In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulle operazioni con i limiti di successioni. Gli esercizi mostrano come applicare correttamente le regole per somma, differenza, prodotto e rapporto, prestando attenzione alle ipotesi dei teoremi e alle forme indeterminate.
L'idea fondamentale è la seguente: se due successioni convergono a limiti finiti, allora, sotto le opportune ipotesi, il limite della successione ottenuta mediante un'operazione algebrica si calcola applicando la stessa operazione ai limiti.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=1. \]
Svolgimento
La successione è somma di due successioni:
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{e}\qquad \frac{n}{n+1}. \]
Calcoliamo separatamente i due limiti.
Si ha
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Inoltre
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n+1}\to0, \]
segue che
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Possiamo quindi applicare il limite della somma:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right) = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n} + \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}. \]
Dunque
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=0+1=1. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=-1. \]
Svolgimento
Consideriamo le due successioni
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \qquad\text{e}\qquad b_n=3-\frac{2}{n}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
otteniamo
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
Analogamente, poiché
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
si ha
\[ b_n=3-\frac{2}{n}\to3. \]
Ora applichiamo il limite della differenza:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}a_n-\lim_{n\to+\infty}b_n. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=2-3=-1. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=6. \]
Svolgimento
La successione è prodotto di due successioni:
\[ a_n=2+\frac{1}{n}, \qquad b_n=3-\frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
abbiamo
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
Inoltre
\[ b_n=3-\frac{1}{n}\to3. \]
Possiamo applicare il limite del prodotto, perché entrambe le successioni hanno limite finito:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n) = \left(\lim_{n\to+\infty}a_n\right) \left(\lim_{n\to+\infty}b_n\right). \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=2\cdot3=6. \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}=\frac25. \]
Svolgimento
Studiamo separatamente numeratore e denominatore.
Per il numeratore:
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
Per il denominatore:
\[ 5-\frac{3}{n}\to5. \]
Il limite del denominatore è \(5\), quindi è diverso da \(0\). Possiamo dunque applicare il limite del rapporto.
Otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}} = \frac{\lim_{n\to+\infty}\left(2+\displaystyle \frac{1}{n}\right)} {\lim_{n\to+\infty}\left(5-\displaystyle \frac{3}{n}\right)} = \frac25. \]
La condizione sul denominatore è essenziale: qui è soddisfatta perché il limite del denominatore è \(5\neq0\).
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{3n+1}{n}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Svolgimento
Separiamo la frazione:
\[ \frac{3n+1}{n} = \frac{3n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Quindi
\[ \frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n}. \]
Ora usiamo le operazioni con i limiti. La successione costante \(3\) tende a \(3\), mentre
\[ \frac{1}{n}\to0. \]
Per il limite della somma otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3+\frac{1}{n}\right) = 3+0=3. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{4n-5}{2n+1}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Svolgimento
Numeratore e denominatore sono polinomi di primo grado in \(n\). Dividiamo entrambi per \(n\):
\[ \frac{4n-5}{2n+1} = \frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Ora calcoliamo il limite del numeratore:
\[ 4-\frac{5}{n}\to4. \]
Calcoliamo il limite del denominatore:
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
Il limite del denominatore è \(2\), dunque è diverso da \(0\). Possiamo applicare il teorema sul limite del rapporto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{4}{2}=2. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right)=2. \]
Svolgimento
La successione è prodotto di due successioni:
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \qquad\text{e}\qquad b_n=\frac{2n+3}{n}. \]
Per la prima successione:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Per la seconda:
\[ \frac{2n+3}{n}=2+\frac{3}{n}\to2. \]
Entrambe hanno limite finito. Possiamo quindi applicare il limite del prodotto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right) = 1\cdot2=2. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo la base della potenza:
\[ \frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Poiché
\[ \frac1n\to0, \]
otteniamo
\[ 1+\frac1n\to1. \]
La successione data è
\[ \left(1+\frac1n\right)^2 = \left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1n\right). \]
Applichiamo il limite del prodotto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^2 = 1\cdot1=1. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac34. \]
Svolgimento
Studiamo numeratore e denominatore.
Il numeratore è
\[ \frac{2}{n}+3. \]
Poiché
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
si ha
\[ \frac{2}{n}+3\to3. \]
Il denominatore è
\[ 4-\frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
si ha
\[ 4-\frac{1}{n}\to4. \]
Il limite del denominatore è diverso da \(0\). Quindi possiamo applicare il limite del rapporto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac{3}{4}. \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-5}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Svolgimento
Numeratore e denominatore sono polinomi dello stesso grado, cioè di grado \(2\).
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-5} = \frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}. \]
Calcoliamo i limiti delle parti:
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac5{n^2}\to0. \]
Quindi il numeratore tende a
\[ 1+0=1, \]
mentre il denominatore tende a
\[ 2-0=2. \]
Poiché il limite del denominatore è \(2\neq0\), possiamo applicare il limite del rapporto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}=\frac12. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Svolgimento
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\), cioè per la massima potenza di \(n\) che compare:
\[ \frac{2n^2-n+1}{n^2+4} = \frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}}. \]
Ora osserviamo che
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Quindi il numeratore tende a
\[ 2-0+0=2, \]
e il denominatore tende a
\[ 1+0=1. \]
Poiché il limite del denominatore è \(1\neq0\), applichiamo il limite del rapporto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}} = \frac21=2. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{3n+1}{n^2+1}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Svolgimento
Il denominatore ha grado maggiore del numeratore. Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ \frac{3n+1}{n^2+1} = \frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
Ora
\[ \frac3n\to0, \qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Quindi il numeratore tende a
\[ 0+0=0, \]
mentre il denominatore tende a
\[ 1+0=1. \]
Poiché il limite del denominatore è diverso da \(0\), possiamo applicare la regola del rapporto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac01=0. \]
Dunque
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{n^3+2n}{n^2+1}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+2n}{n^2+1}=+\infty. \]
Svolgimento
Il numeratore ha grado \(3\), mentre il denominatore ha grado \(2\). Quindi ci aspettiamo che il rapporto cresca senza limite.
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1} = \frac{n+\displaystyle \frac2n}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
Per \(n\to+\infty\), il numeratore
\[ n+\frac2n \]
tende a \(+\infty\), perché il termine \(n\) cresce senza limite.
Il denominatore invece tende a
\[ 1+0=1. \]
Quindi il rapporto tende a \(+\infty\).
Possiamo anche dare una stima dal basso. Per \(n\geq1\), si ha
\[ n^2+1\leq2n^2 \]
e
\[ n^3+2n\geq n^3. \]
Pertanto
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1}\geq \frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Poiché
\[ \frac n2\to+\infty, \]
anche la successione data tende a \(+\infty\).
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0. \]
Svolgimento
La successione è un prodotto:
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{e}\qquad 4-\frac{3}{n}. \]
Il primo fattore tende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Il secondo fattore tende a \(4\), perché
\[ \frac3n\to0. \]
Quindi
\[ 4-\frac3n\to4. \]
Possiamo applicare il limite del prodotto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0\cdot4=0. \]
In questo caso non c'è una forma indeterminata: il secondo fattore tende a un numero finito, non a \(+\infty\).
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}=0. \]
Svolgimento
Studiamo numeratore e denominatore.
Il numeratore è
\[ \frac1n, \]
quindi tende a \(0\).
Il denominatore è
\[ \frac1n+1, \]
e tende a
\[ 0+1=1. \]
Il limite del denominatore è \(1\), quindi è diverso da \(0\). Possiamo dunque applicare il limite del rapporto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1} = \frac{0}{1}=0. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Svolgimento
Il numeratore tende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Anche il denominatore tende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Quindi non possiamo applicare direttamente il teorema sul limite del rapporto, perché l'ipotesi richiesta è che il limite del denominatore sia diverso da \(0\).
L'espressione è del tipo
\[ \frac00, \]
cioè una forma indeterminata.
Tuttavia possiamo semplificare la successione. Per ogni \(n\in\mathbb N\), con \(n\neq0\), si ha
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1n}=1. \]
Dunque la successione è costante uguale a \(1\).
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Questo esercizio mostra che una forma \(\displaystyle \frac00\) non determina automaticamente il limite: bisogna studiare l'espressione.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Svolgimento
Il numeratore tende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Anche il denominatore tende a \(0\):
\[ \frac1{n^2}\to0. \]
Quindi siamo davanti a una forma del tipo
\[ \frac00. \]
Non possiamo applicare direttamente la regola del rapporto, perché il limite del denominatore è \(0\).
Semplifichiamo l'espressione:
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac1n\cdot n^2. \]
Quindi
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}}=n. \]
Poiché
\[ n\to+\infty, \]
otteniamo
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Questo conferma che la forma \(\displaystyle \frac00\) è indeterminata: in un esercizio precedente dava \(1\), mentre qui dà \(+\infty\).
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Svolgimento
Anche in questo caso numeratore e denominatore tendono entrambi a \(0\):
\[ \frac1{n^2}\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1n\to0. \]
L'espressione è quindi una forma del tipo
\[ \frac00. \]
Non possiamo applicare direttamente la regola del rapporto. Dobbiamo semplificare.
Scriviamo:
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1{n^2}\cdot n. \]
Quindi
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1n. \]
Poiché
\[ \frac1n\to0, \]
concludiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Questo è un ulteriore esempio del fatto che la forma \(\frac00\) può produrre risultati diversi.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Svolgimento
La successione è
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Osserviamo che
\[ \sqrt{n^2+n}\to+\infty \qquad\text{e}\qquad n\to+\infty. \]
Quindi l'espressione è del tipo
\[ +\infty-\infty, \]
cioè una forma indeterminata. Non possiamo calcolare il limite sottraendo semplicemente i limiti.
Per eliminare l'indeterminazione razionalizziamo:
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
Al numeratore usiamo la differenza di quadrati:
\[ (\sqrt{n^2+n})^2-n^2=n^2+n-n^2=n. \]
Quindi
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
Ora raccogliamo \(n\) dentro la radice:
\[ \sqrt{n^2+n}=\sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)}. \]
Poiché \(n>0\), si ha
\[ \sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)} = n\sqrt{1+\frac1n}. \]
Dunque
\[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{n\sqrt{1+\frac1n}+n}. \]
Raccogliendo \(n\) al denominatore:
\[ \frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}. \]
Ora
\[ \frac1n\to0, \]
quindi
\[ \sqrt{1+\frac1n}\to\sqrt1=1. \]
Pertanto
\[ \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\frac{1}{1+1}=\frac12. \]
Concludiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Calcolare il limite della successione
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Risultato
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Se osserviamo separatamente i fattori, abbiamo
\[ n\to+\infty \]
e
\[ \frac{n+1}{n}-1\to1-1=0. \]
L'espressione è quindi del tipo
\[ +\infty\cdot0, \]
cioè una forma indeterminata. Non possiamo concludere automaticamente che il limite sia \(0\) oppure \(+\infty\).
Dobbiamo semplificare l'espressione. Calcoliamo prima la parentesi:
\[ \frac{n+1}{n}-1 = \frac{n+1}{n}-\frac{n}{n} = \frac{1}{n}. \]
Quindi
\[ c_n=n\cdot\frac1n. \]
Pertanto
\[ c_n=1 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\), con \(n\neq0\).
La successione è dunque costante uguale a \(1\). Di conseguenza
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Questo esercizio mostra che anche la forma \(0\cdot\infty\) è indeterminata: bisogna trasformare l'espressione prima di calcolare il limite.