Questo risultato segue direttamente dal limite della somma, osservando che
\[ a_n-b_n=a_n+(-b_n). \]
Poiché \(b_n\to B\), si ha
\[ -b_n\to -B. \]
Quindi, applicando il limite della somma,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}\bigl(a_n+(-b_n)\bigr) = A+(-B) = A-B. \]
In modo equivalente, si può dimostrare direttamente usando la definizione di limite. Infatti:
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)| = |(a_n-A)-(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
La conclusione segue esattamente come nel caso della somma.
Limite del prodotto
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Allora
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N\), risulti
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Scriviamo la differenza in una forma utile:
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
Quindi
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
Applicando la disuguaglianza triangolare, otteniamo
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Ora usiamo un fatto fondamentale: ogni successione convergente è limitata. Poiché \(b_n\to B\), esiste una costante reale positiva \(C\) tale che
\[ |b_n|\leq C \]
per ogni \(n\) sufficientemente grande.
Per essere espliciti, scegliendo \(1>0\), dalla convergenza \(b_n\to B\) segue che esiste \(N_0\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
Da cui
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Dunque, definitivamente,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fissiamo ora \(\varepsilon>0\). Poiché \(a_n\to A\), esiste \(N_1\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Poiché \(b_n\to B\), esiste \(N_2\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Poniamo
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Allora, per ogni \(n\geq N\), abbiamo
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
e
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Pertanto
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Inoltre
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Di conseguenza
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Per definizione di limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Limite del rapporto
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\) e \(B\neq0\). Allora \(b_n\neq0\) definitivamente e vale
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Dimostrazione. Poiché \(b_n\to B\) e \(B\neq0\), possiamo scegliere la distanza positiva
\[ \frac{|B|}{2}>0. \]
Dalla convergenza di \((b_n)\) a \(B\), esiste \(N_0\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
Dalla disuguaglianza triangolare segue che
\[ |B| = |B-b_n+b_n| \leq |B-b_n|+|b_n|. \]
Quindi
\[ |b_n| \geq |B|-|B-b_n| = |B|-|b_n-B|. \]
Quindi, per ogni \(n\geq N_0\),
\[ |b_n| > |B|-\frac{|B|}{2} = \frac{|B|}{2}. \]
In particolare, per ogni \(n\geq N_0\) si ha \(b_n\neq0\). Questo mostra che il rapporto \(\frac{a_n}{b_n}\) è ben definito definitivamente.
Ora stimiamo la differenza tra il rapporto e il limite atteso:
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
Portando a denominatore comune, otteniamo
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
Aggiungiamo e sottraiamo \(AB\) al numeratore:
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
Quindi
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
Applicando la disuguaglianza triangolare,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Poiché
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
otteniamo
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
Di conseguenza
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Per \(n\geq N_0\), sappiamo che
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Pertanto
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Quindi, per ogni \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fissiamo ora \(\varepsilon>0\). Poiché \(a_n\to A\), esiste \(N_1\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Poiché \(b_n\to B\), esiste \(N_2\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Poniamo
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Allora, per ogni \(n\geq N\), valgono tutte le stime precedenti. In particolare,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Inoltre
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Sommando,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Pertanto
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Per definizione di limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Osservazioni sulle forme indeterminate
Le regole precedenti sono state dimostrate nel caso in cui le successioni \((a_n)\) e \((b_n)\) abbiano limiti reali finiti. In questo contesto le operazioni si comportano in modo naturale:
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
e, se \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
Bisogna però fare attenzione quando compaiono limiti infiniti oppure denominatori che tendono a zero. In questi casi non sempre è possibile applicare direttamente le regole algebriche.
Per esempio, espressioni del tipo
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty} \]
sono chiamate forme indeterminate. Il termine "indeterminate" significa che la sola conoscenza dei limiti delle singole parti non basta a determinare il limite dell'espressione complessiva.
Per esempio, se \(a_n\to+\infty\) e \(b_n\to+\infty\), il limite di \(a_n-b_n\) non è determinato automaticamente. Può essere un numero reale, può essere \(+\infty\), può essere \(-\infty\), oppure può non esistere.
Allo stesso modo, se \(a_n\to0\) e \(b_n\to0\), il rapporto
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
può avere comportamenti diversi a seconda delle successioni considerate.
Per esempio,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), quindi il limite è \(1\). Invece
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
e quindi il limite è \(+\infty\).
Questo mostra che la sola informazione “numeratore tendente a \(0\)” e “denominatore tendente a \(0\)” non basta per determinare il limite del rapporto.
Per questo motivo le regole sulle operazioni con i limiti devono essere applicate solo quando le ipotesi dei teoremi sono soddisfatte.
Esempi sulle operazioni con i limiti
Esempio 1 (limite di una somma). Consideriamo la successione
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Sappiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Per il limite della somma,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Esempio 2 (limite di una differenza). Consideriamo la successione
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
per il limite della differenza otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Esempio 3 (limite di un prodotto). Consideriamo la successione
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Abbiamo
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Per il limite del prodotto,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Esempio 4 (limite di un rapporto). Consideriamo la successione
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Il numeratore tende a \(2\), infatti
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
Il denominatore tende a \(3\), infatti
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Poiché il limite del denominatore è diverso da zero, possiamo applicare il limite del rapporto:
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Esempio 5 (attenzione al rapporto con denominatore tendente a zero). Consideriamo la successione
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Sia il numeratore sia il denominatore tendono a \(0\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Tuttavia non possiamo applicare direttamente il teorema sul limite del rapporto, perché il limite del denominatore è \(0\).
In questo caso, semplificando, otteniamo
\[ c_n=1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Questo esempio mostra che una forma del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\) deve essere studiata separatamente: non è possibile determinarne il limite applicando automaticamente la regola del rapporto, perché il limite del denominatore è uguale a \(0\).
In conclusione, le operazioni sui limiti permettono di calcolare molti limiti di successioni in modo semplice e rigoroso, purché siano rispettate le ipotesi dei teoremi. In particolare, per il limite del rapporto è indispensabile che il limite del denominatore sia diverso da zero.